华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评文科数学试卷及参考答案
2020届全国大联考高三4月联考数学(文)试题(解析版)
2020届全国大联考高三4月联考数学（文）试题一、单选题 1．不等式110x->成立的充分不必要条件是（ ） A ．1x > B ．1x >-C ．1x <-或01x <<D ．10x -≤≤或1x > 【答案】A【解析】求解不等式110x->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】 解110x->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞U ，其充分不必要条件即该解集的真子集， 结合四个选项A 符合题意. 故选：A 【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2．复数 12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）A B ．3C ．5D 【答案】C【解析】根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解. 【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-，()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C 【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算. 3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙. 【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选. 【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（ ）A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,//m n αα，则//m nC ．若//,m αβα⊂，则//m β.D ．若//m β，m α⊂，则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α，B 选项两条直线位置关系不能确定，C 选项正确，D 选项两个平面相交也能满足//m β，m α⊂. 【详解】A 选项，当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α，所以该选项不正确；B 选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；C 选项，根据面面平行的性质，说法正确；D 选项，当两个平面相交，m α⊂且平行于交线，也满足//m β，m α⊂，所以不能推出面面平行. 故选：C 【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.5．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求球的直径d 的公式：13169d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭.若球的半径为1r =，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为( )A ．43π B ．916C ．94π D ．92【答案】D【解析】根据半径为1可得直径为2，代入公式，解方程即可得解. 【详解】球的半径为1r =，则直径为2，根据公式13169d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1316162,899V V ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以V =92. 故选：D 【点睛】此题以中国优秀传统文化为背景，实际考查球的体积公式辨析，根据题目所给条件，建立等量关系解方程.6．如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是( )A ．3k >？B ．4k >？C ．5k >？D ．6k >？【答案】C 【解析】【详解】 执行循环得2,2;3,437;4,14418;5,36541;k S k S k S k S ====+===+===+=结束循环，输出41S =，所以判断框内应填入的条件是4?k >，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【详解】解：因为22103331111013244a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<==<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33log log 31c π=>=，所以a ，b ，c 的大小关系为c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.8．下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（数码相对位置相同）的是（）A．（Ⅰ）和（Ⅳ）B．（Ⅰ）和（Ⅲ）C．（Ⅱ）和（Ⅲ）D．（Ⅱ）和（Ⅳ）【答案】B【解析】分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，可得答案．【详解】（Ⅰ）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（Ⅱ）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；（Ⅲ）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（Ⅳ）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（Ⅰ）和（Ⅲ）故选：B．【点睛】本题考查的知识点是正方体的几何特征，正方体的表面展开图，难度中档．9．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A．16B．13C．23D．45【答案】C【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率10221203 p-==-【考点】几何概型10．双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作一条直线与两条渐近线分别相交于,A B 两点，若112F B F A =u u u v u u u v，122F F OB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】C 【解析】【详解】如图所示，连接2F B ，又由122F F OB =，且O 为12F F 的中点，所以01290F BF ∆=，因为112F B F A=u u u v u u u v，即112F B F A =u u u v u u u v ，所以A 为线段1F B 的中点， 又由于O 为12F F 的中点，所以2//OA F B ，所以1OA F B ⊥，所以1AOF AOB ∠=∠， 又由直线OA 与OB 是双曲线的两条渐近线，则12AOF BOF ∠=∠，所以0260BOF ∠=，则2tan 3bBOF a=∠=， 所以双曲线的离心率为21()2c be a a==+=，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到,a b 的关系式，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.11．已知直线x t =分别与函数()()2log 1f x x =+和()()22log 2g x x =+的图象交于,P Q 两点，则,P Q 两点间的最小距离为（ ）A ．4B ．1C 2D ．2【答案】D【解析】根据题意得到PQ 两点间的距离即两点的纵坐标的差值，()()()2222t+22log 2log 1log t+1PQ t t ⎛⎫⎪=+-+= ⎪⎝⎭，通过换元，借助均值不等式求得最值. 【详解】根据题意得到PQ 两点间的距离即两点的纵坐标的差值，()()()2222t+22log 2log 1log t+1PQ t t ⎛⎫⎪=+-+= ⎪⎝⎭设t+1=u,t=u-1>0,原式等于()22211log log 2uu u u +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭根据均值不等式得到21124,log 2 2.u u u u ⎛⎫++≥++≥ ⎪⎝⎭故当且仅当u=1，t=0是取得最值. 故答案为：D. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．1ln3,126e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x x m m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,xg x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e =令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,故选B.【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.二、填空题13．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150～号，并分组，第一组15～号，第二组610～号，⋯，第十组4650～号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为______ 的学生． 【答案】37【解析】系统抽样时，各组抽得的号码是公差为5的等差数列，故可求第八组抽得的号码． 【详解】设第n 组的号码记为{}n a ，依据系统抽样，则有{}n a 是公差为5的等差数列． 又312a =，故8125537a =+⨯=，故填37． 【点睛】本题考察系统抽样，为基础题，注意系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）．14．某公司计划在2020年春季校园双选招聘会招收x 名女性，y 名男性，若,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为__________.【答案】13【解析】根据题意，作出可行域，转化为线性规划问题，求x+y 的最大值. 【详解】由题,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，该公司计划在本次校招所招收人数为z x y =+，作出可行域如图阴影部分，满足题意的点即可行域内横纵坐标均为整数的点.其中()()()3,1,6,4,6,7A B C ，y x z =-+，当直线经过C 点时取得最大， 即13z =，此时女生6名，男生7名. 故答案为：13 【点睛】此题考查线性规划问题的实际应用，关键在于准确作出可行域，根据目标函数平移直线求出最值取得的条件，注意考虑横纵坐标取整数.15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意 x ∈R 都有()()3f x f x +=且()14f -=，则()4f 的值为__________.【答案】4【解析】根据题意，结合周期性和奇偶性可得()()()4114f f f ==-=.【详解】由题()f x 是定义在R 上的偶函数，()()3f x f x +=， 所以()()()4114f f f ==-= 【点睛】此题考查函数奇偶性和周期性的综合应用，根据奇偶性和周期性求函数的值，关键在于熟练掌握性质的应用.16．过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若4,AFAF BF OF==__________. 【答案】54【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，根据4=AF BF ，所以4AF BF -=u u u r u u u r得214x x =-，设直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理求解. 【详解】由题意得22x py =， 则0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2pOF = 设直线AB 的方程为2py kx =+， 设()()1122,,,A x y B x y 且12x x >因为4=AF BF ，所以4AF BF -=u u u r u u u r则214x x =-由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220x pkx p --=所以212122,x x pk x x p +==- 解得34k =-， 即直线AB 的方程为342p y x =-+又23422p y x x py⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理得222320x px p +-=解得2x p =-或2p x =，故(),,2,228p p A B p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以根据抛物线的定义可知5828p p AF p =+=， 所以54AF OF=【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，涉及焦半径公式，根据抛物线的几何意义，结合韦达定理的应用求解长度关系.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c，且sin cos c A C =（1）求角C 的值（2）若6ABC S a b ∆=+=，求c 的值 【答案】（1）3C π=（2）c =【解析】（1）利用正弦定理原式化为sin sin cos C A A C =，即可得解； （2）根据面积公式得8ab =，结合余弦定理变形()2222cos c a b ab ab C =+--即可求解. 【详解】（1）在ABC ∆中，sin cos c A C =∴结合正弦定理得sin sin cos C A A C =0A π<<Q sin 0A ∴>又cos 0C ≠Q，tan 3C C π∴=∴=()23ABC S C π∆==Q1sin 232ab C ∴= 8ab ∴=又6a b +=2222cos c a b ab C ∴=+-()222cos a b ab ab C =+--3616812.=--=23c ∴=【点睛】此题考查利用正余弦定理解三角形，涉及三角形面积公式的应用，关键在于熟练掌握定理公式及其变形的应用.18．汽车尾气中含有一氧化碳（CO ），碳氢化合物（HC ）等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废.某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表： 不了解了解总计 女性 ab50 男性 153550 总计 pq100（1）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为35，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度%y 与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ni ii n i i x ynx ybx nx==-=-∑∑$，a y bx =-$$.【答案】(1) 有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”. (2)0.07y t =$.4.2倍.【解析】（1）根据题意计算,,,a b p q 的值，再利用()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算出2K ，对照临界值得出结论，（2）由公式计算出ˆa和ˆb ，从而得到y 关于t 的回归方程，把12t =，代入回归方程中，可预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度，从而可得答案。
华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评数学试题(新教材卷)真题卷(含答案与解析)
华大新高考联盟2023届高三4月教学质量测评数 学本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题；本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}(){}2|3280,ln 74A x x x B x y x =--<==-，则A B = （ ）A. 4437x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B. 4473xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. 427xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D. 427x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2. 已知()()2023274ii 5i 1i z -=+⋅--，则在复平面内，复数z 所对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为211,,324，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（ ） A.1124B. 38C.12D.134. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()()cos 4cos cos 4sin x x +B. 11cos 4coscos 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的C. 11sin 4cos sin 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 13cos 4cos24x ⎫ ⎪⎭+⎛⎝5. 过点()2,5A的直线l 与函数()5112x f x x -=-的图象交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，()5,1B ，则cos ,OM ON AB +=（ ）A.B.C.D. 6. 已知正三棱台111ABC A B C -1AA =，则该正三棱台的外接球的表面积为（ ） A. 40πB. 80πC. 30πD. 60π7. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为θ的直线l 经过点(),0A a 和点B ，其中12121212,,2BF BD F D F B F D F F =⊥=，若cos θ=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 2y x =±B. y x =±C. 53y x =±D. 43y x =±8. 若函数()22e e cos xx f x m x -=++在[)0,∞+上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. (],0-∞B. e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为n a ，每个月老鼠的总数量为n b ，数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，可知112212,14,84,98a b a b ====，则下列说法正确的是（ ） A. 66127a =⨯B. 6627b =⨯C. 66272S =⨯-D. 86773T -=10. 已知函数()()()11f x x x x =+-，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切，则与直线l 垂直的直线为（ ）的A. 420x y -+=B. 280x y -+=C. 50x y +-=D. 2430x y +-=11. 已知函数()22sincos 333x x xf x =-，则下列说法错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为6πB. ()π,0是函数()f x 图象一个对称中心C. 将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后得到一个偶函数 D. 函数()f x 在[]0,10π上有7个零点12. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，过点(),5A a a -作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若2PQPA=，则点A 到原点的距离为（ ）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若圆221:420C x y x y +-+=与圆222:810160C x y x y +-++=交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为______.14. 已知25442nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项的系数之和为256，记展开式中10x -的系数为a ，则128a =______. 15. 如图，已知四棱锥1D ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，M 是棱1DD 上靠近点D 的三等分点，N 是1BD 的中点，平面AMN 交1CD 于点H ，则，11D HD C=_______.16. 已知ln 3a =，11log 3b =，现有如下说法：①2a b <；②3a b ab +>；③b a ab -<-.则正确的说法有______.（横线上填写正确命题的序号）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.的的17. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，1ni i a n i ==∑，且213,,3k k S a S ++是等比数列{}n b 的前三项. （1）求5b 的值；（2）求数列4332351n n n a a a -++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.（1）求a 的值以及所有受灾居民的经济损失的平均值；（2）以频率估计概率，若从所有受灾居民中随机抽取4人，记受灾居民的经济损失在[)2000,4000的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .19. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3πcos sin π02b A B ⎛⎫⎪++⎭+=⎝.（1）求sin c A 的值；（2）若()2sin tan tan b C a C c C -=.且ABC S λ≥△.求实数λ取值范围. 20. 已知四棱锥S ABCD -如图所示，其中SB =，1AB =，AD =，390ABC ABS DAB ADC ====︒∠∠∠∠，平面SBA ⊥平面ABCD ，点M 在线段AD上，AM =N 在线段SC 上.的（1）求证：AC SM ⊥；（2）若平面ADN 与平面ABCD ，求SN 的值. 21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P ，Q 在椭圆C 上运动，且PF 的最小值为-；当点P 不在x 轴上时点P 与椭圆C 的左、右顶点连线的斜率之积为12-.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:20l x y -=与椭圆C 在第一象限交于点A ，若PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由. 22. 已知函数()()2ln 1f x mx x x =--（1）若函数()f x 在[]3,9上有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）若关于x 的不等式()()21f x m f x +≤'+在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题；本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}(){}2|3280,ln 74A x x x B x y x =--<==-，则A B = （ ）A. 4437x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B. 4473xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. 427xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D. 427x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意求解集合,A B ，进而可求A B ⋂. 【详解】由题意可得：{}(){}{}244|3280|2,ln 7474037A x x x x x B x y x x x x x ⎧⎫⎧⎫=--<=-<<==-=->=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以A B = 427x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 故选：C. 2. 已知()()2023274ii 5i 1i z -=+⋅--，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法求复数z ，进而判断复数z 所对应的点所在象限. 【详解】∵()()()()2023274i74i 73i 5i i 5i i 25i 11i 2i 221i z --=+⋅-=+-⋅-=+--=---， ∴复数z 所对应的点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限. 故选：D.3. 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为211,,324，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（ ） A.1124B. 38C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件的概率加法公式结合独立事件的概率除法公式分析运算. 【详解】三人抢到的红包都超过1元的概率为211132412⨯⨯=， 三人中仅有两人抢到的红包超过1元的概率为21121121131113243243248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为131112824+=. 故选：A.4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()()cos 4cos cos 4sin x x +B. 11cos 4coscos 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 11sin 4cos sin 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 13cos 4cos24x ⎫ ⎪⎭+⎛⎝【答案】B 【解析】【分析】根据图象可得出()f x 为偶函数，且()00f >，π12f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，然后逐项求解判断，即可得出答案.【详解】由图象可得，()f x 为偶函数，且()00f >，且π12f ⎛⎫<-⎪⎝⎭. A 项，若()()()cos 4cos cos 4sin x x f x +=，则()()()()()cos 4cos cos 4sin f x x x +-=--()()()cos 4cos cos 4sin f x x x +==，所以()f x 为偶函数. 而ππcos 4cos c 0os 4sin 22π1cos 42f +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不满足题意，故A 项错误； B 项，若()11cos 4coscos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11cos 4cos cos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎭⎭⎝⎝⎝⎭⎝()11cos 4cos cos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数.()()()cos 4cos 0cos 014sin 00cos 4f ==+>+，ππcos 4cos c os 4sin 44π2cos 2f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+，因为2ππ3<<，所以2π1cos cos 32<=-，所以π12f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭满足题意，故B 项正确； C 项，若()11sin 4cossin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11sin 4cos sin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎭⎭⎝⎝⎝⎭⎝()11sin 4cos sin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不是偶函数，故C 项错误； D 项，若()13cos 4cos24f x x ⎛⎫ ⎪⎭+=⎝，则()()()1313cos 4cos cos 4cos 2424x x f x f x f x ⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，所以()f x 为偶函数.π33cos 4cos cos 24π144f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭+=+⎭>-⎝，故D 项错误.故选：B. 5. 过点()2,5A的直线l 与函数()5112x f x x -=-的图象交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，()5,1B ，则cos ,OM ON AB +=（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性分析可得A 为线段MN 的中点，结合向量的坐标运算求解. 【详解】∵()5111522x f x x x -==---， 可知()f x 是由1y x=-向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到 故()2,5A函数()f x 的对称中心，则A 为线段MN 的中点，可得()()24,10,3,4OM ON OA AB +===-u u u r u u u r u u r u u u r，所以()cos ,OM ON AB OM ON AB OM ON AB+⋅+===+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C.6. 已知正三棱台111ABC A B C-1AA =，则该正三棱台的外接球的表面积为（ ） A. 40π B. 80πC. 30πD. 60π【答案】D 【解析】【分析】先求上、下底面正三角形的边长，根据外接球的性质结合勾股定理求半径，即可得结果. 【详解】若正三角形的边长为a，则其面积为212a a ×´=由题意可得：1136AB ,A B ==，取111,A A C C B B 的外接圆的圆心为2,O O ，正三棱台111ABC A B C -的外接球的球心1O ，连接211121OA,OO ,O A,O A ,O A ，过A 作底面的投影M ，可得221OA O M A ==，则1MA =，由1AA =，可得2OO MA ==，设外接球的半径为R ，则111A R O O A ==，可得()222211222221211312R OA OO OO R O A O O OO ⎧=+=+⎪⎨=+=+-⎪⎩，解得1R OO ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以该正三棱台的外接球的表面积24π60πS R ==. 故选：D.7. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为θ的直线l 经过点(),0A a 和点B ，其中12121212,,2BF BD F D F B F D F F =⊥=，若cos θ=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 2y x =± B. y x =±C. 53y x =±D. 43y x =±【答案】D 【解析】【分析】由条件分析得：D 是BF 1的中点，且12F F B △是底角为30 的等腰三角形，作出简图，根据正弦定理可得a b 、的关系，得出结果.【详解】由1212,BF BD F D F B =⊥可得D 是BF 1的中点，且12F F B △是以2F 为顶点的等腰三角形，又因为21212F D F F =，所以1230BF F ∠= ， 在2AF B 中，由正弦定理可得()22sin sin 60BF AF θθ=- ，即()2sin sin 60c c aθθ-=- ，即2sin sin 60cos cos 60sin c c aθθθ-==-由cos θ=可得sin θ==， 代入上式化简可得：35c a =，则22925c a =，则()222925a b a+=，解得43b a =. 故渐近线为：43y x =±. 故选：D .8. 若函数()22e e cos x xf x m x -=++在[)0,∞+上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. (],0-∞B. e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()0f x '≥在[)0,∞+上恒成立，构建()()g x f x '=，结合定点()00g =分析运算. 【详解】因为()22e ecos xx f x m x -=++，则()221e e sin 2x xf x m x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，由题意可得()221e e sin 02x xf x m x -⎛⎫'=--≥ ⎪⎝⎭在[)0,∞+上恒成立，构建()()g x f x '=，则()221e e cos 4x xg x m x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，注意到()00g =，则()1002g m '=-≥，解得12m ≤，若12m ≤，则()22111e e cos cos cos 442x x g x m x m x m x -⎛⎫'=+-≥⨯-=- ⎪⎝⎭，当且仅当22e e x x-=，即0x =时，等号成立， 若102m ≤≤，因为cos 1≤x ，则cos m x m -≥-， 可得()11cos 022g x m x m '≥-≥-≥； 若0m <，因为cos 1x ≥-，则cos m x m -≥-， 可得()11cos 022g x m x m '≥-≥->； 综上所述：当12m ≤时，()0g x '≥在[)0,∞+上恒成立， 则()g x 在[)0,∞+上单调递增，可得()()00g x g ≥=，符合题意； 故实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D.【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为n a ，每个月老鼠的总数量为n b ，数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，可知112212,14,84,98a b a b ====，则下列说法正确的是（ ） A. 66127a =⨯ B. 6627b =⨯C. 66272S =⨯-D. 86773T -=【答案】AC 【解析】【分析】根据题意分析可得数列{}n a ，{}n b 均为等比数列，结合等比数列分析运算. 【详解】由题意可得：1111126,72n n n n n n n a b b b a b b +++=⨯==+=， 即17n n b b +=，且114b =，所以数列{}n b 是以首项114b =，公比7q =的等比数列，则114727n nn b -=⨯=⨯，可得()1141777173n n n T +--==-， 当2n ≥时，116127n n n a b --==⨯，且112a =满足上式，故1127n n a -=⨯，可得111277127n nn n a a +-⨯==⨯，即数列{}n a 是以首项112a =，公比7q =的等比数列， 可得()121727217n n n S -==⨯--，综上可得：66127a =⨯，7627b =⨯，66272S =⨯-，76773T -=. 故A 、C 正确，B 、D 错误. 故选：AC10. 已知函数()()()11f x x x x =+-，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切，则与直线l 垂直的直线为（ ） A. 420x y -+= B. 280x y -+= C. 50x y +-= D. 2430x y +-=【答案】AD 【解析】【分析】首先求出函数的导函数，设切点坐标为()3000,x x x -，即可表示出切线方程，再将()1,0代入方程，即可得到关于0x 的方程，解得0x ，从而求出切线的斜率，再一一判断即可. 【详解】()()()()23111f x x x x x x x x =+-=-=-，则()231f x x '=-，设切点坐标为()3000,x x x -，则()20031f x x '=-，所以切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--，.又切线过点()1,0，所以()()()3200000311x x x x --=--，即32002310x x -+=，故()()2002110x x +-=，解得01x =或012x =-， 所以直线l 的斜率为211131224f ⎛⎫⎛⎫'-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()213112f '=⨯-=，对于A ：直线420x y -+=的斜率为4，符合题意，故A 正确； 对于B ：直线280x y -+=的斜率为12，不符合题意，故B 错误； 对于C ：直线50x y +-=的斜率为1-，不符合题意，故C 错误； 对于D ：直线2430x y +-=的斜率为12-，符合题意，故D 正确； 故选：AD11. 已知函数()22sincos 333x x xf x =-，则下列说法错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为6πB. ()π,0是函数()f x 图象的一个对称中心C. 将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后得到一个偶函数 D. 函数()f x 在[]0,10π上有7个零点 【答案】ABC 【解析】【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质一一判断即可. 【详解】()22sincos 333x x x f x =-22sin33x x=1222sin 233x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2π2sin 33x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即()2π2sin 33x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故最小正周期2π3π23T ==，故A 错误； 的又()0f =-，()4ππ2π2sin 33f ⎛⎫=--=⎪⎝⎭，即()()02π0f f +=-≠，所以()π,0不是函数()f x 图象的的一个对称中心，故B 错误；将函数()f x 的图象向右平移π6个单位得到24π2sin 39x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C 错误；令()0f x =，即2π2sin 033x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即2πsin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以2ππ2π333x k -=+或2π2π2π333x k -=+，Z k ∈， 所以π3πx k =+或3π3π2x k =+，Z k ∈， 因为[]0,10πx ∈，所以函数()f x 在[]0,10π上有7个零点分别为π，3π2，4π，9π2，7π，15π2，10π，故D 正确；故选：ABC12. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，过点(),5A a a -作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若2PQPA=，则点A 到原点的距离为（ ）A. B. C.D.【答案】CD 【解析】【分析】根据p 的几何意义得到2p =，即可得到抛物线方程，设()11,P x y ，()22,Q x y ，利用导数的几何意义求出切线方程，将点(),5A a a -代入方程，即可得到1x ，2x 是方程()22450x ax a -+-=的两个解，列出韦达定理，由2PQPA=求出a 的值，即可得到A 点坐标，从而求出距离. 【详解】因为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，所以2p =， 则抛物线2:4C x y =，即214y x =，所以12y x '=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则21114y x =，22214y x =，所以111|2x x y x ='=，221|2x x y x ='=， 所以点P 处的切线方程为()11112y y x x x -=-，将(),5A a a -代入方程得()111152a y x a x --=-，即()2112450x ax a -+-=，同理可得()2222450x ax a -+-=，所以1x ，2x 是方程()22450x ax a -+-=的两个解，所以122x x a +=，①()1245x x a =-，②所以直线PQ 的斜率121212142y y x x k a x x -+===-，由2PQPA =2x a -=-， 又1212x x x a -=-，所以=221x a =， 因为1x a ≠，所以1x a =-③，由①②③得234200a a +-=，解得2a =或103a =-， 所以点A 的坐标为()2,3-或1025,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以AO ==或AO ==.故选：CD【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数表示出切线方程，设而不求得到直线PQ 的斜率，再利用弦长公式及已知条件求出a 的值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若圆221:420C x y x y +-+=与圆222:810160C x y x y +-++=交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为______.【答案】240x y --= 【解析】【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线PQ 的方程，运算求解即可. 【详解】∵圆1C 与圆2C 相交，则两圆方程之差即为直线PQ 的方程，将22420x y x y +-+=与22810160x y x y +-++=作差得48160x y --=， 整理得240x y --=，即直线PQ 的方程为240x y --=. 故答案为：240x y --=.14. 已知25442nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数之和为256，记展开式中10x -的系数为a ，则128a =______. 【答案】896- 【解析】【分析】令1x =得到展开式中各项的系数之和求出n ，再写出展开式的通项，令1622105r-=-，求得r ，即可求出a ，从而得解.【详解】对于25442nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭令1x =可得展开式中各项的系数之和为()24256n -=，解得8n =，所以825442x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()82162285518844C 2C 24rrrr r r rr T x x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令1622105r -=-，解得3r =，所以()3358C 24a =⋅⋅-，所以()3358896128128C 24a -=-⋅=⋅.故答案为：896-15. 如图，已知四棱锥1D ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，M 是棱1DD 上靠近点D 的三等分点，N 是1BD 的中点，平面AMN 交1CD 于点H ，则，11D HD C=_______.【答案】25##0.4 【解析】【分析】将四棱锥补为三棱柱1ADD BCE -，由1D MH CEH 求解. 【详解】解：如图所示：补全四棱锥为三棱柱，作1//D E AB ，且1D E AB =， 因为ABCD 为平行四边形，所以//AB CD ， 则1////D E AB CD ，且1D E AB CD ==，所以四边形1ABED 和四边形1D DCE 都是平行四边形， 因为N 为中点，则延长AN 必过点E ， 所以A ，N ，E ，H ，M 在同一平面内， 因为1//DD CE ，所以1D MH CEH ， 又因为M 是棱1DD 上靠近点D 的三等分点，所以1123D H D M HC CE ==，则1125D H D C =， 故答案为：2516. 已知ln 3a =，11log 3b =，现有如下说法：①2a b <；②3a b ab +>；③b a ab -<-.则正确的说法有______.（横线上填写正确命题的序号）【答案】②③ 【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可. 【详解】因为ln 30a =>，11log 30b =>， 所以e ln 3log 3a ==，11e 22log 33log 3b a ==<=，所以2a b >，故①错误；()333311log e log 11log 11e log 273a b+=+=>=，所以3a b ab +>，故②正确； 333311e 1log e log 11log log 1113a b -=-=<=-，所以b a ab -<-，故③正确. 故答案为：②③四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，1ni i a n i ==∑，且213,,3k k S a S ++是等比数列{}n b 的前三项. （1）求5b 的值；（2）求数列4332351n n n a a a -++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）1296（2）221525nn n n +-+【解析】【分析】（1）依题意可得312123n a a a a n n++++= ，利用作差法求出n a n =，再根据等比中项的性质得到方程求出k ，即可求出{}n b 的通项公式，再计算可得；（2）由（1）可得()()43323511433235n n n a n a a n n -+++=+-++，利用裂项相消法和分组求和法计算可得. 【小问1详解】 依题意312123n a a a a n n ++++= ，当1n =时11a =， 当2n ≥时311211231n a a a a n n -++++=-- ， 所以1n a n=，则n a n =，所以()12n n n S +=， 又23S ，1k a +，3k S +是等比数列{}n b 的前三项，所以12233k k S a S ++=⨯，即()()()23412k k k +++=，解得5k =或2k =-（舍去）， 而2113S b ==，266b a ==，所以16n n b -=，所以4561296b ==. 【小问2详解】由（1）可得()()43323511433235n n n a n a a n n -+++=+-++ 1114333235n n n ⎛⎫=-+- ⎪++⎝⎭， 所以()143111113582821133511n n n T n n +-⎛⎫=-++-+++ ⎪⎝⎭-+ 221112235351525n n n n n n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪++⎝⎭. 18. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.（1）求a 的值以及所有受灾居民的经济损失的平均值；（2）以频率估计概率，若从所有受灾居民中随机抽取4人，记受灾居民的经济损失在[)2000,4000的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .【答案】（1）0.00009a =；所有受灾居民的经济损失的平均值为3360元；（2）分布列见解析，() 1.6E X = 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可得a 的值；由频率分布直方图的平均值的求法可得所有受灾居民的经济损失的平均值；（2）求出受灾居民的经济损失在[)2000,4000的概率，根据()4,0.4 XB 可得X 的分布列以及数学期望.【小问1详解】由()20.000030.000150.0002020001⨯+++⨯=a 得0.00009a =；0.00015200010000.0002020003000⨯⨯+⨯⨯0.00009200050000.00003200070000.00003200090003360+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所有受灾居民的经济损失的平均值为3360元； 【小问2详解】受灾居民的经济损失在[)2000,4000的概率为0.0002020000.4⨯=， 由题意()4,0.4 X B ，()00440C 0.40.60.1296P X ==⨯=， ()11341C 0.40.60.3456P X ==⨯=， ()22242C 0.40.60.3456P X ==⨯=， ()33143C 0.40.60.1536P X ==⨯=， ()44044C 0.40.60.0256P X ==⨯=， 所以X 的分布列为X0 1 2 3 4 P0.12960.34560.34560.15360.0256数学期望()40.4 1.6E X =⨯=.19. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3πcos sin π02b A B ⎛⎫⎪++⎭+=⎝.（1）求sin c A 的值；（2）若()2sin tan tan b C a C c C -=.且ABC S λ≥△.求实数λ的取值范围.【答案】（1（2）(-∞ 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理得sin sin 0b C A B =，根据正弦定理角化边即可得结果； （2）根据题意结合余弦定理可得2π3B =，进而可得2ac b =，结合基本不等式和面积公式可求得ABC S ≥△，即可得结果.【小问1详解】因为(3πcos sin π02b A B ⎛⎫ ⎪++⎭+=⎝，则sin sin 0b A -=，整理得sin sin 0b C A B -=，由正弦定理可得sin 0b A =，故sin c A =. 【小问2详解】因为()2sin tan tan b C a C c C -=，由tan C 存在，则cos 0C ≠，两边同乘以cos C 可得：()2sin cos sin sin b C C a C c C -=，又因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得2cos 2b C a c -=， 由余弦定理可得222222a b c b a c ab+-⨯-=，整理得222a c b ac +-=-， 可得2221cos 22a cb B ac +-==-， 且()0,πB ∈，则2π3B =，由（1）可知：sin sin 0b C A B -=，可得2sin sin 2sin b C A B =，由正弦定理可得22abc b =，即2ac b =，由余弦定理可得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++≥，当且仅当a c =时，等号成立，可得26b b ≥，可得6b ≥，即212ac b =≥，故11sin 1222ABC S ac B =≥⨯=△，由题意可得：λ≤，故实数λ的取值范围为(-∞.20. 已知四棱锥S ABCD -如图所示，其中SB =，1AB =，AD =，390ABC ABS DAB ADC ====︒∠∠∠∠，平面SBA ⊥平面ABCD ，点M 在线段AD 上，AM =N 在线段SC 上.（1）求证：AC SM ⊥；（2）若平面ADN 与平面ABCD，求SN 的值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接BM ，由面面垂直的性质得到SB ⊥平面ABCD ，即可得到SB AC ⊥，再利用平面几何的知识证明AC BM ⊥，即可得到AC ⊥平面SBM ，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，设SN SC λ=，[]0,1λ∈，利用空间向量法得到方程，求出λ的值，即可得解.【小问1详解】连接BM ，因为SB AB ⊥，平面SBA ⊥平面ABCD ，平面SBA 平面ABCD AB =，SB ⊂平面SBA ，所以SB ⊥平面ABCD ，因AC ⊂平面ABCD ，所以SB AC ⊥，因为1AB =，AD =，390ABC ABS DAB ADC ====︒∠∠∠∠，底面ABCD 中过点C 作CE AD ⊥交AD 与点E ，则1CE AB ==， 所以2sin CE CD CDA ==∠，tan CE DE CDA==∠， 显然ABCE为矩形，所以BC AE AD DE ==-=，又AM =，所以AM AB AB BC ==ABM BCA △∽△，所以ABM BCA ∠=∠， 又90ABM MBC ∠+∠=︒，所以90BCA MBC ∠+∠=︒，所以AC BM ⊥，又SB BM B = ，,SB BM ⊂平面SBM ，所以AC ⊥平面SBM ，又SM ⊂平面SBM ，所以AC SM ⊥.为在【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A，()0,C，()D，(S ，所以(0,SC =，(AS =-，()AD = ，设()0,,SN SC λ== ，[]0,1λ∈，则()1,AN AS SN =+=- ， 设平面ADN 的法向量为(),,n x y z = ，所以00AD n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即)00x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩，令1z =，则x =，所以),0,1n = ， 平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADN 与平面ABCD， 所以cos ,n m n m n m ⋅===⋅ ，解得13λ=或53λ=（舍去）， 所以13SN SC ===.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P ，Q 在椭圆C 上运动，且PF 的最小值为-；当点P 不在x 轴上时点P 与椭圆C 的左、右顶点连线的斜率之积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:20l x y -=与椭圆C 在第一象限交于点A ，若PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.【答案】（1）22163x y += （2）直线PQ 的斜率为定值1，理由见解析【解析】【分析】（1）设()11,P x y ，椭圆C 的左、右顶点坐标分别为(),0a -，(),0a ，即可得到2212b a -=-，再根据a c -=及222c a b =-求出a 、b ，即可得解；（2）首先求出A 点坐标，设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -，()11,P x y ，()22,Q x y ，表示出AP 的方程，联立求出1x ，把k 换为k -得2x ，即可求出21x x -、21y y -，从而求出直线PQ 的斜率，即可得解.【小问1详解】设()11,P x y ，椭圆C 左、右顶点坐标分别为(),0a -，(),0a ， 故221222111222221111112x b a y y y b x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-=--+--， 即222a b =，则2222c a b b =-=，又a c -=-b -=-，解得b =，所以a =，即椭圆C 的方程为22163x y +=. 【小问2详解】 联立2216312x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，又A 在第一象限，所以()2,1A ， 由题意知PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与x 轴垂直，设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线AP 的方程为()12y k x -=-，即12y kx k =+-，的由2212163y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222214128840k x k k x k k ++-+--=， 因为P 、A 为直线AP 与椭圆的交点，所以212884221k k x k --=+，即21244221k k x k --=+， 把k 换为k -得22244221k k x k +-=+， 所以212821k x x k -=+， 所以()()()212112*********k y y kx k kx k k x x k -=-++-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+， 所以直线PQ 的斜率21211y y k x x -==-，即直线PQ 的斜率为定值1.22. 已知函数()()2ln 1f x mx x x =-- （1）若函数()f x 在[]3,9上有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）若关于x 的不等式()()21f x m f x +≤'+在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）29e 2ln 31m <≤- （2）[]0,1【解析】 【分析】（1）原题可转化为()ln 11x g x x m-==在[]3,9上有两个不相等的根，然后取出()g x 的导函数，根据函数的单调性以及最值，结合端点处的函数值，即可推得22ln 31119e m -≤<，求解即可得出实数m的取值范围；（2）移项构造函数可得()22ln 21ln h x mx x x mx x m m x =--++--，然后求出导函数，根据二次求导可得()2112k x m x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭.根据已知条件()210h m m =-≤，推得01m ≤≤.进而可得出()h x 的单调性，验证可得，01m ≤≤满足条件，即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，()f x 定义域为()0,∞+.令()0f x =，则()ln 1m x x -=，显然0m ≠，所以ln 11x x m-=. 令()ln 1x g x x -=，[]3,9x ∈，则()()221ln 12ln x x x x g x x x ⋅---'==. 解()0g x '=，可得2e x =.所以当23e x ≤<时，()0g x '>，所以()g x 在)23,e⎡⎣上单调递增；当2e 9x <≤时，()0g x '<，所以()g x 在(2e ,9⎤⎦上单调递减. 所以，函数()f x 在2e x =处取得极大值，也是最大值()221e e g =. 又()ln 3133g -=，()()ln 912ln 31ln 3193993g g ---==<=， 所以，要使函数()f x 在[]3,9上有两个零点，则()1g x m =在[]3,9上有两个不相等的根，则应有22ln 31119em -≤<， 所以，29e 2ln 31m <≤-. 【小问2详解】由已知可得，()()ln 12ln 12f x m x x m x x mx x +⋅'=--=-. 设()()()21h x f x m f x '=+--22ln 21ln mx x x mx x m m x =--++--，1x ≥，则()ln 22m h x m x x x'=-+-.令()ln 22m k x m x x x =-+-，则()221122m m k x m x x x x ⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭. 由已知()2211210h m m m m =--++-=-≤，所以01m ≤≤.因为1x ≥，所以101x<≤，2101x <≤，所以21102x x <+≤. 又01m ≤≤，所以2112m x x ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，所以21120m x x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭， 所以()0k x '≤，所以，()k x ，即()h x '在[)1,+∞上单调递减.又()1220h m m '=-+-=-≤，所以，()h x 在[)1,+∞上单调递减，所以，()()10h x h ≤≤，所以，实数m 的取值范围为[]0,1.【点睛】思路点睛：移项构造函数，通过求解函数的导函数（或二次求导），得出函数的单调性.进而结合已知，得出函数的最值，即可得出恒成立.。
2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析
最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。
华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评文科数学试题(老教材卷)
一、单选题1. 函数(，是常数，，)的部分图象如图所示，为得到函数，只需将函数的图象（ ）.A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位2.函数则的解集为（ ）A．B．C．D．3. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为2m ，且水流落在地面上以O 为圆心，6m 为半径的圆内，则管柱OA 的高度为（）A ．2mB ．3mC ．2.5mD ．1.5m4. 如图，已知四边形ABCD 是菱形，，点E 为AB 的中点，把沿DE 折起，使点A 到达点P的位置，且平面平面BCDE ，则异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5. 若集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 函数的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)7. 若，且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．8. 若a ，b 是函数的两个极值点，则的值为（ ）A．B．C．D．华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评文科数学试题（老教材卷）二、多选题三、填空题四、解答题9. 设复数（且），则下列结论正确的是（ ）A ．可能是实数B ．恒成立C ．若，则D ．若，则10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．是奇函数B．的图象关于点对称C ．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则D ．令，若，则实数的取值范围是11. 1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）A．B．C．D．12. 已知随机性离散变量的分布列如下，则的值可以是（）12A．B．C．D ．113.在中，，点D 在线段上，且满足，，则等于________.14.已知为双曲线右支上一点（非顶点），、分别为双曲线的左右焦点，点为的内心，若，则该双曲线的离心率为________.15. 已知函数为奇函数，则___________.16. 已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．17.如图，已知三棱锥中，是边长为1的等边三角形，，点为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．18. 已知双曲线为双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，直线交双曲线于两点.(1)若直线的斜率为，求的值；(2)设直线的斜率分别为，且，记，试探究与满足的方程关系，并将用表示出来.19. 如图，点C在直径为AB的半圆O上，CD垂直于半圆O所在平面，平面ADE⊥平面ACD，且CD∥BE.（1）证明：CD=BE；（2）若AC=1，AB=，∠ADC=45°，求四棱锥A -BCDE的内切球的半径.20. 已知．（）(1)讨论的单调性；(2)若，且存在，使得，求的取值范围．21. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º.（1）证明：AB⊥PC；（2）若，且平面⊥平面，求三棱锥体积.。
2020届湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷(4月份)(含解析)
2020届湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷(4月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|−3≤x <2,x ∈Z}，B ={x|x +1≤3,x ∈N}，则A ∪B 中元素的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知复数z =1i ，则z −在复平面上对应的点为( )A. (0,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,0)3. 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)，设a ij (i ，j ∈N +)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数，如a 42=8，若i =65，j =3，则a ij 的值为( )A. 2010B. 2051C. 2053D. 20554. 如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为A. 10B. 21C. 35D. 465. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是( )A. y 2=4xB. y 2=2xC. y 2=8xD. y 2=6x6. 将长宽分别为2和1的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A −BCD ，则四面体A −BCD外接球的表面积为( )A. 3πB. 5πC. 10πD. 20π7. 设z ={x −y,x ≥2yy x <2y若−2≤x ≤2，−2≤y ≤2，则z 的最小值为( ) A. −4 B. −2 C. −1 D. 08. 在△ABC 中，若sinA a=cosB b=cosC c，则△ABC 是( )．A. 正三角形B. 有一内角为30°的等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 有一内角为30°的直角三角形9. 双曲线y 24−x 2=1的渐近线方程为( )A. y =±4xB. y =±2xC. y =±12xD. y =±14x10. 如图，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 163 B. 323 C. 643 D. 3211. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取4个连接构成的三棱锥中，满足任意一条棱都不与其表面垂直的三棱锥的个数( )A. 22B. 24C. 26D. 2812. 设a =3(2−ln3)e 2，b =1e ，c =ln33，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A. a <c <bB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={a −|x +2|,x ≤1(x −a)2,x >1函数g(x)=2−f(x)，若函数y =f(x)−g(x)恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 14. 已知函数；f(x)={|x −1|,x ≤0,|x 2−2x|,x >0.若函数y =f (x )−a 有三个零点，则实数a 的取值范围是________．15. 已知向量a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(3,−4)的夹角为θ，sinθ的值为______ ． 16. 内接于半径为R 的圆的矩形，周长最大值为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=12，点(a n ,a n+1)(n ∈N ∗)在直线y =x +12上.(1)记b n =1an ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ；(2)令c n =an2n−1，n ∈N ∗.证明：c 1+c 2+⋯+c n <2．18. 如图，在直五棱柱ABCDE −A 1B 1C 1D 1E 1中，AB//ED ，AB ⊥AE ，AB =ED =1，AE =AA 1=2，BC =CD ，BC ⊥C 1D . (1)证明：CD ⊥平面BB 1C 1C (2)求四棱锥C 1−BEE 1B 1的体积19. 某市为广泛开展垃圾分类的宣传、教育和倡导工作，使市民树立垃圾分类的环保意识，学会垃圾分类的知识，特举办了“垃圾分类知识竞赛“.据统计，在为期1个月的活动中，共有两万人次参与网络答题．市文明实践中心随机抽取100名参与该活动的市民，以他们单次答题得分作为样本进行分析，由此得到如图所示的频率分布直方图：(1)求图中a的值及参与该活动的市民单次挑战得分的平均成绩x−(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)若垃圾分类答题挑战赛得分落在区间(70,x−+2s)之外，则可获得一等奖奖励，其中x−，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈4，若某人的答题得分为96分，试判断此人是否获得一等奖；(3)为扩大本次“垃圾分类知识竞赛”活动的影响力，市文明实践中心再次组织市民组队参场有奖知识竞赛，竞赛共分五轮进行，已知“光速队”与“超能队”五轮的成绩如表：成绩第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮“光速队”9398949590“超能队”9396979490(i)分别求“光速队”与“超能队”五轮成绩的平均数和方差；(ii)以上述数据为依据，你认为“光速队”与“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩谁更稳定？20.设抛物线C1：y2=8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率为√2的椭圆记2为C2．(Ⅰ)求椭圆C 2的方程；(Ⅱ)设N(0,−2)，过点P(1,2)作直线l ，交椭圆C 2于异于N 的A 、B 两点． (ⅰ)若直线NA 、NB 的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1+k 2为定值．(ⅰ)以B 为圆心，以BF 2为半径作⊙B ，是否存在定⊙M ，使得⊙B 与⊙M 恒相切？若存在，求出⊙M 的方程，若不存在，请说明理由．21. 设函数f(x)=12mx 2−2x +ln(x +1)(m ∈R)．(Ⅰ)判断x =1能否为函数f(x)的极值点，并说明理由；(Ⅱ)若存在m ∈[−4,−1)，使得定义在[1,t]上的函数g(x)=f(x)−ln(x +1)+x 3在x =1处取得最大值，求实数t 取值范围．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的参数方程为{x =1−2√55ty =1+√55t (t 为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为{x =2cosαy =sinα(α为参数)，曲线C 1上点P 的极角为π4，Q 为曲线C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x−3|．(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)<|a−1|的解集不是空集，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合A={x|−3≤x<2,x∈Z}={−3,−2,−1,0，1}，B={x|x+1≤3,x∈N}={0,1，2}，∴A∪B={−3,−2,−1,0，1，2}，∴A∪B中元素的个数为6．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：∵z=1i =−i−i2=−i，∴z−=i，则z−在复平面上对应的点为(0,1)．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：本题主要考查简单的演绎推理及数列的特点，属于基础题．解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，a ij是第65行第3个数，由图知，第65行都是奇数，设奇数为2n−1，它是第1+3+...+63+3=1027个，因此a ij为2×1027−1=2053．故选C．4.答案：C本题主要考查了利用数据的茎叶图求解样本数据的中位数，属于基础题.解决此题的关键是数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义求解．解：由茎叶图可知，出现次数最多的是35，所以该样本数据的众数为35．故选C．5.答案：C解析：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P横坐标为x1，点Q横坐标为x2，利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1+p2+x2 +p2，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得p值，然后求解抛物线方程．【解答]解：设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P横坐标为x1，点Q横坐标为x2，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1+p2+x2+p2=(x1+x2)+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．6.答案：B折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．本题主要考查几何体的外接球的相关知识，考查空间想象能力，计算能力，求出球的半径，是解题的关键．解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A−BCD，，则四面体A−BCD的外接球的球心O为AC中点，半径R=√52)2=5π．所求四面体A−BCD的外接球的表面积为4π×(√52故选B．7.答案：C解析：解：由题意画出−2≤x≤2，−2≤y≤2的平面区域，当z=x−y时，y=x−z，又因为x≥2y，所以可行域为上图中正方形且在直线x−2y=0的下方部分，且包括边界，故当直线经过点A时，z取到最小值，由于A(−2,−1)，故z的最小值为−1；当z=y时，又因为x<2y，所以可行域为上图中正方形且在直线x−2y=0的上方部分，但不包括边界，本来当直线经过点A时，但是取不到A，故z>−1；综上得，z的最小值为−1．故选C．先画出满足条件的可行域，再由题意分两种情况进行求解，根据目标函数对应的直线的斜率求出z的最小值，最后取z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，根据不等式正确画出可行域，再由目标函数的斜率大小求出最值．8.答案：C解析：解：∵sinAa =cosBb=cosCc，则由正弦定理，可知：sinAsinA =cosBsinB=cosCsinC=1，∴sinB=cosB，sinC=cosC，∴B=π4，C=π4，∴A=π2，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．先利用正弦定理把题设中的边转化成角的正弦，整理求得sinB=cosB，sinC=cosC，进而分别求得B和C，则三角形的形状可判断．本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的互化．9.答案：B解析：解：双曲线y24−x2=1的渐近线方程为：y=±2x．故选：B．直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：B解析：解：由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，体积为13×12×4×4×4=323，故选B．由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，可得体积．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．11.答案：C解析：解：不妨在正方体一个面的四个顶点中任取三个点，在与这个面平行的面中只有一个顶点与刚才的三个顶点能构成符合条件的三棱锥(如图中三棱锥D 1−ABC)，所以这一对平行平面的顶点共构成2×C 43=8个符合条件的三棱锥，正方体中共有三对平行平面，所以可构成符合条件的三棱锥3×8=24个．另外正四面体A 1C 1BD 和正四面体ACB 1D 1也符合条件， 故符合条件的三棱锥共有24+2=26个． 故选：C分类讨论，在正方体一个面的四个顶点中任取三个点，在与这个面平行的面中只有一个顶点与刚才的三个顶点能构成符合条件的三棱锥；正四面体A 1C 1BD 和正四面体ACB 1D 1也符合条件，即可得出结论．本题考查排列组合知识，正确分类是关键．12.答案：A解析：解：设f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x >e 时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x <e 时，f′(x)<0，函数单调递减， 故当x =e 时，函数取得最大值f(e)=1e ， 因为a =3(2−ln3)e 2=f(e 23)，c =ln33=f(3)，b =1e =f(e)，故b >a ，b >c ， 设m =lnx x的零点为x 1<x 2，则mx 1=lnx 1，mx 2=lnx 2，所以lnx 2−lnx 1=m(x 2−x 1)，lnx 2+lnx 1=lnx 1x 2=m(x 2+x 1)①， 令g(x)=lnx −2(x−1)x+1，x >1，则g′(x)=(x−1)2x(x+1)2>0，故g(x)在(1,+∞)单调递增，g(x)>g(1)=0， 所以，当x >1时，lnx >2(x−1)x+1，从而ln x2x1>2(x2x1−1)x2x1+1，即(lnx2−lnx1)⋅1x2−x1>2x2+x1②，①代入②得，x1x2>e2，令x1=e23，则x2>3，故f(x1)=f(x2)<f(3)，故a<c，综上a<c<b．故选：A．结合已知要比较函数值的结构特点，可考虑构造函数f(x)=lnxx，然后结合导数与单调性关系分析出x=e时，函数取得最大值f(e)=1e，可得b最大，然后结合函数及函数零点性质分析可比较a，c的大小．本题主要考查了函数值大小的比较，解题中注意导数知识的灵活应用，解题的关键是根据要比较函数值的特点构造出相应的函数，属于难题．13.答案：(2,4]解析：解：函数y=f(x)−g(x)=f(x)−2+f(x)=2f(x)−2，y=0，得f(x)=1，画出函数的图象如下左边，可知要又4个交点，必须在函数的两个分支上各有2个交点，当x≤1，y=a−|x+2|=1，得a=1+|x+2|，如图1<a≤4时，y=a与y=1+|x+2|有2个交点；x>1时，y=(x−a)2=1，得x=a−1，或者x=a+1，即a=x+1>2，a=x−1>0，故a>2时，有两个解，综上可得a∈(2,4]．故答案为：(2,4]．函数y=f(x)−g(x)=0，化简得f(x)=1，根据图象恰有4个不同的零点，分段函数每个段有2个交点，根据图象和方程，求出a的范围．考查分段函数的应用，涉及内容有函数图象的画法，求函数零点，分类讨论法，变换主元法等，中档题．14.答案：(0,1]解析：本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．解：作出函数的图象，如图所示，若函数y=f(x)−a有三个零点，则实数a的取值范围是(0,1]故答案为(0,1]．15.答案：√210解析：考查数量积的坐标运算，根据向量坐标可求向量长度，向量夹角的余弦公式，属于基础题． 根据条件即可求出a ⃗ ⋅b ⃗ ,|a ⃗ |和|b ⃗ |的值，从而由cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |求出cosθ的值，进而求出sinθ的值． 解：根据条件，cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=−7√2×5；∵0≤θ≤π；∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−4950=√150=√210． 故答案为：√210．16.答案：4√2R解析：解：设∠BAC =θ，周长为P ，则P =2AB +2BC =2(2Rcosθ+2Rsinθ)=4√2Rsin(θ+π4)≤4√2R ， 当且仅当θ=π4时，取等号． ∴周长的最大值为4√2R. 故答案为：4√2R.设∠BAC =θ，周长为P ，则可用θ的三角函数表示出AB 和BC ，进而整理后根据正弦函数的性质求的周长的最大值．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．本题利用了三角函数的性质来求最值，属于基础题．17.答案：解：(1)由已知得a n+1=a n +12，即a n+1−a n =12，∴数列{a n }是以12为首项，以d =12为公差的等差数列， ∵a n =a 1+(n −1)d ，∴a n =12+12(n −1)=n2(n ∈N ∗). 因为b n =1n 2×n+12=4n(n+1)，∴b n =4(1n −1n+1)，∴T n =4(1−12+12−13+13−14+⋯1n −1n+1)=4(1−1n+1)=4nn+1． 证明：(2)因为c n =n2n ，记S =c 1+c 2+⋯+c n =121+222+⋯+n2n ①则2S=1+221+322+⋯+n2n−1②②−①可得：S=2S−S=1+121+122+⋯+12n−1−n2n=2−n+22n．因为n为正整数，则n+22n >0，从而S=2−n+22n<2．即c1+c2+⋯+c n<2．解析：(1)直接利用点和直线的关系求出数列的通项公式；(2)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，乘公比错位相减法在求和中的应用，放缩法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18.答案：(1)证明：∵CC1⊥平面ABCDE，BC⊂平面ABCDE，∴BC⊥CC1，CD⊥CC1，又BC⊥C1D，CC1∩C1D=C1，∴BC⊥平面DD1C1C，∴BC⊥CD，又CD⊥CC1，BC∩CC1=C，∴CD⊥平面BB1C1C.(2)解：过C作CF⊥BE，垂足为F，∵BB1⊥平面ABCDE，CF⊂平面ABCDE，∴BB1⊥CF，又BB1∩BE=B，∴CF⊥平面BEE1B1，又CC1//平面BB1E1E，∴C1到平面BB1E1E的距离等于CF，∵AB=DE，AB//DE，AB⊥AE，∴四边形ABDE是矩形，∴BD=AE=2，由(1)证明可知BC⊥CD，又BC=CD，BD=2，∴∠CBD=45°，BC=√2，∴BE=√5，sin∠DBE=DEBE =√55，cos∠DBE=2√55，∴sin∠CBF=sin(∠DBE+45°)=√55×√22+2√55×√22=3√1010，∴CF=BC⋅sin∠CBF=3√55，∴V C 1−BEE 1B 1=13×2×√5×3√55=2．解析：(1)先证明BC ⊥平面CDC 1得出BC ⊥CD ，结合CD ⊥CC 1即可得出CD ⊥平面BB 1C 1C ； (2)过C 作CF ⊥BE ，证明CF ⊥平面BEE 1B 1，求出CF 代入体积公式即可得出棱锥的体积． 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：(1)由频率分布直方图可知(a +0.05+0.04+2×0.02+0.01)×5=1，解得a =0.06； 参与该活动的市民单次挑战得分的平均值的平均成绩为x −=72.5×0.05+77.5×0.1+82.5×0.2+87.5×0.3+92.5×0.25+97.5×0.1=87(分)．(2)由(1)知x −=87，区间(70,x −+2s)=(70,95)，而96∉(70,x −+2s)， 故此人未获得一等奖；(3)(i)“光速队”五轮成绩的平均数为x 1−=15(93+98+94+95+90)=94，方差为s 12=15[(−1)2+42+02+12+(−4)2]=6.8． “超能队”五轮成绩的平均数为x 2−=15(93+96+97+94+90)=94，方差为s 22=15[(−1)2+22+32+02+(−4)2]=6． (ii)评价：从方差数据来看，“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩更稳定．解析：(1)由频率分布直方图概率和为1，解得a ；然后求解参与该活动的市民单次挑战得分的平均值的平均成绩即可．(2)由(1)知x −=87，区间(70,x −+2s)=(70,95)，然后判断此人是否获得一等奖；(3)(i)求出“光速队”五轮成绩的平均数与方差，“超能队”五轮成绩的平均数与方差即可． (ii)从方差数据来看，“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩更稳定．本题考查频率分布直方图的应用，考查中位数、平均数、方差的求法及应用，是基础题．20.答案：解：(Ⅰ)由已知F 1(−2,0)，F 2(2,0).------------------------------------------------------1分令椭圆C 2的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)，焦距为2c ，(c >0)---------------2分 则{c =2ca =√22a 2=b 2+c 2，解之得{c =2b =2a =2√2，-------------------------------3分所以，椭圆C 2的方程为x 28+y 24=1.------------------------------------------------------4分(Ⅱ)(ⅰ)证明：当直线l 斜率不存在时，l ：x =1，由{x =1x 28+y 24=1得{x =1y =−√142或{x =1y =√142，----------------------------------5分 不妨取A(1,√142)，则B(1,−√142)，此时，k 1=√142+2,k 2=−√142+2，所以k 1+k 2=4.--------------------------------------------------------6分当直线l 斜率存在时，令l ：y −2=k(x −1)，-----------------------------------------------------------------7分由{y −2=k(x −1)x 28+y 24=1得(1+2k 2)x 2+(8k −4k 2)x +2k 2−8k =0，--------------------------------------------------------------------8分由△=(8k −4k 2)2−4(1+2k 2)⋅(2k 2−8k)>0得k >0，或k <−47． 令A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k 2−8k 1+2k 2，x 1x 2=2k 2−8k 1+2k 2，------------------------------------------------9分 所以，k 1=y 1+2x 1,k 2=y 2+2x 2， 所以，k 1+k 2=y 1+2x 1+y 2+2x 2=x 2y 1+2x 2+x 1y 2+2x 1x 1x 2=x 2⋅[k(x 1−1)+2]+x 1⋅[k(x 2−1)+2]+2(x 1+x 2)x 1x 2，=2k +(−k +4)⋅(x 1+x 2)x 1x 2=2k +(−k +4)⋅4k 2−8k1+2k 22k 2−8k 1+2k 2 =2k +(−k+4)⋅(4k 2−8k)2k 2−8k=2k −(2k −4)=4，----------------------------------------------------------------------------------------------10分 综上所述，k 1+k 2=4.----------------------------------------------------------11分(ⅰ)存在定⊙M ，使得⊙B 与⊙M 恒相切，⊙M 的方程为(x −2)2+y 2=32，圆心为左焦点F 1， 由椭圆的定义知|BF 1|+|BF 2|=2a =4√2，-------------------------------------------------12分 所以，|BF 1|=4√2−|BF 2|，-------------------------------------------------------------13分 所以两圆相切．---------------------------------------------------------------------------------14分．解析：(Ⅰ)由题意，设椭圆的方程，根据椭圆的离心率公式及c =2，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；(Ⅱ)(ⅰ)分类，当直线l 斜率不存在时，求得A 和B 点坐标，即可求得k 1+k 2，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k 1+k 2=4； (ⅰ)定圆⊙M 的方程为：(x −2)2+y 2=32，求得圆心，由抛物线的性质，可求得|BF 1|=4√2−|BF 2|两圆相内切．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查弦长的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式的合理运用，属于难题．21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=mx −2+1x+1，令f′(1)=0，得m =32；当m =32时，f′(x)=(3x+2)(x−1)x+1，于是f(x)在(−1,−23)单调递增，在(−23,1)上单调递减，在(1,+∞)单调递增．故当m =32时，x =1是f(x)的极小值点；(Ⅱ)g(x)=f(x)−ln(x +1)+x 3=x 3+12mx 2−2x ． 由题意，当x ∈[1,t]时，g(x)≤g(1)恒成立．即g(x)−g(1)=(x −1)[x 2+(1+12m)x +12m −1]≤0， 令ℎ(x)=x 2+(1+12m)x +12m −1， 由m ∈[−4,−1)，可知：ℎ(x)必然在端点处取得最大值，即ℎ(t)≤0． 即t 2+(1+12m)t +12m −1≤0，即−t 2+t+1t+1≥−2，解得，1<t ≤1+√132，∴t 的取值范围为1<t ≤1+√132．解析：(Ⅰ)求出原函数的导函数，由f′(1)=0求得m 值，在把m 值代入原函数，求出函数的单调区间，可知x =1能为函数f(x)的极值点；(Ⅱ)由题意可得当x ∈[1,t]时，g(x)≤g(1)恒成立，即g(x)−g(1)=(x −1)[x 2+(1+12m)x +12m −1]≤0，构造函数令ℎ(x)=x 2+(1+12m)x +12m −1，结合m ∈[−4,−1)，可知ℎ(x)必然在端点处取得最大值，即ℎ(t)≤0.即t 2+(1+12m)t +12m −1≤0，分离m 可得−t 2+t+1t+1≥−2，求解分式不等式得实数t 取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．22.答案：解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：C 1：x 2+y 2−4x =0． 直线l 的参数方程为{x =1−2√55ty =1+√55t(t 为参数)， 消去参数t 可得普通方程：x +2y −3=0．(2)P(2√2,π4)，直角坐标为(2,2)，Q(2cosα,sinα),M(1+cosα,1+12sinα)，∴M 到l 的距离d =√5=√105|sin(α+π4)|≤√105， 从而最大值为√105．解析：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l 的参数方程为{x =1−2√55ty =1+√55t(t 为参数)，消去参数t 可得普通方程． (2)P(2√2,π4)，直角坐标为(2,2)，Q(2cosα,sinα),M(1+cosα,1+12sinα)，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)原不等式等价于{x >32(2x +1)+(2x −3)≤6或{−12≤x ≤32(2x +1)−(2x −3)≤6或{x <−12−(2x +1)−(2x −3)≤6， 解得32<x ≤2或−12≤x ≤32或−1≤x <−12， ∴原不等式的解集为{x|−1≤x ≤2}．(2)∵f(x)=|2x +1|+|2x −3|≥|(2x +1)−(2x −3)|=4， ∴|a −1|>4，∴a <−3或a >5， ∴实数a 的取值范围为(−∞,−3)∪(5,+∞)．解析：(1)通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可；(2)根据绝对值的性质求出f(x)的最小值，解关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，是一道中档题．。
2020届华大新高考联盟原创精准模拟考试(四)文科数学试卷
2020届华大新高考联盟原创精准模拟考试（四）文科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．0600sin 的值为（ ）A ．21 B ．21-C ．23 D ．23-2．已知集合P={x∈R|x≥1}，Q={1，2}，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知是纯虚数，复数iz -+21是实数，则（ ）A ．i 2-B ．i 2C ．i 21 D ．i 21-4. 已知等差数列{a n }的公差和首项都不为0，且a 1、a 2、a 4成等比数列，则=+3141a a a （ ） A. 7 B. 5C. 3D. 25. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（ ）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6 6. 已知数列{a n }中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（ ）A. n ≤2014B. n ≤2016C. n ≤2015D. n ≤2017 7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．152π B ．203π C ．1521π- D ．2031π- 8．若圆18)4(:22=-+y x C 与圆222)1()1(:R y x D =-+-公共弦长为，则圆的半径R 为（ ） A ．B ．C ．D ．9. 设不等式组表示的平面区域为D ．若直线ax-y=0上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21 C ．[]2,1 D ．[]3,2 10．已知曲线)62sin(π+=x y 向左平移个单位，得到的曲线)(x g y =经过点)1,12(π-，则（ ）A ．函数)(x g y =的最小正周期2π=T B ．函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1217,1211ππ上单调递增 C ．曲线关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,32π对称 D ．曲线关于直线6π=x 对称11. 已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线1222=-y ax （a ＞0）交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A. 2B. 3C. 5D. 612．函数对于任意实数，都)()(x f x f =-与)1()1(x f x f +=-成立，并且当时，.则方程02019)(=-xx f 的根的个数是（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．函数x e x f xcos )(=的图象在处的切线斜率为________．14．设向量的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量与的夹角为_______．15. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<>=0)(032)(x x g x x f x是奇函数，则)21(-f =_________．16．以下四个命题： ①设，则是的充要条件；②已知命题、、满足“或”真，“或”也真，则“或”假；③若，则使得恒成立的的取值范围为{或}；④将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为3122a . 其中真命题的序号为________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=4,0,3cos )6sin(12)(ππx x x x f （1）求f （x ）的最大值、最小值；（2）CD 为△ABC 的内角平分线，已知AC =f （x ）max ，BC =f （x ）min ，CD =2， 求∠C ．18.（本小题满分12分）十八大以来，我国新能源产业迅速发展.以下是近几年某新能源产品的年销售量数据：年份代码新能源产品年销售（万个）（1）请画出上表中年份代码与年销量的数据对应的散点图，并根据散点图判断：与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测2019年某新能源产品的销售量（精确到0.01）.参考公式：∑∑==---=ni ini i it ty y t tb121)())((ˆ，at b y ˆˆˆ+= 参考数据：374)(,10)(,11,84.22,3512512=-=-===∑∑==i i i it t x x t y x25151,10.849)()(,90.134)()(i i i i i ii ix t y y t t y yx x ==--=--∑∑==其中19.（本小题满分12分） 如图，长方体中，，，点，， 分别为，，的中点，过点的平面与平面平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形.图1 图2（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）； （2在图2中，求证：平面.20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x E ：的离心率为22，，分别是它的左、右焦点，221=F F .（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的上顶点作斜率为，的两条直线，，两直线分别与椭圆交于，两点，当121-=k k 时，直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由。
华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评文科数学试题
则正确说法的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
11．已知函数 f x 2sin x cos x 2 3cos2 x ，则下列说法正确的是（ ）
33
3
A．函数 f x 的最小正周期为 6π
B． π,0 是函数 f x 图象的一个对称中心
C．将函数 f x 的图象向右平移 π 个单位后得到一个偶函数
(2)求证： 3e e 2e2 .
21．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的右焦点为 F
，点 P ，Q 在椭圆 C
上运动，且
PF
的最小值为 6 3 ；当点 P 不在 x 轴上时点 P 与椭圆 C 的左、右顶点连线的斜率之积
为1 . 2
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知直线 l : x 2y 0 与椭圆 C 在第一象限交于点 A ，若 PAQ 的内角平分线的斜率
的三等分点，N 是 BD1 的中点，平面 AMN 交 CD1 于点 H，则，
D1H D1C
_______.
16．已知抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点 F 到准线的距离为 2，直线 l : y k x 4 与抛
物线 C 交于 P,Q 两点，过点 P,Q 作抛物线 C 的切线 l1,l2 ，若 l1,l2 交于点 M ，则点 M 的 轨迹方程为__________.
和分别为 Sn ，Tn ，可知 a1 12 ，a2 84 ，b1 14 ，b2 98 ，则下列说法正确的是（ ）
A． a6 12 76
B． b6 2 75
C． S6 2 76 2
D． T6
78 3
7
6．过点 A2,5 的直线 l 与函数 f x 5x 11 的图象交于 M，N 两点，若 O 为坐标原点，
华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评数学试题(新教材卷) (2)
一、单选题1. 已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 设集合，则（ ）A．B．C．D．3.设，则（ ）A．B．C．D．4. 下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）A．B．C．D．5.已知曲线，把上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，关于有下述四个结论：（1）函数在上是减函数；（2）方程在内有2个根；（3）函数（其中）的最小值为；（4）当，且时，，则.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 若，则A．B．C．D．7. 下图是2020年我国居民消费价格月度涨跌幅度图（来源于国家统计局网站），现从12个月中任选3个月，则其中恰有两个月月度环比为正且月度同比不低于的概率为（）A．B．C．D．8. 已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n 项和为，给出下列四个命题：①若数列各项单调递增，则首项②若数列各项单调递减，则首项③若数列各项单调递增，当时，④若数列各项单调递增，当时，，则以下说法正确的个数（ ）华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评数学试题(新教材卷) (2)华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评数学试题(新教材卷) (2)二、多选题三、填空题A ．4B ．3C ．2D ．19. 下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B．若随机变量，且，则．C ．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则D ．已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则10.如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（）A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个B ．满足的格点共有3个C．存在格点，，使得D ．满足的格点共有4个11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．的最小正周期为B．的值域为C．的图象是轴对称图形D．的图象是中心对称图形12. 某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B 层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）第1节第2节第3节第4节地理1班化学A 层3班地理2班化学A 层4班生物A 层1班化学B 层2班生物B 层2班历史B 层1班物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班生物B 层1班物理B 层1班物理A 层4班政治1班物理A 层3班政治2班政治3班A ．此人有4种选课方式B ．此人有5种选课方式C ．自习不可能安排在第2节D ．自习可安排在4节课中的任一节13. 若定义域为的奇函数满足，且，则________．14.在的展开式中，所有的奇次幂的系数和为__________．四、解答题15.已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A ，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为______.16.设两个向量满足，，的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．17.已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为等比数列，且，，求数列的前项和.18. 某新能源汽车公司对其产品研发投资额x （单位：百万元）与其月销售量y （单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.x 12345y0.691.611.792.082.20(1)通过分析散点图的特征后，计划用作为月销售量y 关于产品研发投资额x 的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y 关于x 的回归方程；(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投资11百万元进行产品促销后，月销售量的分布列为：345Pp结合回归方程和的分布列，试问公司的决策是否合理.参考公式及参考数据：，，.y0.69 1.61 1.79 2.082.20（保留整数）2568919. 已知中，角，，所对的边长分别为，，，且满足.（1）求的大小；（2）若，，，求的长.20. “共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；A B合计认可不认可合计（3）在A，B城市对此种交通方式“认可”的用户中按照分层抽样的方法抽取6人，若在此6人中推荐2人参加“单车维护”志愿活动，求A城市中至少有1人的概率．参考数据如下：（下面临界值表供参考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式，其中）21. 2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：(1)该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；(2)从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．。