圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度;2.切线长定理对于切线长定理,应明确1若已知圆的两条切线相交,则切线长相等；2若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径；3经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形；4经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；5圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角;3.弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角;直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢四个4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角;5.弄清和圆有关的角：圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角;6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理;7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中,AB、CD为弦,交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD,证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB,证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理圆幂定理⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||R 为圆半径,因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理;。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理37508
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
圆的切线、切线长、线切角
CA圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线： 1．切线的判定：2．切线的性质：【运用举例】例1．如图，已知⊙O 所内接△ABC ，过点B 作直线BD ，∠DBC ＝∠A ，试说明，BD 与⊙O 相切。
例2.如图，已知CB 是⊙O 的切线，C 是切点，OB 交⊙O 于点D ，∠B ＝30，BD ＝6㎝，求BC 。
例3、如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB =65°，求∠P 的度数．例4、已知：如图AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP ⊥AB ，垂足为P ，直线QA 交⊙O 于点C 点，过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D ，求证：△CDQ 是等腰三角形.当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明.二、切线长定理 1、切线长：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长2、切线长定理：符号语言：∵PA 、PB 是O ⊙的切线，A 、B 是切点，∴，PA=PB 【运用举例】例1.在△ABC 中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O 与BC 、AC 、 AB 分别相切于 D 、 E 、F ，则 AF=_____, BD=_______ 、CF=________例2、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm ，求△PEF 的周长.例3、已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径． 求证：AC∥OP．例4.如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。
OCB AP三、弦切角定理及其推论1、弦切角：________________________________________________________________。
2014年青海教师招聘考试数学专业考点十三：切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理
中公教育——给人改变未来的力量2014年青海教师招聘考试数学专业考点十三：切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理
切线性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
切线判定定理：一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。
它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角。
它是圆中证明角相等的重要定理之一。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
九年级圆的定理总结
九年级圆的定理总结如下：1.圆上三点确定一个圆，且确定一个唯一的圆心，该圆心是三点所连线段垂直平分线的交点。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。
3.切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
5.弦心距定理：弦心距平分弦所对的弧。
6.相交弦定理：弦与直径垂直于弦的直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。
7.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点和圆心的连线平分两条割线的夹角。
8.直径所对的圆周角等于90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
9.同圆或等圆的半径相等，直径等于半径的两倍。
10.圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
11.如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（公共弦）垂直平分两圆的连心线。
12.如果两圆相切，那么两圆的半径之和等于圆心距，或两圆半径之差等于圆心距。
13.两圆的半径之比等于圆心距之比等于两圆周长之比。
14.圆内接四边形的对角互补，内角和等于360度。
15.弧长公式：l=nπr/18016.扇形面积公式：s=1/2lr=1/2nπr²17.圆锥侧面积公式：s=1/2rl=πrl18.点P在圆O内，PA切圆O于A，则OP<PA。
19.点P在圆O上，PA切圆O于A，则OP=PA。
20.点P在圆O外，PA切圆O于A，则OP>PA。
21.从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
22.从圆外一点因圆的两条割线，这一点到割线与圆交点的两条线段长的积等于这一点到圆心的距离与圆的半径的积。
23.直线和圆相交，则有公共点；直线和椭圆相交，则有公共点；直线和双曲线相交，则有公共点；直线和抛物线相交，则有公共点；平面解析几何适用范围要熟记。
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点一、相交弦定理1、相交弦在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦.2、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。
几何语言：弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB=PC·PD. 3、相交弦定理的证明证明：连接AC、BD由圆周角定理推论得：∠C=∠B，∠A=∠D∴△ACP∽△DBP∴ PA：PD=PC：PB二、切割线定理1、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：BC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，则：PA²=PB·PC。
2、切割线定理的证明证明：如图，连接AB，AC∵ PA是圆O的切线，由弦切角定理可得∴∠PAC=∠B∵∠APB=∠CPA∴△APC∽△BPA∴ PA：BP=PC：PA三、割线定理1、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：从⊙O一点P引圆的两条割线AB、CD，则：PA·PB=PC·PD.2、割线定理证明证明：如图，连接AD、BC，由圆周角定理推论，得：∠D=∠B∵∠BPC=∠DPA∴△BPC∽△DPA∴ PB：PD=PC：PA∴ PA·PB=PC·PD四、例题例1、如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE·ED=3,BE =1，求⊙O的直径。
解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA由相交弦定理得：CE·ED=AE·EB∴ 3=AE×1∴ AE=3∴ AB=AE+EB=3+1=4∴ AB=CD=4∴ AH=HB=2∴ HE=HB-EB=2-1=1∵ AB=CD，AB⊥CD∴ OH=OG∴四边形OGEH为正方形∴ OH=HE=1由勾股定理得，OA=,∴⊙O的直径为,例2、如题图,⊙O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6，AE=9，PC=3, CE:ED=2:1 ，求BE的值。
切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段 通用版
切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段一. 本周教学内容：切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。
3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。
4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。
6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
二. 重点、难点：重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。
易错点分析：1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。
2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。
另外弦切角的三个条件缺一不可。
弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半径，这样就有垂直的关系。
3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。
等积式中的各线段要记牢，不要记混。
【例题分析】例1. 求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。
A FB G ED H C已知：四边形ABCD 为⊙O 的外切四边形，E 、F 、G 、H 分别为切点。
求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC 证明： AE AF O E F 、为⊙的切线，且切点为、∴====∴+++=++++=+AE AF BF BG DE DH CH CGAF FB DH CH AE BG DE CGAB CD AD BC，同理，，即例2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 、BF 为⊙O 的切线，CF 切⊙O 于D ，DE AB ⊥于E ，交BC 于G ，求证：DG ＝EGF分析：因为AC//DE//BF ，所以可考虑成比例的线段来证明线段相等。
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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
［学习目标］
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
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2.切线长定理
对于切线长定理，应明确<1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；<2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；<3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；<4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；<5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
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3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？<四个）
4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线
长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法
相交弦
定理
⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·P B ＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC ∽△DPB. 相交弦
定理的
推论
⊙O 中，AB 为直径，CD ⊥AB 于P. PC2＝PA·PB . 用相交弦定理. 切割线
定理
⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A
PT2＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB ∽△PAT
切割线
定理推
论
PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·P B ＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理
圆幂定
理
⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r2－OP'2 PA·P B ＝OP2－r2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延长OP'交⊙O
于N ，用相交弦定
理证；过P 作切线
用切割线定理勾股
定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||<R 为圆半径），因为
叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
DXDiTa9E3d
<一）填空
1．已知：如图7－143，直线BC 切⊙O 于B 点，AB=AC ，AD=BD ，那
么∠A=____．
2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ．RTCrpUDGiT
3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D
4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C 两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．5PCzVD7HxA
5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC 的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么
∠B=____．jLBHrnAILg
6．已知：如图 7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，
∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形．新课标第一网xHAQX74J0X
7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O 于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．LDAYtRyKfE
<二）选择
8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于Zzz6ZB2Ltk
[ ] A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．
9．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为dvzfvkwMI1
[ ]
A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个．
<三）计算
12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，
∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．rqyn14ZNXI
13．已知：如图7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度数．
14．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．EmxvxOtOco
16．已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点
17．已知：如图 7－157，AC为⊙O的弦，PA切⊙O于点A，PC过O 点与⊙O交于B，∠C=33°．求∠P的度数．SixE2yXPq5
28．已知：如图 7－167，BC是⊙O的直径，DA切⊙O于A，
DA=DE．求∠BAE的度数．
51．已知：如图7－186，AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE 交AC于F．求证：AB=BF．6ewMyirQFL
52．已知：如图7－187，AB为半圆直径，PA⊥AB，PC切半圆于C 点，CD⊥AB于D交PB于M．求证：CM=MD．kavU42VRUs
申明：
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