新人教版初中数学八年级上册《第十二章全等三角形：12.3角的平分线的性质》公开课教案_0
人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形 知识点归纳
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形知识点归纳12.1全等三角形经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个图形叫做全等形。
经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
例1、△ABC≌△DEF读作：三角形ABC全等于三角形DEF。
把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
用“≌”表示两个图形全等的时候，必须把对应的顶点写在对应的位置上。
例2、已知△ABC≌△DEF，那么就说明：①点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F③AB=DE，AC=DF，BC=EF用“全等于”这个词表示两个图形全等的时候，顶点不一定有一一对应关系。
例3、已知△ABC全等于△DEF，那么点A不一定对应D，点A也可能对应点E或者点F 。
全等三角形的性质：①对应边相等②对应角相等③角平分线、中线、高分别对应相等④周长相等⑤面积相等12.2三角形全等的判定全等三角形的判定依据：①三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”。
②两边一夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS ”。
③两角一夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA ”。
④两角一对边对应相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS ”。
⑤一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边直角边”或“HL ”。
温馨提示：“SSA ”和“AAA ”不能证明两个三角形全等。
全等三角形的证明格式：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 的证明格式： HL 的证明格式：在△ABC 与△DEF 中 在Rt △ABC 与Rt △DEF 中∵{ 条件1条件2条件3∵{条件1条件2 ∴△ABC ≌△DEF （条件） ∴△ABC ≌△DEF （HL ）12.3角的平分线的性质如果从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线。
2022八年级数学上册 第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质第1课时 角的平分线的作法与性
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.5.622.5.6F riday, May 06, 2022 10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:37:4109:37:4109:375/6/2022 9:37:41 AM 11、人总是珍惜为得到。22.5.609:37:4109:37May-226-May-22 12、人乱于心，不宽余请。09:37:4109:37:4109:37Fri day, May 06, 2022 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.5.622.5.609:37:4109:37:41May 6, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年5月6日 星期五 上午9时 37分41秒09:37:4122.5.6 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年5月 上午9时37分22.5.609:37May 6, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年5月6日 星期五9时37分 41秒09:37:416 May 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时37分41秒 上午9时37分09:37:4122.5.6
解：P是线段CD的中点．理由如下：过点P作PE⊥AB于点E. ∵AD∥BC，∠D＝90°， ∴∠C＝180°－∠D＝90°，即PC⊥BC. ∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB， ∴PD＝PE.同理可得PC＝PE， ∴PC＝PD， ∴P是线段CD的中点．
拔尖角度二 利用角平分线构造全等三角形
知识点三 命题的证明
7.求证：全等三角形对应角的平分线相等.
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD 和 A′D′分别是∠BAC 和∠B′A′ C′的平分线，
八年级数学上册第十二章全等三角形12-3角的平分线的性质同步练习含解析新版新人教版
《12.3 角的平分线的性质》一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则______=______．（2）若∠3=∠4,则______=______．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD=______．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD=______．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则BC = DC ．（2）若∠3=∠4,则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）根据角平分线性质推出即可；（2）根据角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°,∴AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠1=∠2,∴BC=CD,故答案为：BC,DC．（2）∵AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠3=∠4,∴AB=AD,故答案为：AB,AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF,然后计算出DF的长,再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36,∴•AB•ED=36,×12×ED=36,解得：DE=6,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∴DE=DF,∴DF=6,∵BC=15,∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45,故答案为：45．【点评】此题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得,点O到三角形三边的距离相等,即三个三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵O是三角形三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵AB=20,BC=30,AC=40,∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法,难度不大,作辅助线很关键．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD= 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,根据角平分线性质得出DM=DN,根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,∵AD是△ABC的角平分线,∴DM=DN,∴S△ABD：S△ACD=（AB×DN）：（AC×DM）=AB：AC=2AC：AC=2,故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得出CD长,代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵DE⊥AB,AD平分∠BAC,∴DE=DC=1.5cm,∵BD=3cm,∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm,故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE,然后求出BD 的长,再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．【解答】解：如图,过点D作DE⊥AB于E,∵点D到AB的距离为6,∴DE=6,∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,∴DC=DE=6,∵BD：DC=3：2,∴BD=×3=9,∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观．8．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】根据三角形的角平分线相交于一点,连接AO,则AO平分∠BAC,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图,连接AO,∵∠B、∠C的角平分线交于点0,∴AO平分∠BAC,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中,,∴△BDE≌△FDC（SAS）,∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,是基础题,熟记性质是解题的关键．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC,则∠BCA=∠DCA,再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC（SSS）,∴∠BCA=∠DCA,∵PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等,对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS）,然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND,最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中,AB=BC（已知）,∠ABD=∠CBD（角平分线的性质）,BD=BD（公共边）,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边）,∴△PMD≌△PND（AAS）,∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后根据三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图,过点D作DF⊥BC于F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90,即×18•DE+×12•DE=90,解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,三角形的面积,熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP,根据勾股定理起床AR=AQ,CQ=CP,BR=BP,得出方程组,求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘,ON⊥AB于N,求出OM=ON,证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO,OB,OC,∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,∴OR=OQ,OR=OP,∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2,AQ2=AO2﹣OQ2,∴AR=AQ,同理BR=BP,CQ=CP,即O在∠ACB角平分线上,设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,则x=3,y=5,z=4,∴BP=3,CQ=5,AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∵O在∠A的平分线,∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,∵∠A=60°,∴∠NOM=120°,∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°,∴∠FON=∠EOM,在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM,∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。
2022八年级数学上册第十二章全等三角形：角平分线的性质教案新版新人教版
八年级数学上册教案新版新人教版：12.3角平分线的性质教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理． 教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重点难点1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB ．求法：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．12二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．”论证如下：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，∴Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）∴∠AOC=∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】 如课本图11．3─6，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P•到三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ，垂足为D 、E 、F ．∴BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化课本P50练习1、2．六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破课本P51习题12．3第1、2、3题．,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩板书设计把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．。
人教版数学八年级上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第一课时 课件(共33张PPT)
PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前 谈到过，三条角分线一定交于一点，不过 当时我们没有给出证明，而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理， 怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例 题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对 折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器， 其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
2022年八年级数学上册 第十二章 全等三角形知识点归纳 (新版)新人教版
第十二章：全等三角形12.1全等三角形〔1〕、全等图形：形状、大小相同的图形能够完全重合；〔2〕、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；〔3〕、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；〔4〕、平移、翻折、旋转前后的图形全等；〔5〕、对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；〔6〕、对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；〔7〕、对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；〔8〕、全等表示方法：用“ 〞表示，读作“全等于〞〔注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上〕〔9〕、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；12.2三角形全等的判定〔1〕假设满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；〔2〕三角形全等的判定：①三边对应相等的两个三角形全等；〔“边边边〞或“SS〞S〕②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；〔“边角边〞或“SAS〞〕③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；〔“角边角〞或“ASA〞〕④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；〔“角角边〞或“AAS〞〕⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；〔“斜边直角边〞或“HL〞〕注：①证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程；②经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等；③三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么这个三角形的形状、大小就确定了；〔用“SSS〞解释〕12.3角的平分线的性质〔1〕、角的平分线的作法：课本第19页；〔2〕、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；〔3〕、证明一个几何中的命题，一般步骤：①明确命题中的和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示和求证；③经过分析，找出由推出求证的途径，写出证明过程；〔4〕、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；〔利用三角形全等来解释〕〔5〕、三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；练习题：5．△ABC≌△DEF，且∠A=100°，∠E=35°，那么∠F=〔〕A．35° B．45° C．55° D．70°【考点】全等三角形的性质．6．如图，∠ABC=∠DCB，以下所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是〔〕A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD【考点】全等三角形的判定．7．以下条件中能判定△ABC≌△DEF的是〔〕A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FC．AC=DF，∠B=∠F，AB=DE D．∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF【考点】全等三角形的判定．8．如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，那么∠DEC等于〔〕A．7.5°B．10° C．15° D．18°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．9．如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：①△ACE≌△DCB；②CM=CN．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．10．如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M，CD 交BE于点N，求证：〔1〕∠BDN=∠BAM；〔2〕△BMN是等边三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．11．：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为AB边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．求证：∠B=∠EAC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．参考答案与试题解析5.【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∵∠A=100°，∴∠D=100°，∵∠E=35°，∴∠F=180°﹣∠D﹣∠E=45°，应选B．6.【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；应选：D．7.【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、根据∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；C、根据AC=DF，∠B=∠F，AB=DE，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔AAS〕，故本选项正确；应选D．8.【解答】解：∵AC=AB，∴∠B=∠C，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+30°=∠AED+α，∴∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE=∠C+α，即∠AED=∠AED+α﹣30°+α，∴2α=30°，∴α=15°，∠DEC=α=15°，应选C．9.【解答】证明：①∵△DAC和△EBC都是等边三角形，∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，，∴△ACE≌△DCB〔SAS〕，②∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠DCE=∠ECB=60°，∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=60°，∠AEC=∠DBC，在△EMC与△BNC中，，∴△EMC≌△BNC〔ASA〕，∴CM=CN．10.【解答】证明：〔1〕∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC〔SAS〕∴∠BDN=∠BAM；〔2〕∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∵∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°﹣60°﹣60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，，∴△MBE≌△NBC〔ASA〕，∴BM=BN，∠MBE=60°，∴△BMN为等边三角形．11.【解答】证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=CB．∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD〔SAS〕．∴∠B=∠EAC〔全等三角形的对应角相等〕．。
八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质12.3.2角平分线的判定教案新版新人教版
第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质课时2 角的平分线的判定【知识与技能】掌握角的平分线的判定，能灵活运用角的平分线的判定解题.【过程与方法】通过学生自主探索、操作、领会和感悟角的平分线的判定，并能体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度与价值观】通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学.角的平分线的判定.灵活运用角的平分线的判定解题.多媒体课件.教师出示教材P49思考：如图12-3-4，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1∶20 000)?学生先自主思考，教师对学生的回答进行简单的点评，再将这个问题作为本节课开始的一个悬念.探究1：角的平分线的判定教师提出问题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.那么，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？探究新知让学生以四人为一个小组合作学习，动手操作、探究，获得问题的结论.从实践中可知：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，将条件和结论互换：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.教师指出条件和结论，学生叙述证明过程，教师板演：已知：如图12-3-5，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：经过点P作射线OC，如图12-3-5.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)，∴∠DOP=∠EOP，即∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线.∴点P在∠AOB的平分线上.然后教师解决情境导入中的那个问题，让学生根据上面的结论，确定这个集贸市场应该建于何处.学生分组讨论后回答.接着师生共同探究角的平分线的性质与判定的区别与联系：角的平分线的性质说明了角的平分线上的点的纯粹性，即只要是角的平分线上的点，它到此角的两边一定等距离，而无一例外；角的平分线的判定反映了角的平分线的完备性，即只要是到角的两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个.在实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等(角的平分线).最后教师归纳角的平分线的作用：角的平分线的判定可以帮助我们证明角相等，使证明过程简化.需要注意的是：在推导过程中，应注意垂直关系的书写，指明垂线段，并由垂线段相等直接得到角相等，而不必再去证明三角形全等.教师出示教材P50例题如图12-3-6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.教师分析：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段的长度表示距离，而证明距离相等必须标出它们，所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理.如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段的长，那么图中画实线，在证明中就可以不写.学生独立完成，并让一名学生板演，教师点评：证明：如图12-3-6，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理可得,PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.教师点拨：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细的证明过程.教师继续让学生思考：点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?学生独立思考后得到结论：点P在∠A的平分线上，三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离都相等.接着教师让学生独立完成：教材P50练习第1题(学生完成之后,教师点评).1.角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.2.作用：证明角相等.。
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
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基本信息
名称12.3《角的平分线的判定》
课时 1 所属教材目录新人教版八年级上册
教材分析
角平分线的判定是在学习角平分线的概念和角平分线性质基础上进行教学的，它主要是学习为证明线段或角相等开辟了新的思路，是今后作图、计算、证明的重要工具，为初三的学习作铺垫，具有承前启后的作用，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。
学情分析通过师生互动增强学生对本节课的认识，在学习本节课时一部分学生对角平分线的性质和判定可能混淆老师要加以正确引导
教学目标知识与
能力目
标
1. 掌握角平分线的判定定理的内容.
2. 会用角平分线的性质和判定证明. 过程与
方法目
标
1. 能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算。
2. 了解角的平分线的判定在生活、生产中的应用.
情感态
度与价
值观目
标
培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体
验，激发学生应用数学的热情。
教学重难
点重点角的平分线的判定的证明及运用.
难点灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.
教学策略与设计说
明教学策略：
借助多媒体辅助手段，创设问题情景，让学生从角平分线的性质定理角度先对角平分线的判定定理有一个整体的把握，引导学生观察、分析、猜测、论证，然后再重点讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得角平分线判定定理后总结，及时进行反馈应用和反思总结
设计说明：
1、利用几何画板、微课增大课容量激发学生的求知欲人。
2、通过师生互动加深学生对新知识的理解，培养学生获取新知识的能力
教学环节
（注明每个
环节预设的
时间）
教师活动学生活动设计意图
一、课堂引入①播放射箭小视频
学生思考回答
为讲解角平分线的判定
定理做铺垫。
②.播放微课
③.角的平分线性质定理的内容是什
么？
二、探究新知24分钟1.探究角的平分线的判定：
学生根据上面的猜
测及证明，归纳角平
分线的判定定理。
学
生明确在已知一定
条件下，证角平分线
不再用证三角形全
等后再证角相等得
出，可直接运用角平
分线判定定理。
1.通过对角平分线判定
定理的探索，培养学生分
析推理的能力
2.培养学生的归纳概括
能力。
使学生明确角平分
线判定定理的作用。
3.通过性质定理的应用，
培养学生解决实际问题
的能力和独立思考问题
的良好习惯
猜测：到角的两边距离相等的点在什么
位置上呢？动笔画一画？
多媒体展示：
（1），已知：CA⊥OA于A，BC⊥OB于
B，AC=BC
求证： OC平分∠AOB（C点在∠AOC的
平分线上）
证明：∵CA⊥OA，BC⊥OB
∴∠A=∠B=90°
在△AOC和△BOC中
∴△AOC≌△BOC（HL）
∴∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB
通过证明上面的猜想
归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
根据上图，角平分线的判定定理用几何语言叙述为：
如果CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC 那么OC平分∠AOB
学生用几何语言练习
2.角平分线判定定理的运用
出示ppt：
已知如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC.求证：∠1=∠2.
教师引导学生证明，教师总结纠证错误
三、变式训练12分钟几何画板展示：
小组讨论
1.巩固角的平分线的性
质与判定的应用，培养学
生分析问题、解决问题的
能力。
巩固本节所学。
2. 通过学生的主动参
与，培养学生学习一种数
学化的能力
对于这道例题，可以怎么变式呢？
同样证明∠1=∠2.
小组汇报
课堂小结2
分钟1、角平分线的判定定理是什么？
听、记、回顾所学新
知识
归纳小结，突出重点，巩
固新知，形成知识网络。
2、本节课的学习，对你有哪些启发？
布置作业教材习题12.3第1-4题记作业
1.巩固知识发现和弥补
教学中的不足。
1分钟
目标检测
3分钟
目标检测2.强化学生的基本技能的训练，提高学生运用新知识的熟练程度
板书设计
课题 12.3 角的平分线的判定
好的板书就像一份
微型教案，此板书力图全
面而简明的将授课内容
传递给学生，清晰直观，
便于学生理解和记忆，理
清文章脉络。
1.角平分线的判定定理 3.例题分析
2.例题
教学反思
一、重视情境创设，以学生为主体，让学生经历求知过程。
本节课引入问题教学的模式，其目的是引导学生积极参与课堂，积极投入到解题思路的探索过程中，通过合作学习引导学生深层次参与，倡导同学们要学会用大脑去思考，用耳朵去倾听,用眼睛去观察，用双手去操作，使学生言语与行动逐步起到自觉调控的作用，促进思维的“内化”，从而发展学生的独立思考能力。
二，锻炼学生用几何语言表述定理，淡化语言叙述定理的抽象性，培养学生逻辑思维能力和角决实际问题打下良好的基础。