2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第十节抛物线(二) 文
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第九节抛物线(一) 理
第九节 抛物线(一)知识梳理一、抛物线的定义平面内到定点F 的距离等于到定直线l (定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线． 注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．基础自测1．已知抛物线y 2＝2px 上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝8B ．x ＝－8C ．x ＝4D ．x ＝－4解析：由题意得1＋p 2＝5，故p ＝8，所以准线方程为x ＝－p2＝－4，故选D.答案：D1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.理解数形结合的思想.2．一动圆的圆心在抛物线x 2＝－8y 上，且动圆恒与直线y －2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(0，－4)C ．(2,0)D ．(0，－2)解析：由抛物线的定义知到焦点距离与到准线的距离相等，动圆必过焦点(0，－2)．故选D.答案：D3．若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点，P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线，所以p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：41．(2013²四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D. 3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y＝0，所以所求距离为|3±0|32＋2＝32.故选B. 答案：B2．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求A D →²E B →的最小值．解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 由题意有x －2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故A D →²E B →＝(A F →＋F D →)²(E F →＋F B →)＝A F →²E F →＋A F →²F B →＋F D →²E F →＋F D →²F B →＝|A F →|²|F B →|＋|F D →|²|E F →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4³2k 2²1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，A D →²E B →取最小值16.1．(2013²汕头一模)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：因为y 2＝4x ，所以p ＝2，焦点坐标为(1,0)，依题意可知当P ，Q 和焦点三点共线且点P 在中间的时候，距离之和最小如图，故P 的纵坐标为－1，然后代入抛物线方程求得x ＝14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点F ()1，0的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作倾斜角为45°的直线m 交轨迹E 于点A ，B ，求△AOB 的面积．解析：(1)设P ()x ，y ，由抛物线定义知，点P 的轨迹E 为抛物线，方程为y 2＝4x .(2)m ：y ＝x －1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y －4＝0.设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则y 1，y 2为方程的两实根，于是y 1＋y 2＝4，y 1²y 2＝－4.则||y 2－y 1＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝42，所以S △AOB ＝12³||OF ³||y 2－y 1＝12³1³42＝2 2.。
高三抛物线的知识点归纳
高三抛物线的知识点归纳一、抛物线的定义及方程抛物线是二次函数的图像，它的一般方程可以表示为 y = ax^2 + bx+ c。
在这个方程中，a、b、c 是常数，其中 a 决定抛物线的开口方向和大小，b 影响抛物线沿着 x 轴的位置，而 c 则决定了抛物线与y 轴的交点。
二、抛物线的性质1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 对称性：抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -b/(2a)。
3. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标可以通过公式(-b/(2a), -Δ/(4a)) 计算得出，其中Δ = b^2 - 4ac 称为判别式。
4. 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，可以定义一个焦点和一条准线。
焦点位于距离顶点 a/(4a) 的位置，准线则是与抛物线对称轴平行且距离顶点 a/(2a) 的直线。
三、抛物线的应用1. 物理现象：在物理学中，抛物线常用于描述物体在重力作用下的抛射运动轨迹。
2. 工程建筑：在建筑设计中，抛物线形状常用于拱桥、穹顶等结构，以实现良好的力学性能。
3. 艺术设计：在艺术领域，抛物线因其优美的曲线被广泛应用于雕塑和装饰品的设计。
四、解题技巧1. 确定方程：根据题目条件确定抛物线的一般方程 y = ax^2 + bx + c。
2. 计算顶点：通过公式 (-b/(2a), -Δ/(4a)) 快速求出抛物线的顶点坐标。
3. 判断交点：通过代入 x 值或 y 值，可以求出抛物线与 x 轴或 y轴的交点。
4. 应用对称性：利用抛物线的对称性简化计算，特别是在求解与抛物线相关的最值问题时。
五、例题分析例1：已知抛物线 y = 2x^2 - 4x + 3，求其顶点坐标和对称轴方程。
解：首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*2*3 = 16 - 24= -8。
由于Δ < 0，该抛物线与 x 轴无交点。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第六节椭圆(二) 文
六节 椭 圆 (二)基础自测1．(2012·东北四校一模)已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1,2)D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：依题意，2k －1＞2－k ＞0，解得1＜k ＜2.故选C. 答案：C2．(2013·湖南郴州模拟)设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B.⎝⎛⎭⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞D ．(0,2)解析：当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.答案：C3．(2013·福建卷)椭圆P ：x 2a 2＋y 2b2(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线l ：y ＝3(x ＋c )与椭圆P 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，△MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，所以有⎩⎪⎨⎪⎧MF 21＋MF 22＝F 1F 22＝(2c )2，MF 1＋MF 2＝2a ，MF 2＝3MF 1，整理得e ＝ca ＝3－1，故答案为3－1.答案：3－14．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是_____________．解析：因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|4|m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4. 所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内部．所以交点个数为2个．答案：21．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解析：因为PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°， 所以PF 2＝2c tan 30°＝233c ，PF 1＝433c . 又|PF 1|＋|PF 2|＝633c ＝2a ，所以c a ＝13＝33， 即椭圆的离心率为33.故选D. 答案：D2．(2013·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．(1)解析：因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c .直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝⎛⎭⎫0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限． 解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2. 即点P 在定直线x ＋y ＝1上．1．(2012·长春调研)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )A.33B.23C.63D.255解析：易知点M 在OF 2的垂直平分线上，过M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则点N 坐标为⎝⎛⎭⎫c 2，0，并设|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|＝2t ，根据勾股定理可知，|MF 1→|2－|NF 1→|2＝|MF 2→|2－|NF 2→|2，得到c ＝62t ，由|MF 1|＋|MF 2|＝2a 得a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.故选C.答案：C2．(2013·潮州二模)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，离心率e ＝32.过该椭圆上任一点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且|QP |＝|PC |.(1)求椭圆的方程；(2)求动点C 的轨迹E 的方程；(3)设直线AC (C 点不同于A ，B )与直线x ＝2交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．解析：(1)由题意，可得a ＝2，e ＝c a ＝32，可得c ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝1，因此，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设C (x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝12y .又x 204＋y 204＝1，代入得x 24＋⎝⎛⎭⎫12y 2＝1， 即x 2＋y 2＝4.即动点C 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝4. (3)设C (m ，n )，点R 的坐标为(2，t )， 因为A 、C 、R 三点共线，所以AC →∥AR →，而AC →＝(m ＋2，n )，AR →＝(4，t )， 则4n ＝t (m ＋2)，所以t ＝4nm ＋2，可得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，4nm ＋2，点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，2nm ＋2，所以直线CD 的斜率为k ＝n －2n m ＋2m －2＝mnm 2－4，而m 2＋n 2＝4，所以m 2＝4－n 2， 代入上式可得k ＝mn －n2＝－mn ，所以直线CD 的方程为y －n ＝－mn (x －m )，化简得mx ＋ny －4＝0，所以圆心O 到直线CD 的距离d ＝4m 2＋n 2＝44＝2＝r ，因此，直线CD 与圆O 相切，即CD 与曲线E 相切．。
超详细抛物线知识点归纳总结
引言概述：抛物线是高中数学中的重要内容，具有广泛的应用领域，包括物理、工程、经济等。
本文将对抛物线的相关知识进行归纳总结，从定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用等多个方面进行详细的阐述。
正文内容：一、定义和性质1.抛物线的定义：抛物线是平面内一点到固定点和固定直线的距离之比等于常数的轨迹。
2.焦点与准线的关系：焦点是抛物线上所有点到准线的距离相等的点。
3.对称性：抛物线具有关于准线对称和关于纵轴对称的性质。
4.切线方程：抛物线上任意一点的切线方程为y=mx+c，其中m 是斜率，c是截距。
5.切线与法线的关系：切线与法线互为垂线且交于抛物线上的点。
二、方程和焦点、准线1.标准方程：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，a≠0。
2.顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(b/2a,f(b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
3.焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(h,f(h+1/4a))，其中h=b/2a。
4.准线方程：抛物线的准线方程为y=f(h+1/4a)1/(4a)。
三、图形展示和性质分析1.抛物线的开口方向：a的正负决定抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
2.抛物线的焦点位置：焦点在抛物线的顶点上方，焦点的纵坐标为f(h+1/4a)+1/(4a)。
3.抛物线的对称轴：对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线。
4.抛物线的顶点与焦点距离：顶点与焦点的距离等于抛物线的准线长。
四、应用领域1.物理学应用：抛物线可以描述自由落体运动、抛射运动等。
2.工程学应用：抛物线常用于建筑物的设计、桥梁的设计等。
3.经济学应用：抛物线可以用来表示成本、收入和利润的函数关系。
4.生物学应用：抛物线可用于描述某些生物体运动的轨迹。
5.计算机图像处理应用：抛物线可以用于图像处理算法中的平滑处理。
五、总结本文对抛物线的定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用进行了详细的阐述。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是一种常见的二次函数形式，常用的标准方程为y=ax²+bx+c (a≠0)。
一、抛物线的平移和缩放1. 平移：平移抛物线的顶点到坐标轴原点的方法是将x轴和y轴分别平移a和b个单位，即将抛物线方程中的x替换为x-a，y替换为y-b。
2. 缩放：抛物线关于顶点的对称性使得在抛物线上多取任意一点，将这点关于顶点进行对称得到的点的纵坐标与原点的纵坐标成等差数列，且公差是常量。
我们可以通过改变a来改变抛物线的形态，使得抛物线开口向上或向下，并使得抛物线的开口程度变化。
二、抛物线的顶点、焦点和直线1. 顶点：抛物线的顶点是二次函数的极值点，由公式x=-b/2a和y=f(x)得到。
顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
2. 焦点：抛物线焦点的纵坐标是顶点的纵坐标f(-b/2a)+1/(4a)，焦点的横坐标为-b/2a。
焦点到抛物线的距离等于焦半径r=1/(4a)。
3. 直线：抛物线的准线是与抛物线平行的一条直线，其方程为y=f(-b/2a)-1/(4a)。
三、抛物线的对称轴1. 对称轴：抛物线的对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线，对称轴与x轴垂直。
通过求焦差得到对称轴的方程，对称轴的方程为x=-b/2a。
四、抛物线的焦半径和离心率1. 焦半径：焦半径是焦点到抛物线上任一点的距离，焦半径的长度为r=1/(4a)。
2. 离心率：离心率是抛物线焦点到焦点所在直线的距离与抛物线到准线的距离的比值，离心率的值为e=1。
五、抛物线的判别式和根的个数抛物线的判别式为Δ=b²-4ac，根的个数与判别式的大小有关。
1. 当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，即有两个实根。
2. 当Δ=0时，抛物线与x轴相切，即有一个实根。
3. 当Δ<0时，抛物线与x轴无交点，即无实根。
六、抛物线图像的性质1. 抛物线的开口方向与系数a的正负有关，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
高中数学-抛物线知识点
高中数学-抛物线知识点抛物线是数学中的重要概念，广泛应用于几何学和物理学中。
本文将介绍高中数学中与抛物线相关的知识点。
1. 抛物线的定义和特征- 抛物线是由平面上一动点P和一定点F以及到F的距离与到直线l的距离相等的所有点P的轨迹形成的曲线。
- 抛物线的特征是对称性，即关于对称轴对称。
对称轴是通过焦点F的垂直于直线l的直线。
- 抛物线的焦点F与对称轴的交点称为焦点，对称轴上的任意一点P到直线l的距离称为焦距。
2. 抛物线的方程- 抛物线的一般方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
- 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
- 抛物线的判别式Δ = b^2 - 4ac，通过判别式的值可以判断抛物线的开口方向和与x轴的交点个数。
3. 抛物线的图像和性质- 当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。
- 抛物线的顶点是极小值点或极大值点，具有最值性质。
- 抛物线的对称轴与x轴的交点是抛物线的零点，也是方程的实根。
- 抛物线的导数表示斜率，斜率为0时对应抛物线的顶点。
4. 抛物线的应用- 抛物线可用于描述物体在一定条件下的运动轨迹，如炮弹抛体运动、射击训练等。
- 抛物线的最值性质可应用于优化问题，如求解最大最小值等。
- 抛物线的几何性质可应用于建筑设计、桥梁设计等。
以上是高中数学中关于抛物线的基本知识点。
抛物线作为基础的数学概念，为其他数学和物理学知识的研究奠定了坚实基础。
参考资料：- 高中数学教材- 数学知识网站。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是解析几何中的一个重要概念，在高中数学中经常遇到。
抛物线的定义是平面上到定点和定直线的距离相等的点的集合。
抛物线有许多基本性质和相关公式，下面是对抛物线的知识点的总结。
1. 抛物线的定义抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）的距离相等的点的集合。
2. 抛物线的方程抛物线的一般方程形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线的最低点（顶点在上凸抛物线中为最高点）。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为抛物线方程。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是通过抛物线顶点且垂直于准线的直线。
5. 抛物线的焦点和准线焦点是到定点相等距离的点，准线是到定直线相等距离的点。
焦点的坐标为(-b/2a, c - (b^2-1)/4a)，准线的方程为y = c - (b^2-1)/4a。
6. 抛物线的开口方向抛物线的开口方向取决于系数a的正负。
如果a > 0，则抛物线开口向上；如果a < 0，则抛物线开口向下。
7. 抛物线的对称性抛物线具有对称性，即抛物线上的任意一点关于对称轴的对称点也在抛物线上。
8. 抛物线的性质- 抛物线是一条连续曲线。
- 抛物线没有最大值或最小值。
- 开口向上的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都大于或等于对称轴上的点的纵坐标。
- 开口向下的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都小于或等于对称轴上的点的纵坐标。
9. 抛物线与二次函数的关系二次函数是一种特殊的抛物线，即二次函数的图像为一条抛物线。
10. 抛物线的平移和缩放抛物线的平移可以通过改变抛物线方程中的常数项b和c的值来实现。
抛物线的缩放可以通过改变抛物线方程中的系数a的值来实现。
11. 抛物线的判别式抛物线的判别式D用来判断抛物线的开口方向和是否与x轴相交。
当D > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当D = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当D < 0时，抛物线与x 轴无交点。
2015届高考数学总复习第七章 第九节抛物线(一)精讲课件 文
(2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． p 当焦点为(4,0)时，2＝4， ∴p＝8，此时抛物线方程 y2＝16x. p 当焦点为(0，－2)时，2＝2， ∴p＝4，此时抛物线方程为 x2＝－8y. ∴所求的抛物线的方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y， 对应的准线方程分别是 x＝－4，y＝2.
(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，
解析：(1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px 或 x2＝2py(p＞0)．∵过点(－3,2)， ∴4＝－2p· (－3)或 9＝2p· 2. 2 9 ∴p＝3或 p＝4. 4 ∴所求的抛物线方程为 y ＝－3x
2
9 1 或 x ＝2y，前者的准线方程是 x＝3，
2
9 后者的准线方程是 y＝－8.
变式探究
2 2 x y 2．抛物线 x＝ay2 的焦点 F 是椭圆20＋ 4 ＝1 的左焦点，则 a 的值为______________．
解析：椭圆中，c＝ a2－b2＝4， ∴椭圆的左焦点坐标为(－4,0)． 1 将 x＝ay 化为标准型为 y ＝ax.
2 2
依题意知
1 a＜0，焦点坐标为4a，0，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2， 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. 从而抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2. 点评：(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线
的标准方程的类型，然后求抛物线的标准方程，再由条件确定
1 1 4a＝－4，得 a＝－16. 1 答案：－16
利用抛物线的定义求距离和的最小值 【例3】 设P是抛物线y2＝4x上的一动点．
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第十节
抛物线(二)
基础自测
1．(2012·合肥月考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )
A.12 B ．1 C ．2 D ．4
解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p
2.
圆x 2＋y 2－6x －7＝0，可化为(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，
半径为4.又抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x -7＝0相切， ∴3＋p
2＝4，解得p ＝2.故选C.
答案：C
2．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线的焦点F 且斜率为1
2
的直线l 被抛物线截得的线
段长为( )
A.9
4 B.17
8
C.5
D.4
解析：抛物线C ：x 2＝4y ，则焦点F (0,1)．直线l 为y ＝1
2
x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＝4y ，y ＝12x ＋1，得x 2－
2x －4＝0.
由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. 由弦长公式可得，截得的线段长为
1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝
1＋⎝⎛⎭
⎫122
×22－4×(－4)＝5.
答案：C
3．(2013·东北三校第二次联考)若拋物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为________．
解析：设P (x 0
，y 0
)，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 0＋p
2
＝10，
|y 0|＝6，
y 2
＝2px 0
，
所以36＝2p ⎝
⎛⎭⎫10－p
2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.
答案：2或18
4．(2013·宁夏银川一中第五次月考)已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的
准线相切，则此抛物线的焦点坐标是________．
解析：圆方程：x 2＋y 2－6x －7＝0化为：(x －3)2＋y 2＝16，垂直于x 轴的切线为：x ＝－
1，x ＝7.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p
2
，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x
－3)2＋y 2＝16相切，所以－p
2
＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
1．(2013·江西卷) 已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )
A ．2∶ 5
B ．1∶2
C ．1∶ 5
D ．1∶3
解析：依题意可得AF 所在直线方程为x
2＋y ＝1，代入x 2＝4y 得y ＝3－52
，又|FM |∶|MN |
＝(1－y )∶(1＋y )＝1∶ 5.
答案：C
2．(2013·辽宁卷)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2
时，切线MA 的斜率为－1
2
.
(1)求p 的值；
(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．
解析：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x
2
，且切线MA
的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14
. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋1
4＝－3－224，①
y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②
由①②得p ＝2.
(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 2
14，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 2
24，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 2
2
，③ y ＝x 21＋x 2
28
.④
切线MA 、MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 21
4.⑤
y ＝x 22(x －x 2)＋x 22
4
.⑥
由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.
因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，
所以x 1x 2＝－x 21＋x 2
2
6
.⑦
由③④⑦得x 2＝4
3
y ，x ≠0.
当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝4
3y .
因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝4
3y .
1．(2012·三明模拟)设抛物线y 2＝4x 的准线为l ，焦点为F ，P 为抛物线上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若△PQF 的面积与△POF 的面积之比为3∶1，则点P 坐标是________________．
解析：(2，－22)或(2,22)
2．(2013·江苏泰州二模)已知过点A (－4, 0)的动直线l 与拋物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于
B 、
C 两点．当直线l 的斜率是12
时，AC →＝4AB →
.
(1)求拋物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．
解析：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝1
2
(x ＋4)，即x
＝2y －4.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝2py ，x ＝2y －4，
得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，
y 1＋y 2＝8＋p 2
，y 1y 2＝4，由已知AC →＝4AB →，所以y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，
y 2＝4，p ＝2，所以拋物线G 的方程为x 2＝4y .
(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，
设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ>0
得k <－4或k >0，
所以x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1
k
(x
－2k )，所以b ＝2(k ＋1)2
，所以b 的取值范围是(2，＋∞)．。