高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联词(2)课件新人教A版选修1_1
[解析] ∵p 为真命题，q 为假命题， ∴p∧(¬ q)为真命题，故选 D．
5．(2016· 浙江温州高二检测)写出下列命题的否定与否命题，并判断它们的真 假. 导学号 03624195 (1)若 x、y 都是奇数，则 x＋y 是偶数； (2)若 A∪B＝B，则 A⊆B．
[解析] (1)命题的否定：若 x、y 都是奇数，则 x＋y 不是偶数，是假命题； 否命题：若 x、y 不都是奇数，则 x＋y 不是偶数，是假命题． (2)命题的否定：若 A∪B＝B，则 A B，是假命题； 否命题：若 A∪B≠B，则 A B，是真命题．
互动探究学案
命题方向1 ⇨命题的否定
写出下列命题的“¬ p”形式. 导学号 03624196 (1)p：3 是自然数； (2)p：∅⊆{1,2}； (3)p：李华是学生．
[解析] (1)¬ p：3 不是自然数． (2)¬ p：∅ {1,2}． (3)¬ p：李华不是学生．
『规律方法』 1.关于逻辑联结词“非” (1)“非”的意义是由日常语言中的“不是”、 “全盘否定”、 “问题的反面” 等抽象而来的，即与之相反的意思． (2)从集合角度理解“非”即集合运算“补” 设命题 p：x∈A(A⊆U)． 则¬ p⇔x∉A⇔x∈(∁UA)． 2．由命题 p 写¬ p 时，只否定其结论．
〔跟踪练习 1〕 导学号 03624197 写出下列命题的“¬ p”形式． (1)p：函数 y＝3x2 是偶函数； (2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
[解析] (1)¬ p：函数 y＝3x2 不是偶函数． (2)¬ p：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．
命题方向2 ⇨含逻辑联结词的命题真假的判断
真 真 假 假
真 假 真 假
1．若 p 是真命题，q 是假命题，则 导学号 03624191 ( D ) A．p∧q 是真命题 C．¬ p 是真命题 B．p∨q 是假命题 D．¬ q 是真命题
[解析] ∵p 是真命题，∴¬ p 是假命题， ∵q 是假命题，∴¬ q 是真命题， p∧q 是假命题，p∨q 是真命题.
2 ． (2016· 山 东 潍 坊 高 二 月 考 ) 若 命 题 “p ∧ q” 为 假 ， “¬ p” 为 假 ， 则 导学号 03624192 ( B ) A．p 或 q 为假 C．q 真 B．q 假 D．p 假
[解析] “¬ p”为假，则“p”为真，由“p∧q”为假，知“q”为假．
3．若命题 p：x∈A∩B，则¬ p 为 导学号 03624193 ( B ) A．x∈A 且 x∉B C．x∉A 且 x∉B B．x∉A 或 x∉B D．x∈A∪B
[点评]
判断¬p的真假，一是利用 p与¬p的真假不同的性质，由 p的真假判
定 ¬p 的真假；二是利用所学知识直接判断 ¬p 的真假．另外，要熟练运用“至
少”、“最多”、“同时”以及“至少有一个是 (不是)”、“最多有一个是(不
〔跟踪练习 2〕 导学号 03624199 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1) 2是有理数；(2)5 不是 15 的约数；(3)2<3；(4)8＋7≠15；(5)空集是任何集 合的真子集．
[解析] (1) 2不是有理数，是真命题． (2)5 是 15 的约数，是真命题． (3)2≥3，是假命题． (4)8＋7＝15，是真命题． (5)空集不是任何集合的真子集，是真命题．
新课标导学
数 学
选修1-1 ·人教A版
第一章
常用逻辑用语
1.3 简单的逻辑联结词
1.3.3 非(not)
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
自主预习学案
莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的一个情节为：鲍西娅身边有金、银、铅三 只匣子，只有一只匣子里放着她的肖像，这三只匣子上面各刻 着一句话，金匣子上刻的是“肖像不在此匣中”，银匣子上刻 的是“肖像在金匣中”，铅匣子上刻的是“肖像不在此匣 中”，这三句话中只有一句是真话．谁能根据这些情况猜中肖 像放在哪只匣子里，她就嫁给谁．你能帮助求婚者吗？
[解析] 命题 p：x∈A∩B，即 x∈A 且 x∈B． ∴¬ p 为：x∉A 或 x∉B．
4．(2016· 山东济宁高二检测)已知命题 p：偶函数的图象关于 y 轴对称，命题 q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是 导学号 03624194 ( D ) A．p∧q C．(¬ p)∧q B．(¬ p)∧(¬ q) D．p∧(¬ q)
为x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p为真命题，即非p为假命题，所以原
命题为假命题． (2) 此命题为 “ ¬p” 的形式，其中 p ： A⊆(A∪B) ．因为 p 为真命题，所以 “¬p”为假命题，故原命题为假命题．
『规律方法』
1.判断含有逻辑联结词的复合命题真假的方法步骤为：
第一步，分析复合命题的结构，找到组成它的简单命题p和q. 第二步，利用数学知识，判定简单命题p和q的真与假． 第三步，利用真值表判定复合命题的真假． 2．否定性命题，可举反例判断真假．
¬ p ，读作 1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作_______ p的否定 ． 非p 或____________ _______
假 命题，若p是假命题，则¬p是______ 真 命题． 2．若p是真命题，则¬p是______
含有逻辑联结词的命题的真假判断如表： p q p或q 真 ______ 真 ______ 真 ______ 假 ______ p且q 真 ______ 假 ______ 假 ______ 假 ______ ¬p 假 ______ 假 ______ 真 ______ 真 ______
指出下列命题的真假： 导学号 03624198 (1)命题：“不等式|x＋2|≤0 没有实数解”； (2)命题：“A (A∪B)”．
[思路分析] 复合命题的真假判断， 一般应先弄清复合命题的形式和构成复合 命题的简单命题的真假，再利用复合命题的真值表来处理．
[解析]
(1)此命题是“¬p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因
高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语
常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假判断：例1、判断下列语句是否是命题？若是，判断其真假并说明理由。
1）x>1或x=1；2）如果x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形难道不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。
2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出判断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出判断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了判断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出判断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 判断下列语句是不是命题。
（1）2+22是有理数； （2）1+1>2； （3）2100是个大数； （4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？ （6）（6）x ≤3。
2. 判断下列语句是不是命题。
（1）矩形难道不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ （3）一个数不是合数就是质数。
（4）大角所对的边大于小角所对的边； （5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。
高中数学 复习课(一)常用逻辑用语讲义(含解析)新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教
复习课(一) 常用逻辑用语命题及其关系通过选择题、填空题的方式设置一些多知识点、知识跨度大的试题，考查命题及其关系，以及对命题真假的判断．[考点精要]四种命题的相互改写交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题．[注意] 互为逆否命题的两个命题，它们具有相同的真假性．[典例] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假命题)否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假命题)逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真命题)(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.(假命题)否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假命题)逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真命题)[类题通法]简单命题真假的判断方法[题组训练]1．命题“若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在[1，＋∞)上是增函数，则a ≤2”的否命题( ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题一真一假 C ．为假命题D ．为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在[1，＋∞)上不是增函数，则a >2”，为真命题，故选D.2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若a >b ，则3a >3b”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b”的逆否命题解析：选A 对于A ，逆命题是“若3a >3b，则a >b ”，是真命题；对于B ，否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；对于C ，否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题，因为当x ＝0时，x 2－x ＝0；对于D ，逆否命题是“若1a ≥1b，则a ≤b ”，是假命题，如a ＝1，b ＝－1.故选A.3．下列说法中错误的个数是( )①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x >1，则x －1>0”的否命题是“若x ≤1，则x －1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x ＝－4是方程x 2＋3x －4＝0的根”的否命题是“x ＝－4不是方程x 2＋3x －4＝0的根”A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x 2＋3x －4＝0的根”.充分条件与必要条件充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．[考点精要]充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．[典例] (1)(2017·某某高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·某某高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． [答案] (1)C (2)A [类题通法]充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[题组训练]1．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．3．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当x＝1.8，y＝0.9时，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，即〈x〉≠〈y〉；当〈x〉＝〈y〉时，必有|x－y|<1，所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件，故选B.含有逻辑联结词、量词的命题的真假，以及全称命题，特称命题的否定．[考点精要]1．含有逻辑联结词的命题与集合之间的关系2．全称命题、特称命题的否定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”，特称命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”．[典例] (1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0(2)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π；p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] (1)已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.(2)由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1；由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立．[答案] (1)C (2)A [类题通法]1．判断含有逻辑联结词的命题真假的方法 (1)先确定简单命题p ，q .(2)分别确定简单命题p ，q 的真假． (3)利用真值表判断所给命题的真假． 2．判断含有量词的命题真假的方法(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M 中每一个x 验证 p (x )成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M 中，能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题为假．(3)全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．[题组训练]1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 由题意p 与q 均为假命题，故p ∧q 为假．2．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________．解析：这里给出的是一个特称命题，其否定是一个全称命题．等于的否定是不等于． 答案：对任意的x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03．已知p ：点M (2,3)在直线ax －y ＋1＝0上，q ：方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋a ＝0表示圆，p ∨q 是假命题，某某数a 的取值X 围．解：当p 是真命题时，2a －3＋1＝0，即a ＝1， 所以当p 是假命题时，a ≠1；当q 是真命题时，1＋1－4a >0，即a <12，所以当q 是假命题时，a ≥12.又p ∨q 是假命题，所以p ，q 均为假命题， 所以a ≥12且a ≠1，所以实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B C ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B解析：选C 命题p 是全称命题：∀x ∈M ，p (x )，则綈p 是特称命题：∃x ∈M ，綈p (x )．故选C.2．命题p ：若ab ＝0，则a ＝0；命题q ：若a ＝0，则ab ＝0，则( ) A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假D ．p 假q 真解析：选D 由条件易知：命题p 为假命题，命题q 为真命题，故p 假q 真．从而“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．3．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：选D ∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象有交点，如点(2,2)，此时2x＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 先证“α⊥β⇒a ⊥b ”．∵α⊥β，α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，∴b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a ；再证“a ⊥b ⇒/ α⊥β”．举反例，当a ∥m 时，由b ⊥m 知a ⊥b ，此时二面角αm β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选A.5．下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－1＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－1≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝1D ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 解析：选C A 显然正确；当x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0成立，但x 2－3x ＋2＝0时，x ＝1或x ＝2，故“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，B 正确；若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝0或k ＝1，故C 错误；D 显然正确．6．已知p ：m －1<x <m ＋1，q ：(x －2)(x －6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值X 围是( )A ．(3,5)B ．[3,5]C ．(－∞，3)∪(5，＋∞)D ．(－∞，3]∪[5，＋∞)解析：选B p ：m －1<x <m ＋1，q ：2<x <6.因为q 是p 的必要不充分条件，所以由p 能得到q ，而由q 得不到p ，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧m －1>2，m ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥2，m ＋1<6.解得3≤m ≤5.7．命题“在△ABC 中，如果∠C ＝90°，那么c 2＝a 2＋b 2”的逆否命题是__________________________________．答案：在△ABC 中，若c 2≠a 2＋b 2，则∠C ≠90°8．设p ：x >2或x <23；q ：x >2或x <－1，则綈p 是綈q 的________条件．解析：綈p ：23≤x ≤2.綈q ：－1≤x ≤2.因为綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒/ 綈p . 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要9．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”为真，则a ≤x 2，x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1. 命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真， 则“4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0”，解得a ≤－2或a ≥1. 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是(－∞，－2]∪{1}． 答案：(－∞，－2]∪{1}10．已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．解：p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10， 令A ＝{x |x <－2或x >10}，∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a ， 令B ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }， 由题意p ⇒q 且q ⇒/ p ，知A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2⇒0＜a ≤3，∴a 的取值X 围为(0,3]．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x <－2，x ＋3－2≤x ≤12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，某某数m 的取值X 围．解：(1)作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12上单调递增，故f (x )min ＝f (－2)＝1.(2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1， 故－3≤m ≤1； 对于命题q ，m 2－1>1，故m >2或m <－ 2.由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 与q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.②若p 假q 真，则⎩⎨⎧m >1或m <－3，m <－2或m >2，解得m <－3或m > 2. 故实数m 的取值X 围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．。
高中数学人教A版选修1-1课件1-3-123且或非2
牛刀小试
1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0 D．不都是0
[答案] A
[解析] xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.
2．p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使 “p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
跟踪训练
指出下列各命题的构成形式并判断命题的真假． (1)等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边； (2)4或3是15的约数； (3)10≤10； (4)矩形的对角线互相垂直平分．
[解析] (1)这一命题是“p且q”的形式．其中p：等腰三角形的顶角平 分线垂直于底边，q：等腰三角形的顶角平分线平分底边．因为p、q 都是真命题，所以这一复合命题是一个真命题．
5．给出如下条件： (1)“p成立，q不成立”； (2)“p不成立，q成立”； (3)“p与q都成立”； (4)“p与q都不成立”． 其中能使“p或q”成立的是__________(填序号)． [答案] (1)(2)(3)
典例探究学案
命题方向一：命题的构成形式
分别指出下列命题的构成形式． (1)小李是老师，小赵也是老师； (2)1是合数或质数； (3)他是运动员兼教练员； (4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误． [分析] 本题考查命题的构成形式，是本节课的重点，也是以后学习 的基础．
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
[答案] C
[解析] 点 P(x，y)满足yy＝＝－2x－x2 3 ，解得 P(1，－1)或 P(－ 3，－9)，故选 C．
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1-2集合间的基本关系课件新人教A版必修第一册
综上，－1≤a＜1.
解析：∅⊊M⊆{1，2，3}，可按元素个数分类依次写出集合M为{1}，{2}，{3}， {1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共7个．
题型 3 根据集合的包含关系求参数 例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A. 求实数m的取值范围．
解析：∵B⊆A， ①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
B．B∈A
C．A⊆B
D．B⊆A
答案：D 解析：由Venn图易知B是A的子集，即B⊆A，故选D.
3．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0}
B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}
答案：B
解析：x>8，且x<5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B.
1．2 集合间的基本关系
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准 (1)理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(2) 会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和 Venn图表示．(3)在具体情境中理解空集的含义．
教材要点 要点一 子集、集合相等、真子集 1．子集、真子集、集合相等的相关概念
解析：由A⊆B，讨论集合A如下： 当A＝∅时，Δ＝4a2－4＜0，可得－1＜a＜1；
当A＝{1}时，2＋2a＝0，可得a＝－1，此时A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}符合题
意；
当A＝{2}时，5＋4a＝0，可得a＝－54，此时A＝
x
x2 − 5 x + 1 = 0
2
＝
【2020】最新高中数学第一章常用逻辑用语1-3简单的逻辑联结词1-3-1且(and)1-3-2或(or)1-3-3非(not)学
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
[解](1)这个命题是“非p”形式的命题，其中
p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
1.3.3 非(not)
学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．“且”
(1)定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．
[解](1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题， p为真命题．
(2)∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题， p为假命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题， p为假命题．
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p与q一真一假．
若p真q假，则 所以m≥3.
若p假q真，则 所以1<m≤2.
所以m的取值范围为1<m≤2或m≥3.
母题探究：1.本例题条件不变，试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围．
[解]由例题知，当p为真时，m>2，当q为真时1<m<3，则当p∨q为真命题时，m>1，
由复合命题的真假求参数的取值范围
[探究问题]
1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？
高中数学(新人教A版)必修第一册：第1章章末 集合与常用逻辑用语【精品课件】
达标检测
1.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有
A.2个
√B.4个
C.6个
D.8个
2.命题p：“对任意一个实数x，均有x2≥0”，则 命题 的否定p为( C ) (A)存在x0∈R，使得x02 ≤0 (B)对任意x∈R，均有x2≤0 (C)存在x0∈R，使得 x02 <0 (D)对任意x∈R，均有x2<0
解题技巧： 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元 素及其属性是解题的关键. 2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共 同特征是解题的关键. 3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重 复.
【跟踪训练1】 设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素 的个数为( )
解：CU B x x 1或x>2 可画数轴如下：
1
12
1
数形结合的思想 x 1 1 2数轴法 x
A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
点评 (I),画数轴上方的线时，同一集合画同一高度，
不同的集合画不同的高度。
3 2
或
a≥32
解题技巧：
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举 出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对 此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处 理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.
分析： 画出韦恩图，形 象地表示出各数 量关系的联系
方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结合，借 助于Venn 图，把抽象的数学语言与直观 的图形结合起来
常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词教案新人教A版选修1_1
1.3 简单的逻辑联结词
教学过程①一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p q
∨，读作“p或q”.
②规定：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p q
∨是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p q
∨是假命题.
例如：“22
≤”、“27是7或9的倍数”等命题都是p q
∨的命题.
③例3：判断下列命题的真假：
（1）34
>或34
<；（2）方程2340
x x
--=的判别式大于或等于0；
（3）10或15是5的倍数；（4）集合A是A B
⋂的子集或是A B
⋃的子集；（5）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.
（学生自练→个别回答→教师点评）
3. 小结：“p q
∧”、“p q
∨”命题的概念及真假
三、巩固练习：
1. 练习：教材P20页练习第1、2题
2. 作业：教材P20页习题第1、2题.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第一章 常用逻辑用语综合检测 新人教A版选修1-1
第一章常用逻辑用语(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句是命题的为( )A．你到过北京吗？B．对顶角相等C．啊！我太高兴啦！D．x2＋2x－1＞0【解析】A是疑问句，C是感叹句都不是命题，D不能判断真假，只有B是命题．【答案】 B2．下列说法正确的是( )A．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真【解析】一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题，它们同真同假，只有D正确．【答案】 D3．命题“∃x0∈R，x20－2x0＋1＜0”的否定是( )A．∃x0∈R，x20－2x0＋1≥0B．∃x0∈R，x20－2x0＋1＞0C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0D．∀x∈R，x2－2x＋1＜0【解析】特称命题的否定是全称命题，“x20－2x0＋1＜0”的否定是“x2－2x＋1≥0”．【答案】 C4．(2013·石家庄高二检测)若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题【解析】由真值表知，若p真q假，则p∧q假，p∨q真，綈p假，綈q真，只有D 正确．【答案】 D5．(2013·东营高二检测)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( ) A．ac2＜bc2B．a2＞ab＞b2C.1a＜1bD.ba＞ab【解析】∵a＜b＜0，∴a 2＞ab ，且ab ＞b 2，B 正确．【答案】 B6．“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的否命题是( )A ．若x 2≠1，则x ＝1或x ＝－1B ．若x 2＝1，则x ≠1且x ≠－1C ．若x 2≠1，则x ≠1或x ≠－1D ．若x 2≠1，则x ≠1且x ≠－1【解析】 否命题是命题的条件与结论分别是原命题条件的否定和结论的否定，“或”的否定是“且”．【答案】 D7．设p ：log 2x ＜0，q ：(12)x －1＞1，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 由log 2x ＜0，得0＜x ＜1，即p ：0＜x ＜1；由(12)x －1＞1得x －1＜0，∴x ＜1，即q ：x ＜1； 因此p ⇒q 但qp .【答案】 B8．下列命题的否定是真命题的是( )A ．有理数是实数B ．末位是零的实数能被2整除C ．∃x 0∈R,2x 0＋3＝0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＞0【解析】 只有原命题为假命题时，它的否定才是真命题，A 、B 、C 为真命题，D 为假命题．【答案】 D9．下列有关命题说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．“1是偶数或奇数” 为假命题D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题【解析】 “若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错； ∵由x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，而x 2－5x －6＝0时x ＝－1或x ＝6，∴由x 2－5x －6＝0x ＝－1. 因此x ＝－1是x 2－5x －6＝0的充分不必要条件，故B 错；∵1是奇数，∴C 错．D 中原命题为真，其逆否命题也为真，故D 正确．【答案】 D10．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③命题“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b ”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【解析】 ①中，x 2＋2x ＞4x －3⇒(x －1)2＋2＞0恒成立，①真．②中，由log 2x ＋log x 2≥2，且log 2x 与log x 2同号，∴log 2x ＞0，∴x ＞1，故②为真命题．③中，易知“a ＞b ＞0且c ＜0时，c a ＞c b ”．∴原命题为真命题，故逆否命题为真命题，③真．④中，p 、q 均为真命题，则命题p ∧綈q 为假命题．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是________．【答案】 若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.12．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)＞0是假命题，f (2)＞0是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝3－m ≤0f ＝8－m ＞0，∴3≤m ＜8.【答案】 [3,8)13．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵由綈p 是綈q 的充分条件(即綈p ⇒綈q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6.【答案】 [－1,6]14．在下列四个结论中，正确的序号是________．①“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件；②“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；④“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的必要不充分条件．【解析】 ①当x ＝1时，x 2＝x 成立，反之，不一定，所以“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件，故①正确；②函数y ＝cos 2kx －sin 2kx ＝cos 2kx ，其最小正周期T ＝2π|2k |＝π|k |，当k ＝1时，T ＝π；当π|k |＝π时，k ＝±1，所以②不正确； ③转化为等价命题，即判断“x 2＝1”是“x ＝1”的充分不必要条件，由于x 2＝1时，x ＝±1，不一定x ＝1，所以不充分，即③不正确；④a ＋c ＞b ＋d a ＞b 且c ＞d ，但a ＞b 且c ＞d 时，必有a ＋c ＞b ＋d ，所以④正确． 综上可知，正确结论为①④.【答案】 ①④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)π为圆周率，a 、b 、c 、d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d .(1)写出p 的否定并判断真假；(2)写出p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．【解】 (1)綈p ：“若a π＋b ＝c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”．∵a 、b 、c 、d ∈Q ，由a π＋b ＝c π＋d ，∴π(a －c )＝d －b ∈Q ，则a ＝c 且b ＝d .故p 是真命题，∴綈p 是假命题．(2)逆命题：“若a ＝c 且b ＝d ，则a π＋b ＝c π＋d ”．真命题；否命题：“若a π＋b ≠c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d .”真命题；逆否命题：“若a ≠c 或b ≠d ，则a π＋b ≠c π＋d ”．真命题．16．(本小题满分12分)分别指出由下列各组命题构成的“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假．(1)p ：x ＝2是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解，q ：x ＝4是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解；(2)p ：不等式x 2－4x ＋4＞0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.【解】 (1)p 或q ：x ＝2是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解或x ＝4是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解．(真) p 且q ：x ＝2是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解且x ＝4是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解．(真) 非p ：x ＝2不是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解．(假) (2)p 或q ：不等式x 2－4x ＋4＞0的解集为R 或不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.(假) p 且q ：不等式x 2－4x ＋4＞0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.(假) 非p ：不等式x 2－4x ＋4＞0的解集不为R .(真)17．(本小题满分12分)(2013·抚州高二检测)p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2≤9，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[2,3]，求实数m 的值．(2)若p 是綈q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[2,3]，∴m ＝5.(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －3＞3或m ＋3＜－1，∴m ＞6或m ＜－4.18．(本小题满分14分)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．【解】 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1. 乙命题为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是{a |a ＜－12或a ＞13}． (2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a ＜－12， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或－1≤a ＜－12}．。
【数学】1.3 简单的逻辑联结词 课件1(人教A版选修1-1)
思考：命题 p ∨ q的真假如何确定？
一般地，我们规定:
当p，q两个命题中有一个命题是真命题时， p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时， p∨q是假命题。 p 开关p,q的闭合 对应命题的真假, 则整个电路的接 通与断开分别对 应命题 p q 的真与假.
q
有真即真, 全假为假.
例3、判断下列命题的真假：
解： p∧q : 菱形的对角线互相垂直且平分。
（3） p :35是15的倍数， q :35是7的倍数。
解：
p∧q : 35是15的倍数且是7的倍数。
练习1:将下列命题用“且”联结成新命题,并 判断它们的真假： (1)p:36是6的倍数,q:36是7的倍数;
(2)p:1是质数,q:1是合数 解：(1)36是6的倍数且是7的倍数
2
q真
又p且q假
2
p假
x x| 6 | x Z
6 x x 6 即 x Z
2 x 3 x Z
x 1,0,1,2
练习2：设p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,
q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且 q为假,求m的取值范围. 解：若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根
m2 4 0 Δ 则 m 0 m 2 即 p: m>2
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根
则∆=16(m-2)2-16<0,
即1<m<3
q:1 m 3
p或q为真,则p,q至少一个为真,又p且q为假,
则p,q至少一个为假
p,q一真一假,p真q假或者p假q真
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1.3 简单的逻辑联结词
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阅读与思考 “且”“或”“非”与“ 交”“并”“补”
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 阅读与思考 “且”“或”“非”与“交”“并”“补” 小结 第二章 圆锥曲线与方程 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线 小结 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.3 导数在研究函数中的应用 3.4 生活中的优化问题举例 小结
第一章 常用逻辑用语
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1.1 命题及其关系
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1.2 充分条件与必要条件
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