罗尔定理与拉格朗日中值定理的练习
拉格朗日中值定理与罗尔定理的证明
拉格朗日中值定理与罗尔定理的理解
首先说明拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系：罗尔定理可理解为特殊形式的拉格朗日中值定理，即f （a ）=f （b ），而拉格朗日中值定理中二者并不一定相等。
因此，证明拉格朗日中值定理后，罗尔定理也得以证明。
下面我将先对拉格朗日中值定理进行证明。
)(x f 满足：
设函数o a b a f a f a b n n +-++=-⇒-1)())((n 1......)(')()()(！即
)('))((n 1......))((''21)('111)(ξf o a b a f a b a f a f n n =+-++-+-！！！①
到此，我们知道了f’(ξ)用泰勒展开式表示时的大小，即证明了f’(ξ)在泰勒展开式中值的存在。
那么ξ是否在（a ，b ）区间内？我们知道泰勒公式的意义是利用已知点的函数值不断逼近所求点的函数值，所以只需知道在由a 点向b 点逼近的过程中是否遇到了ξ点，即ξ
点与b 点间是否存在余项。
用泰勒公式求解:
o x x x f x x x f x f x f n n +-++-+=-100)(000))((1)-(n 1......))((''11)('01)('！！！②将x=b ,x 0=a 代入上式，得：
o a b a f a b a f a f b f n n +-++-+=
-1)())((1)-(n 1......))((''11)('01)('！！！③
)1()3(-得：。
数学分析6.1拉格朗日定理和函数的单调性（练习）
第六章微分中值定理及其应用1 拉格朗日定理和函数的单调性练习题1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一个点ξ，使f’(ξ)=0.(1)f(x)=xsin1x, 0<x≤1π0, x=0；(2)f(x)=|x|, -1≤x≤1.解：(1)∵f(x)在[0,1π]上连续，在(0,1π)内可导，且f(0)=f(1π)，根据罗尔中值定理知，存在一个点ξ∈(0,1π)，使f’(ξ)=0.(2)∵f(x)在[-1,1]连续，且f(-1)=f(1)，但f(x)在(-1,1)内x=0点不可导，根据罗尔中值定理知，不一定存在一个点ξ∈(-1,1)，使f’(ξ)=0.又f’(x)=1, x>0−1, x<0，∴不存在一个点ξ∈(-1,1)，使f’(ξ)=0.2、证明：(1)方程x3-3x+c=0(c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；(2)方程x n+px+q=0(n为自然数，p,q为实数)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。
证：(1)记f(x)=x3-3x+c，若f(x)=0在[0,1]有两个不同的实根a,b，则f(a)=f(b)，又f(x)在[0,1]上连续，且在(0,1)内可导；根据罗尔中值定理知，存在一个点ξ∈(0,1)，使f’(ξ)=0.但f’(x)=3(x2-1)只有两个实根x=±1，矛盾，结论得证。
(2)记f(x)=x n+px+q(n为自然数，p,q为实数).当n=2k(k=1,2,…)时，若f(x)=0至少有三个实根a,b,c，设a<b<c，由罗尔中值定理知，存在点ξ1∈(a,b),ξ2∈(b,c)，使f’(ξ1)=2kξ12k-1+p=0, f’(ξ2)=2kξ22k-1+p=0，即f’(ξ1)= f’(ξ2).又f’(x)=2kx2k-1+p在R上严格增，矛盾，可得结论1：当n为偶数时，x n+px+q=0至多有两个实根.当n=2k-1(k=1,2,…)时，若k=1，结论成立；若k=2,3…，设f(x)=0至少有四个实根，由罗尔中值定理知，f’(x)=(2k+1)x2k+p=0，即x2k+0x+p=0有三个实根，与结论1矛盾，2k+1结论2：当n为奇数时，x n+px+q=0至多有三个实根.3、证明：若函数f和g在区间I上均可导，且f’(x)≡g’(x)，x∈I，则在区间I上f(x)与g(x)只相差一个常数，即f(x)=g(x)+c (c为常数).证：记F(x)=f(x)-g(x)，则F(x)在I上可导，且F’(x)=f’(x)-g’(x)≡0.∴F(x)为常量函数，设F(x)=c(c为常数)，即f(x)-g(x)=c，∴f(x)=g(x)+c.4、证明：(1)若函数f在[a,b]上可导，且f’(x)≥m，则f(b)≥f(a)+m(b-a)；(2)若函数f在[a,b]上可导，且|f’(x)|≤M，则|f(b)-f(a)|≤M(b-a)；(3)对任意实数x1,x2都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.；证：(1)∵f在[a,b]上可导，∴存在一点ξ∈(a,b)，使f’(ξ)=f b−f(a)b−a≥m，∴f(b)≥f(a)+m(b-a).又f’(ξ)≥m，即f b−f(a)b−a；(2)∵f在[a,b]上可导，∴存在一点ξ∈(a,b)，使f’(ξ)=f b−f(a)b−a≤M，∴|f(b)-f(a)|≤M(b-a).又|f’(ξ)|≤M，即|f b−f a|b−a(3)证法1：当x1=x2时，结论成立；当x1≠x2时，∵sinx在R连续且可导，∴对任意实数x1,x2，设x2<x1，∴存在一点ξ∈(x2,x1)，使(sinξ)’=sin x1−sin x2.x1−x2又(sinξ)’=cosξ，且|cosξ|≤1，∴|sin x1−sin x2|x1−x2≤1，即|sinx1-sinx2|≤x1-x2. 同理，设x1<x2，有|sinx1-sinx2|≤x2-x1.∴对任意实数x1,x2都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.证法2：利用(2)的结论，∵|(sin x)’|=|cosξ|≤1，∴对任意实数x1,x2都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1)b−ab <ln ba<b−aa, 其中0<a<b；(2)h1+h2<arctanh<h, 其中h>0.证：(1)ln ba=lnb-lna，∵lnx在[a,b]内连续，且在(a,b)内可导，∴存在一点ξ∈(a,b)，使lnb-lna=(lnξ)’(b-a)=b−aξ.又b−ab <b−aξ<b−aa，∴b−ab<ln ba<b−aa.(2)arctanh=arctanh-arctan0，∵arctanh在[0,h]内连续，在(0,h)内可导，∴存在一点ξ∈(0,h)，使arctanh-arctan0=h(arctanξ)’=h1+ξ2.又h1+h2<h1+ξ2<h，∴h1+h2<arctanh<h.6、确定下列函数的单调区间：(1)f(x)=3x-x3；(2)f(x)=2x2-lnx；(3)f(x)=2x−x2；(4)f(x)=x2−1x. 解：(1)f’(x)=3-3x2. 当f’(x)=0时，x=±1.∴f在[1,-1]上递增，在(-∞,-1]∪[1,+∞)上递减.(2)f的定义域为(0,+∞). f’(x)=4x−1x =4x2−1x.当f’(x)=0时，x=±12(负数舍去)；当f’(x)>0时，x>12；当f’(x)<0时，0<x<12；∴f在(0,12]上递减，在[12,+∞)上递增.(3)f的定义域为[0,2]. f’(x)=2x−x2.当x=1时，f’(x)=0；当x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0. ∴f在[0,1]上递增，在[1,2]上递减.(4) f的定义域为x≠0. f’(x)=x2−1x ′=x−1x′=1+1x2>0.∴f在(-∞,0)∪(0,+∞)上递增.7、应用函数的单调性证明下列不等式：(1)tanx>x−x33, x∈(0,π3)；(2)2xπ<sinx<x, x∈(0,π2)；(3)x−x22<ln(1+x)<x−x22(1+x), x>0.证：(1)记f(x)=tanx-(x−x 33)=tanx-x+x33，则f’(x)=sec2x-1+x2=tan2x+x2>0，∴f(x)在(0,π3)内严格递增. 又f(x)在x=0处连续，且f(0)=0，∴当0<x<π3时，f(x)>0，即tanx>x−x33.(2)记f(x)=sinxx ，x∈(0,π2)；则f’(x)=(x−tanx)cosxx2.令g(x)=x-tanx，x∈(0,π2)；则g’(x)=-tan2x<0，∴g(x)在(0,π2)严格递减.又g(x)在x=0处连续，且g(0)=0，∴g(x)<0. ∴f’(x)<0. ∴f(x)在(0,π2)严格递减.又limx→0sinxx=1，∴sinπ2π2<sinxx<1，即2xπ<sinx<x.(3)记f(x)=ln(1+x)-(x−x22)=ln(1+x)-x+x22，x>0；则f’(x)=11+x-1+x=x21+x>0.∴f(x)在(0,+∞)严格递增. 又f(x)在x=0处连续，且f(0)=0，∴f(x)>0，即ln(1+x)>x−x22.记g(x)=ln(1+x)-(x−x 22(1+x))=ln(1+x)−2x+x22(1+x)，x>0；则g’(x)=11+x −2+2x1+x−(2x+x2)2(1+x)2=11+x−x2+2x+22(1+x)2=−x22(1+x)2<0∴g(x)在(0,+∞)严格递减. 又g(x)在x=0处连续，且g(0)=0，∴g(x)<0，即ln(1+x)<x−x22(1+x).8、以S(x)记由(a,f(a)),(b,f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.证：S(x)=12a f(a)1b f(b)1x f(x)1，若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则S(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且S(a)=S(b)=0，由罗尔中值定理知：至少存在一点ξ∈(a,b)，使S’(ξ)=0.又S’(x)=12a f(a)1b−a f b−f(a)01f′(x)0=12[f’(x)(b-a)-(f(b)-f(a))].∴S’(ξ)=12[f’(ξ)(b-a)-(f(b)-f(a))]=0，即f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a).拉格朗日中值定理得证.9、设f为[a,b]上的二阶可导函数，f(a)=f(b)=0，并存在一点c∈(a,b)，使得f(c)>0，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使f”(ξ)<0.证：由拉格朗日中值定理可知：f(c)=f(c)-f(a)=f’(ξ1)(c-a)>0，a<ξ1<c.-f(c)=f(b)-f(c)=f’(ξ2)(b-c)<0，c<ξ2<b. ∴f’(ξ1)>0，f’(ξ2)<0，∴f’(ξ2)-f’(ξ1)<0，ξ2-ξ1>0，又由拉格朗日中值定理知：至少存在一点ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使f”(ξ)=fξ2−f(ξ1)ξ2−ξ1<0.10、设f在(a,b)上可导，且f’单调，证明：f’在(a,b)内连续. 证：不妨设f’在(a,b)内单调递增，则对任一x0∈(a,b)，必存在的x0某一邻域U(x0)⊂(a,b).∵f’在U+(x0)内单递增，∴有下界f’(x0)，又f’在U-(x0)内单递增，∴有上界f’(x0)，∴lim x→x0+f’(x)和limx→x0−f’(x)都存在。
微分中值定理(2024版)
由 的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式 证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证 设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()
微分中值定理与导数的应用整章
20
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x) x 4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ=_______. 2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0 有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4 、微 分中 值定 理精 确地 表 达 函 数 在 一 个区 间上 的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f ( x)在区间I 上的导数__________，那 么 f ( x)在区间I 上是一个常数.
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
2
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
f ( x) 1 ( 1 ) 0.
1 x2
1 x2
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 22
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
12
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
x
证 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件,
罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用精编版
课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ，∴xx x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
解：要使(2)(1)()21f f f ξ-'=-，只要3415ξξ=⇒=从而(12)ξ,=即为满足定理的ξ。
罗尔定理与拉格朗日中值定理
定理1(罗尔定理) 如果函数了(X)满足下列条件： (1) 在［a,可上连续； ■ (2) 在(a,幻内可导； ⑶ f(a)= f(b)，
那么至少存在一点g E (a, b)，使得 广(8) = 0.
注：定理条件只是充分的，罗尔定理的三个假设条件缺一不可.
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
罗尔定理
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——问题的引入
了(b)一仙)=/(&)(")
件 * 广(&)=
b-a
路程函数、二./(,)
北京某过街天桥上的公式
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
问题的引入
2丝二 2。
2
罗尔定理
拉格朗日中值定理
>
微分中值定理应用
1
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——主要内容
(2) 在[x, x + Ax] Q [a, <&](△* > 0)或[x + Ax, x] Q [a,b]^^x V 0) 上应用拉格朗日中值定理，有 /(% + Ax) — /(%) = f{x + OAx) - Ax, 0 V。V 1. 上式等价 于
BAy = f'(x + OAx) • Ax, 0 < 0 < 1.
例3证明方程工5 + x — 1 = 0只有惟一实根.
例4设f(x)在［GM］上连续，在(GM)内二阶可导，又若f3)的 图形与联结两点的弦交于点C(cJ(c)) {a<c <幻.证明在(GM)内 至少存在一点本，使得广'修)=0.
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——微分中值定理应用
拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理.
罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数地应用
内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴xx x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：5(01)12,ξ=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
拉格朗日中值定理练习题
拉格朗日中值定理练习题拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它通过中值定理的形式，给出了函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的取值之间的关系。
本文将结合几个练习题来深入理解拉格朗日中值定理及其应用。
练习题一已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且在开区间 (a,b) 内可导。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
因此，根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
练习题二已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且f’(x) ≠ 0，即导函数在开区间 (a,b) 内不为零。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，并且导函数不为零。
因此，根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
练习题三已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在两个点 c1 和 c2，使得f’(c1) = f’(c2)。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
我们再次应用拉格朗日中值定理在同一区间 (a,b) 上，可以找到另一个点d ∈ (a,b)，使得f’(d) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。