椭圆切线的几个性质

切线交准线 l 于 P ,则 PF ⊥ MF .
证明 设抛物线上一点 M (t2 /(2 p),t) (非
顶点 (0,0) ),则 过 M 的切线为:
y
l
M
ty = p(x + t2 ) ,
2p P O F x
∴ P(− p , t2 − p2 ) , 2 2t
∴ kMF
=
2 pt t2 − p2
, kFP
为 A 、 B ,则 PF1 平分 ∠AF1B .
证明 F1 关于 PA 对称点为 F1′ ,由性质 2,知
F1′ , A , F2 共线,
F2 '
y
P
F2 关于 PB 对称
点为 F2 ' ,由性质
2,知 F1 , B , F2 ' 共
线.
A O
F1
∵ PF1′ = PF1, PF2 = PF2 ' , 又 F2 F1 ' = 2a = F1F2 ' ,
R2
2∆
2R2
∵ s2 + 4Rr + r2 2R2
≥ 16Rr − 5r2 + 4R2 + r2 = 10r − 2r2 ,
2R2
R R2
又∵ (s2 + 4Rr + r2 ) /(2R2 )
≤ (4R2 + 4Rr + 3r2 + 4Rr + r2 ) /(2R2 )
= 2(1 + r )2 , R
故 10r R
−
2r 2 R2
≤
rd RA
+
re RB
+2 R
,
当且仅当△ ABC 为正三角形时取等号.
参考文献
[1]李耀文.关于垂足三角形的一个恒等式.中学数学. 2004.6.
[2]高庆计.垂足三角形旁切圆半径之间的一个恒等 式.福建中学数学.2005.6.
24
椭圆切线的几个性质
月刊.2005.10.
二次曲线一个猜想结论的推广
福建漳州一中 林新建
文[1]给出了二次曲线的如下猜想: 已知点 P(x0 , y0 ) 不在二次曲线Γ : Ax2 + Cy2 +Dx + Ey + F = 0 上,过 P 作倾斜角互补 的两条直线分别交Γ于 S, M 和 T , N ,则直线 MN 与 ST 的倾斜角也互补. 文[2]给出了上述猜想的证明,并把结论 修正为:“直线 MN 与 ST 的倾斜角也互补或 倾斜角都为 0° ”. 上述结论可简单概括为:若 kPM + kPN = 0 ,则 kMN + kST = 0 ,本文将此结论推广到更 一般的情形. 定理 已知点 P 不在二次曲线Γ: Ax2 + Cy2 +Dx + Ey + F = 0 (*)上,过 P 作二直线分 别交Γ于 S、M 和 T、N. (1) 直线 PM 与 PN 的斜率之和为定值的 充要条件是直线 MN 与 ST 的斜率之和也为定 值; (2) 直线 PM 与 PN 的斜率之积为定值的充 要条件是直线 MN 与 ST 的斜率之积也为定值. 证明 设 P 点的坐标为 (x0, yo ), PM , PN 的 斜率分别为 k, k ' ,则 PM,PN 的方程分别为:
=
t2 − p2 −2 pt
,
∴ kMF ⋅ kFP = −1 ,∴ PF ⊥ MF . 性质 2 F1, F2 是椭圆的两个焦点,若 M 是 椭圆上异于长轴两端点的任一点,则 M 点的
切线平分△ F1MF2 的外角.
证明 设椭圆的方程为 x2 + y2 = 1(a > b
a2 b2 y
> 0) ,过椭圆上一点 M (a cosθ , bsinθ ) 的切线为:
a
b
则
a2 P(
,
b(c
−
a
cosθ
))
.
c c sinθ
y Ml P
O FA x
∴ kMF
=
a
b sin θ cosθ −
c
,
kFP
=
c − a cosθ b sin θ
,
∴ kMF ⋅ kFP = −1 ,∴ PF ⊥ MF .
性质 1 ' 设 F 为抛物线 y2 = 2 px( p > 0)
的焦点,过抛物线上任一点(非顶点 (0,0) M 的
(kk '+ λmq)x2 + (1 + λnr) y2 − (k + k '− λmr − λnq)xy −
(2kk ' x0 − ky0 − k ' y0 − λms − λ pq)x + (kx0 + k ' x0 − 2 y0 + λns − λ pr) y + kk ' x02
−(k + k ')x0 y0 + y02 + λ ps = 0. 与(*)比较相同项系数,得:
福建长乐七中 谢星恩 黄玉惠 林世中
性质 1 设 F 为椭圆的一个焦点,其相应 的准线为 l ,过椭圆上的一点 M 的切线交准 线 l 于 P ,则 PF ⊥ MF .
证明 过椭圆 x2 + y2 = 1(a > b > 0) 上点 a2 b2
M (a cosθ ,bsinθ ) 的切线为:
x cosθ + y sinθ = 1 ,
证 明 由 文 (2) 知
rd
=
∆ cot R
A
等,及
Gerretsen
不
等
式:16 Rr − 5r2 ≤ s2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 ,得
∑ rd + re + rf =
RA RB RC
∆ cot A R2 cos A
=
∆ R2
∑ csc A
= ∆ ⋅ s2 + 4Rr + r2 = s2 + 4Rr + r2 .
故 a + b + c ≥ 6 3, RA RB RC
当且仅当△ ABC 为正三角形时取等号.
推论 3 10r − 2r2 R R2
≤ rd + re + rf ≤ 2(1 + r )2 , (4)
RA RB RC
R
其中, rd,re,rf 依次为△ DEF 的旁切圆半
径(当且仅当△ ABC 为正三角形时取等号).
x
则 B、C 在以 A1, A2 A1 F1 O
F2 A2
为直径的圆上.
证明 设 F1, F2 关于切线的对称点为 F1 ', F2 '
由性质 2,可知, F1, M , F2′ 及 F1′, M , F2 共线,
∴ F1F2′ = F2 F1′ = 2a ,∴ OC = OB = a , ∴B、C 在以 A1, A2 为直径的圆上. 性质 4 PA 、 PB 为椭圆的两切线,切点
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F2
x E F1 '
∴△ PF1F2 ' ≌△ PF1 ' F2 ,
∴ ∠PF1 ' A = ∠PF1B ,
又∵△ PAF1 ' ≌△ PAF1 ,
∴ ∠PF1 ' A = ∠AF1P ,∴ ∠AF1P = ∠PF1B , 即 PF1平分∠AF1B .
参考文献
[1]杨昌龙,熊光汉.双曲线的几个有趣性质.中学数学
Mϕ1ϕ2 x
x cosθ + y sinθ = 1 . F1 O F2
a
b
∴切线的斜率为 k = −b cosθ /(a sinθ ) ,
kMF1
=
bsinθ , a cosθ + c
kMF2
=
b sin θ a cosθ − c
.
∴ tanϕ1
=
b c sinθ
, tanϕ2
=
b c sinθ
y − y0 = k(x − x0 ), y − y0 = k '(x − x0 ). 又设直线 MN,ST 的方程分别为,
mx + ny + p = 0, qx + ry + s = 0. 由文[2]中引理,得到过 S, M , N,T 四点 的二次曲线系方程为: [ y − y0 − k(x − x0 )] [ y − y0 − k '(x − x0 )] + λ(mx + ny + p)(qx + ry + s) = 0. 整理,得:
证明 ∵在锐角△ ABC 中有 tan A > 0,
tan B > 0, tan C > 0 且 tan A tan B tan C ≥ 3 3 ,
∴ a + b + c = ∑ 2R sin A
RA RB RC
R cos A
= 2∑ tan A = 2 tan A tan B tan C ≥ 2 ⋅ 3 3,
,
∴ ϕ1 = ϕ2 ,M 点处的切线平分△ F1MF2 的 外角.
推论 M 点的法线平分 ∠F1MF2 .
性质 3 F1, F2 是椭圆的两个焦点, A1, A2
是长轴的两个端点, 过椭圆上异于 A1, A2 的任一点的切线,过 F1, F2 作切线的垂线,
F1 ' y F2 '
BM C
垂足分别是 B、C,