五 拉格朗日插值和孙子定理
拉格朗日插值公式
拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是一种求解插值多项式的方法，它可以通过已知数据点的函数值来近似地构建一个多项式函数。
拉格朗日插值公式的基本思想是通过在已知数据点上构造Lagrange基础多项式来表示插值函数，并将这些Lagrange基础多项式与对应的已知数据点函数值相乘，最后将它们相加得到插值多项式。
考虑插值问题的一般形式：给定n+1个互不相同的数据点(xi, yi)，其中i=0,1,2,…,n，我们的目标是构造一个多项式函数p(x)，使得对于所有的i=0,1,2,...,n，满足p(xi)=yi。
p(x) = Σ yi * Li(x)其中i=0,1,2,...,n，并且Li(x)是拉格朗日基础多项式。
拉格朗日基础多项式Li(x)的定义如下：Li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)其中j=0,1,2,...,n且j≠i。
这些基础多项式有一个重要的性质：当i≠j时，基础多项式Li(x)在xi点上取值为1，并且在xj点上取值为0。
这意味着每个基础多项式都完美地“插值”了对应的数据点。
将这些基础多项式与它们对应的数据点函数值相乘，并将它们相加，我们就可以得到最终的插值多项式。
拉格朗日插值公式不仅可以用于插值问题，还可以用于函数逼近和数值积分等其他问题。
以二次插值为例，当n=2时，拉格朗日插值多项式的形式为：p(x)=y0*L0(x)+y1*L1(x)+y2*L2(x)其中L0(x)=(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)L1(x)=(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2)L2(x)=(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)(x2-x1)在实际应用中，拉格朗日插值公式在构造插值多项式的同时也会带来一些问题。
其中一个问题是拉格朗日插值多项式在数据点之外的区域可能会有较大的误差。
在这种情况下，我们可能需要考虑使用其他插值方法，例如样条插值。
另一个问题是拉格朗日插值多项式的计算量较大，尤其在大数据集的情况下。
《拉格朗日插值法》课件
在数值分析中的应用
数值积分
01
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式逼近被积函
数，进而求得积分的近似值。
数值微分
02
利用拉格朗日插值法可以近似求得函数的导数值，用于数值微
分计算。
求解常微分方程
03
通过构造插值多项式，可以将常微分方程转化为代数方程组，
进而求解微分方程的近似解。
在数据拟合中的应用
重要性
拉格朗日插值法是数值分析中的基础方法之一，它为解决各种实际问题提供了重要的数学工具。通过 拉格朗日插值法，我们可以更好地理解和逼近数据，从而为进一步的数值分析和科学计算提供基础。
拉格朗日插值法的历史和发展
历史
拉格朗日插值法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出。在此之前，人们已经意识到可以通过已知的数 据点来逼近未知的函数值，但缺乏系统的数学方法。拉格朗日的插值法为这个问题提供了一个完整的解决方案， 并在随后的几个世纪中得到了广泛的应用和发展。
深入研究拉格朗日多项式的性质
拉格朗日多项式是拉格朗日插值法的基础，但其性质仍有许多未知之处。未来的研究可以深入探索拉格 朗日多项式的性质，以期为插值法的发展提供新的思路和方法。
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多项式形式
插值多项式的一般形式为 (L(x) = sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x))，其中 (l_i(x)) 是拉格朗日插值基函数。
求解插值多项式的系数
系数求解
通过已知的数据点和构造的插值多项 式，求解出多项式的系数。
求解方法
常用的求解方法是高斯消元法或追赶 法，通过求解线性方程组得到插值多 项式的系数。
《拉格朗日插值法》ppt课件
• 引言 • 拉格朗日插值法的基本概念 • 拉格朗日插值法的实现步骤 • 拉格朗日插值法的优缺点分析 • 拉格朗日插值法的应用实例 • 总结与展望
《拉格朗日插值》课件
通过对比已知数据点和插值函数的结果，评估拟合效果和预测准确度。
总结和展望
本课件介绍了拉格朗日插值的背景、原理、计算方法和应用，并总结了其优缺点。这门课程为数值分析和数据 插值领域提供了基础知识，并为未来的研究和应用提供了展望。
用于数据拟合、函数逼近和误差 估计。
图像处理
用于图像重建、图像修复和图像 插值。
信号处理
用于信号重构、信号滤波和信号 插值。
拉格朗日插值多项式的优缺点
拉格朗日插值多项式具有以下优点和缺点。 优点 简单易懂 计算效率高 适用于小范围插值
缺点 对于大量数据点计算复杂度高 对离散数据敏感 数值误差较大
示例演示：使用拉格朗日插值进行数据的 拟合
2 定义
插值问题是通过插值函数来逼近离散数据点 的函数曲线，以实现数据的拟合和预测。
拉格朗日插值多项式的原理
拉格朗日插值多项式是通过已知数据点构建的一个多项式函数，使得该函数在给定区间内的所有数据点上与已 知数据点完全一致。
插值多项式
拉格朗日插值多项式是通过拉 格朗日基函数构造出的一个多 项式函数。
《拉格朗日插值》PPT课 件
本课件旨在介绍拉格朗日插值的原理、计算方法、应用以及优缺点，帮助大 家更好地理解插值问题的背景和定义。
插值问题的背景和定义
插值问题是数值分析中的基础概念，指的是通过已知数据点构建一个函数，使得该函数在给定区间内的所有数 据点上与已知数据点完全一致。
1 背景
插值问题源于天文学和地理测量等领域中的 数据分析需求。
1
数据点坐日基函数计算
根据已知数据点的坐标值计算拉格朗日基函数。
3
插值多项式计算
将拉格朗日基函数与对应系数相乘并求和得到插值多项式。
计算声学第五章插值法
已知 l0(x1)l0(x2)0，即 x1, x2是 l0 ( x ) 的两个零点，所以设
l0(x)k(xx 1 )x (x2)
其中 k为待定常数。由 l0(x0) 1得到
所以
k(x 0 x 1 )x 0 ( x 2 ) 1 k (x 0 x 1 ) 1 x 0 ( x 2 )
l0(x)((xx0 xx11))((xx0xx22))
R n(x)K (x)n 1(x)
其中 K (x) 是与 x有关的待定函数。
为了求得 K ( x)，对区间 [x0, xn ] 上异于 xk 的任意一点
x x k(k 0 ,1 ,2 , ,n )，作辅助函数
F ( t) f( t) L n ( t) K ( x )n 1 ( t)
§1 拉格朗日（Lagrange）插值
B
O
x0
x1
x2
x
§1 拉格朗日（Lagrange）插值
设已知 y f(x)在三个不同点 x0,x1,x2 上的值分别为
y0, y1, y2 ，做一个二次插值多项式 L2(x) ，使其满足插值条件 L 2(xi)yi (i0 ,1 ,2 )
由于通过不在同一直线上的三点 A (x 0 ,f(x 0 )B ) (x 1 ,,f(x 1 )C )(x 2 ,,f(x 2 )) 可做一条抛物线，所以称二次插值多项式 L2(x) 为 f (x) 的抛 物线插值函数。
lk(xi) 1 0,,ii k k(i,k0,1,2, ,n)
的n次多项式。
§1 拉格朗日（Lagrange）插值
经过推导得出n次插值基函数
l k ( x ) ( x k ( x x 0 x ) 0 ) x k x ( x ( x 1 1 ) ) ( ( x x k x x k k 1 1 ) ) x x k ( x ( k x k 1 ) 1 ) ( x ( x k x n ) x n ) ,( k 0 , 1 , 2 , , n )
《拉格朗日插值》课件
线性插值基函数 l0(x),l1(x) 满足下述条件
xi
x0
x1
l0 ( x )
1
0
l1 ( x )
0
1
并且他们都是一次函数。
注意他们Байду номын сангаас特点对下面的推广很重要
《拉格朗日插值》
18
一次Lagrange插值多项式(6)
• 我们称 l 0 ( x )为点 x 0 的一次插值基函数，l 1 ( x ) 为点 x 1 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取
个互不相同的点处的函数值 y f (x ),i 0,1,,，n 为求
i
i
y f (x的) 近似式，自然应当选 n 次多项式
Pn (x) a0 a1x a2x2 an xn
使 P (x) 满足条件 n
Pn(xi ) yi , i 0, 1, ,n
f ( x)称为被插函数, pn ( x)称插值多项式,条件(3 3)称插值条件, x0,x1, , xn称插值节点 这种求函数近似式的方法称为插值法 几何上,其实质是用通过n 1个点( x1, y1)(i 0,1, , n)的多项式曲 线y pn ( x),当作曲线y f (x)的近似曲线.如图所示
又由 lk (xk ) 1 ，得：
(x k x 0 )x k ( x 1 ) (x k 1 x k 1 )x k ( x k 1 ) (x k x n )
《拉格朗日插值》
26
N次插值多项式6
l k ( x ) ( x k ( x x 0 x ) 0 ) x k x ( ( x x 1 1 ) ) ( ( x x k x x k k 1 1 ) ) x x k ( ( x k x k 1 ) 1 ) ( x ( x k x n ) x n )
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理是一个比较有用的数学定理，它的意思是：如果一个函数f在一个定义域内连续，在一个闭区间[a,b]上增加，那么在这一区间内至少存在一个数c，使得函数f在c处取得直线ab上f(a)和f(b)之间的中值。
拉格朗日中值定理的使用有很多，它的用处就在于它能够在较为复杂的问题中把许多复杂的计算简化，帮助我们快速找出求解结果。
比如，我们可以把积分运算归结为二阶多项式，再使用拉格朗日中值定理，从而把积分运算搞定，这样就可以把复杂的求积问题变成表达式计算，简单、快速。
此外，拉格朗日中值定理也被实际应用在非线性方程求解、曲线拟合、曲线分割以及高精度数值积分、极限的求解等等。
总的来说，拉格朗日中值定理的运用极其广泛，它在数学计算中也是有用的，可以大大减轻我们的计算量，为复杂的计算提供直接的解决方案。
拉格朗日插值法ppt课件
在节点xi处的函数值必然相等 但在节点 P(x外 )的值可能就会 f(x偏 ) 离 因此 P(x)近似代f(替 x)必然存在着误差 8
整体误差的大小反映了插值函数的好坏 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数
本章讨论的就是代数插值多项式
二、代数插值多项式的存在唯一性
n1(x) n1(xj )(xxj )
j0,1,2,,n -------(7')
显l然 0(x)l,1(x)l,2(x) , ,ln(x)线性(无 请同学关 们思考)
且
l j ( xi )
1 0
i j i j
i,j0,1,2,,n -------(8)
16
如果 l0(x)l用 1 ,(x)l2 ,(x) ,,ln(x)作 yf(x)的插值 而Pn(x) 为f(x)的插值多 ,则 项式
6
问题
• 是否存在唯一 • 如何构造 • 误差估计
如函 ys数 ixn ,若给 [0,]上 定 5个等分点
其插值函数的图象如图
7
yy
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
0.522
22..55
33
xxx
33..55
对于被插 f(x)和 函插 数值P(函 x) 数
一、插值余项
从上,节 yf可 (x)的 L 知 ag插 ran 值 ge
满足
n
Ln(x) yjlj(x) j0
L n(x i)f(x i) i 0 ,1 , ,n
但 x[a,b]
Ln(x)f(x) 不会完全成立
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
《拉格朗日插值法》课件
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义