15.1 两角和与差的正弦、余弦公式
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)； ②cos 2α＝12(1＋cos 2α)． (3)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]3．若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15D.45D [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ.又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．(2017·云南二次统一检测)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.π3 [由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.](1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 【导学号：51062114】 (2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α [原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1] (2017·浙江镇海中学测试卷一)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010D.255A [2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α，由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，得tanα＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4tan π4＝－13，即3sin α＝－cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±1010， 而－π2<α<0，所以sin α＝－1010， 故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－255.]☞角度1 给角求值(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°＝( )A.12 B.32 C. 3D. 2(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. (1)C(2)1[(1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. (2)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]☞角度2 给值求值(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C ．－15D ．－725(2)(2017·浙江金华十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358B.1＋538C.1－358D.1－538(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， ∴sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.(2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A.] ☞角度3 给值求角已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2. 又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.][规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.已知函数f (x )＝sin 2x －sin2⎝ ⎭⎪⎫x －6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分 (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.14分[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2] (1)(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________.【导学号：51062115】(1)B (2)1 [(1)法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.故选B.(2)f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)． ∴f (x )max ＝1.][思想与方法]三角恒等变换的三种变换角度(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等． [易错与防范]1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆．课时分层训练(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.16 B.13 C.12D.23A [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.] 2.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A ．－32 B.22 C.12D ．1C [原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.]3．(2017·杭州二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5 B.92 C.52D ．2B [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92，故选B.] 4．(2017·浙江模拟训练卷(三))若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) 【导学号：51062116】A.35 B.45 C.74D.34D [由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得sin θ≥cos θ>0，则sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝9＋67＋716＝3＋74，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝9－67＋716＝3－74，两式相加得sin θ＝34.]5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.] 二、填空题6.sin 250°1＋sin 10°________. 12 [sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°) ＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.]7．(2017·浙江模拟训练卷(四))已知函数f (x )＝4cos 2x ＋(sin x ＋3cos x )2，则函数f (x )的最小正周期为________，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的值域为________.【导学号：51062117】π [4＋3，4＋23] [f (x )＝7cos 2x ＋sin 2x ＋23sin x cos x ＝1＋3(1＋cos 2x )＋3sin 2x ＝4＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故函数f (x )的最小正周期为π.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴4＋3≤f (x )≤4＋23，故函数f (x )的值域为[4＋3，4＋23]．] 8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝2(1＋cos 8)＋21－2sin 4cos 4 ＝2×2cos 24＋2(sin 4－cos 4)2 ＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.6分(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.10分 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.14分10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值. 【导学号：51062118】 [解] (1)要使f (x )有意义，则需cos x ≠0，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.6分(2)f (x )＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2x cos x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x ).10分由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第四象限角， ∴cos 2α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45. 故f (α)＝2(cos α－sin α)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝145.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12D.72C [∵cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12.]2．(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值是________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值是________． 13 79 [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3＝1－2· cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝79.]3．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域. 【导学号：51062119】 [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .8分(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，12分 f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.15分。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式首先，让我们从两角和的正弦公式开始推导。
假设有两个角A和B，那么它们的和角可以表示为A+B。
根据三角函数的定义，正弦函数的定义式为：sin(x) = 对边 / 斜边我们可以将角A和B的对边和斜边代入这个公式中，得到：sin(A + B) = (sin(A) * 斜边A + sin(B) * 斜边B) / 总斜边这个公式告诉我们，两个角的正弦之和等于各自正弦的乘积与对应斜边的和再除以总斜边。
另外，如果我们将斜边A和斜边B相等，那么这个公式可以进一步简化为：sin(A + B) = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)接下来，让我们推导两角和的余弦公式。
余弦函数的定义式为：cos(x) = 临边 / 斜边同样地，根据这个定义式，我们可以得出两角和的余弦公式：cos(A + B) = (cos(A) * 斜边A + cos(B) * 斜边B) / 总斜边这个公式告诉我们，两个角的余弦之和等于各自余弦的乘积与对应斜边的和再除以总斜边。
同样地，如果我们将斜边A和斜边B相等，那么这个公式可以进一步简化为：cos(A + B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)最后，让我们推导两角和的正切公式。
正切函数的定义式为：tan(x) = 对边 / 临边我们可以将角A和B的对边和临边代入这个公式中，得到：tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这个公式告诉我们，两个角的正切之和等于各自正切的和再除以1减去各自正切的乘积。
总结一下，两角和与差的正弦、余弦、正切公式如下：sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B)cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这些公式在解决三角函数运算、证明恒等式和简化复杂的三角函数表达式等方面都非常有用。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式在三角函数中，我们经常需要计算两个角的和或差的正弦、余弦或正切值。
这些公式被广泛应用于数学、物理、工程等领域的问题求解中。
本文将详细介绍两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
一、两角和与差的正弦公式首先，我们来讨论两个角的和的正弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道正弦的定义为一个角的对边与斜边之比，可以表示为sin(x)=opposite/hypotenuse。
根据这个定义，我们可以得到如下的两角和的正弦公式：sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB这个公式很重要，可以帮助我们计算两个角的和的正弦值。
在实际应用中，我们经常需要计算两个角的和的正弦，而不是两个角分别的正弦。
所以这个公式非常有用。
接下来，我们来讨论两个角的差的正弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的差角记为(A-B)。
根据三角函数的定义，我们可以得到如下的两角差的正弦公式：sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB这个公式与两角和的正弦公式类似，也非常有用。
二、两角和与差的余弦公式类似于正弦公式，我们也可以推导出两角和与差的余弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道余弦的定义为一个角的邻边与斜边之比，可以表示为cos(x)=adjacent/hypotenuse。
根据这个定义，我们可以得到如下的两角和的余弦公式：cos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinB同样地，我们也可以得到两角差的余弦公式：cos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinB这两个公式和两角和与差的正弦公式一样重要，经常被应用于实际问题中。
三、两角和与差的正切公式最后，我们来讨论两角和与差的正切公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道正切的定义为一个角的对边与邻边之比，可以表示为tan(x)=opposite/adjacent。
两角和与差的正弦、余弦公式
[活学活用] sin 47°－sin 17°cos 30° 求值：(1)cos 75°；(2) . cos 17°
解：(1)cos 75°＝cos(30°＋45°) ＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45° 6－ 2 3 2 1 2 ＝ × － × ＝ . 2 2 2 2 4
sin 47°－sin 17°cos 30° (2) cos 17° sin17°＋30°－sin 17°cos 30° ＝ cos 17° sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30° ＝ cos 17° cos 17°sin 30° ＝ cos 17° 1 ＝sin 30°＝ . 2
cos 10° (2)法一：原式＝(tan 10°－tan 60°) sin 50° sin 10° sin 60° cos 10° － ＝ cos 10° cos 60° sin 50° sin－50° cos 10° ＝ · ＝－2. cos 10°cos 60° sin 50° sin 10° cos 10° － 3 法二：原式＝ sin 50° cos 10° sin 10°－ 3cos 10° cos 10° ＝ · cos 10° sin 50° 1 3 2 sin 10°－ cos 10° 2 2 ＝ sin 50° 2sin10°－60° ＝ ＝－2. sin 50°
解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着 先整体后局部的基本原则， 如果整体符合三角公式的形式， 则整体变形，否则进行各局部的变形． (2) 一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形 式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进 行约分，解题时要逆用或变用公式．
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
15.1两角和与差的正弦、余弦公式
cos cos cos sin sin 3 3 3
1 3 3 7 2 4 2 4 21 3 8
2 3 学生练习2、已知cos , ,2 , 求 cos , cos 3 2 6 6
的值。
课堂小结
两角和与差的余弦公式：
cos cos cos sin sin
2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 4
学生练习1、不用计算器，求下列各式的值：
(1) cos105 ; (2) cos(15 ); (3) cos 80 cos 20 0 cos 20 sin 40 sin 20 ;
解：
cos 75 cos 45 30
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3 2 1 2 2 2 2
6 4 2
cos15 cos(45 30 )
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
两角和与差的余弦公式：
cos cos cos sin sin
公式注意事项：
公式中两边的符号正好相反（一正一负）； 公式右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前 正弦在后； 公式中 , 是任意的； 公式可以逆用，变形使用。
cos 75 , cos 15 例1、不用计算器，计算 的值。
15.1 （一） 两角和与差的余弦公式
探究：
判断下列各式是否正确： 1. cos(90 60 ) cos ； 90 cos60 2. cos(90 60 ) cos； 90 cos60 3． ； cos(90 60 ) cos90 cos60 sin 90 sin 60 4. cos(90 60 ) cos90 cos60 。 sin 90 sin 60 5. cos(90 60 ) cos ； 90 cos60 6. cos(90 60 ) cos； 90 cos60 7． ； cos(90 60 ) cos90 cos60 sin 90 sin 60 8. cos(90 60 ) cos90 cos60 。 sin 90 sin 60
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形(最新整理)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β))②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β))③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β))④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β))⑤tan(α－β)＝(T (α－β))tan α－tan β1＋tan αtan β⑥tan(α＋β)＝(T (α＋β))tan α＋tan β1－tan αtan β(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．二倍角公式(1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，③tan 2α＝.2tan α1－tan 2α(2)公式变形①cos 2α＝，sin 2α＝；1＋cos 2α21－cos 2α2②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin .2)4(πα±3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)(3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意tan α＋tan β1－tan αtan β角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×)(6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√)(7)若α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)π4(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×)(9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√)(10)y ＝的x 无意义．(×)1－2cos 2x考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：－sin 10°；1＋cos 20°2sin 20°)5tan 5tan 1(00-解：原式＝－sin 10°2cos 210°2×2sin 10°cos 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000-＝－sin 10°·＝－sin 10°·cos 10°2sin 10°cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°cos 10°2sin 10°cos 10°12sin 10°＝－2cos 10°＝cos 10°2sin 10°cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝＝＝.cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°3sin 10°2sin 10°32(2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β.12解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1)12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)12＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－＝1－＝.121212法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－cos 2α·cos12122β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β12＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝－cos 2β·1＋cos 2β2[sin 2α＋12(1－2sin 2α)]＝－cos 2β＝.1＋cos 2β21212法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β1－cos 2α21－cos 2β21＋cos 2α21＋cos 2β212＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－·cos 2α·cos 2β141412＝.12[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋tan 10°)．3解：sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)3＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·＝＝＝＝1.cos (60°－10°)cos 60°cos 10°2sin 50°cos 50°cos 10°sin 100°cos 10°cos 10°cos 10°2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为A 2C 23A 2C2________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝，＝，tan ＝，2π3A ＋C 2π3A ＋C23所以tan ＋tan ＋tan tanA 2C 23A 2C2＝tan ＋tan tan22(C A +2tan 2tan 1(CA -3A 2C 2＝＋tan tan ＝.3)2tan 2tan1(CA -3A 2C 23考点二 三角函数式的给值求值命题点1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值3.已知三角函数式的值，求三角函数值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )13A ．－ B ．－C. D.45151545解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝＝.故选D.1－tan 2θ1＋tan 2θ45法二：由tan θ＝－，可得sin θ＝±，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝.1311045答案：D(2)已知tan ＝，且－＜α＜0，则等于( ))4(πα+12π2)4cos(2sin sin 22πααα-+A ．－B ．－C ．－D.255351031010255解析：由tan ＝＝，得tan α＝－.)4(πα+tan α＋11－tan α1213又－＜α＜0，所以sin α＝－.π21010故＝＝2sin α＝－.)4cos(2sin sin 22πααα-+2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)2255答案：A(3)已知α∈，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则＝________.)2,0(π12cos 2sin )4sin(+++ααπα解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，由于α∈，sin α＋cos α≠0，)2,0(π则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝，213∴＝＝.12cos 2sin )4sin(+++ααπα22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)268答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan 的值．)6(θπ+解：tan ＝＝＝.)6(θπ+tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ33－131＋33×1353－6132．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值．解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝＝＝－.2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋12×(－13)2＋13－3(－13)2＋11153．已知cos ＋sin ＝，则cos ＝________.)2(απ-)32(απ-23532(πα+解析：由cos ＋sin ＝，得)2(απ-)32(απ-235sin α＋sin cos α－cos πsin α＝∴sin α＋cos α＝，2π3232353232235即sin ＝，∴sin ＝，3)6(πα+2356(πα+25因此cos ＝1－2sin 2＝1－2×＝.)32(πα+6(πα+2)52(1725答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角命题点1.利用弦函数值求角2.利用切函数值求角[例3] (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，则β＝________.171314π2解析：∵cos α＝，0＜α＜.∴sin α＝.17π2437又cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜.∴0＜α－β＜，则sin(α－β)＝.1314π2π23314则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝＝，由于0＜β＜，所以β＝.1713144373314497×1412π2π3答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．1217解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan 2α＝＝＝＞0，12－171＋12×1713π22tan α1－tan 2α2)31(1312-⨯34∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.π2tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β34＋171－34×17∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－π.17π234答案：－π34[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是，选正、余弦皆可；②)2,0(π若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是，选正弦较好．)2,2(ππ-2．解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )5531010A. B.C. D.或3π45π47π45π47π4解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，5531010∴cos α＝，sin β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＞0.－255101022又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.)2,23(ππ7π42．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．1355),2(ππ)2,0(π解：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.55)2,0(π255∴tan(α＋β)＝＝＝1.tan α＋tan β1－tan αtan β－13＋21＋23∵α∈，β∈，∴＜α＋β＜，∴α＋β＝.),2(ππ)2,0(ππ23π25π4[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.121434(Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.34证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＋sin 2α－sin α·cos α－sin 2α＝sin 2α＋34321432123434cos 2α＝.34法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.34证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 1－cos 2α21＋cos (60°－2α)230°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin 2α＝－cos 2α1212121232121212＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.121434341414141434[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos ＝，则sin 2α＝( ))4(απ-35A. B. C ．－D ．－7251515725解析：选D.因为cos ＝cos cos α＋sin sin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝)4(απ-π4π42235，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D.32518257252．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝，则cos 2α＋2sin 2α＝( )34A.B.C ．1D.642548251625解析：选A.法一：由tan α＝＝，cos 2α＋sin 2α＝1，得Error!或Error!，则sin 2α＝2sin αcossin αcos α34α＝，则cos 2α＋2sin 2α＝＋＝.2425162548256425法二：cos 2α＋2sin 2α＝＝＝＝.cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α1＋4tan α1＋tan 2α1＋31＋91664253．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－ B.C ．－ D.32321212解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.124．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则( ))2,0(π)2,0(π1＋sin βcos βA ．3α－β＝ B ．2α－β＝C ．3α＋β＝ D ．2α＋β＝π2π2π2π2解析：选B.由条件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin sin αcos α1＋sin βcos β，因为－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.)2(απ-π2π2π2π2π2π25．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α2tan α－1tan 2α＋1＝＝－1.－4－14＋1答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2－sin 2＝________.π8π8解析：由二倍角公式，得cos 2－sin 2＝cos ＝.π8π8)82(π⨯22答案：22课时规范训练A 组 基础演练1．tan 15°＋＝( )1tan 15°A ．2 B ．2＋C ．4D.3433解析：选C.法一：tan 15°＋＝＋1tan 15°sin 15°cos 15°cos 15°sin 15°＝＝＝4.1cos 15°sin 15°2sin 30°法二：tan 15°＋＝＋1tan 15°1－cos 30°sin 30°1sin 30°1＋cos 30°＝＋＝＝4.1－cos 30°sin 30°1＋cos 30°sin 30°2sin 30°2.的值是( )2cos 10°－sin 20°sin 70°A. B.C.D.123232解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°33．已知θ∈(0，π)，且sin ＝，则tan 2θ＝( ))4(πθ-210A. B. C ．－D.4334247247解析：选C.由sin ＝，得(sin θ－cos θ)＝，所以sin θ－cos θ＝.)4(πθ-2102221015解方程组Error!，得Error!或Error!.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以Error!不合题意，舍去，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝432tan θ1－tan 2θ＝－，故选C.2×431－(43)22474．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于( )]2,4[ππ378A. B. C.D.35457434解析：选D.由sin 2θ＝和sin 2θ＋cos 2θ＝1得387(sin θ＋cos θ)2＝＋1＝，3782)473(+又θ∈，∴sin θ＋cos θ＝.]2,4[ππ3＋74同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝.3－74345．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则的值为( )tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)A.B.C.D.n －1n ＋1nn ＋1nn －1n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，故选D.n ＋1n －16．若sin ＝，则cos 2θ＝________.)2(θπ+35解析：∵sin ＝cos θ＝，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×－1＝－.)2(θπ+352)53(725答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．),2(ππ解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈，sin α≠0，∴cos α＝－.又∵α∈，∴α＝π，),2(ππ12),2(ππ23∴tan 2α＝tan π＝tan ＝tan ＝.43)3(ππ+π33答案：39．化简：(0＜θ＜π)．(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cosθ2)2＋2cos θ解：由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos ＞0，θ2π2θ2∴＝＝2cos .2＋2cos θ4cos 2θ2θ2又(1＋sin θ＋cos θ)＝)2cos 2(sinθθ-2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ-＝－2cos cos θ.故原式＝＝－cos θ.θ2－2cos θ2cos θ2cosθ210．已知α∈，且sin ＋cos ＝.),2(ππα2α262(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．35),2(ππ解：(1)因为sin ＋cos ＝，两边同时平方，得sin α＝.α2α26212又＜α＜π，所以cos α＝－.π232(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.π2π2π2π2π2又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.3545cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.324512)53(-43＋310B 组 能力突破1．已知sin α＋cos α＝，则1－2sin 2＝( )22)4(απ-A. B.C ．－D ．－12321232解析：选C.由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝－.221212因此1－2sin 2＝cos2＝sin 2α＝－.)4(απ-)4(απ-122．已知f (x )＝2tan x －，则f 的值为( )2sin 2x2－1sin x 2cos x 2)12(πA ．4B.C ．4D ．83833解析：选D.∵f (x )＝2＝2×＝，)sin cos cos sin (2sin cos (tan xxx x x x x +⨯=+1cos x ·sin x 4sin 2x∴f ＝＝8.)12(π4sin π63．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( )551010A. B. C. D.5π12π3π4π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－＜α－β＜.π2π2又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.101031010又sin α＝，∴cos α＝，55255∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.5531010255)1010(-22∴β＝.π44．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a 的值为________．1a π4解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg ＝lg 10＝1，1a∵α＋β＝，所以tan ＝tan(α＋β)＝＝，π4π4tan α＋tan β1－tan αtan β11－tan αtan β∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg ＝0.1a 所以10a ＝1或＝1，即a ＝或1.1a 110答案：或11105．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.13ααααπ2sin cos 10cos 4)2(2sin 22-+-(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.∵tan(α＋β)＝1313ααααπ2sin cos 10cos 4)2(2sin 22-+-＝＝＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α2cos α(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝＝＝＝.sin α＋2cos α5cos α－sin αtan α＋25－tan α－13＋25－(－13)516(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α516＋131－516×133143。
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本章目录：
15.1 两角和与差的正弦、余弦公式 15.2 二倍角公式 15.3 正弦型函数
15.4 正弦定理、余弦定理
15.1 两角和与差的正弦、余弦公式
§将下列角度转换为弧度： 30°，45°，60°，90°， 180°，360°
第15章
三角计算及其应用
章节概述：
三角函数在电子、电工、机械、建筑、 测量等专业中有着广泛应用，它是学习 专业理论课的基础。本章节在第5章的基 础上，进一步研究三角函数的有关性质 及其规律。
学习要点：
1.运用公式求非特殊角的三角函数值、化简三角 函数式和证明；
2.会运用二倍角公式求三角函数值、化简三角函
15.1.3 两角和的正弦公式
3、两角和的正弦公式
(15.3)ຫໍສະໝຸດ 15.1.4 两角差的正弦公式
4、两角差的正弦公式
(15.4)
课堂练习
• 仿照课本P3的例1，练习P4 1题的 ⑴、⑵ • 练习 1 题的⑶、⑷、⑸（逆用公式 15.1 和 15.2） • 根据课本P4的例3，练习P5 1题的 ⑴、⑵ • 逆用公式15.3和15.4 练习P5 1题的⑶、⑷ • 讲解课本P6例6，并做P8习题6
15.1 两角和与差的正弦、余弦公式
§两角差的余弦公式 §两角和的余弦公式
§两角和的正弦公式
§两角差的正弦公式
15.1.1 两角差的余弦公式
§探究引入： §已知cos60°=½,cos45°=√2/2,下列各式 是否成立？ §cos(60°﹢45°)= cos60°﹢cos45° §cos(60°-45°)=cos60°﹣cos45°
15.1.1两角差的余弦公式
如图 15-1，记向量
= =
则 a·b=∣a∣·∣b∣
= = =
应用向量数量积的坐标公式，可得到： a·b= 因此有 (15.1)
我们把 (15.1)叫做两角差的余弦公式。
15.1.2 两角和的余弦公式
2、两角和的余弦公式
(15.2) 我们把 (15.2)叫做两角和的余弦公式。
课堂小结
§1.回忆特殊角的正、余弦函数值 §2.识记两角和与差的正、余弦公式，并能应 用其简单的三角化简、求非特殊角的三角 函数值 §3.应用公式解决简单实际问题
课后作业
§练习册 A组1、2、3、4题