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江苏专版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第六节指数与指数函数学案理含解析

第六节指数与指数函数1．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图象与性质[小题体验]1．函数f(x)＝2a x＋1－1(a＞0，且a≠1)恒过定点________．答案：(－1,1)2．已知0.2m＜0.2n，则m______n(填“＞”或“＜”)．答案：＞3．计算：(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝________.答案：a 651．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a ＞1或0＜a ＜1.[小题纠偏]1．化简a 3b 23ab 2⎝⎛⎭⎫a 14b 124a 13-b13(a ＞0，b ＞0)的结果为________．答案：a b2．若函数y ＝(a －1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案：(1,2)考点一指数幂的化简与求值基础送分型考点——自主练透 [题组练透]化简与求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－(0.01)0.5； (2)56a ·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a 12-b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －3； (3)⎝⎛⎭⎫a 23·b －112-·a12-·b136a ·b 5.解：(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52ab －3÷(4a ·b －3)＝－54ab －3÷(ab )＝－54a ·b＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.(3)原式＝a13-b 12·a 12-b13a 16b56＝a ·b ＝1a.[谨记通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．考点二指数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．(2019·苏州调研)若a ＞1，b ＜－1，则函数f (x )＝a x＋b 的图象经过第________象限．解析：∵a ＞1，∴y ＝a x的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过(0,1)，f (x )＝a x ＋b 的图象可看成把y ＝a x 的图象向下平移－b (－b ＞1)个单位得到的，故函数f (x )＝a x＋b 的图象经过第一、三、四象限．答案：一、三、四 2．已知f (x )＝|2x －1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小．解：(1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，1－2x，x ＜0，可作出函数f (x )的图象如图所示．因此函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象，如图所示．由图象知，当2－1＝1－2，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x ＜log 223时，f (x )＞f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x ＞log 223时，f (x )＜f (x ＋1)．[由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时应用]1．若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：作出曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]2．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|. (1)作出该函数的图象； (2)由图象指出函数的单调区间．解：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1，x ≥－1，3x ＋1，x ＜－1，其图象由两部分组成：一部分是：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≥0)――→向左平移1个单位y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x (x ＜0)――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x ＜－1)，函数图象如图所示．(2)由图象知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．考点三指数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]高考常以填空题的形式考查指数函数的性质及应用，常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小； (2)简单的指数不等式；(3)指数型函数的性质．[题点全练]角度一：比较指数式的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“＞”表示)．解析：因为函数y ＝0.6x 是减函数，0＜0.6＜1.5，所以1＞0.60.6＞0.61.5，即b ＜a ＜1.因为函数y ＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数， 0．6＞0，所以1.50.6＞1.50＝1，即c ＞1.综上，c ＞a ＞b . 答案：c ＞a ＞b角度二：简单的指数不等式 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)角度三：指数型函数的性质 3．(1)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R)满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．(2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a ＞0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，则a 的值为________．解析：(1)函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R)的图象关于直线x ＝a 对称，由f (1＋x )＝f (1－x )得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，则f (x )＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥，21－xx ＜，由复合函数的单调性得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故m ≥1，所以实数m 的最小值等于1.(2)令a x＝t ，则y ＝a 2x＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a ＞1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a .又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0＜a ＜1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a .又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，所以y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.答案：(1)1 (2)3或134．(2019·启东中学高三检测)已知函数f (x )＝9x －2a ·3x＋3. (1)若a ＝1，x ∈[0,1]，求f (x )的值域； (2)当x ∈[－1,1]时，求f (x )的最小值h (a )；(3)是否存在实数m ，n ，同时满足下列条件：①n ＞m ＞3；②当h (a )的定义域为[m ，n ]时，其值域为[m 2，n 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝9x －2·3x＋3，则f (x )＝(3x－1)2＋2.因为x ∈[0,1]，所以3x∈[1,3]，f (x )∈[2,6]．(2)令3x ＝t ，因为x ∈[－1,1]，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，函数f (x )可化为g (t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a ＜13时，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，h (a )＝g (a )＝3－a 2；当a ＞3时，h (a )＝g (3)＝12－6a .综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ＜13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a ＞3.(3)因为n ＞m ＞3，h (a )＝12－6a 为减函数，所以h (a )在[m ，n ]上的值域为[h (n )，h (m )]，又h (a )在[m ，n ]上的值域为[m 2，n 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧hn ＝m 2，h m ＝n 2，即⎩⎪⎨⎪⎧12－6n ＝m 2，12－6m ＝n 2，两式相减，得6(m －n )＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )，所以m ＋n ＝6.而由n ＞m ＞3可得m ＋n ＞6，矛盾．所以不存在满足条件的实数m ，n .[通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略讨论．[演练冲关]已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x.(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则g (x )在(－∞，1]上单调递减，所以m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)已知a ＝3π，b ＝e π，c ＝e 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：由y ＝e x是增函数，得b ＝e π＞c ＝e 3，由y ＝x π是增函数，得a ＝3π＞b ＝e π，故c ＜b ＜a .答案：c ＜b ＜a 2．已知函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)图象经过点P ，则点P 的坐标为________．解析：当x ＝1时，y ＝a 0＋3＝4， ∴函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(1,4)．∴点P 的坐标为(1,4)．答案：(1,4)3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象关于________对称．解析：因为g (x )＝21－x＝f (－x )，所以f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．答案：y 轴 4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故f (x )的值域为[1,9]．答案：[1,9]5．不等式2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________．解析：不等式2－x 2＋2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x ＜x ＋4，即x2－3x －4＜0，解得－1＜x ＜4. 答案：{x |－1＜x ＜4}6．(2019·徐州调研)若函数f (x )＝a x －1(a ＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大a2，则a ＝________.解析：∵函数f (x )＝ax －1(a ＞1)在区间[2,3]上为增函数，∴f (x )max ＝f (3)＝a 2，f (x )min ＝f (2)＝a .由题意可得a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.答案：32二保高考，全练题型做到高考达标 1．若函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由y ＝a t (a ＞1)的单调性知a 3＞a 2，所以f (－4)＞f (1)．答案：f (－4)＞f (1)2．(2018·启东中学检测)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3＞16的x 的取值范围是________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3＞16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2， ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在定义域上是减函数，∴x －3＜－2，故x ＜1. 答案：(－∞，1)3．已知实数a ，b 满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．解析：设2 017a＝2 018b＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t ＞1，则有a ＞b ＞0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0＜t ＜1，则有a ＜b ＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：24．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，－3a＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，345．(2019·苏州中学检测)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为________．解析：令u ＝x 2＋1，可得f (u )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 是减函数，而u ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，136．(2019·无锡调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋6的单调递增区间是________．解析：设u (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，对称轴为x ＝1，则u (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x ＋6在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．答案：(－∞，1)7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.答案：(－1,2) 9．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫259＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝3a 72·a-23÷3a-23·a-12＝3a 72÷3a-12＝a ÷a ＝a ＝a .10．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R)． (1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R. 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3－x ＝(λ＋1)(3x ＋3－x)＝0对∀x ∈R 恒成立，所以λ＝－1.由f (x )＝3x－3－x＞1，得(3x )2－3x－1＞0，解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，所以不等式f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＞log 31＋52.(2)由f (x )≤6，得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x＋λ3x ≤6.令t ＝3x∈[1,9]，则问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立，令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，因为g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a ＜1.综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．(2018·南京调研)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a ≥0时，解关于x 的不等式ax 2＋n ＋1＞(m ＋1)x ＋2ax ； (2)是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x ＋1在x ∈[1,2]上的最小值为－92？若存在，求实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知，关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝2m ，－n ＝－3m，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.所以原不等式可化为(x －2)(ax －2)＞0.①当a ＝0时，原不等式化为(x －2)×(－2)＞0，解得x ＜2；②当0＜a ＜1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＜2a ，解得x ＞2a或x ＜2；③当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a ＞1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＞2a ，解得x ＜2a或x ＞2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＜2}；当0＜a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2a或x ＜2；当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ＜2a .(2)假设存在满足条件的实数a ，由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3.令a x ＝t ，a 2≤t ≤a ，则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3，此函数图象的对称轴为t ＝3a ＋22，因为a ∈(0,1)，所以a 2＜a ＜1,1＜3a ＋22＜52，所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]上单调递减，所以当t ＝a 时，y 取得最小值，最小值为y ＝－2a 2－2a －3＝－92，解得a ＝－32(舍去)或a ＝12.故存在满足条件的a ，a 的值为12.。

指对数比较大小8种常考题型总结-高一数学(人教A版2019必修第一册)

第20讲指对数比较大小8种常考题型总结【知识点梳理】指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题，这里我们重点介绍几种比大小方法，让大家充分了解掌握一些指数对数大小比较的常用方法．（1）利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可（2）利用指数对数函数图象关系比较大小（2）比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选第5题左右位置，比如12.02.0003.0=<<，12.0log 3.0log 1log 02.02.02.0=<<=（3）取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与21的大小等（4）去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较．例如：log log 1log log n a a a a ma m ma m n =+=+；．（5）当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如2ln =a 和2log 3=b ，e a 2log 12ln ==，3log 12log 23==b ，因为e 22log 3log >，所以b a > （6）乘倍数比较数的范围比较大小，比如3log 2=a 和4log 3=b ，则()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a >（7）构造函数，利用函数的单调性比价大小【题型目录】题型一：直接利用单调性比较大小题型二：比较与1,0的大小关系题型三：取中间值比较大小题型四：利用换底公式比较大小题型五：分离常数再比较大小题型六：利用均值不等式比较大小题型七：乘倍数比较数的范围比较大小题型八：构造函数比大小【典型例题】题型一：直接利用单调性比较大小【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知222log 0.6,log 0.8,log 1.2a b c ===，则（） A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>【答案】A【分析】由对数函数得单调性即可得出结果. 【详解】∵2log y x =在定义域上单调递增， ∵222log 0.6log 0.8log 1.2<<，即c b a >>. 故选：A.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，则a 、b 、c 的大小顺序为（） A ．a b c <>，2log y x =单调递增，所以c b a <<. 故选：C 【题型专练】1.（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（） A ．22log 5.3log 4.7D ．log 3.1log 5.2(0a a a <>且1)a ≠【答案】C【分析】利用对数函数的单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A ，因为2=log y x 是单调递增函数，所以22log 5.3log 4.7>，故A 错误；对于B ，因为0.2=log y x 是单调递减函数，所以0.20.2log 7log 9>，故B 错误；对于C ，因为33ππ3=1,1log πlog log 3log π><=，所以3πlog πlog 3>，故C 正确；对于D ，当01a <<时，=log a y x 是单调递减函数，当1a >时，=log a y x 是单调递增函数，所以当01a <<时，log 3.1log 5.2>a a ，当1a >时，log 3.1log 5.2<a a ，故D 错误. 故选：C.2．（2022·全国·高一单元测试）已知2log 3a =，ln 2b =，2log πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.【详解】解：因为()2log f x x =为单调递增函数，所以22log πlog 31>>. 因为ln 21<，所以c a b >>．故选:B ．3.（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知1ln 3a=，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C【分析】根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；【详解】解：2ln 3ln 3c ==，21ln e ln 3ln e 2=<<=，即12c <<，又1ln 3a =，所以31ln elog e ln 3ln 3a ===，所以112a <<， 3335log 5log 2log 2b =-=，33315log 3log log 3122=<<=，即112b <<，又5e 2>，所以335log e log 2>，即a b >，综上可得c a b >>；故选：C4.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知0.919x =，2log 0.1y =，2log 0.2z =，则（） A ．x y z >> B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可【详解】因为9x y =在R 上为增函数，且0.910>，所以0.910991>=，即1x >，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.10.21<<，所以222log 0.1log 0.2log 10<<=，即0y z <<，所以x z y >> 故选：B.题型二：比较与1,0的大小关系【例1】（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））若1223a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 2b =，0.20.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】B【分析】分别根据23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =、0.6x y =的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可比较【详解】23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上是减函数，12220133a ⎛⎫⎛⎫<== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭< ； ln y x =在()0,+∞上是增函数，1lnln102b =<=； 0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，0.200.60.61c -=>=，故c a b >>，故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知0.3123log 2,log 3,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【分析】利用函数的单调性判断出0a <，1b >，01c <<，即可得到正确答案. 【详解】因为13log y x=为减函数，所以1133log 2log 10a =<=，即0a <；因为2log y x =为增函数，所以22log 321log b =>=，即1b >；因为2x y =为增函数，所以0.300221c -<=<=，即01c <<；所以b c a >>. 故选：D【例3】（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C. 【题型专练】1.（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若0.110a =，lg0.8b =，5log 3.5c =，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>，由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<，0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=，a cb ∴>>，故选:D2.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知5lg 0.2,log 6,ln 2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <=<=<=，所以a c b <<. 故选：C3.（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断0.60.622e log 0.6a b c -===，，的范围，即可判断大小，即得答案.【详解】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>，故选：C题型三：取中间值比较大小【例1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知32log 3a =，2log 3b =，139c =，则（） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】因为332log log 103a =<=，2221log 2log 3log 42b =<=<=，1133982c =>=，因此，c b a >>. 故选：D.【例2】（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<==<=，即a c b <<. 故选：C.【例3】（2022·山东滨州·高二期末）已知6log 2a =，0.5log 0.2b =，0.30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b <=，即2b >，66610log 1log 2log 62=<<=，即102a <<，00.30.31110.60.60.50.52=>>>=，即112c <<，所以b c a >>；故选：A 【题型专练】1．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知3log 4a =，4log 5b =，32c =，则有（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】D【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可. 【详解】依题意，23043<<，3243∴< ，3log y x =是单调递增，32333log 4log 32∴<=，a c ∴<，23054<<，3254∴<，4log y x =是单调递增，32443log 5log 42∴<=，b c ∴<， 45430>>，5443∴> ，3log y x =是单调递增，54335log 4log 34∴>=，54a ∴>，45054<<，5454∴<，4log y x =是单调递增，54445log 5log 44∴<=，54b ∴<，综上所述，c a b >>. 故选：D.高二期末（理））设0.632log 8c =A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b c a <<【答案】D【分析】利用幂函数和对数函数的性质比较即可【详解】因为533223log 8log 20.60.615c ====<，所以c a <，因为0.6y x =在(0,)+∞上为增函数，且910<，所以0.60.6910<，因为lg y x =在(0,)+∞上为增函数，所以0.60.6lg9lg100.6<=，所以b c <，综上b c a <<，故选：D3．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知52log 4a =，31log 72b =，4log 52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a <，所以b a c <<. 故选：B.题型四：利用换底公式比较大小【例1】（2021·全国·高一期末）设x ，y ，z 为正数，且345x y z ==，则（） A ．x y z <，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较作答. 【详解】因x ，y ，z 为正数，令345x y z k ===，则1k >，因此有：31log log 3k x k ==，41log log 4k y k ==，51log log 5k z k ==，又函数()log k f t t =在(0,)+∞上单调递增，而1345<<<，则0log 3log 4log 5k k k <<<，于是得111log 3log 4log 5k k k >>，所以z y x <<. 故选：D【例2】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（） A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得．【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a 50=1， ∵c >b >a ，故选：D .【例3】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得．【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1， ∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a 50=1， ∵c >b >a ，故选：D . 【题型专练】1.（2022河南·高三开学考试（文））设0.1log 4a =，50log 4b =，则（） A ．()22ab a b ab <+，从而0ab <，由对数换底公式和对数运算法则计算得1112a b<+<，再由不等式性质可得结论．【详解】因为0.1log 4a =，50log 4b =，所以0,0a b <>，所以0ab <， ()44411log 0.1log 50log 51,2a b +=+=∈，即1112a b<+<，所以2ab a b ab <+<. 故选：D ．2.（2022·重庆八中高三阶段练习）设2log a π=，6log b π=，则（）A ．0a b ab -<0>0a b ab -，，111b a-<，由此可判断得选项. 【详解】解：因为22log >log 21a π==，6660log 1log log 61b π=<=<=，所以>1,01a b <<，所以>0>0a b ab -，，故排除A 、B 选项；又11log 6log 2log 3log 1a bb a abπππππ--==-=<<，且>0ab ，所以0a b ab <-<，故选：D.3.（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设0.20.3a =，20.3b =，则（） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】由0.20.20.3log 0.3aa =⇒=，因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，所以01a <<，由220.3log 0.3bb =⇒=，因为22log 0.3log 0.51<=-，所以1b <-，因此0ab <，0a b +< 由0.20.31log 0.3log 0.2a a =⇒=，20.31log 0.3log 2b b=⇒=，于是有：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b+=+=，因为0.30.3log 0.4log 0.31<=，所以1111b aa b ab++<⇒<，因为0ab <，所以b a ab +>，即0ab a b <+<，故选：B【点睛】关键点睛：利用对数函数的单调性，结合,a b 两数的倒数和与1之间的关系，进行判断是解题的关键.4．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知正数x ，y ，z 满足346x y z ==，则下列说法中正确的是（） A ．1112x y z+= B ．346x y z >>C ．22xy z > D ．32x y z +>⎝【答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x ，y ，z 满足346x y z ==，设()3461x y zt t ===>，则3log x t =，4log y t =，6log z t =．对于A ，1111log 3log 4log 622t t t x y z+=+==，故A 正确；对于B ，333log x t =，444log y t =，666log z t =， ∵33433log 3log 4144log 4x t y t ==<，∵34x y <， ∵44644log 2log 6166log 3y t z t ==<，∵46y z <，∵346x y z <<，故B 错误；对于C ，由1111222z x y xy=+>（2x y ≠），两边平方，可得22xy z >，故C 正确；对于D ，由22xy z >，可得232222222x y xy z z z ⎛⎫+>>=>+ ⎪ ⎪⎝⎭（x y ≠），故D 正确．故选：ACD题型五：分离常数再比较大小【例1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知6log 3a =，8log 4b =，10log 5c =，则（）． A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】D【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．【详解】由题意得， 666261log 3log 1log 212log 6a ===-=-， 888281log 4log 1log 212log 8b ===-=-， 1010102101log 5log 1log 212log 10a ===-=-，因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以222log 6log 8log 10<<，则222111log 6log 8log 10>>，所以a b c <<. 故选：D ．【题型专练】1.设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >> 【答案】D【详解】由题意得，()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =⨯=+=⨯=+=⨯=+357log 2log 2log 2>>，所以可得：a b c >>故选：D ．题型六：利用均值不等式比较大小【例1】（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二期末）73a =，4log 20b =，33log 2log 6c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B【分析】根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可【详解】74133a ==+，4444log 20log 4log 51log 5b ==+=+，333log 2log 61log 4c =+=+，因为433333334log 3log 81log 64log 43==>=，所以a c >，因为2423lg3lg5log 5lg5lg32log 4lg 4lg 4(lg 4)+⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅<222222lg15lg162lg 42221(lg 4)(lg 4)(lg 4)⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<==，43log 51,log 41>>，所以43log 5log 4<，所以c b >，综上a c b >>，故选：B【例2】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）若lg 2lg5a =⋅，ln 22b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，再作差可判断,c b 大小.【详解】()2lg 2lg51lg 2lg544a +=⋅<=，2ln 2ln 41444b ==>，9ln ln 3ln 22ln 33ln 2803266c b --=-==>，则c b >.所以a b c <<. 故选：A ．【题型专练】1．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>．故选：A.2.（2022·河南商丘·高二期末（文））已知log 5a =0.62b =，0.2log 6c =-，则实数a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据换底公式可得,1a c >，再根据换底公式与基本不等式可得c a <，再根据5532b ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得b a >，进而求得大小关系【详解】24log 5log 51a =>=，0.25log 6log 61c =-=>，则()25224lg 4lg 6log 6lg 4lg 62log 5(lg 5)lg 5c a +⎛⎫ ⎪⋅⎝⎭==<()()2222lg 24lg 25221lg 5lg 5⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<=，所以c a <； 243log 5log 52a ==<，()5550.63282b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以32b >，则b a >.所以b a c >> 故选：C.题型七：乘倍数比较小【例1】（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a ，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 【题型专练】1.已知3log 2=a ，4log 3=b ，5log 4=c ，则实数a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a >C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【详解】()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a > 又因()6,5256log 4log 4433∈==b ，()5,4625log 5log 4444∈==c ，所以c b 44>，所以c b > 所以c b a >>，故选B 题型八：构造函数比大小【例1】（2022·全国·高一专题练习）设0a >，0b >，则下列叙述正确的是（） A ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b > B ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b < C ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b > D ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b < 【答案】A【分析】利用函数的单调性分析判断即可【详解】因为ln y x =和2y x =在(0,)+∞上均为增函数，所以()ln 2f x x x =+在(0,)+∞上为增函数，所以()()f a f b >时，得0a b >>，反之也成立，即ln 2ln 2a a b b +>+时，0a b >>，反之也成立，所以ln 2ln 2a b b a ->-时，0a b >>，反之也成立，故选：A【例2】（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若2e 2e x x y y ---<-，则（） A ．()ln 10y x -+C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【答案】B【分析】先构造函数()2e x xf x -=-，通过导函数得到单调性，从而得到x y <，故可通过函数单调性判断出()ln 1ln10y x -+>=，而x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故CD 均错误.【详解】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x xf x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高二阶段练习（理））若1a b >>，且x y x y a a b b --->-，则（） A ．()ln 10x y -+> B ．()ln 10x y -+< C ．ln 0x y -> D ．ln 0x y -<【答案】A【分析】根据题意，构造函数()x xf x a b -=-，利用函数单调性，结合对数函数的性质，即可判断和选择.【详解】因为x y x y a a b b --->-，即x x y y a b a b --->-，故令()x xf x a b -=-，则上式等价于()()f x f y >因为1a b >>，,x x y a y b -==-都是R 上的单调增函数，故()f x 为R 上的单调增函数，则由()()f x f y >，可得x y >，即0x y ->；则11x y -+>，故()ln 10x y -+>，则A 正确；B 错误；因为0x y ->，故无法判断ln x y -的正负，故C ，D 错误. 故选：A .【点睛】本题考查对数函数的单调性，以及函数单调性的应用，属综合中档题；解决问题的关键是根据已知条件，构造函数()x xf x a b -=-，并利用其单调性判断,x y 的大小关系.2.（2022·全国·高一单元测试）已知正实数x ，y 满足21211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．11x y D ．122x y -<【答案】BC【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.【详解】方法一（筛选法）由题意，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当x y >，即1x y >时，2log 0x y >，而1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立．当x y =时，2log 0x y =，11022x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立，故0x y <<，所以11x y >，33x y <，故A 错误，B 正确．0y x ->，则11y x -+>，()ln 10y x -+>，故C 正确．0221x y -<=，故D 不一定正确．故选：BC ．方法二（构造函数法）由题意，2211log log 22x y x y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故由()()f x f y <，得0x y <<，故11x y>，故A 错误．33x y <，B 正确；由x y <，得11y x -+>，故()ln 1ln10y x -+>=，C 正确；0221x y -<=，故D 不一定正确，故选：BC ．。

指、对、幂数比较大小问题【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)2025年新高考数学一轮复习

指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】【题型1 利用函数的性质比较大小】....................................................................................................................2【题型2 中间值法比较大小】................................................................................................................................3【题型3 特殊值法比较大小】................................................................................................................................4【题型4 作差法、作商法比较大小】....................................................................................................................6【题型5 构造函数法比较大小】............................................................................................................................7【题型6 数形结合比较大小】................................................................................................................................9【题型7 含变量问题比较大小】..........................................................................................................................12【题型8 放缩法比较大小】. (14)1、指、对、幂数的大小比较问题指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同时，如1ax 和2ax ，利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如1log a x 和2log a x ，利用指数函数log a x 单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1 利用函数的性质比较大小】【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.【解答过程】a=30.3>30=1，0<b=0.33<1=0.30，c=log0.33<log0.31=0，∴a>b>c.故选：A.，b=1.20.2，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系是【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知a=log213（）A．a<c1.20=1即b>1；因为y=0.5x为减函数，故0<0.52.1<0.50=1即0<c<1，综上a<c<b.故选：A.【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=(log4a)4,c=log4(log4a)，则（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1，利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1，利用对数函数单调性得到c<0，则比较出大小.【解答过程】因为a=40.3>40=1,b=(log4a)4=0.34<1，且0.34>0，则0<b<1，c=log4(log4a)=log40.3<0，所以a>b>c，故选：A.【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知a=log0.20.3，b=ln a，c=2a，则a,b,c的大小关系为（）A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】利用对数函数的单调性求得a,b的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.【解答过程】因为y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减，所以log0.21<log0.20.3<log0.20.2，即0<a<1，因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增，所以ln a<ln1，即b<0，因为y=2x在R上单调递增，所以2a>20，即c>1，综上，c>a>b.故选：D.【题型2 中间值法比较大小】【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知a=e0.1，b=1―2lg2，c=2―log310，则a，b，c的大小关系是（）A．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.【解答过程】由题意可得：a=e0.1>e0=1，b=1―2lg2=1―lg4，且0=lg1<lg4<lg10=1，则0<b<1，因为log310>log39=2，则c=2―log310<0，故选：B.【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a=―12,b=log65,c=log56，则（）A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【解题思路】取两个中间值1和32，由a =>32，b <log 66=1，1=log 55<c <32即可比较三者大小.【解答过程】a =―12=>=32，b =log 65<log 66=1，1=log 55<log 56=c <log =32，因此b <c <a ．故选：C ．【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知a =e ―1，b =lg a ，c =e 0，则（）A ．b <a <c B ．b <c <a C ．a <b <cD ．c <b <a【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.【解答过程】a =e ―1∈(0,1)，b =lg a =lge ―1=―lge <0，c =e 0=1，所以b <a <c ，故选：A.【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a =0.53.1，b =log 0.90.3，c =log 1312，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c log 0.90.9=1，即b >1；可得c =log 1312=log 32，且y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，则12=log <log 32<log 33=1，即12<c <1；综上所述：a <c b >aB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.【解答过程】因为y =log 0.5x 在(0,+∞)上单调递减，所以log 0.51<log 0.50.6<log 0.50.5，即0<a <1.因为y =x 0.6在(0,+∞)上单调递增，又0.49―0.3=0.7―0.6=，0.6―0.6=，又53>107>1>>10.6，故c >b >1，所以c >b >a .故选：A.【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c 满足2a +a =2，2b +b =c =log 163，则（）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a【解题思路】由对数函数单调性得c <12，构造函数f(x)=2x +x,x ∈R ，由函数的单调性得12<a f(12)，即a >12，所以c <a b >d >cB ．a >b >c >dC ．b >d >a >cD ．a >d >b >c【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.【解答过程】因为a =log 1314=log 34>log 33=1<<⇒13b >d >c .故选：A ．【变式3-3】（2024·天津和平·=2,b =log 123―log 129,c =―13，则有（）A ．a c 3得出b,c 大小.=2可得a =log 132<log 131=0，b =log 123―log 129=log 1213=log 23>1，c =―13=213=>0，下面比较b,c ，因为32>=8，所以3>232，所以b =log 23>log 2232=32，而c 3=3=2<=278，故c <32，所以c c >a .故选：B.【题型4 作差法、作商法比较大小】【例4】（2023·四川成都·一模）若a =3―14，b =―13，c =log 1225，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a【解题思路】先根据指对函数的单调性可得0<a <1，01，再作商比较a,b 的大小，从而可求解.【解答过程】因为0<a =3―14<30=1，0log 12510>log 1212=1，所以c >b >a .故选：D.【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若a =ln22，b =ln33，c =ln55，则（）A ．a 0，所以b >a ；又因为c ―a =ln55―ln22=2ln5―5ln210=ln25―ln3210<0，所以a >c ；综上所述：c <a <b .故选：C.【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若a =ln 26,b =4ln2⋅ln 3,c =(1+ln3)2，则a,b,c 的大小关系是（）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <a <c【解题思路】作差法比较a,b 的大小，利用对数的性质比较a,c 的大小.【解答过程】a =ln 26=(ln2+ln3)2，c =(lne +ln3)2因为ln2+ln3<lne +ln3，所以(ln2+ln3)2<(lne +ln3)2，即a <c ，a =ln 26=(ln2+ln3)2，b =4ln2⋅ln3，则a ―b =(ln2+ln3)2―4ln2⋅ln3=(ln2―ln3)2>0，即b <a ，所以b <a <c .故选：D.【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若a =20.4,b =30.25,c =log 0.70.5，则a,b,c 的大小关系为（）A ．a 1，所以b <a <因为0.52=0.25<0.343，故0.5<=0.732,y =log 0.7x 在(0,+∞)上单调递减，所以log 0.70.5>log 0.70.732=32>a <c ，所以实数a,b,c 的大小关系为b <a <c ，故选：B ．【题型5 构造函数法比较大小】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知a =ln 72，b =ln7×ln2，c =ln7ln2，则（）A ．b <c <aB ．b <a <cC ．a ln7，故c 的值最大．下面比较a ，b 的大小．构造函数f (x )=ln x ―ln2―ln x ⋅ln2=(1―ln2)ln x ―ln2，显然f (x )在(0,+∞)上单调递增．因为f (8)=ln8―ln2―ln8⋅ln2=ln2(2―ln8)=ln2(lne 2―ln8)<0，所以a ―b =f (7)<f (8)<0，所以a b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.【解答过程】先比较a 和b ，构造函数y =x 4在上(0,+∞)单调递增，∵5=5>625256=，∴514>54，即a >b ；又∵4b =5，4c =4log 45=log 454，且45=4×256>54=625，∴ 4c =log 454<log 445=5=4b ，∴b >c ，∴a >b >c .故选：A.【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a =log 0.20.3,b =log 0.30.2,c =log 23，则a,b,c 的大小关系为（）A ．b <c <aB ．c 1，c =log 23>1，又b c=log 0.30.2⋅log 32=lg2―1lg3―1⋅lg2lg3=lg 22―lg2lg 23―lg3，因为函数f (x )=x 2―x =x―14，在0,f (0)=0，又因为12>lg3>lg2>0，所以f (lg3)<f (lg2)<0，所以f (lg2)f (lg3)<1，即lg 22―lg2lg 23―lg3<1，所以bc <1，∴b <c ，即a <b <c ．故选：C ．【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c 满足a 2+log 2a =0,2023―b =log 2023b,c =log 7）A ．a 0，所以12<a <1；设g(x) =―log 2023x ， g(x)在(0,+∞)上单调递减，又g(1)=12023>0,g(2023)=―1<0，所以1< b <2023，因为c =log <log =12，所以c <12.综上可知，c <a log 3π=b >log 33=1，即a >b >1，∵a =ln π=2, c ==ln2下面比较2与 y =x 2与y =2x ，由指数函数y =2x 与幂函数y =x 2的图像与单调性可知，当x ∈(0,2)时，x 2<2x ；当x ∈(2,4)时，x 2>2x由x =(0,2)，故2 <ln π<a < c ，所以b <a <c ，故选：A.【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若log 3x =log 4y =log 5z <―1，则（）A ．3x <4y <5zB ．4y <3x <5zC ．4y <5z <3xD ．5z <4y <3x【解题思路】设log 3x =log 4y =log 5z =m <―1，得到x =3m ,y =4m ,z =5m ，画出图象，数形结合得到答案.【解答过程】令log 3x =log 4y =log 5z =m <―1，则x =3m ,y =4m ,z =5m ，3x =3m +1,4y =4m +1,5z =5m +1，其中m +1<0，在同一坐标系内画出y =3x ,y =4x ,y =5x ，故5z <4y <3x 故选：D.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知a ==log a b,a c =log 12c ，则实数a,b,c 的大小关系为（）A ．a a ，根据单调性得到c =c<=a ，从而得到答案.【解答过程】令f (x )=―x ，其在R 上单调递减，又f (0)=1>0,f (1)=12―1=―12<0，由零点存在性定理得a ∈(0,1)，则y =log a x 在(0,+∞)上单调递减，画出y 1=与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈(0,1)，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c ∈(0,1)，<=1，故log a b <1=log a a ，故b >a ，因为a,c ∈(0,1)，故a c >a 1=a ，由a c=log 12c 得，c =c<=a ．综上，c <a y >zB ．x >z >yC ．z >x >yD ．z >y >x【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y =2x ,y =3x ,y =log 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.【解答过程】解：因为x,y,z 均为大于0的实数，所以2x =3y =log 5z =t >1，进而将问题转化为函数y =2x ,y =3x ,y =log 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，故作出函数图像，如图，由图可知z >x >y 故选：C.【题型7 含变量问题比较大小】【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设a ､b ､c 都是正数，且4a =6b =9c ，则下列结论错误的是（）A ．c 1，所以a =log 4k =1log k 4，b =log 6k =1log k 6，c =log 9k =1log k 9，A.由对数函数的单调性可知，0<log k 4<log k 6<log k 9，可知c <b <a ，故A 正确；B.b (a +c )==1log k6⋅log k 36logk 4⋅log k 9=1log k6⋅2log k 6logk 4⋅log k 9=2logk 4⋅log k 9=2ac ，故B 错误；C.4a ⋅9c =(6b )2=36b =(4⋅9)b =4b ⋅9b ，故C 正确.D.1a +1c =log k 4+log k 9=log k 36=2log k 6=2b ，则1c =2b ―1a ，故D 正确.故选：B.【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若a e a =b ln b (a >0)，则（）A ．a <bB ．a =bC ．a >bD ．无法确定【解题思路】令a e a =b ln b =k ，k >0，构造函数，作出函数图象，即可比大小.【解答过程】因为a >0，所以a e a >a >0，因为a e a=b ln b，所以b ln b>0，可得b>1，令a e a=b ln b=k，k>0，所以e a=ka ,ln b=kb，设f(x)=e x，g(x)=ln x，ℎ(x)=kx，作出它们的图象如图：由图可知a<b.故选项A正确.故选：A.【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且ln c=a ln b,ln a=b ln c，则a,b,c的大小关系是（）A．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【解题思路】分析可知，ln a、ln b、ln c同号，分a、b、c∈(0,1)和a、b、c∈(1,+∞)两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】∵ln c=a ln b,ln a=b ln c且a、b、c均为不等于1的正实数，则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.①若a、b、c∈(0,1)，则ln a、ln b、ln c均为负数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈(1,+∞)，则ln a、ln b、ln c均为正数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足e c+e―2a=e a+e―c，b=log23+log86，c+log2c=2，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据e c+e―2a=e a+e―c可得e c―e―c=e a―e―2a，由此可构造函数f(x)=e x―e―x，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；c+log2c=2变形为log2c=2―c，利用函数y=log2x与函数y=2―x的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．【解答过程】e c+e―2a=e a+e―c⇒e c―e―c=e a―e―2a，故令f(x)=e x―e―x，则f(c)=e c―e―c，f(a)=e a―e―a．和y=e x均为(0,+∞)上的增函数，故f(x)在(0,+∞)为增函数．易知y=―e―x=―1e x∵e―2a<e―a，故由题可知，e c―e―c=e a―e―2a>e a―e―a，即f(c)>f(a)，则c>a>0．易知b=log23+log=log2>2，log2c=2―c，作出函数y=log2x与函数y=2―x的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在(1,2)内，即1<c<2，∴c<b，∴a<c<b．故选：B．【题型8 放缩法比较大小】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=log312,c=log26,d=）A．a>b>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【解题思路】由题意首先得0<a<1,d=<0，进一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2，从而我们只需要比较log34,log23的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.【解答过程】a =0.311.5<0.310=1，所以0<a <1,d =<0，b =log 312=1+log 34>2,c =log 26=1+log 23>2，又因为log 34log 23=ln4⋅ln2ln3⋅ln3<=<1，所以b <c ，即d <a b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．c >a >b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.【解答过程】因为a =log 35=12log 325<12log 327=32，34=<=b =>32且b <2，c =3log 72+log 87=log 78+log 87>=2，所以c >b >a .故选：B.【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a ==6―34,c =log 53―29log 35，则（）A ．a =<=13，故b ∈c =log 53―29log 35=13log 527―19log 325>13log 525―19log 327=23―13=13，所以a 0,c >0，利用比商法结合基本不等式证明c 0，c =ln2.1>0，所以c b=ln2.1log 3.1e=ln2.1×ln3.1<==，又e 2≈7.389<e ，所以<lne =1，所以cb <1，故c e 2，所以>1，所以a <ln2，又ln2<ln2.1=c ，所以a <c ，所以a <c <b ，故选：A.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）设a =log 62，b =log 123，c =log 405，则（）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】取到数计算得1b =1+2lg2lg3，1c=1+3lg2lg5，作差法比较1b ,1c的大小，即可得到b,c 大小，利用中间值25即可比较a,c 大小.【解答过程】∵1b =log 312=1+log 34=1+lg4lg3=1+2lg2lg3，1c=log 540=1+log 58=1+lg8lg5=1+3lg2lg5，∴1b ―1c =2lg2lg3―3lg2lg5=2lg2×lg5―3lg2×lg3lg3×lg5=lg2(2lg5―3lg3)lg3×lg5=lg2(lg25―lg27)lg3×lg5<0，∴1b <1c ，又b >0，c >0，∴b >c .∵1c =1+log 58<1+log =1+log 5532=52，∴c >25；∵1a =log 26=1+log 23>1+log =1+log 2232=52，∴a <25，∴a <c .∴a <c 0>bB ．b >0>aC ．a >b >0D ．b >a >0【解题思路】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得log 23>log 34>log 45，即可判断大小.【解答过程】由3m =4⇒m =log 34，log 23―log 34=lg3lg2―lg4lg3=lg 23―lg2⋅lg4lg2⋅lg3>=4lg 23―lg 284lg2⋅lg3=lg 29―lg 284lg2⋅lg3>0，log 34―log 45=lg4lg3―lg5lg4=lg 24―lg3⋅lg5lg3⋅lg4>=4lg 24―lg 2154lg3⋅lg4=lg 216―lg 2154lg3⋅lg4>0，∴log 23>log 34>log 45，∴b =4m ―5>4log 45―5=0，a =2m ―3<2log 23―3=0，∴b >0>a .故选：B.3．（2024·贵州毕节·一模）已知a =3log 83，b =―12log 1316，c =log 43，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．b >a >ca,b,c ，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断a >b ，即可得答案.【解答过程】由题意可得a =3log 83=3×log 23log 223=log 23>1，b =―12log 1316=―12×log 316log 313=log 34>1，0<c =log 43<1，又log 23―log 34=lg3lg2―lg4lg3=(lg3)2―lg2lg4lg2lg3，由于lg2>0,lg4>0，lg2≠lg4,∴lg2lg4<(lg2+lg42)2=2<(lg3)2，故log 23―log 34>0,∴a >b ，综合可得a >b >c ，故选：A.4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设a =，b =，c =log 34(log 34)，则（）A ．c =1；由y =的值域，且在R 上单调递增可知，0log 33=1，由y =log 34x 在(0,+∞)上单调递减，故c =log 34(log 34)<log 341=0.结合上述分析可知：c <0c >bB ．a >b >cC ．b >c >aD ．c >b >a【解题思路】引入中间变量1，再利用作差法比较b,c 的大小，即可得答案；【解答过程】∵ a =e 13>e 0=1，b =ln2<lne =1，c =log 32<log 33=1∴ a 最大，∵ b ―c =ln2―log 32=lg2lge―lg2lg3=lg2⋅>0，∴ b >c ，∴ a >b >c ，故选：B.6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数a,b,c 满足e 2a 2=e 3b 3=e 5c 5=2，则（）A ．a >b >cB ．a a >cD ．c >a >b【解题思路】先应用指对数转换求出a,b,c ,再转化成整数幂比较即可.【解答过程】因为e 2a2=e 3b 3=e 5c 5=2,所以e 2a =4,e 3b =6,e 5c =10,即得2a =ln 4,3b =ln 6,5c =ln10得a =ln 2,b ==因为y =ln x 是(0,+∞)上的增函数,比较a,b,c ,的大小关系 ,15次幂,因为幂函数y =x 15在(0,+∞)上是单调递增的，比较215,65,103即可,因为215=524288,65=7776,103=1000 所以215>103>65即2>>a >b >c .故选：A.7．（2023·湖南永州·一模）已知a =log 3π,b =1log 3π―1,c =12―log 3π，则（）A ．a 2，c ∈(1,2)，作差法判断出a <c ，从而求出答案.【解答过程】a =log 3π>log 33=1，因为332=>π，所以a =log 3π<log 3332=1.5，所以a ∈(1,1.5)，log 3π―1∈(0,0.5)，故b =1log3π―1>2，2―log 3π∈(0.5,1)，故c =12―log 3π∈(1,2)，令a ―c =log 3π―12―log 3π=2log 3π―(log 3π)2―12―log 3π=―(log 3π―1)22―log 3π<0所以a <c <b .故选：D.8．（2023·陕西西安·一模）已知函数f(x)=―2x ，若2a =log 2b =c ，则（）A ．f(b)<f(c)<f(a)B ．f(a)<f(b)<f(c)C ．f(a)<f(c)<f(b)D ．f(c)<f(b)<f(a)【解题思路】在同一坐标系中作y =c,y =2x ,y =log 2x,y =x 的图像,得到a <c 2―0.001B．log>log2π―1C．log1.85<log1.75D．log33.01>e―0.01【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得log3 3.01>1，由指数函数的性质可得e―0.01<1，即可判断．【解答过程】解：对于A，因为―0.01<―0.001，所以2―0.01<2―0.001，所以A错误；对于B，因为log>log2π2=log2π―1，所以B正确；对于C，因为log1.85>0,log1.75>0，所以log1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log1.75，所以C正确；对于D，因为log33.01>log33=1,e―0.01<e0=1，所以log33.01>e―0.01，所以D正确.故选：BCD．10．（2024·重庆·模拟预测）若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是（）A．b a<c a B．log b a>log c aC．cb a<bc a D．b log c a>c log b a【解题思路】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C;由不等式的性质可判断D.【解答过程】对于A：∵0<a<1，幂函数y=x a在(0,+∞)上单调递增，且b>c>1，∴b a>c a，故选项A错误；对于B：∵0<a<1，∴函数y=log x在(0,+∞)上单调递减，又∵b>c>1，∴log a b<log a c<log a1=0，∴0>1log b c >1log c a，即0>log b a>log c a，故B正确；对于选项C：∵0<a<1，则a―1<0，∵幂函数y=x a―1在(0,+∞)上单调递减，且b>c>1，∴b a―1<c a―1，∴cb a<bc a，故选项C正确；对于选项D：由选项B可知：0>log b a>log c a，∴0<―log b a<―log c a，∵b>c>1，∴c(―log b a)<b(―log c a)，∴b log c a<c log b a，故D错误.故选：BC.11．（2024·重庆·一模）已知3a=5b=15，则下列结论正确的是（）A．lg a>lg b B．a+b=abC>D．a+b>4【解题思路】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.【解答过程】由题意得a=log315>log31>0，b=log515>log51=0，0<1a =log153，0<1b=log155，则0<1a<1b，则a>b>0，对A，根据对数函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增，则lg a>lg b，故A正确；对B，因为1a +1b=log153+log155=1，即a+bab=1，则a+b=ab，故B正确；对C，因为a>b>0，根据指数函数y=在R<，故C错误；对D，因为a>b>0，1a +1b=1，a+b=(a+b=2+ba +ab≥2+=4，当且仅当a=b时等号成立，而显然a≠b，则a+b>4，故D正确；故选：ABD.三、填空题12．（2023·北京昌平·二模）3―2,213,log25三个数中最大的数是log25.【解题思路】利用特殊值1和2作为“桥梁”比较大小即可.【解答过程】∵1<213=<23―2==19<1，log25>log24=2，∴log25>213>3―2，即三个数中最大的数是log25.故答案为：log25.13．（2024·北京通州·三模）已知a=2―1.1，b=log1413，c=log23，则三者大小关系为a<b<c（按从小到大顺序）【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.【解答过程】因为a=2―1.1<2―1=12，b=log1413=log43>log42=12，且b=log1413=log43<1，c=log23>log22=1，故a<b<c，故答案为：a 1，c =―12，从而得到大小关系.【解答过程】因为y =在(0,+∞)上单调递减，1>>故a =<=1且a =>=0，所以a ∈(0,1)，因为y =在R 上单调递减，<0，所以b =>=1，c ==lne―12=―12，故c <a e ，所以lnπ>lne =1，即x =lnπ∈(1,+∞)因为1<2<5，所以0=log 51<log 52<log 55=1，即log 52∈(0,1)，所以x >y ；（2）y =log 52<log =12，且log 52>0，所以log 52∈0,z =e ―12=>=12，所以e ―12∈+∞，所以y <z .16．（23-24高三·全国·对口高考）（1）比较a a b b 与b a a b (a >0,b >0)的大小；（2）已知a >2，比较log (a―1)a 与log a (a +1)大小【解题思路】（1）利用作商法，分类讨论即可；（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.【解答过程】（1）因为a>0,b>0，所以a a b bb a a b=，所以①当a=b>0时，a a b bb a a b==1，所以a a b b=b a a b，②当a>b>0时，ab>1,a―b>0，>1，所以a a b b>b a a b，③当b>a>0时，0<ab<1,a―b<0，>1，所以a a b b>b a a b，综上所述：当a>0,b>0，a a b b≥b a a b.（2）log(a―1)a―log a(a+1)=lg alg(a―1)―lg(a+1)lg a=lg2a―lg(a+1)lg(a―1)lg a lg(a―1)，因为a>2，所以lg(a+1)>0,lg(a―1)>0,lg a>0，所以lg a lg(a―1)>0，由lg(a+1)lg(a―1)<=<=lg2a，所以lg2a―lg(a+1)lg(a―1)>0，所以lg2a―lg(a+1)lg(a―1)lg a lg(a―1)>0，即log(a―1)a―log a(a+1)>0，故log(a―1)a>log a(a+1).17．（23-24高一·湖南·课后作业）比较a，b，c的大小：(1)已知1<x<2，a=(log2x)2，b=log2x2，c=log2(log2x)；(2)已知a=log36，b=log510，c=log714．【解题思路】(1)根据1<x<2，求出log2x的范围，由此判断c＜0，0＜a＜b；(2)a=1+log32，b=1+log52，c=1+log72，由换底公式比较log32,log52,log72大小即可.【解答过程】（1）∵1<x<2，∴0=log21<log2x<log22=1，即log2x∈(0,1)，∴c=log2(log2x)<log21=0，a=(log2x)2<(log2x)1=log2x，∴0＜a<log2x，∴b=log2x2=2log2x>log2x>a，∴c＜0＜a＜b，∴c<a<b；（2）∵a=log36=log3(3×2)=1+log32，b=log510=log5(5×2)=1+log52，c=log714=log7(7×2)=1+log72，又∵0<lg3<lg5<lg7，∴lg2lg3>lg2lg5>lg2lg7，∴log32>log52>log72，∴1+log32>1+log52>1+log72，即a＞b＞c﹒18．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足3x=4y=6z．（1）求证：1z ―1x=12y；（2）比较3x,4y,6z的大小．【解题思路】（1）令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化求出x,y,z，再利用对数的运算即可的证得结果；（2）因为正实数x，y，z，利用作商法可证明大小关系.【解答过程】（1）证明：令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化知x=log3m，y=log4m，z=log6m则1x =log m3，1y=log m4，1z=log m6∴1z ―1x =log m 6―log m 3=log m 2=12y .（2）3x <4y <6z证明：因为正实数x ，y ，z ，∴3x >0, 4y >0, 6z >0，∴3x 4y =3log 3m 4log 4m =3lg m lg34lg m lg4=34×lg4lg3=34log 34=log<3，∴log <1，∴3x <4y∴4y 6z =4log 4m 6log 6m =4lg m lg46lg m lg6=23×lg6lg4=23log 46=log<2，∴log <1，∴4y <6z ∴3x <4y <6z ．19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知函数f(x)=x 2x 2+1(1)判断并证明函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)已知a =f (20.5),b =f (log 25),c =f (0.25)，试比较三个数a ，b ，c 的大小，并说明理由．【解题思路】（1）根据函数单调性的定义判断和证明即可；（2）先比较20.5,log 25,0.25三个数的大小，再利用函数f (x )的单调性即可比较a ，b ，c 的大小.【解答过程】（1）函数f(x)=x 2x 2+1=1―1x 2+1，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2则f(x1)―f(x 2)=1―1x 21+1―1―=1x 22+1―1x 21+1 =22=因为x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，所以x 22+1>0,x 21+1>0，x 1―x 2<0，x 1+x 2>0所以f(x 1)―f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数.（2）因为20.5>20=1，2=log 24<log 25<log 28=3，0<0.25<0.20=1，所以0<0.25<20.5<log 25，由（1）可知函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数，所以f (0.25)<f (20.5)<f (log 25)，即c <a <b .。

第二章函数、导数及其应用第五节指数与指数函数

n
n
零的n次方根是 a 零负数没有偶次方根
± a(a＞0)
(2)两个重要公式
a n为奇数， ____ n n a a≥0， ____ ① a ＝ |a|＝－a n为偶数。 ____a＜0
n a____(注意a必须使 n a有意义)。 ②( a)n＝__
解析设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a(1＋p%)，第二年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第三年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%) ＝a(1＋p%)3，…，则y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m且x∈N)。故选B。答案 B
3．(必修1P60B组T2改编)已知x ________。
1 1 由函数y＝a 的图象向下平移aa>1 个单位长度得到的，结合各选项知选D。
x
答案 D
1 解析：函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，故选D。
3．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b＝________。
解析 (2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则 m的取值范围是(0,1)。答案 (2)(0,1)
2．有理数的指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a
m n
m a ＝______(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)。
n
1
②负分数指数幂：a
－n
1
n
m
a am a＞0，m、n∈N*，且n＞1)。＝_____ ＝______(

2013年北师大必修1示范教案3.3.3指数函数的图像和性质(2)

3．3指数函数的图像和性质(2)导入新课思路1.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图像的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图像之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图像，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m ∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题．思路 2.我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本堂课要解决的问题．推进新课新知探究提出问题1指数函数有哪些性质？2利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？3对复合函数，如何证明函数的单调性？4如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图像和性质．一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质如下表所①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f[g(x)]可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图像或从已知图像观察，若图像关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例思路1例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图像，并指出它们与指数函数y＝2x的图像的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图像的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．24图1比较可知函数y＝2x＋1，y＝2x＋2与y＝2x的图像的关系为：将指数函数y＝2x的图像向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图像；将指数函数y＝2x的图像向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图像．图2比较可知函数y＝2x－1，y＝2x－2与y＝2x的图像的关系为：将指数函数y＝2x的图像向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图像；将指数函数y＝2x的图像向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图像．点评：类似地，我们得到y ＝a x 与y ＝a x ＋m (a ＞0，a ≠1，m ∈R )之间的关系：y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )的图像可以由y ＝a x 的图像变化而来．当m ＞0时，y ＝a x 的图像向左移动m 个单位得到y ＝a x ＋m 的图像；当m ＜0时，y ＝a x 的图像向右移动|m |个单位得到y ＝a x ＋m 的图像．上述规律也简称为“左加右减”．变式训练为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x 的图像( )．A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案：B点评：对于有些复合函数的图像，常用变换方法作出.例2 已知－1＜x ＜0，比较3－x,0.5－x 的大小，并说明理由．活动：学生审题，考虑解题思路，教师提示：比较大小时一般借助于函数的性质，当不能直接进行比较时，往往寻求中间量，如1，由于－1＜x ＜0，所以0＜－x ＜1，而3＞1，有3－x ＞1.同理0＜0.5＜1.故有0＜0.5－x ＜1.两数的大小可以比较．解：因为－1＜x ＜0，所以0＜－x ＜1.而3＞1，因此有3－x ＞1.又0＜0.5＜1，因而有0＜0.5－x ＜1.故3－x ＞0.5－x .点评：寻求中间量比较大小是常用的比较大小的方法．思路2例1 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋a e x 在R 上满足f (－x )＝f (x )． (1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．活动：学生先思考或讨论，如果有困难，教师提示，引导．(1)求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f (－x )＝f (x )可建立方程．(2)证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式．(1)解：依题意，对一切x ∈R 有f (－x )＝f (x )成立，即1a e x ＋a e x ＝e x a ＋a e x . 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a ＝0，即a 2＝1. 又因为a ＞0，所以a ＝1.(2)证明：设0＜x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 1－e x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝e x 1(e x 2－x 1－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e x 1＋x 2e 1＋2. 由x 1＞0，x 2＞0，x 2－x 1＞0，得x 2＋x 1＞0，e x 2－x 1－1＞0,1－e x 2＋x 1＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．点评：在已知等式f (－x )＝f (x )成立的条件下，对应系数相等，求出a ，也可用特殊值求解．证明函数的单调性，严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观．例2 已知函数f (x )＝3x ，且x ＝a ＋2时，f (x )＝18，g (x )＝3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )的单调区间，确定其增减性并用定义证明；(3)求g (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝3x ，且x ＝a ＋2时f (x )＝18，所以f (a ＋2)＝3a ＋2＝18.所以3a ＝2.所以g (x )＝3ax －4x ＝(3a )x －4x .所以g (x )＝2x －4x.(2)因为函数g (x )的定义域为[0,1]，令t ＝2x ，因为x ∈[0,1]时，函数t ＝2x 在区间[0,1]上单调递增，所以t ∈[1,2]，则g (t )＝t －t 2＝－(t 2－t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，t ∈[1,2]．因为函数t ＝2x 在区间[0,1]上单调递增，函数g (t )＝t －t 2在t ∈[1,2]上单调递减，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减．证明：设x 1和x 2是区间[0,1]上任意两个值，且x 1＜x 2， g (x 2)－g (x 1)＝2x 2－4x 2－2x 1＋4x 1＝(2x 2－2x 1)－(2x 2－2x 1)(2x 2＋2x 1)＝(2x 2－2x 1)(1－2x 1－2x 2)，因为0≤x 1≤x 2≤1，所以2 x 2＞2x 1，且1≤2x 1＜2,1＜2 x 2≤2.所以2＜2x 1＋2x 2＜4.所以－3＜1－2x 1－2x 2＜－1，可知(2x 2－2x 1)(1－2x 1－2x 2)＜0.所以g (x 2)＜g (x 1)．所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减．(3)因为函数g (x )在区间[0,1]上单调递减，所以x ∈[0,1]时，有g (1)≤g (x )≤g (0)．因为g (1)＝21－41＝－2，g (0)＝20－40＝0，所以－2≤g (x )≤0.故函数g (x )的值域为[－2,0]．点评：此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题，要通盘考虑．知能训练求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1＋2x |＋|x －2|的单调区间．活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答．解：由题意可知2与－12是区间的分界点．当x ＜－12时，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－2x －x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－3x ＝23x －1＝12·8x ，所以此时函数为增函数．当－12≤x ＜2时，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2x －x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋x ＝2－3－x ＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以此时函数为减函数．当x ≥2时，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2x ＋x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1＝21－3x ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫18x ，所以此时函数为减函数．当x 1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，2，x 2∈[2，＋∞)时，因为2·⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 2－18·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝2·2－3x 2－2－3·2x 1＝21－3x 2－2－3－x 1，又因为1－3x 2－(－3－x 1)＝4－3x 2＋x 1＝4＋x 1－3x 2＜0，所以1－3x 2＜－3－x 1，即2·⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 2＜18·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1. 所以此时函数为减函数．综上所述，函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减．拓展提升设m ＜1，f (x )＝4x4x ＋2，若0＜a ＜1，试求： (1)f (a )＋f (1－a )的值；(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31 001＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001的值．活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决．解：(1)f (a )＋f (1－a )＝4a 4a ＋2＋41－a 41－a ＋2＝4a 4a ＋2＋44a 44a ＋2＝4a 4a ＋2＋44＋2·4a ＝4a 4a ＋2＋22＋4a ＝4a ＋24a ＋2＝1. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31 001＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9991 001＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5001 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5011 001 ＝500×1＝500.点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问号是衔接的，利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形，要注意问号与问号之间的联系．课堂小结本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图像的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高．作业习题3—3 B 组3,6.设计感想指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性，但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数，同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数，判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心，严格按规定的要求，有时借助数形结合可帮我们找到解题思路，本堂课是在以前基础上的提高与深化，同时又兼顾了高考常考的内容，因此涉及面广，容量大，要集中精力，加快速度，高质量完成教学任务．备课资料富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针．这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息．这些款过了100年增加到131 000英镑．我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年．在第二个100年末了，这笔款增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理．过此之后，我可不敢主张了！”你可曾想过：区区的1 000英镑遗产，竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断．y n ＝m (1＋a )n 就是复利公式，其中m 为本金，a 为年利率，y n 为n 年后本金与利息的总和．在第一个100年末富兰克林的财产应增加到：y100＝1 000(1＋5%)100＝131 501(英镑)，比遗嘱中写的还多出501英镑．在第二个100年末，遗产就更多了：y100＝131 501(1＋5%)100＝4 142 421(英镑)．可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的．遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌．威名显赫的拿破仑，由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征．由于连年征战，拿破仑忘却了这一诺言！1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要求法国政府在拿破仑的声誉和1 375 596法郎的债款中，两者选取其一．这笔巨款就是三个金路易的本金，以5%的年利率，在97年的指数效应下的产物．(设计者：刘玉亭)。

幂的乘方与积的乘方帮你比较幂的大小

帮你比较幂的大小在学习幂的运算中，我们经常会遇到幂的大小比较问题，不少同学感到无从下手，下面介绍几种常用方法，供同学们参考．一、化幂的底数为相同后，通过比较指数的大小来确定幂的大小例1若a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c大小关系是（）A．a>c>b B．a>b>c C．a<b<c D．b>c>a分析：由于幂比较大，直接计算很不现实，观察发现，其底数都可以转化为3，这样只需要比较其指数即可．解：因为8131=(34)31=3124，2741=(33)41=3123，961=(33)61=3122，而124>123>122,所以a>b>c，故选B．二、化幂的指数为相同后，通过比较底数的大小来确定幂的大小例2 已知a=2444，b=3333，c=5222，则a，b，c大小关系是（）A．a>b>c B．c>b>a C．a<ca>c分析：无法直接计算，又不能把底数化为相同，可考虑先找出其指数的最大公约数，逆用幂的乘方运算性质，把它们的指数化为相同，这样只需比较其底数即可．解：因为444，333，222的最大公约数为111，所以a=2444=(24)111=16111，b=3333=(33)111=27111，c=5222=(52)111=25111．而16<25<27，所以16111<25111<27111，即a<c<b，故选C．三、将幂乘方后，通过比较乘方所得数的大小来确定幂的大小例3已知a3=3，b5=4，比较a、b的大小．分析：显然不能直接求出a、b值再比较，可先将它们各自乘方，使乘方后幂的指数为原各指数的最小公倍数，然后再比较所得数的大小．解：因为(a3)5= a15=35=243，(b5)3= b15=43=64，而243>64，所以a15> b15，所以a>b．四、利用中间量传递来确定幂的大小例4 比较1516和3313的大小．分析：既不能化为同底，又无法化为同指数，因此不能上面介绍的方法比较它们的大小．观察两个底数，15接近16，33接近32，而16与32都可以表示为以2为底的幂的形式，可通过比较中间量的大小来确定幂的大小．解：因为1516<1616=(24)16=264，3313>3213=(25)13=265，而265>264，所以3313>1516．练习：1．已知a=1631，b=841，c=461，则a，b，c的大小（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>b> a D．b>c>a2．比较255，344，533，622的四个数的大小．3．已知m3=2，n5=3，比较m、n的大小．4．比较2616和8213的大小．参考答案：1．A．2．533>344>622>255．3．m>n．4．2616<8213．。

不等式的基本性质(原卷版)

3.1 不等式的基本性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=．比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b ①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0b a b a -=⇔=．对于任意实数a 、b ，a b >，a b =，a b <三种关系有且只有一种成立．知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：（1）对称性：a b b a >⇔< （2）传递性：, a b b c a c >>⇒>（3）可加性：a b a c b c >⇔+>+（c ∈R ）（4）可乘性：a >b ，000c ac bc c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩运算性质有：（1）可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+ （2）可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅> 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=．作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小．①1aa b b>⇔>； ②1aa b b<⇔<；③1aa b b=⇔=．中间量法：若a b >且b c >，则a c >（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系题型二：作差法比较两数（式）的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系例1．（2022·湖南·怀化五中高二期中）用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于300元（）． A ．300a ≤ B ．300a ≥ C ．300a > D ．300a <例2．（2022·全国·高一专题练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1．2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0．8元．设该医院每月所需口罩()n n *∈N 个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（） A ．800n > B ．5000n >C ．800n <D ．5000n <例3．（2022·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母(),a b a b ≠的不等式表示出来（）A ．()2212a b ab +> B ．()2212a b ab +< C ．()2212a b ab +≥ D ．()2212a b ab +≤例4．（2022·上海·上外附中高一期中）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的()*1N k k∈，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．例5．（2022·全国·高一课时练习）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2100h ；预计此产品明年销售量至少80000袋；每袋需用4h ；每袋需用原料20kg ；年底库存原料600t ，明年可补充1200t ．试根据这些数据预测明年的产量x （写出不等式（组）即可）为________．【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路（1）读懂题意，找准不等式所联系的量．（2）用适当的不等号连接．（3）多个不等关系用不等式组表示．题型二：作差法比较两数（式）的大小例6．（2022·江西·九江县第一中学高二期中（理））若0,01a b ><<，则2,,a ab ab 的大小关系为（） A ．2a ab ab >> B ．2a ab ab << C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>例7．（2022·江苏·高一）已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（） A ．x y > B ．x y < C ．x y =D ．无法确定例8．（2022·河南河南·高二期末（文））若0a b >>，c 为实数，则下列不等关系不一定成立的是（）． A ．22ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．a c b c +>+例9．（2022·全国·高一专题练习）下列四个代数式①4mn ，①224+m n ，①224m n +，①22m n +，若0m n >>，则代数式的值最大的是______．（填序号）．例10．（2022·江苏·高一）（1）比较231x x -+与221x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--．【方法技巧与总结】作差法比较大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例11．（2022·上海崇明·二模）如果0,0a b <>，那么下列不等式中正确的是（） A ．22a b D ．11a b<例12．（2022·上海交大附中模拟预测）已知a b <，0c ≥，则下列不等式中恒成立的是（）A ．ac bc ，则下列不等式中一定成立的是（） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．2()0a b c -≥例14．（2022·江苏南京·模拟预测）设a 、b 均为非零实数且a b <，则下列结论中正确的是（） A ．11a b> B ．22a b < C ．2211a b< D ．33a b <【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型四：利用不等式的性质证明不等式例15．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知a b >，0ab >，求证：11a b<；（2）已知0a b >>，0c d <<，求证：a b c d>．例16．（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））（1）33a x y =+，22b x y xy =+，其中x ，y 均为正实数，比较a ，b 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c>--．例17．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：（1）若a b <，0c <，则()0a b c ->；（2）若0a <，10b -<<，则2a ab ab <<．例18．（2022·全国·高一专题练习）（1）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a b b +≤c dd+；（2）已知c >a >b >0，求证：a bc a c b>--例19．（2022·全国·高一专题练习）已知三个不等式：①0ab >；①c da b>；①bc ad >．若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程．例20．（2022·江苏·高一专题练习）（1）设0b a >>，0m >，证明：a a m b b m+<+；（2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y zx y y z z x<++<+++．例21．（2022·全国·高一专题练习）若0a b >>，0c d <<，||||b c > （1）求证：0b c +>；（2）求证：22()()b c a da cb d ++<--；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()b c a c +<-所求式2()a db d +<-？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明（1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a ，b 有0a b a b ->⇒>；0a b a b -=⇒=；0a b a b -<⇒<．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．题型五：利用不等式的性质比较大小例22．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（文））设2a =73b =62c =则a ，b ，c 的大小关系__________．例23．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知1t >，且1x t t =+1y t t =-则x ，y 的大小关系是______．例24．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（） A ．d a 例25．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））若a 是实数，210P a a +，2264Q a a ++P ，Q 的大小关系是（）A ．Q P >B ．P Q =C ．P Q >D ．由a 的取值确定例26．（多选题）（2022·湖南·长郡中学高二期中）若0a b <<，0c >，则下列不等式中一定成立的是（） A ．a c b c +<+ B ．ac bc <C ．c c a b <D ．11a b a b->-例27．（多选题）（2022·山西运城·高二阶段练习）已知0b a <<，则下列选项正确的是（） A ．22a b > B ．a b ab +< C ．||||a b < D ．2ab b >例28．（2022·江苏·高一课时练习）（1）已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小．（2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，p ＝a 2＋b 2＋c 2，q ＝ab ＋bc ＋ca ，试比较p 与q 的大小．例29．（2022·江苏·高一课时练习）已知10x y -<<<，比较1x，1y ，2x ，2y 的大小关系．【方法技巧与总结】注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例30．（2022·福建·厦门市国祺中学高一期中）若13a b -<+<，24a b <-<，23t a b =+，则t 的取值范围为______．例31．（2022·江苏·苏州大学附属中学高一阶段练习）若实数x ，y 满足121x y -≤+≤且131x y -≤+≤，则9x y +的取值范围是_____________．例32．（2022·全国·高一期中）已知0b >，且445b a c b a c b -≤-≤-≤-≤，则9a cb-的取值范围是___________．例33．（2022·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若实数,αβ满足11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，则3αβ+的取值范围为________．例34．（2022·河南·西平县高级中学高一阶段练习）已知实数,x y 分别满足，15x <<，27y <<．（1）分别求23x y +与45x y -的取值范围；（2）若,x y <试分别求x y -及xy的取值范围．例35．（2022·江苏·高一专题练习）已知15a b ≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围．例36．（2022·江苏·高一专题练习）实数,a b 满足32a b -≤+≤，14a b -≤-≤．（1）求实数,a b 的取值范围；（2）求32a b -的取值范围．例37．（2022·全国·高一专题练习）（1）若1260a ，1536b ，求2a b -，a b的取值范围；（2）已知x ，y 满足1122x y -<-<，01x y <+<，求3x y -的取值范围．例38．（2022·安徽·阜阳市耀云中学高二期中）已知122a b -<+<且34a b <-<，求5a b +的取值范围．例39．（2022·全国·高一课时练习）设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，求47x y的取值范围．【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知2030,1518x y x y <+<<-<，要求23x y +的范围，不能分别求出,x y 的范围，再求23x y +的范围，应把已知的“x y +”“x y -”视为整体，即5123()()22x y x y x y +=+--，所以需分别求出51(),()22x y x y +--的范围，两范围相加可得23x y +的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【同步练习】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（理））如果实数,a b 满足0a b <<，那么（）． A ．0a b ->B ．11a b> C ．ac bc < D ．22a b <2．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具．小王在某段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同．现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，第二种方式是每次加油30升．我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（） A ．第一种B ．第二种C ．两种一样D ．不确定3．（2022·宁夏·银川二中高二期中（文））已知0ab >，且()()332a b a b ++=，则下列不等式一定成立的是（） A ．222a b +≤B ．222a b +C ．2a b +D ．2a b +>4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）下列命题中，正确的是（）A ．若a b >，c d >，则 a c b d +>+B ．若a b >，则ac bc >C ．若0a b >>，0c d >>，则a b c d >D ．若a b >，则22a b >6．（2022·河南·高二期中（文））已知a ，b ，c ∈R ，a b >，且0ab ≠，则下列不等式中一定成立的是（）A ．2a b ab +≥B ．2ab b >C ．22ac bc >D ．33a b > 7．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a a b b ->- B ．11a b b >- C ．11a a b b +>+ D ．11a b b a->- 8．（2022·浙江金华·高三阶段练习）若非负实数x 、y 、z 满足约束条件3135x y z x y z -+≤⎧⎨+-≥⎩，则3S x y z =++的最小值为（）A ．1B ．3C ．5D ．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（）A ．若c c a b >，则a b ，则11a b> C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0,0a b c d >><<，则ac bd < 10．（2022·浙江·温州市第八高级中学高二期中）已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（）A ．39x y <+>，则下列不等式一定成立的是（）A ．xy xz >B ．xy yz >C ．222x z y +>D ．y y z z >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·辽宁·高二阶段练习）已知13a -<<且24b <<，则2a b -的取值范围___________． 14．（2022·广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（文））若7,34(0)P a a Q a a a =+=++≥．则P ，Q 的大小关系__________（用“<”，“≤”，“=”连接两者的大小关系）15．（2022·全国·高三专题练习）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若222a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________．16．（2022·全国·高一课时练习）设,a b ∈R ，则22222a b a b ++≥+中等号成立的充要条件是_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17．（10分）（2022·上海市大同中学高一期中）设x 、y 是不全为零的实数，试比较222x y +与2x xy +的大小，并说明理由．18．（12分）（2022·全国·高一课时练习）设实数a 、b 、c 满足2234644b c a a c b a a ⎧+=-+⎨-=-+⎩试确定a 、b 、c 的大小关系，并说明理由．19．（12分）（2022·广东广雅中学高一阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为2m a ，地板面积为2m b ，（1）若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为2330m ，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为2m t ，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．20．（12分）（2022·福建·福州三中高一阶段练习）证明下列不等式（1）若bc -ad ≥0，bd ＞0，求证：a b c d b d++≤ （2）已知a ＞0，b ＞0，求证：22a b a b b a++≥21．（12分）（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知：实数12,(0,1)x x ∈，求证：不等式121211x x x x +>+ 成立的充分条件是12x x <．22．（12分）（2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）（1）比较3x 与21x x -+的大小；（2）已知a b c >>，且0a b c ++=，①求证：c c a c b c >--． ①求ca 的取值范围．。

幂的大小比较技巧

幂的大小比较技巧在幂的运算中，我们经常会遇到幂的大小比较问题，其常用的方法有如下几种：一、化为指数相同的幂后比较例1 、、的大小关系是（）.A ．<< B. C. D.析解：因为，，，又因为125<243<256，所以，故选B.二、化为底数相同的幂后比较例2 已知，则的大小关系是（）.Ａ. B. C. D.析解：因为，，. 显然，有，故选Ａ.三、利用中间量作比较例３与的大小关系是:_____.（填“>”、“<”或“=”）（２００２年希望杯赛题）析解：因为，而，即<. 故填“<”.四、乘方后作比较例４设，则的大小关系是（）. Ａ. B. C. D.析解：因为，所以，此时；又因为，所以，此时. 503404305503404305305040534<<504030543<<403050453<<()105051033243==()104041044256==()103031055125==305040534<<31416181,27,9a b c ===,,a b c a b c >>a c b >>c b a >>b c a >>()313141248133a ===()414131232733b ===()61612122933c ===a b c >>1615133316151333()131313565643332222>==>()166441616221615==>16151333111534111,,345m n p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,m n p m n p <<m p n <<n p m <m p >3412121111,51254256p n ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212p n >p n >综上可知，,故选C.五、求商后作比较例５已知，则的大小关系是（）. Ａ. B. C. D. 析解：因为，即；，即；，即. 综上可得，，故选A.n p m <<5544332222,33,55,66a b c d ====,,,a b c d a b c d >>>a b d c >>>b a c d >>>a d b c >>>()()()()11115551155544444421121122211352133381311311a b ⎡⎤⨯⨯⎛⎫⨯⎛⎫=====>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⨯⨯⎢⎥⎝⎭⎣⎦a b >()()()()1111444114443333333113113331138911555125511511b c ⎡⎤⨯⨯⎛⎫⨯⎛⎫=====>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⨯⨯⎢⎥⎝⎭⎣⎦b c >()()()()111133311333222222511511555111375166636611611c d ⎡⎤⨯⨯⎛⎫⨯⎛⎫=====>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⨯⨯⎢⎥⎝⎭⎣⎦c d >a b c d >>>。

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备课资料：中间量法比较大小
我们学习了指、对数函数的增减性，并可利用这一性质比较两个指（对）数
的大小.而对于不同底且不同幂（真数）的两指（对）数的大小比较，不能直接利
用指、对数性质来解.下面给同学们介绍一种方法——中间量法.

例1．比较3153)43()54(与的大小.
解：由指数函数xxyy)43()54(与都是减函数知：
.)43()54(,1)43()43(,1)54()54(3132031032
例2．比较4.05.09.08.0与两数的大小.
解一：考查指数函数xy9.0与幂函数5.0xy，根据这二函数的单调性，引入中
间量.9.05.0
∵
;9.09.0,19.00
4.05.0


又∵
.9.08.0,9.08.00,05.0
5.05.0


∴
,9.09.08.0
4.05.05.0

即有.9.08.04.05.0

解二：引入中间量.8.04.0
∵4.05.08.08.0,18.00；
又∵
.9.08.0,9.08.00,04.0
4.04.0


∴
.9.08.0.9.08.08.0
4.05.04.04.05.0
即有

注：对于不同底且不同幂的指数yx与的大小比较，可以架起两座桥梁，沟通这
二数的大小.这二新数是.yx或
例3．比较1.2log2log31.3与两数的大小.
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解一：考查对数函数xy1.3log，根据对数函数的性质，引入中间量1.2log1.3.
.1.2log2log,1.2log1.2log2log,1.2log1.2log,1.3log3log0,3log11.2log,1.3log11.2log,1.2log2log31.331.31.331.31.21.21.231.21.31.31.3

又而

解二：引入中间量2log3（留给同学们练习）.
注：对于nmbaloglog与的两个对数的大小比较，可以架起两座桥梁，沟通这二
数的
大小关系.这两个新数是.loglognmab或