ch4-复变函数级数
第四章 复变函数级数
第四章 复变函数的级数 【教材第二章】无穷级数, 简称级数, 是一个重要的数学工具，在数学物理中有广泛的应用。
无穷级数分为"数项级数"和"函数项级数"两种基本类型。
如果一个 无穷级数的每一项都是一个数，就称作数项级数。
如果每一项都是一个函数，如1nn x ∞=∑，就称作函数项级数。
在本章我们主要学习复变函数项级数的性质。
在学习复变函数项级数之前，先简要复习一下有关复数项级数的一些基本概念和基本性质。
§ 2-1 复数项级数的一些基本性质1. 无穷级数： 将无穷多个数12,,....,....n u u u 相加，写成12.........n u u u ++++的形式， 就称为无穷级数，记为1kk u∞=∑。
2. 无穷级数的收敛性问题： 无穷级数仅仅是一种形式上的相加, 这种加 法是不是具有“和数”呢？ 这个“和数”的确切意义是什么呢？3. 收敛的无穷级数：定义无穷级数1k k u ∞=∑的前N 项的和1NN k k S u ==∑。
如果当N →∞时N S 趋向于一个固定的极限值S ， 就称该无穷级数收敛，该极限值S 就是该无穷级数的“和”：11lim lim ]N k N k N N k k S u S u ∞→∞→∞==⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑ 4. 发散的无穷级数：若当N →∞时N S 的极限不存在，称无穷级数1k k u ∞=∑发散。
5. 复数项级数的收敛性问题： 如果无穷级数1k k z ∞=∑中的每一项均为复数，该级数就称为复数项级数。
将复数项级数中的复数项k z 表示为k k k z u iv =+,其中,k k u v 分别为k f 的实部和虚部，则: 111k k k k k k z u i v ∞∞∞====+∑∑∑,复数项级数1k k z ∞=∑的收敛问题就归结为两个实数项级数1k k u ∞=∑与1k k v ∞=∑的收敛问题。
ch4_05复变函数的级数(1)
n0
zn
1 2
n0
1 2n
z n
(1
n0
1 )zn. 2n1
y 1
x O1
解: 首先将f(z)分解成部分分式: f (z) 1 1 .
z2 z1
(2) 在圆环1<|z|<2内, |1/z|<1, |z/2|<1, 故
f (z) 1 1 1 1 2 1 z / 2 z 11/ z
| z z0|<R时,
f (z)
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
,
且展开式是唯一的.
(2) 解析函数的泰勒展开式
上述定理中的
f (z)
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
称为f(z)在
点z0处的泰勒展式.
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
称为f(z)在
点z0处的泰勒级数.
(2) | zn | 收敛 zn收敛,此时称 zn为绝对收敛。
n1
n1
n1
二. 复函数项级数的基本概念
1. 设u1(z), u2(z), …, un(z), …是定义在区域D 上的复变函数序列, 则称
un (z) = u1(z) + u2(z) + …+ un(z) + …
n 1
为定义在区域D上的复函数项级数.
(1)n1(n 3n1
1)
(z
1)n
| z 1| 3
展开式的系数都是实数，为什么？
六 Laurent级数
1. 双边无穷级数
复变函数项级数
(M
z z0
n
)
n1
z1 z0
收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，
Cn(z z0 )n
n1
收敛， 从而级数 Cn(z z0 )n 绝对收敛. n0
8
定理1的几何意义
如 果 幂 级 数 在 点1z收 敛 ， 那 么 幂 级 数 在 以z0 为 圆 心 ， 以z1 z0 为 半 径 的 圆 周 内 部 的 任意 点z处收敛.
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
z R R min( r1, r2 )
17
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
10
对于形如 Cn (z z0 )n的幂级数当, z z0时，可能 n1
出现如下的三种情况
(1)对 任 意 的z z0 , 级 数 Cn (z z0 )n均 发 散 n1
(2)对 任 意 的 z, 级 数 Cn (z z0 )n均 收 敛 。 n1
(3)存 在 一 点z1 z0 , 使 得 级 数 Cn (z1 z0 )n收 敛 . n1
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;
幂级数可逐项求导, 逐项积分.
(常用于求和函数)
22
例3 求幂级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn
1
z
z2
复变函数项级数
四 章
3. 幂级数的代换(复合)性质
解 性质 设级数 anzn 在 | z| R 内收敛，和函数为 f (z) anzn ,
析
n0
n0
函
又设函数 g(z) 在 | z | r 内解析，且满足 | g(z)| R , 则
数 的 级
当 | z | r 时，有 f [ g(z)] an[ g(z)]n .
四
章
阿贝尔只活了短短的 27 年，一生中命途坎坷。
解
他的才能和成果在生前没有被公正的承认。
析
函
为了纪念阿贝尔诞辰 200 周年，挪威政府于 2003 年设立
数
的
了一项数学奖 —— 阿贝尔奖。每年颁发一次，奖金高达
级
数
80 万美元，是世界上奖金最高的数学奖。
表
示
23
§4.2 复变函数项级数
第 附：人物介绍 —— 伽罗华
表 示
(利用正项级数的柯西判别法即可得到)
12
§4.2 复变函数项级数
第 四
例
求幂级数
n0
zn n2
的收敛半径与收敛圆。
P86 例4.3 部分
章 解
解
由 lim |an1 | n |an |
lim
n
n2 (n 1)2
1,
得
析
函
收敛半径为 R 1, 收敛圆为 | z | 1.
§4.2 复变函数项级数
第 四
§4.2
复变函数项级数
章 一、基本概念
解 析
二、幂级数
函 数
三、幂级数的性质
第四章复变函数级数共38页PPT资料
称
fn (z)f1 (z)f2(z) L fn (z) L
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z) Lfn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
ln i m Sn(z0)S(z0),
n1
n1
证明 说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解 因为级数 发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.
(整理)第四章复变函数级数
第四章 复变函数级数（42）一、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n niv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成立时, 等价于 lim ,n n u u →∞= lim n n v v →∞=1nn z∞=∑收敛的充要条件是1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛。
2．复数级数（定义）：设有复数项级数+++=∑∞=k k nz z z z211若其前n项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,而数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。
由于∑∑==+=nk k n k k n v i u S 11，所以 11lim lim lim n k n k n n n k n k u u S S u iv v v→∞=→∞→∞=⎧=⎪⎪==+⇔⎨⎪=⎪⎩∑∑ ；绝对收敛：若一个级数的模级数∑∞=1k kz收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。
3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k kz f z f z f z f，其中前n 项和：∑==nk kn z fS 0)(。
若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是一个复函数:∑∞==)()(k kz fz s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞=∑的和函数。
复变函数 第四章
4. 收敛半径的求法
关于幂级数∑ cn z n
n =0 ∞
(3)的收敛半径求法，有
1/ λ cn+1 定理2 若lim = λ，则R = + ∞ (比值法) n→∞ cn 0
0 < λ < +∞ λ =0 λ = +∞
c n + 1 z n +1 c n +1 证明 (i ) λ ≠ 0,∵ lim = lim z =λ z n n→∞ n→∞ c cn z n
定义 设复数列： {α n } = {an + ibn }(n = 1, 2,⋯, n),
∑α
n=1
∞
n
= α1 +α2 +⋯+αn +⋯ ---无穷级数
级数的前面n项的和n
sn = α1 +α2 +⋯+αn = ∑αi ---级数的部分和
i =1
∞
收敛 －级数 ∑ α n 称为收敛 n =1 lim sn = s称为级数的和 n→∞ 若部分和数列{ s n } ∞ 不收敛 －级数 α 称为发散 ∑1 n n=
定义 若 ∑ α n 收敛，则称 ∑ α n为绝对收敛；
n =1 ∞ n =1
∞
若 ∑ α n 发散，而 ∑ α n收敛，则称 ∑ α n为n =1 n =来自 n =1∞∞
条件收敛.
例2 下列级数是否收敛？是 下列级数是否收敛？ 否绝对收敛？ 否绝对收敛？
∞ 1 i (8i ) n (1) ∑ (1 + ) (2) ∑ n n =1 n n=0 n ! ∞
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理 阿贝尔(Able)定理） 定理1 (阿贝尔(Able)定理）
最新第四章复变函数的级数课件ppt
定理三 若级数 n n绝收对敛收敛, 则 n 也收敛,
n n 1 1
n1
并且
n n .
n1
n1
补充 因为 nan 2b n 2anb n,所以
n
n
n
n
k a k 2b k 2 a k b k.
k 1
k 1
k 1
k 1
因此, 如果 a n 和 b n 都绝对收敛时, n 也
cnzn
发级散数. 在复平面内除原点外处处发散.
n0
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收
敛的正实数.
设 z 时, 级数收敛; z 时, 级数发散. 如图:
y
收敛圆
R
收敛半径
o
.
.
1
.
1
.
x
幂级数 c n z n 的收敛范围是以原点为中心的圆域.
n0
收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别 规定为 , 0, R.
n0
S n 1 z z2 zn 1 1 1 z z n(z 1 ).
z 1
1
lim
n
Sn
1
z
级数 z n 收敛,
n0
所以收敛半径 R 1, 在 z 1 内, 级数 z n
n0
绝对收敛, 且有
zn
1
.
n1
1 z
3 收敛半径的求法
定理二 (比值法) 设级数 c n z n . 如果 n0 lim cn1 , c n n
n1
n1
n1
绝对收敛.
综上可得:
n1
n
绝对收敛 .
a n 和 b n 都绝对收敛
n1
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复级数 收n敛于 s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为
n1
实数项级数 an , bn 分别收敛于a 及b.
n1
n1
注： 1) an a, bn b
n1
n1
n s( a i b)
n1
2) an , bn至少一个发散
n1
n1
发散
n
n1
工程数学---------复变函数
-11-
例2.
解:
(1) 因为 n
(1
1
i
)e
பைடு நூலகம்
π n
n
(1 1)(cos i sin ),
nn
n
所以
an
(1 1) cos π , nn
bn
(1 1)sin .
nn
而
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
所以数列 n
(1
1
i
)e
π
n收敛,
且
n
lim
n
n
1.
工程数学---------复变函数
-6-
(2) n n cosi n . 由于n n cos i n n cosh n, 当n 时, n ,
n! n!
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n!
故原级数收敛, 且为绝对收敛.
工程数学---------复变函数
-15-
例5.
级数
(1)n [
n1 n
1 2n
i]
是否绝对收敛？
解:
因为
n1
( 1)n n
收敛;
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n1 n
(an a) i(bn b) an a bn b ,
所以
lim
n
n
.
[证毕]
注: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列
的敛散性.
工程数学---------复变函数
-5-
例1. 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1) n
(1
1
)
i
e
π n
n
; (2) n n cosi n .
-19-
证：设
收敛, 则必有
于是存在
常数 M > 0, 使
cn z n
cn z0n
zn z0n
cnz0n
z z0
n
当 z z0 时,
收敛,
也收敛,
故原幂级数绝对收敛 .
n1 n
级数满足必要条件,
即 lim
1 i2n1
0,
n n
1 i2n1 1 (1)n i
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
工程数学---------复变函数
-14-
例4. 级数 (8i) n 是否绝对收敛？
n1 n! 解: 因为 (8i) n 8n ,
级数
n1
1 n2
(1
i) n
是否收敛？
解:
因为
an
n1
1 n2
n1
收敛;
bn
n1
1 n3
n1
收敛.
所以原级数收敛.
思考： 1 (1 i) 的敛散性.
n1 n n
工程数学---------复变函数
-12-
定理3. 收敛级数的通项必趋于零:
lim
n
n
0.
推论
lim
n
n
0
或
lim
n
n
不存在，则级数发散.
部分和 和 和函数
工程数学---------复变函数
级数在点 z0 收敛.
-18-
2.幂级数及其收敛性 形如
的函数项级数称为幂级数. 特别地， 时，有
定理 1. (Abel定理) 若幂级数 cnzn
n0
则对满足
的z , 级数必绝对收敛.
反之, 若在
级数发散 , 则对满足
的z, 级数必发散 .
工程数学---------复变函数
从而有
(an ibn ) (a ib) , an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a.
同理
lim
n
bn
b.
工程数学---------复变函数
-4-
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n
N
时, an
a
2
,
bn
b
2
.
从而有 n (an ibn ) (a ib)
定理4. 如果级数 n 收敛，那么级数
n1
也收敛，且
n n .
n1
n1
n
n1
定义. 若级数
n 收敛,则称原级数 n
绝对收敛; 条件收敛.
n1
若 n n1
n1
发散, 而 n 收敛,则称 n
n1
n1
工程数学---------复变函数
-13-
例3. 级数 1 i2n1 是否收敛？
解:
第四章 级数
§1 复数项级数
1. 复数列极限 2. 复数项级数
1. 复数列的极限
1) 定义 设 {n } (n 1,2, ) 为一复数列, 其中 n an i bn , 又设 a i b 为一确定的复数, 如任意给定 0, 相应地都能找到一个正整数N( ) 使在 n N 时: n 成立,那末 称为复数列{n }
当n 时的极限, 记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
工程数学---------复变函数
-3-
2) 复数列收敛的条件
定理1.复数列{n }(n 1,2, )收敛于的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
.
证：如
果
lim
n
n
,
那末对于任意给定的
0
就能找到一个正数N, 当n N 时,
-8-
收敛与发散（敛散性）
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,
即若
lim
n
sn
s(
)
则称复数项无穷级数 收敛n 于s,且称s为它的和,
n1
写成
s n
n1
否则若复数列 sn (n=1,2,…) 无有限极限,则称级数为
发散.
工程数学---------复变函数
-9-
例如, 级数 zn : n0
sn
1
z
z2
z n-1
1 zn 1 z
(z 1),
由于当 z
1时,
lim
n
sn
1 zn lim n 1 z
1 1
z
,
所以当 z 1时级数收敛.
工程数学---------复变函数
-10-
2) 复数项级数收敛的条件
定理2 设 n=an+ibn (n=1,2,…), an 及 bn 为实数,则
所以原级数条件收敛.
工程数学---------复变函数
-16-
§2 幂级数
1. 函数项级数的概念 2. 幂级数及其收敛性 3. 幂级数的运算
工程数学---------复变函数
-17-
1. 函数项级数的概念
设{ fn(z)} (n 1, 2, )为一复变函数序列, 其中各项
在区域D上有定义. 复变函数项级数：
所以数列发散.
工程数学---------复变函数
-7-
2. 复数项级数
1) 定义 设 {n } {an i bn } (n 1, 2,L )为一复数列，
表达式
n 1 2 L n L
n1
称为无穷级数.
部分和 级数最前面 n 项的和
sn 1 2 n
称为级数的部分和.
工程数学---------复变函数