hmw几何概型1

-1
用模拟方法估计圆周率的值
频率来估计圆与正方形的 面积比,由此得出 的近似 值.
落在区域A内的芝麻数 落在正方形内的芝麻数
≈
圆的面积 正方形的面积= 4
每个事件发生的概率只与该事件区域的长度（面 问题：如果正方形面积不变，但形状改变，所得 积或体积）成比例，与图形的形状无关。 的比例发生变化吗？
解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事 件记为A,则 取出水的体积 0.1 体 P( A) 0.1 积 杯中所有水的体积 1 比
构成事件A的区域体积 结 (A) P 试验的所有可能出现的结果所构成的区域体积 论
课堂小结
1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等 可能发生的概率类型。 2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关 的题目,几何概型的概率公式.
练习1（口答）
一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒， 黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。当 你到达路口时，看见下列三种情况的 概率 各是多少？ （1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯。
练习2
1．在500ml的水中有一个草履虫， 现从中随机取出2ml水样放到显微镜 下观察，则发现草履虫的概率是 （ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
模拟方法－－ 概率的应用
一
问题1：如图所示在边长为a的正方形内有一个不规则的阴 影部分，那么怎样求这阴影部分的面积呢？ 问题2:一个人上班的时间可以是 8:00～9:00之间的任一时刻，那么他 在8:30之前到达的概率是多大呢？ 问题3:已知在边长为a的正方形内有 一个半为0.5圆。向正方形内随机地 投石头，那么石头落在圆内的概率 是多大呢？ 带着上述的问题，我们开始学习新 的内容——模拟方法与概率的应用
练习4
• 射箭比赛的箭靶是涂有五 个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色 ，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛 靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m 外射箭,假设每箭都能中靶 ,那么射中黄心的概率是多 少?
图3.3-2
练习1：公共汽车在0~5分钟内随机地到达 车站，求汽车在1~3分钟之间到达的概率。
问题1：如图所示在边长为a的正方形内有一个不规则的阴 影部分，那么怎样求这阴影部分的面积呢？ 问题2:一个人上班的时间可以是 8:00～9:00之间的任一时刻，那么他 在8:30之前到达的概率是多大呢？ 问题3:已知在边长为a的正方形内有 一个半为0.5圆。向正方形内随机地 投石头，那么石头落在圆内的概率 是多大呢？ 带着上述的问题，我们开始学习新 的内容——模拟方法与概率的应用
练习3.取一根长为3米的绳子,拉直后在 任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少 于1米的概率有多大?
1m 3m 1m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不 小于1m”为事件A，把绳子三等分，于 是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一，所以事件A发生的概率P （A）=1/3。
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰 好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内 ，因此由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6 “等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
例2．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任 取一点M，求AM小于AC的概率．
解： 在AB上截取AC’＝AC， 故AM＜AC的概率等于 AM＜AC’的概率． 记事件A为“AM小于AC”，
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？
问题5:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意 位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概 率有多大？ 3m
（1）试验中的基本事件是什么？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件, 剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意 一点. （2）每个基本事件的发生是等可能的 吗？
6:15 6:00
6：30 6:15
6：00 5:45
费时费力
思路二：在平面上如图所示建立坐标系，图 中直线x＝6，x＝7，y＝5.5，y＝6.5围成一 个正方形区域，设晚餐在x时开始，晚报在y 时被送到， Y
6．5
G 5.5
两个数面积比
O
6
7
X
例4. 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个 小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个 细菌的概率. 分析：细菌在这升水中的分布 可以看作是随机的，取得0.1 升水可作为事件的区域。
问题情境： 问题4：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从 外向内为黑色、白色、蓝色、红色，靶心为黄色, 靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员 在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内 任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有 多大？ （1）试验中的基本事件是什么？ 射中靶面上每一点都是一个基本 事件,这一点可以是靶面直径为 122cm的大圆内的任意一点.
（3）符合古典概型的特点吗？
问题6: 有一杯1升的水，其中漂浮 有1个微生物，用一个小杯从这杯 水中取出0.1升，求小杯水中含有 这个微生物的概率. （1）试验中的基本事件是什么？ 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微 生物出现位置可以是1升水中的任意一点. （2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题， 利用几何概型公式求解。
我国古代数学家祖冲之早在1500多年前 基本思想: 先作出圆的外切 y 就算出圆周率π的值在3.1415926和 正方形,再向正方形中随机 3.1415927 之间，这是我国古代数学家的 1 地撒芝麻,数出落在圆内的 一大成就，请问你知道祖冲之是怎样算 芝麻数和落在正方形中的 0 芝麻数,用芝麻落在圆内的 -1 的近似值的吗？ 1 x 出π
思路一：我们用模拟方 法来估计晚报在晚餐开 始之前被送到的概率: 用两个转盘来模拟 上述过程，一个转盘 用于模拟晚报的送达， 另一个转盘用于模拟晚 餐，两个转盘各转动一 次并记录下结果就完成 一次模拟。
晚报
6：30 6:15 6：15 6:00 5:45 5:30
晚餐
ห้องสมุดไป่ตู้7:00 6:45
6：45 6:30
分析：将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1~3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解：设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A，则
31 2 P ( A) 5 5
2 所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率 5 为
两人相约于 7 时到 8 时在公园见面，先到者等 候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。
区域P中.这里的区域D可以是平面图形,线段, 立
体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概
型.
数学理论：
古典概型的本质特征： 1、基本事件的个数有限，
2、每一个基本事件都是等可能发生的．
几何概型的特点： （1）试验的所有可能出现的结果有无限多个 （2）每个试验结果的发生是等可能的 古典概型与几何概型之间的联系:
解. 以 7 点为坐标原点，
y
60
小时为单位。x，y 分别表示 两人到达的时间，( x，y ) 构成边长为 60的正方形S， 显然这是一个几何概率问题。
o
20 60
S A
20
x
他们能见面应满足 | x – y | ≤ 20 ，因此，
P(A)=
6 ０ ２－ 4 ０ ２ 6０２
＝
５ ９
A
落在区域A内的芝麻数 落在正方形内的芝麻数
≈
区域A的面积
正方形的面积
一般地,在向几何区域D中随机地投一点,记事件A为“该点 落在其内部一个区域d内”,则事件A发生的概率为:
P(A)=
区域d的面积(长度或体积) 区域D的面积(长度或体积)
例题讲解：
长度比
例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打 开收音机，想听电台报时，求他等待的 时间不多于10分钟的概率。
上面三个随机试验有什么共同特点？
(1)一次试验的所有可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的发生的可能性大小相等．
对于一个随机试验,如果将每个基本事件理解为 从某个特定的几何区域D内随机地投一点,该点落 在区域D中每一个点的机会都一样;而一个随机事 件A的发生则理解为恰好落到区域D内的某个指定
将古典概型中的基本事件的有限性推广到无限性， 而保留等可能性，就得到几何概型．
试验1：取一个矩形，在面积为四分之 一的部分画上阴影，随机地向矩形中 撒一把芝麻（以数100粒为例），假设 每一粒芝麻落在正方形内的每一个位 置的可能性大小相等.统计落在阴影内 的芝麻数与落在矩形内的总芝麻数， 观察它们有怎样的比例关系？
AC AC AC 2 P( A) AB AB 2 2 AC
C
长度比
A
2 2
M
C’
B
答：AM＜AC的概率等于
结论
P(A)
构成事件A的区域长度
试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度
角度比而非长度比
例3、小明家的晚报在下午 5：30～6：30之间的任 何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午 6： 00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐。 （1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐 开始之后被送到哪一种可能性更大？