1.4条件概率与乘法公式
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概率论 条件概率、乘法公式与全概率公式
P( AB ) P( A | B) P( B)
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B就变成了新 的样本空间 , 于是 就有(1).
(1)
具体计算时，并不一定用到(1),可直接 从加入条件后的新的样本空间B去考虑.
故P( A) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A 2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
10 9 90 0 . 0083 100 99 98
A A1 A2 A3 .
1.4.3 概率基本公式
概率基本公式——全概率公式和贝叶斯公式. 主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实 质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0, 则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω |B)=1； 3. 设A1, A2,…两两互斥，则
P(( A1 A2 ) | B)) P( A1 | B) P( A2 | B)
而且，前面对概率所证明的一切性质， 也都适用于条件概率.
1.4.2 乘法公式
P( AB) P( A | B) , P( B)
得
P(B)>0 (2)
P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)>0
P( AB) P( B | A) , P( A)
得
P(AB)=P(A)P(B|A)
(3)
(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们 可计算两个事件同时发生的概率.
P( A i B) 故P( A i | B) P( B)
＝ P( A i ) P( B｜A i )
3.第一章第四节条件概率与全概率公式
条件概率的性质
性质1
性质2
0 P( A | B) 1, P( | B) 1, P( | B) 0.
若A与B互不相容，则
P( A
性质3
B | C ) P ( A | C ) P ( B | C ).
P( A | B) 1 P( A | B).
概率的乘法公式： (1)当P(A)>0时，有P(AB)=P(A)P(B|A). (2)当P(B)>0时，有P(AB)=P(B)P(A|B). 乘法公式还可以推广到n个事件的情况：
定义1-3 设事件A1,A2,…,An满足如下两个条件： (1)A1,A2,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n; (2)A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An=Ω,即A1,A2,…,An至少有一个发 生,则称A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分. 全概率公式 设随机试验对应的样本空间为Ω,设A1,A2,…,An 是样本空间Ω的一个划分,B是任意一个事件,则
是任一事件,且P(B)>0,则
P ( Ai | B ) P ( Ai ) P ( B | Ai ) P( B) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( A )P ( B | A )
k 1 k k
n
, i 1, 2, ..., n.
注：Bayes公式求的是条件概率.
例1-27 在例1-24的条件下,若第二次取到白球,求第一次取 到黑球的概率.
例1-22 盒中有5个白球2个黑球,连续不放回的在其中取3
次球,求第三次才取到黑球的概率. 解 设Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率为
5 4 2 4 P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) . 7 6 5 21
1.4条件概率及有关公式
入场 券
5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么 也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
后抽比先抽的确实吃亏吗？
18
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用 概率论的知识来计算一下,每个 人抽到“入场券”的概率到底 有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
19
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5.
则 A表示“第i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
20
由于
A2 A1 A2
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
8
例2 设某厂生产的灯泡能使用1000小时 以上的概率为0.9,能使用1500小时以上的 概率为0.3, 如果有一个灯泡已经使用了 1000小时没有损坏,求它能使用1500小时 以上的概率 解: A: “灯泡能使用1000小时以上” B:“灯泡能使用1500小时以上”
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入 场券” 的概率都是1/5. 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 也就是说， 抽签不必争先恐后.
22
三、全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
31
例6 两批相同种类的产品各有十二件和 十件,每批产品中各有一件废品,现在先从 第一批产品中任取一件放入第二批中,然 后再从第二批中任取一件,求这时取到废 品的概率 解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 有, P ( B) 1 , P ( B ) 11 12 12
5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么 也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
后抽比先抽的确实吃亏吗？
18
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用 概率论的知识来计算一下,每个 人抽到“入场券”的概率到底 有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
19
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5.
则 A表示“第i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
20
由于
A2 A1 A2
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
8
例2 设某厂生产的灯泡能使用1000小时 以上的概率为0.9,能使用1500小时以上的 概率为0.3, 如果有一个灯泡已经使用了 1000小时没有损坏,求它能使用1500小时 以上的概率 解: A: “灯泡能使用1000小时以上” B:“灯泡能使用1500小时以上”
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入 场券” 的概率都是1/5. 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 也就是说， 抽签不必争先恐后.
22
三、全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
31
例6 两批相同种类的产品各有十二件和 十件,每批产品中各有一件废品,现在先从 第一批产品中任取一件放入第二批中,然 后再从第二批中任取一件,求这时取到废 品的概率 解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 有, P ( B) 1 , P ( B ) 11 12 12
1.4条件概率
解:一共有三个回合，设B {乙机被击落}，
Ai {第i个回合乙机击落},i 1,3,则B A1 A3
P(B) P( A1 A3) P( A1) P( A3)显然，P（A1） 0.2
P（A3） P（第一回合中没有击落乙机，第二回合中乙机 没击落甲机，第三回合中甲机击落乙机）
故有P( A3） 0.8 0.7 0.4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)
事件A包含的基本事件为上三行，AB包含的基 本事件为左上角的6个，则由条件概率公式得：
P( B | A ) P( AB ) 6 / 20 0.5 P( A ) 12 / 20
方法二：按条件概率的直观意义来求P(B|A)
任取3个球来用,比赛后放回盒中,第二次比赛再从盒中任
取3个,求第二次取出的球都是新球的概率.
解：Ai {第1次取得i新球},i 0,1, 2,3；B {第二次取得3新球}；
3
利用全概率公式得：P(B) P(Ai) p(B | Ai) i0
P(B
|
Ai )
P(
C3 7i
C135
Ai
;i
)
C7i C83i C135
3
4
5
解：P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A | B)
1 [1 P(A | B)] 2[1 P(A | B)] 1 4 2 3 23
3
3
3 5 3 4 30
例 一商店出售的某型号的电子管是甲,乙,丙三家工厂生产的,其中 甲厂产品占总数的20%,乙, 丙厂分别为50%, 30%。已知甲,乙, 丙各厂产 品次品率分别为0.01, 0.02, 0.03.试求随意取一只电子管出售,这只电子管 是次品的概率。
Ai {第i个回合乙机击落},i 1,3,则B A1 A3
P(B) P( A1 A3) P( A1) P( A3)显然，P（A1） 0.2
P（A3） P（第一回合中没有击落乙机，第二回合中乙机 没击落甲机，第三回合中甲机击落乙机）
故有P( A3） 0.8 0.7 0.4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)
事件A包含的基本事件为上三行，AB包含的基 本事件为左上角的6个，则由条件概率公式得：
P( B | A ) P( AB ) 6 / 20 0.5 P( A ) 12 / 20
方法二：按条件概率的直观意义来求P(B|A)
任取3个球来用,比赛后放回盒中,第二次比赛再从盒中任
取3个,求第二次取出的球都是新球的概率.
解：Ai {第1次取得i新球},i 0,1, 2,3；B {第二次取得3新球}；
3
利用全概率公式得：P(B) P(Ai) p(B | Ai) i0
P(B
|
Ai )
P(
C3 7i
C135
Ai
;i
)
C7i C83i C135
3
4
5
解：P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A | B)
1 [1 P(A | B)] 2[1 P(A | B)] 1 4 2 3 23
3
3
3 5 3 4 30
例 一商店出售的某型号的电子管是甲,乙,丙三家工厂生产的,其中 甲厂产品占总数的20%,乙, 丙厂分别为50%, 30%。已知甲,乙, 丙各厂产 品次品率分别为0.01, 0.02, 0.03.试求随意取一只电子管出售,这只电子管 是次品的概率。
《概率学》1.4条件概率与独立性
(2)若n个事件A1, A2, …, An独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也独立．
(3) 若A1, A2, …An是相互独立的，则 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An）;
P(A1 A2 An) 1 P(A1 A2 An).
1 P( A1 A2
An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P(1An ). 6 山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
解： 设A, B, C 分别表示甲、乙、丙机床不需要照看三 个事件，则 P(A) = 0.1，P(B) = 0.2，P(C) = 0.15
由题意A, B, C 相互独立，所求概率分别为
(1) P( ABC) P( A)P(B)P(C) 0.1 0.2 0.15 0.003.
(2) P( A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC)
（2） P( A1 A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2)
3 2 7 0.0583.
10 9 8
1
0
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例5(罐子模型). 罐中有 a 个白球、b 个黑球，每次从 中任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球,若连 续从罐中取球三次, 求三次都取到黑球的概率 .
第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例7.一工人照看三台机床，在一小时内甲、乙、丙 三台机床不需要照看的概率分别为0.1，0.2和0.15，各 台机床是否需要照看是独立的。求在一小时内 (1)没有 一台机床需要照看的概率； (2)至少有一台机床不需 要照看的概率； (3)最多有一台机床需要照看的概率。
条件概率与乘法公式
⑵一般地，对n个事件 A1, A2 ,, An ，有
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 )P( An A1A2 An1)
例4：已知全部产品中有4%是废品，而合格品中有 75%是一级品，随机抽取1件产品，求它是一 级品的概率.
解：设A=“合格品”，B=“一级品”，则：
结论：从⑷的计算中，我们可以看到其概率是在缩 减了的样本空间来计算的. 原来的样本空间 基本事件总数为100，现在由于是在已知其 长度合格的条件下，故样本空间缩减为95个 基本事件. 从而，根据古典概率计算公式有：
P(D) 92 92 /100 P( AB) 95 95 /100 P( A)
解：A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签，则： （1） P(A) 4 /10 2 / 5
（2）即求事件 AB 的概率 P(AB) P(A)P(B A) 2 1 2 5 3 15
（3）即求事件 AB 的概率 P(AB) P(A)P(B A) 3 4 4 5 9 15
（4）即求事件ABC 的概率 P(ABC) P(A)P(B A)P(C AB) 2 1 1 1 5 3 4 30
中有12人是本地人，7人是外地人；设事件 A 表示男生，事件 B 表示本地人，求：
P(A), P(B), P(B A), P(A B)
解：显然： P( A) 31 50
P(B) 23 50
P(B A) 11 31
P(A B) 11 23
例3：口袋里装有5个黑球与3个白球，每次任取1个
球，不放回取2次，设事件 A表示第一次取到 黑球，事件 B表示第二次取到黑球，求： P(B A), P(B A).
例6：确定助教抓阄问题 我们班总共有5位同学愿意承担助教工作， 但只需要1位同学，现抓阄决定谁当选.而 抓阄时，总有人先抓，有人后抓，这时他 们当选的机会均等吗？为什么？
1.4条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
P ( B1
|
A)
P(B1 ) P( A | B1 ) P(B1 ) P( A | B1 ) P(B2 ) P( A |
B2 )
0.55. P(B3 )
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
注
（1）PBi 称为“先验概率”， PBi | A 称为“后验概率”；
（2）贝叶斯公式——探求结果 A的发生由原因 Bi 所导致的概率；
为色盲，求此人是男性的概率？
解 设 A 表示“抽取的人为色盲”，B 表示“抽取的人为男性”，则
P( A) P(B) P( A | B) P(B) P( A | B)
3 5% 2 2.5% 4%.
5
5
P(B | A) ?
P(B | A) P( AB)
P(B)P(A| B)
3.
P( A) P(B) P( A | B) P(B) P( A | B) 4
4%，2%，4%. 试计算:（1）从总产品中任取一件是不合格产品
的概率;（2）从总产品中任取一件是不合格产品，那么这件产品
是由 1 号工厂生产的概率?
解 设 A 表示“从总产品中任取一件是不合格产品”，Bi (i 1, 2, 3) 表示“从总产品中任取一件是第 i 号工厂生产的”.
P( A) P(B1 ) P( A | B1 ) P(B2 ) P( A | B2 ) P(B3 ) P( A | B3 ) 45%4% 35%2% 20%4% 0.033.
PB
|
A
P( AB) P( A)
0.2 0.4
1， 2
（2） P B
|
A B
P
BA B PA B
P A
P B PB
P AB
条件概率与乘法定理
条件概率与乘法定理
在概率论中，条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
它的计算方法可以由乘法定理来表示。
乘法定理是概率论中的基本定理之一，它表明两个事件共同发生的概率等于其中一个事件发生的概率乘以在该事件发生的条件下另一个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A|B)表示已知B事件发生的条件下，A事件发生的概率；P(A∩B)表示A事件与B事件同时发生的概率；P(B)表示B事件发生的概率。
乘法定理可以表示为：
P(A∩B) = P(A|B) * P(B)
这意味着事件A与事件B同时发生的概率等于已知B事件发生的条件下，A事件发生的概率乘以B事件发生的概率。
条件概率与乘法定理在实际应用中具有重要的意义。
例如，在医疗诊断中，通过已知某种疾病的患病率以及某种诊断方法的准确率，可以计算出在进行该诊断方法的情况下，某人患病的概率。
在金融风险评估中，可以通过已知某种投资品的风险以及市场情况的变化，来计算在特定市场条件下的投资风险。
此外，条件概率与乘法定理也在统计学中被广泛应用。
在贝叶斯定理中，条件概率是重要的基础，用于根据先验概率和观察到的证据来更新概率分布。
总结起来，条件概率与乘法定理是概率论中重要的概念和工具，它们能够帮助我们计算两个事件共同发生的概率。
在实际应用中，我们可以利用条件概率和乘法定理来进行各种概率计算和预测，从而帮助我们做出更加明智的决策。