几何概型1-3
1 P ( A) 3
E
10.（交通灯问题）一个路口的交通灯，红灯的时间为30秒，黄 灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。当你到达路口时，看见下 列三种情况的 概率各是多少？ （1）红灯； （2）黄灯；
（3）不是红灯。
几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
(1)
(2)
7.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
1m 3m
1m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位 置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间 一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事 件A发生的概率P（A）=1/3。
4.（1）在区间[0，10]上任意取一个整数x， 4 则x不大于3的概率为： 11 .
（2）在区间[0，10]上任意取一个实数x， 3 则x不大于3的概率为： 10 .
正确区分古典概型与几何概型
5.如图,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长 方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上 红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针， 使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列 说法正确的是 C A．一样大 B. 黄、红区域大 C. 蓝、白区域大 D. 由指针转动圈数确定
A所在扇形的面积 10 1 P( A) ; 整个圆的面积 60 6
1 答：等待的时间不多于10分钟的概率为 6
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好 是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。 法二：（利用利用[50,60]时间段所占的弧长）：
x2+2ax+b2=0
（1）若a是从0、1、2、3这四个数中任取的一 个数，b是从0、1、2这三个数中任取的一个 数，求上述方程有实数根的概率 （2）若a是从区间[0,3]中任取的一个数，b是从 区间[0,2]中任取的一个数，求上述方程有实 数根的概率
3 2 答案：（1）P （2）P 4 3
8.假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站， 问等车时间不超过3分钟的概率 ？ 解：记“等车时间不超过 3 分钟”为事件A， 由于车站每隔 10 分钟发一班车，当到达车站 在最后三分钟内时，事件A发生，于是
3 事件A发生的概率P(A) 10
9.在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点 M，求AM小于AC的概率。
7 答案：P 8
【例2】（教材142页B组T1改编）两艘轮船都 要停靠同一泊位，它们可能在同一昼夜的任 意一时刻到达，甲、乙两船停靠泊位的时间 分别为4小时和2小时，求有一艘轮船停靠泊 位时必须等待一段时间的概率。
67 答案：P 288
[例3]甲乙两人约定在7时到8时之间在某处会面, 并约定先到者应等侯另一人20分钟,过时即 可离去.求两人能会面的概率.
法三：（利用[50,60]时间段所占的圆心角）：
1 360 A所在圆心角的大小 6 1 P( A) ; 圆周角 360 6
1 答：等待的时间不多于10分钟的概率为 6
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好是打开 收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。 法四：将时间转化成长60的线段，研究事件A位于 [50,60]之间的线段的概率:
几何概型的特点: (1)基本事件有无限多个; （2)基本事件发生是等可能的.
一般地,在几何区域D中随机地取一点, 记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A, 则事件A发生的概率:
d的测度 P(A) . D的测度
即:
面积或体积 ) 构成事件 A 的区域长度 ( P(A) 试验的全部结果所构成 的区域长度 （面积或体积）
A所在扇形区域的弧长 1 P( A) ; 整个圆的弧长 6
1 答：等待的时间不多于10分钟的概率为 6
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好 是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。
蓝
红 白 黄
注意转化为几何 概型计算时，要 选对比例对象
6.（撒豆子问题）：如图,假设你在每个图形上随机 撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
1 2r r 阴影部分的区域面积 2 1 (1)P( A) ; 2 整个圆的面积 r 3 (2)P( A) . 8
解：记“落到阴影部 分”为事件A，在如图 所示的阴影部分区域 内事件A发生，所以
例4. 已知：在一个边长为2的正方形中有一个椭圆 （如图），随机向正方形内丢一粒豆子，若落入椭 圆的概率为0.3, 求椭圆的面积． 解：记“豆子落入椭圆内”为事件A， 豆子落入正方形内任一点的机会都是 等可能的. S椭圆 P( A) S正方形
S椭圆 P( A) S正方形 0.3 2 1.2
（约定：所说报时为整点报时，午觉醒来的时 刻可能是下午任一时刻.） 分析: 收音机每小时报时一 次，某人午觉醒来的时刻在 两次整点报时之间都是等可 能的，且醒来的时刻有无限 多个，符合几何概型条件.
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好 是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。 法一：（利用[50,60]时间段所占的面积）：
3 答案：P 4
【变式2】在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条 线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多 少？ 解：记事件A={弦长超过圆内接 B 等边三角形的边长}，取圆内接 等边三角形BCD的顶点B为弦 的一个端点，当另一点在劣弧 .0 CD上时，|BE|>|BC|，而弧CD C D 的长度是圆周长的三分之一， 所以可用几何概型求解，有
0 10 20 30 40 50 60
1 答：等待的时间不多于10分钟的概率为 6
60 50 1 P ( A) . 60 6
例2.有一杯500ml的水, 其中含有1个细菌,用 一个小杯从这杯水中 取出2ml升,求小杯水 中含有这个细菌的概 率.
例3.如右图,假设你在每 个图形上随机撒一粒 黄豆,分别计算它落到 红色部分的概率.
2
答：椭圆面积为1.2.
学法领悟
提 示
对于复杂的实际问题, 解题的关键是要建立模 型,找出随机事件与所有 基本事件相对应的几何 区域,把问题转化为几何 概率问题,利用几何概率 公式求解.
练习
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽 车在1～3分钟之间到达的概率。 分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则 31 2 P ( A) 5 5 2 所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率 5 为
【例3】已知关于x的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1 (1)设集合P={-1,1,2,3,4,5}，Q={-2,-1,1,2,3,4}， 分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b， 求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率
x y 80 (2)设点P(a,b)是区域 x 0 内的随机点， y 0 求函数f(x)在区间[1,+)上是增函数的概率
注:
（1）古典概型与几何概型的区别 在于:几何概型是无限多个等可能事 件的情况，而古典概型中的等可能 事件只有有限多个；
(2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、 立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积 和体积.
三、几何概型的基本应用举例
例1. 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收 音机,想听电台报时,求他等待的时间不多 于10分钟的概率.
3.下列概率问题中哪些属于几何概型？（口答） ⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正 品的概率。 ⑵箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm， 任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？ ⑶随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面 朝上的概率。 ⑷在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏 着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概 率是多少? （1）（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型
3.3.1 几何概型
复习回顾 古典概型的两个基本特征?
(1) 有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限 个,即只有有限个不同的基本事件； (2) 等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等的.
现实生活中,有没有实验的所有可能 结果是无穷多的情况? 相应的概率如何求?
问题1
在转盘游戏中，当指针停止时，为什 么指针指向红色区域的可能性大？
因为红色区域的面 积大，所以指针落 在红色的区域可能 性大。
问题2：甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时, 甲获胜,否则乙获胜. 甲乙两人谁获胜的概率大?
探索
上述问题中，基本事件有无限多个， 虽然类似于古典概型的“等可能性” 还存在，但显然不能用古典概型的方 法求解，怎么办呢？
事实上,甲获胜的概率与字 母B所在扇形区域的面积有 关,而与字母B所在区域的位 置无关.
分析：点M随机地落在线段AB上，故线段 AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’上 时，AM＜AC，故线段AC’即为区域d。 解： 在AB上截取AC’=AC，于是 P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）
AC' AC 2 = = = AB AB 2
1-3古典概型与几何概型
例（会面问题）甲、乙两人相约8点到9点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可 离去，试求这两人能会面的概率． 解： 以x，y分别表示甲、乙两人的到达时刻，则两人能
y
60
会面的充要条件为 x y 20
y x 20
x y 20
{( x , y ) | 0 x 60, 0 y 60} A {( x , y ) | ( x , y ) ,| x y | 20}
事件分别为A,B,C,D.
（1）第i次取到的是黑球；
…
1 2 i
…
a+b
a ab
P ( A)
a [(a b 1)!] ( a b )!
----------抽签的公平性
(2)第i次才取到黑球；
…
1
P( B)
…
i-1
2
a Pb
i 1
3
i
a Pb
i i 1
a+b
r
2( n r 1) n( n 1)
n!
练习：
P30 : 12
（2）袋中取球问题（有无放回取球，取球是否考虑顺序） 例：一个袋子中装有10个大小相同的球，其中 3个黑球，7个白球。每次随机地从袋中取一 球，连续取两次。 取球方式 (1)无放回 (2)有放回
分别求下列事件的概率：
(1)取到的两球刚好一个白球一个黑球 (2)两个球全是黑球 (3)两个球中至少有一个黑球
P ( A) 1 P ( A) 1 C 9995 C10000
10 10
0.00499
2.《学习指导与习题解析》：P21:6, P23:9
高中数学必修三几何概型 (共25张PPT)
应用拓展：
例1： 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收 音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟 的概率是多大？
讨论交流：
1）这是什么概型，为什么？
（几何概型）
2）借助什么样的几何图形来表示随 机事件与所有基本事件？
（线段或圆）
3）该如何建立数学模型？
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得
试验一：
一个边长为2a的正方 形，阴影部分面积是 整个正方形面积的 0.25，向正方形内随 机地丢豆子，则豆子 落在阴影部分的概率 是多少？ 问题3：如果“豆子落在阴影部分”记为事件A，事件A所 包含的基本事件是什么？这个试验的基本事件是什么？
问题 4：如何求事件 A的概率？ 事件A 包含的基本事件是豆子落在阴影部分中任意一点；
2（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，任
取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y >1 ”
的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y >1 ”的概率。
y 4 3 2 1
这个试验的基本事件是在 300ML 水中任意一点发现草履虫。 构成事件A 的区域体积 P A 试验的全部结果所构成的区域体积
几何概型概念： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称为几何概型. 问题7 这三个试验的共同特点是什么？
高三 概率训练(1-3)含答案
概率训练(一)基础巩固练一、选择题1．在下列六个事件中，随机事件的个数为()①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．A．2 B．3 C．4 D．5[解析]①⑥是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件．故选A．[答案] A2．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“出现两次正面”，事件N：“只出现一次反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件．其中，真命题是() A．①②④B．②④C．③④D．①②[解析]对于①，“出现两次正面”的对立事件应为“只出现一次反面”或“出现两次反面”，故①错误．对于②，对立事件必是互斥事件，故②正确．对于③，互斥事件不一定是对立事件，故③错误．对于④，事件A，B互为对立事件，则在一次试验中A，B一定有一个发生，故④正确．故选B．[答案] B3．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是() A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生[解析]在所选的4名同学中，“恰有2名男生”的实质是选出“2名男生和2名女生”，它与“恰有4名男生”不可能同时发生．所以A选项是互斥事件，但不是对立事件；“至少有3名男生”包括“3名男生，1名女生”和“4名男生”两种结果，这与“全是男生”可同时发生．所以B选项不是对立事件；“至少有1名男生”包括“1名男生，3名女生”、“2名男生，2名女生”、“3名男生，1名女生”和“4名男生”四种结果，这与“全是女生”不可能同时发生，且其中必有一个发生．所以C选项是互斥事件，且是对立事件；“至少有1名男生”包括“1名男生，3名女生”、“2名男生，2名女生”、“3名男生，1名女生”和“4名男生”四种结果，“至少有1名女生”包括“3名男生，1名女生”、“2名男生，2名女生”、“1名男生，3名女生”和“4名女生”四种结果，它们可能同时发生．所以D选项不是对立事件．故选C．[答案] C4．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡[解析]至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A．[答案] A5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5；43.5)3.根据样本的频率分布估计，数据在[31.5,43.5)的概率约是( )A ．16B ．13C ．12D ．23[解析] 根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5,43.5)范围的有[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3，∴满足题意的数据有12＋7＋3＝22(个)，总的数据有66个，∴数据在[31.5,43.5)的频率为2266＝13，由频率估计概率得P ＝13.故选B ．[答案] B二、填空题6．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为__________．[解析] 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.[答案] 0.37．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235， 现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．[解析] 从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735.[答案] 17358．一只不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．[解析]由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件．故至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝14 15.[答案]8151415三、解答题9．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区数)；(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．[解](1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54，0.52，0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.10．某超市有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C ．求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解] (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120.(2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)P (A ∪B )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.能力提升练11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件[解析] 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，其事件的关系可由如图所示的V enn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D ．[答案] D12．(2019·湖北黄石联考)天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨，投三次骰子代表三天，产生的三个随机数作为一组，得到的10组随机数如下：613,265,114,236,561,435,443,251,154,353.则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为( )A ．12，38B ．12，18C ．13，15D ．13，29[解析] 由题意可得，每天下雨的概率P (A )＝26＝13；由10组数据可得三天中有两天下雨的概率P (B )＝210＝15.故选C ．[答案] C13．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级产品的概率为0.03，丙级产品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．[解析] 记“生产中出现甲级产品、乙级产品、丙级产品”分别为事件A ，B ，C ．又事件A ，B ，C 彼此互斥．由题意可得，P (B )＝0.03，P (C )＝0.01.故所求事件“抽得正品”即事件A ，其对立事件为B ∪C ． 因为事件B ，C 彼此互斥，由互斥事件的概率公式，可得P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.03＋0.01＝0.04.所以所求事件的概率P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－0.04＝0.96.[答案] 0.9614．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．[解]记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N*，k≤10)，则事件A k彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次，命中不足8环”．∴P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.拓展延伸练15．若p：“事件A与事件B是对立事件”，q：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．[答案] A16．(2019·河南平顶山一模)甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为________．[解析] 白球没有减少的情况有：①抓出黑球，放入任意球，概率为58.②抓出白球放入白球，概率为38×511＝1588，所求事件概率为：58＋1588＝3544.[答案] 3544概率训练(二)基础巩固练一、选择题1．(2019·福建厦门月考)甲、乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23[解析] 由题意，甲、乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9(种)不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是39＝13.故选B ．[答案] B2．利用计算机在区间(0,4)内产生随机数a ，则不等式log 2(2a －1)<0成立的概率是( )A ．78B ．34C ．14D ．18[解析] 由log 2(2a －1)<0，可得0<2a －1<1，即12<a <1.由几何概型的概率计算公式，可得所求概率P ＝1－124－0＝18，故选D ． [答案] D3．在边长为2的正方形ABCD 内任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为( )A ．π8B ．π4C ．12D ．14[解析]如图所示，以AB 为直径作圆，则圆在正方形ABCD 内的区域为半圆(阴影部分)，其面积S ＝12×π×12＝12π，且满足条件∠AMB >90°的点M 在半圆内，故满足∠AMB >90°的概率P ＝S S 四边形ABCD ＝12π22＝π8，故选A ．[答案] A4．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )A ．12B ．13C ．23D ．56[解析] 设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为B ．则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.故选C ．[答案] C5．(2019·商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A ．79B ．13C ．59D ．23[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.故选D ．[答案] D二、填空题6．从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是__________．[解析] 所有没有重复数字的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32，共9个，其中所得两位数为偶数的有10,12,20,30,32，共5个，所以所求概率为59.[答案] 597．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12，∴P ＝1－π12. [答案] 1－π128．某单位从4名应聘者A ，B ，C ，D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有一人被录用的概率是________．[解析] 从4名应聘者A ，B ，C ，D 中招聘2人，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6种情况．而A 、B 2人中至少有1人被录用的情况有5种，所以A ，B 两人中至少有一人被录用的概率为56.[答案] 56三、解答题9．(2019·郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？[解] 用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件， 则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C ．事件B 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个．则P (B )＝1025＝25，所以P (C )＝1－P (B )＝35.因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．10．(2019·陕西西安期末)为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取人，所得成绩如下：57,63,65,68,72,77,78,78,79,80,83,85,88,90,95.(1)作出抽取的人的测试成绩茎叶图，以频率为概率，估计所有志愿者中成绩不低于90分的人数；(2)从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的人中恰有一人的成绩不低于90分的概率．[解] (1)以十位数为茎，以个位数为叶，作出抽取的人的测试成绩的茎叶图如图所示，由样本得成绩不低于90分的频率为215，故志愿者测试成绩不低于90分的人数约为215×1500＝200(人)．(2)设抽取的15人中，成绩不低于80分的志愿者为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中E ，F 的成绩不低于90分，则从成绩不低于80分的志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，D }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，E }，{A ，D ，F }，{A ，E ，F }，{B ，C ，D }，{B ，C ，E }，{B ，C ，F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{B ，E ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }，{C ，E ，F }，{D ，E ，F }，共20种．其中选取的3人恰有一人成绩不低于90分的不同取法有{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，E }，{A ，D ，F }，{B ，C ，E }，{B ，C ，F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }，共12种．所以选取的人中恰有一人的成绩不低于90分的概率为1220＝35.能力提升练11．(2019·唐山质检)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A ．34B ．12C ．13D ．35[解析] 作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC 上运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝l MmC 圆的周长＝12.故选B ． [答案] B12．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A ．14B ．38C ．12D ．58[解析] 直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则b a >1，(a ，b )的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，总基本事件数有16个，满足条件的(a ，b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故概率为38.故选B ．[答案] B13．(2019·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是__________．[解析] 如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12. [答案] 1214．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．[解] (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，因试验发生包含的事件有：当a ＝1时，b ＝－1,1,2,3,4；当a ＝2时，b ＝－1,1,2,3,4；当a ＝3时，b ＝－1,1,2,3,4，共15种．函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b a ≤1，即2b ≤a ，若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1；故事件包含基本事件的个数是5个，故所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为：⎩⎪⎨⎪⎧ (a ，b )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，a >0，b >0构成所求事件的区域为三角形部分， 由⎩⎨⎧ a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83， ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.拓展延伸练15．(2019·成都市高三二诊)两位同学约定下午5∶30～6∶00在图书馆见面，且他们在5∶30～6∶00到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )A ．1136B ．14C ．12D ．34[解析]如图所示，以5∶30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34. [答案] D16．(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为__________．[解析] 根据题意，点(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点即圆心(2,0)到直线的距离小于或等于半径r ，可得|2a |a 2＋b2≤2，化简得a ≤b ，满足条件的(a ，b )情况如下： ①a ＝1时，b ＝1,2，…，6，共6种；②a ＝2时，b ＝2,3，…，6，共5种；③a ＝3时，b ＝3,4,5,6，共4种；④a ＝4时，b ＝4,5,6，共3种；⑤a ＝5时，b ＝5,6，共2种；⑥a ＝6时，b ＝6,1种．总共有：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，故所求概率P ＝2136＝712.[答案] 712概率训练(三)1．(2019·河南豫南九校联考)下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元)，其中年份代码x ＝年份－2013.(1)已知y 并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；(2)随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －，K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋D ．[解] (1)由题意得x ＝2.5，y ＝200，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14x i y i ＝2355，所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －y －∑i ＝14x 2i －4x－2＝2355－4×2.5×20030－4×2.52＝71，所以a ^＝y －－b ^x －＝200－71×2.5＝22.5，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝71x ＋22.5.由于2018－2013＝5，所以当x ＝5时，y ^＝71×5＋22.5＝377.5， 所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元．(2)由题可得2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝55×50×30×75≈6.109. 由于6.109>5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．2．(2018·合肥第二次质量检测)某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下：甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98；乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.(1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的成绩差异较大，并说明理由；(2)从这两个小组成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．[解] (1)茎叶图如图，由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以甲组同学的成绩差异较大．(也可通过计算方差说明，s2甲＝101.6，s2乙＝37.4，s2甲>s2乙)(2)设甲组成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3；乙组成绩在90分以上的三位同学为B1，B2，B3.从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)；(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)；(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)；(B1，B2)，(B1，B3)；(B2，B3)．其中，从这6位同学中选出的2位同学不在同一个小组的基本事件有9个，所以所求概率P＝915＝3 5.3．(2018·江西新余二模)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户，五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．[解] (1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴6x ＝0.05，∴x ＝120.(2)设中位数为a ，则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5，∴a ＝953≈32，则中位数为32.(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．4．(2018·湖南五校联考)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x y ∑i ＝1n x 2i －n x 2＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y ^－b ^x ，参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1092，112＋132＋122＋82＝498 [解] (1)设“抽到相邻两个月的数据”为事件A ．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率为P (A )＝515＝13.(2)由数据得x ＝11，y ＝24，由公式得b ^＝187.则a ^＝y －b ^x ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1507－22<2； 同样，当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪⎪⎪787－12<2. 所以，该小组所得线性回归方程是理想的．。
1-3概率的公理化体系及性质
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
83 3 333 250 1 . 2000 2000 2000 4
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 两个基本概率模型 古典概型：各样本点等可能出现，样本空间只有 有限个样本点。 m P ( A) n 几何概型：各样本点等可能出现，样本空间具有几 何度量。 L A P( A) L
A1 4只鞋子中恰有两只配成一双
于是 A A1 A2，且A1 A2 , 则 P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
1 2 2 2 C5 [C4 2 ] C5 13 4 4 21 C10 C10
另解 设A 4只鞋子都不能配成双
( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 设 x , y 分别为甲,乙两人到达的时
刻, 那末 0 x T , 0 y T .
两人会面的充 T 上点的坐标 , 则有如图区域。
a
针的中点M到最近的一条平行 直线的距离, 表示针与该平行直线的 夹角.
M x
那么针落在平面上的位 置可由( x , )完全确定.
投 针 试 验 的 所 有 可 能果 结 与矩形区域 a {( x , ) | 0 x ,0 } 2 中的所有点一一对应 .
概率的可列可加性
2. 性质 (1) P ( ) 0.
(2) 若A1 , A2 ,, An是两两互不相容的事件, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
【全程复习方略】高中数学 3.3.1 几何概型课件2 新人教A版必修3
【归纳】解答本题1，2需注意的问题. 解答本题1注意准确求解不等式|x|≤1； 解答本题2注意理解截距的意义.
与面积有关的几何概型问题
【技法点拨】
1.与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示,则其 概率的计算公式为:
P（A） 构成事件A的区域面积 . 试验的全部结果所构成的区域面积
2 故选D. P（ x 1） ． 3
2.选A．所有的基本事件构成的区间长度为 3-（-2）=5， ∵直线在y轴上的截距b大于1， ∴直线横截距小于-1， ∴“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间 长度为-1-（-2）=1，由几何概型概率公式得直线在y轴上的截
距b大于1的概率为 P 1 ， 故选A．
2.概率为0的事件是否一定是不可能事件？ 提示:不一定．设Ω={（x,y）|x2+y2≤4}，A={（x,y）|x2+y2=4}，
Ω为圆域，而A为圆周，向区域Ω内投点，则点落在A上的概率
P（A） A的面积 0 0，而点落在圆周上的情况是可能发生 的面积 4
的．故概率为0的事件不一定是不可能事件．
2.解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 （1）根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； （2）找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的 几何特征计算相关面积； （3）套用公式，从而求得随机事件的概率.
【典例训练】
1.（2011·福建高考）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，
若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概
3.3.1 几何概型
1.理解几何概型的定义及其特点. 2.会用几何概型的概率公式求几何概型的概率.
高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2几何概型均匀随机数的产生课件新人教A版
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车 站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是31.
拓展提升 1.解几何概型概率问题的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能 性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域 D； (3)把所求随机事件 A 转化为与之对应的区域 I； (4)利用概率公式计算．
【跟踪训练 2】 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB
中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内随
机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．1－π2 B.21－π1
2
1
C.π
D.π
解析 设扇形的半径为 2，则其面积为π×422＝π.阴影部 分的面积可转化为扇形的面积减去△AOB 的面积，即阴影 部分的面积为 π－12×2×2＝π－2.因此任取一点，此点取自 阴影部分的概率为π－π 2＝1－2π.
拓展提升 1.解与体积有关的几何概型的关键点 分清题中的条件，提炼出几何体的形状，找出总体积是 多少以及所求的事件占பைடு நூலகம்的几何体是什么几何体，并计算出 体积． 2．与体积有关的几何概型概率的求法 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表 示，则其概率的计算公式为 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的体区积域体积.
所以作 AC′＝AC，且∠ACC′＝180°2－45°＝67.5°.
如图，当 CM 在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有 AM<AC′＝AC，即 P(AM<AC)＝6970.5°°＝34.
探究 5 用随机模拟法估计图形的面积
数学必修三 几何概型 新课标人教B版 .ppt
定义：（1）试验中所有可能出现的基本事件
只有有限个; （2）每个基本事件出现的可能性相等. 我们将具有以上两个特点的概率模型称 为古典概率模型,简称古典概型.
概率计算公式: P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
问题1.
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多 大？
2a, A 2a 2r
A 2a 2r a r P( A) 2a a
ar 所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为 。 a
思路三
解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A。 为了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线 段，其长度2a即是几何概型定义中Ω的几何度量。 当硬币不与平行线相碰时，硬币中心O可 移动长度2a-2r即是子区域A的几何度量。 这是一个几何概型问题。
基本事件:
从3m的绳子上的任意一点剪断.
问题2.
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小 杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这 个细菌的概率.
提出问题
思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？
为什么？
古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的。
那么对于有无限多个试验结果 （不可数）的情况相应的概率应 如何求呢?
（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个; （2）每个基本事件出现的可能性相等.
1、几何概型是怎样定义的？ 事件A理解为区域Ω 的某一子区域A，A的概率只与子 区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的 位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。
3.几何概型的概率计算公式
高中数学必修三-几何概型
几何概型知识集结知识元几何概型知识讲解1．几何概型1．定义：若一个试验具有下列特征：（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）＝称为事件A的几何概率．例题精讲几何概型例1.设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）<1的概率为（）A．B．C．D．例2.一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，如图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为（）A．2 B．3 C．4 D．5例3.'已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），求当x，y∈R时，P满足（x-2）2+（y-2）2≤4的概率．' 当堂练习单选题练习1.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的文化信息，现有一幅剪纸的设计图（如图），其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的邻边，若在该正方形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．（3-2）（π-2）D．练习2.已知正数a，b均小于2，若a、b、2能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形的三条边长的概率是（）A．B．C．D．练习3.如图，在矩形OABC中的曲线分别是y=sin x，y=cos x的一部分，A（，0），C（0，1），在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则（）A．P1<P2B．P1>P2C．P1=P2D．大小关系不能确定练习4.利用Excel产生两组[0，1]之间的均匀随机数：a=rand（），b=rand（）：若产生了2019个样本点（a，b），则落在曲线y=1、y=和x=0所围成的封闭图形内的样本点个数估计为（）A．673 B．505 C．1346 D．1515练习5.将曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ，曲线x2+y2=1围成的区域记为Ⅱ，曲线x2+y2=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，则（）A．p1+p2>1 B．p1+p2<1C．p1+p2=1 D．p1=p2填空题练习1.中国最早的一部数学著作《周髀算经》的开头就记载了利用赵爽弦图证明了勾股定理，赵爽弦图（如图所示）是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成若在大正方形中随机取一点该点落在阴影部分的概率为，则直角三角形中较小角的正切值为__．_练习2.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为α，现_向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为，则cosα=__练习3.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为___．练习4.已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[-1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆_C相交”发生的概率为__解答题练习1.'已知两数f（x）=ax2-bx+1．（1）若a，b都是从集合{0，1，2，3}中任取的一个数，求函数f（x）没有零点的概率；（2）分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b），若P={x|1≤x≤3}，Q={x|0≤x≤4}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．'练习2.'已知函数f（x）=ax+b∙2x-2，其中，0≤b≤4．（1）当a=1时，求函数f（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立的概率；（2）当0≤a≤2时，求函数f（x）在区间x∈[0，1]上有且只有一个零点的概率．'练习3.'袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个，从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（1）记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；（2）在区间[0，2]内任取2个实数x，y，记（a-b）2的最大值为M，求事件“x2+y2<M”的概率．'。
人教版高中数学必修3(A版) 几何概型 PPT课件
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第二种三块区域圆心 角之比为1:2:3;
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第三种圆盘两圆的半 径之比为1:2
[情境二] 问题1:在区间[0，9]上任取一个整数,恰 好取在区间[0，3]上的概率为多少? 2
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问题2:在区间[0，9]上任取一个实数,恰 好取在区间[0，3]上的概率为多少? 1
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探究:
请问飞镖射中靶心A（看成一个点）的 概率是多少?
中国刑法第三百零三条规定:以营利为目的,聚众 赌博或者以赌博为业的,处三年以下有期徒刑、拘役 或者管制,并处罚金;“开设赌场的,处三年以下有期徒 刑、拘役或者管制,并处罚金;情节严重的,处三年以 上十年以下有期徒刑,并处罚金.
复习提问：
1、古典概型的两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2、计算古典概型的公式:
几何概型的概率计算公式：
构成事件A的测度（长度、弧度、 角度、面积、体积） P( A) 全部结果的测度（长度 构成事件A的测度（长度、弧度、 角度、面积、体积） P( A) 全部结果的测度（长度 、弧度、角度、面积、 体积）
例1：取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意
A包含基本事件的个数 公式：P( A) 基本事件的总数
创设情境：
情境一:摸球游戏：袋子中有分别写有1 号、2号、3号、4号、5号的5个球, 问题:随机抽取一个抽到1号的概率是多 1 少? 5 上述情景改为如图所示，问 1 5 题:圆盘中指针指到到1号的 4 2 概率是多少? 3
注:五个扇形区域面 积相同;
解:设A={等待的时间不多于10分钟}. 所求的事件A恰好是打开收音机时的 时刻位于[50,60]时间段内。 因此由几何概型的概率公式得
人教版数学高一-人教A必修三 3.3六种常见的“几何概型.
六种常见的“几何概型” 一般地，就基本事件的空间的几何度量（长度、面积、体积等）而言，我们可以把几何概型分为：区间长度型、线段长度型、角度型、周长（弧长）型，面积型和体积型，举例说明如下： 一、区间长度型 例1.设m 在[0,5]上随机地取值，求方程02142=+++m mx x 有实数根的概率． 分析：由于m 在［0,5］上随机地取值，样本点是连续无限的，所以属于几何概型的问题，只要求出使方程02142=+++m mx x 有两数根的m 的取值范围则问题便 可迎刃而解．解：方程有实数根10)214(42-≤⇒≥+-=∆⇒m m m 或m ≥2. ∵m ∈[0,5]，方程02142=+++m mx x 有实数根时m 的取值范围为[2,5]. ∴方程02142=+++m mx x 有实根的概率为53]5,0[]5,2[==的长度区间的长度区间P ． 点评: 本题把方程与几何概型巧妙地结合起来,背景新颖且韵味无穷.二、线段长度型例2.有一根长4m 的木料，现随机地把它截成两截，求截得的两段长度都不小于1.2 m 的概率.解：如图所示，设线段AB 的长为4 m ，在线段AB 内取点C 和D ，使AC=BD=1.2 m ，则CD=4-1.2-1.2=1.6(m)．要使“把一根长4m 的木料随机地锯成两截，得到两段长度都小于1.2 m ”，则分点（锯点）必须在线段CD 上(包括端点C 、D 在内)，所以所求的概率为5246.1==P . 三、角度型例3.如图所示，在直角坐标系中，射线OA 落在800角的终边上，任意作射线OB,求射线OB 落在∠xOA 外的概率．分析：由于以O 为起点作射线OB 是随机的，而射线OB 落在直角坐标平面上任何位置上是等可能的，所以射线OB 落在∠xOA 外只与∠xOA 的大小有关.解：设事件A=｛射线OB 落在∠xOA 外｝，事件B={射线OB 落在∠xOA 内}，显然，事件A 与事件B 是对立事件．∵∠xOA=800, 9236080)(00==B P ,∴97921)(1)(=-=-=B P A P .点评:在本题中事件的“测度”是角度.本题根据射线OB 落在直角平面上任何位置是等可能的,这时与试验有关的问题,即可利用几何概型来解决.四、周长（弧长）型例4.设有一个均匀的陀螺，在其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1]上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1,3]的诸数字（所有的数字均按大小排列，且0与3重合）．旋转陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率．解：圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1]上的概率为P 1，圆周上触及桌面的刻度位于[1,1.5]上的概率为P 2.∵位于区间[0.5,1]的长度只占半个圆周的21，∴[0．5，1]的长度占了整个圆周的41，∴411=P ，同理，在另一个半圆周上，由于该半圆上均匀地刻上区间[1,3]的诸数字，而在该区间上的子区间[1,l.5]只占该半圆的41，所以，它的长度占了整个圆周的81. ∴812=P ,故圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率为83814121=+=+=P P P . 点评:解决问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 五、面积型 例5.在区间[-2,2]上任意取两数a,b,求二次方程x 2-ax+b=0有实数根的概率.解：若原方程有实数根，则△=(-a)2-4×1×b 2≥0,即(a-2b)·(a+2b)≥0．则有⎩⎨⎧≥+≥-,02,02b a b a ,或⎩⎨⎧≤+≤-.02,02b a b a ,又a,b ∈[-2,2]，即-2≤a ≤2, -2≤b ≤2，所以基本事件的空间为{ (a, b)|-2≤a ≤2, -2≤b ≤2}，反映在直角坐标系上，就是上图所示的正方形ABCD 区域．而事件A={二次方程x 2-ax+b 2=0有实根}={(a, b)|a-2b ≤0,且a+2b ≤0}∪{(a,b)|a-2b ≥0, 且 a+2b ≥0}，反映在直角坐标系上，就是图中阴影部分的区域.故所求事件的概率为4144)1221(4=⨯⨯⨯⨯=P . 点评：本题根据二次方程x 2-ax+b=0有实数根的条件，列出不等式，画出图象利用公式求解。