高等数列一
高等数学第一章的总结
否则, 称为无界.
补充内容： 1.单调递增且有上界数列必有极限。 2.单调递减且有下界数列必有极限。
2．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
x)n1
f (xa0n).
a0 x0n a1 x0n1 an
2. 设
f (x)
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim
x x0
f (x)
x x0
lim Q( x)
x x0
P(x0 ) Q( x0 )
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
u
1
1 u2
1
1 u2 ,
u
故 f ( x) 1 1 x2 . ( x 0) x
二、极限
函数极限的统一定义
lim f (n) A;
n
高数第一章
第一节 函数
一、函数的概念
１.函数的定义 定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关 系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0有定义.
......
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) .
例2 若f(x)= | x - 2 | ,求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1
解 f(2)=0,f(-2)=|--41| 4, f(0)=|-12| 2, f(a)=|aa-+21|,
x
(b)偶函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x2 1 x)
=ln ( x2 1 x)( x2 1 x) ln
1
x2 1 x
x2 1 x
单调增加(或单调减少)函数的图形沿 x 轴的正向上升(或下降).
上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.
例4 证明f(x)= 1 在区间(0,1) 内是单调减少的函数. x
证 在区间(0,1)内任取两点x1, x2 ,设x1 x2 ,则x1 x2 0.因为
所以
f(x2
)
f(x1
函数y f (x)的图形与其反函数y f 1(x)的图形关于直线y = x对称.
高数1内容
高数1内容
高等数学一是大学本科阶段的一门数学基础课程，主要涵盖了数列、极限、函数、导数、积分等内容。
在数列部分，学习了数列的定义、数列的极限以及常见的数列求和公式。
掌握了数列的性质和收敛性质，还学习了由递推公式给出的数列如何求出通项公式。
在极限部分，学习了极限的概念和性质。
重点掌握了极限的四则运算和夹逼定理，在计算极限时运用相关的方法和技巧。
在函数部分，学习了函数的概念、性质以及基本的初等函数。
重点掌握了常见函数的图像和性质，以及函数的运算法则和复合函数的求导法则。
在导数部分，学习了导数的概念和性质。
通过求导的方法，计算了常见函数的导数，并掌握了求高阶导数的技巧。
还学习了利用导数解决函数极值、最大值和最小值等优化问题。
在积分部分，学习了积分的概念和性质。
通过积分的定义和性质，计算了不定积分和定积分，并掌握了积分运算的一些基本法则。
还学习了定积分在几何、物理等领域的应用，如计算曲线的弧长和曲线围成的面积等。
在高等数学一课程中，还加强了对数学证明的要求，提高了数学思维和问题解决能力。
通过理论与实践相结合的教学方法，帮助学生掌握数学的基本概念和方法，为后续的学习打下坚实的数学基础。
高等数列求解技巧
高等数列求解技巧高等数列是数学中的一个重要分支，它研究的是一系列数字的特定规律和性质。
在数学中，数列是按照一定顺序排列的一系列数字。
在高等数学中，数列分为等差数列、等比数列、等差数列、变差数列等等不同的类型。
为了解决高等数列问题，我们可以运用一些技巧和方法来求解。
在解决高等数列问题时，我们首先需要确定数列的类型。
下面是一些常见的高等数列类型及其求解技巧：1. 等差数列：等差数列的特点是每个数与其前一个数之差都相等。
求解等差数列的技巧主要包括：- 使用通项公式：等差数列中的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an为数列的第n个元素，a1为数列的第一个元素，d为公差（即相邻两项之差）。
通过通项公式，我们可以求解数列中的任意一项。
- 判断公差：如果已知数列的前几项，但不知道公差，可以通过计算前两项的差值来确定公差。
2. 等比数列：等比数列的特点是每个数与其前一个数的比值都相等。
求解等比数列的技巧主要包括：- 使用通项公式：等比数列中的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中an为数列的第n个元素，a1为数列的第一个元素，r为公比（即相邻两项的比值）。
通过通项公式，我们可以求解数列中的任意一项。
- 判断公比：如果已知数列的前几项，但不知道公比，可以通过计算两项的比值来确定公比。
3. 等差数列的特殊性质：在解决等差数列问题时，还可以运用一些特殊性质来求解，例如：- 数列求和：等差数列中的所有元素之和可以通过数列的首项和末项以及项数来计算。
求和公式为S=n/2*(a1+an)，其中S为数列的和，n为项数。
- 递推公式：等差数列中的每个元素可以通过前一个元素和公差来计算。
递推公式为an=an-1+d，其中an为数列的第n个元素，an-1为前一个元素，d为公差。
4. 等比数列的特殊性质：与等差数列类似，等比数列也有一些特殊性质可以用来求解，例如：- 数列求和：等比数列中的所有元素之和可以通过数列的首项、公比和项数来计算。
专升本高等数学一教材内容
专升本高等数学一教材内容高等数学一是专升本考试中的重要科目之一，内容涵盖了微积分、数列、极限、导数、定积分、反常积分等多个重要知识点。
下面将对这些知识点进行详细介绍。
一、微积分微积分是数学的重要分支，是研究函数变化规律的数学工具。
微积分主要包括导数和积分两个部分。
1. 导数导数是描述函数变化率的概念，常用符号为f'(x)或dy/dx。
导数可以表示函数在某一点的瞬时变化率，并可以用于解决函数的最值、切线和曲线的问题等。
2. 积分积分是导数的逆运算，常用符号为∫f(x)dx。
积分可以表示函数的累积变化，求出曲线下的面积、求解曲线的弧长以及求解平均值等问题。
二、数列与极限数列是按照一定规律排列的一串数，而极限是数列中数值趋于无穷时的值。
数列与极限的概念在高等数学中有着重要的应用。
1. 数列数列是离散的数值排列，常用符号表示为{an}，其中an代表数列的第n个元素。
数列中的元素可以按照不同的规律进行排列，如等差数列、等比数列等。
2. 极限极限是数列中数值趋于无穷时的值，常用符号表示为lim(n→∞)an 或lim(an)。
极限的计算可以通过数列的递推公式、夹逼定理等方法进行。
三、导数与应用导数在实际问题中有着广泛的应用，例如描述物体运动的速度、解决最优化问题等。
1. 函数的导数函数的导数可以表示函数在某一点的瞬时变化率，也可以用来求函数的最值和图像的切线等。
导数的计算可以通过求导法则、链式法则等方法进行。
2. 切线和法线导数可以用来求解函数图像上的切线和法线。
切线是在函数图像上与曲线相切的直线，而法线是与切线垂直的直线。
四、定积分与应用定积分也是微积分的重要内容之一，可以用于求解曲线下的面积、求解曲线的弧长等问题。
1. 定积分的概念定积分可以理解为曲线与x轴之间的面积，通常用∫f(x)dx表示。
定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼茨公式、定积分的基本性质等方法进行。
2. 曲线下的面积定积分可以用来求解曲线下的面积问题，例如梯形法则、黎曼和等方法可以帮助我们计算曲线下的面积。
《高等数学第一课：数列与极限课件PPT》
函数极限和数列极限的关系
函数极限和数列极限之间存在着紧密的联系。通过研究这种关系，我们可以 更好地理解函数和数列的极限行为。
数列的定义和表示方法
数列可以用各种形式来表示，例如通项公式、递推公式和集合表示法。这些表示方法帮助我们描述和计算数列 中的各个元素。
等差数列和等比数列的性质
等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们具有独特的性质和规律。 通过研究这些性质，我们可以更好地理解和应用数列。
定义极限
极限是数列中元素趋于无穷时的特殊概念。通过了解极限的定义，我们能够 更深入地研究数列的性质和行为。
极限的基本性质
极限具有许多基本的性质，例如唯一性、有界性和保序性。这些性质为我们 分析和计算数列的极限提供了重要的指导。
极限的存在性判定方法
我们可以使用不同的方法和定理来判定数列是否存在极限。这些方法ຫໍສະໝຸດ 我们 解决极限问题提供了实用的工具。
极限的唯一性
通过理解极限的唯一性，我们可以确定数列是否具有唯一的极限值，并在解 决数列极限问题时减少错误的可能性。
高等数学第一课：数列与 极限课件 PPT
在这份高等数学课件中，我们将学习数列和极限的基本概念、性质和计算方 法，以及数列极限与函数极限的关系。让我们一起探索这个精彩而有趣的数 学世界！
什么是数列
数列是一组按照特定顺序排列的数的集合。通过研究数列的规律和性质，我们可以了解数学中许多重要的概念 和方法。
高数大一上知识点详细总结
高数大一上知识点详细总结高等数学是大一上学期的一门重要课程，它是理工科学生必修的一门基础课程。
本文将从微积分、数列与级数、函数与极限三个方面对高等数学大一上学期的知识点进行详细总结。
一、微积分1. 函数与极限a. 函数的概念：函数是一种映射关系，将一个自变量映射到一个因变量上。
常见的函数类型有线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等。
b. 极限的定义：极限是函数在某一点或无穷远点的趋势。
通过极限的计算，可以求得函数在某一点处的导数、积分等。
c. 极限的性质：极限具有唯一性、有界性、保序性等性质，这些性质在计算过程中非常重要。
2. 导数与微分a. 导数的定义：导数是函数在某一点处的斜率，表示函数在该点的变化率。
b. 导数的计算方法：常见的导数计算方法有利用定义计算、使用导数的性质（和、差、积、商规则）、使用特殊函数的导数公式等。
c. 微分的定义：微分是函数在某一点处的线性逼近，是导数与自变量增量的乘积。
3. 积分与不定积分a. 积分的概念：积分是导数的逆运算，表示函数在一定区间上的累积效应。
b. 不定积分的计算方法：常见的不定积分计算方法有基本积分公式、代换法、分部积分法等。
c. 定积分的概念：定积分是函数在一定区间上的面积，可以用积分的特性进行计算。
二、数列与级数1. 数列a. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数。
b. 数列的极限：数列的极限反映了数列中数值的趋势。
常见的极限有有界数列、单调有界数列、数列的收敛与发散等。
c. 数列的计算方法：常见的数列计算方法有通项公式、递推公式等。
2. 级数a. 级数的概念：级数是数列部分和的无穷累加。
b. 级数的收敛与发散：级数的收敛性表示级数的和是否有限，发散性表示级数的和为无穷大。
c. 常见的级数判定方法：常见的级数判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
三、函数与极限1. 函数的性质与图像a. 函数的奇偶性：奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，偶函数满足$f(-x)=f(x)$。
《高等数学》第一章函数与极限第二节 数列的极限
所失矣”
——(魏晋)刘徽
5
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
n 1
R
正62
形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
刘徽从圆内接正六边形开始，逐次边数加倍到 正3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
6
第1 章 函数与极限
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
三、数列极限的定义
定义 已知数列 xn , A是一个常数. 如果当n无限增大时,
也称数列 xn收敛于A.
记作
n
xn无限接近于A, 则称当n 时, 数列 xn的极限为A,
lim xn A 或 xn A (n )
说明 这是数列极限的描述性定义。按照定义，通过观察
n n
证
任给 0,
lim xn a ,
n
N 使得当n N时, 恒有 xn a ,
从而有
n
xn a
xn a xn a
xn a a
a
故 lim xn a .
23
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
四、极限存在的两个准则 准则Ⅰ 夹逼准则
如果数列 xn, yn , zn 满足条件：
(1) xn yn zn ( n 1, 2, 3 ) (2) lim xn A, lim zn A
n n
yn A 那么数列 yn 收敛, 且 lim n
24
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
1 1 1 1 1 1 xn 2 2 1 2 2 3 nn 1 2! 3! n! 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其中 g1 ( y ), g2 ( y ) 是定义在[c, d ] 上的连续函数.
前页 后页 返回
x 型区域 A
y
y f2 ( x )
通过上移
y
y f2 ( x ) M
A
O
A
y f1 ( x ) M 0
a
y f1 ( x )
b x
O
a
b x
前页 后页 返回
由定积分的几何意义，可知 A 的面积为
x 型区域: A ( x , y ) | f1 ( x ) y f 2 ( x ), x [a , b] ,
其中 f1 ( x ), f 2 ( x )是定义在[a, b] 上的连续函数.
y 型区域: B ( x , y ) | g1 ( y ) x g2 ( y ), y [c , d ] ,
S ( A) ( f 2 ( x ) M )dx ( f1 ( x ) M )dx
a a
b
b
[ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx .
a
b
同理, y型区域 B 的面积为
S ( B ) [ g2 ( y ) g1 ( y )]dy .
c
d
例1 求由抛物线 y x 和 x 8 y 所围图形A的面积.
x ,0 x 1 f1 ( x ) , x 2 ,1 x 4
f 2 x x , 0 x 4.
前页 后页 返回
由于 f1 分段定义, A 分为二图形 A1 和 A2 ,
S ( A1 )
1 0
4
4 32 4 x ( x ) dx x . 3 3 0
g1 ( y ) y ( 1 y 2), g2 ( y ) y 2 ( 1 y 2).
2
S ( A) [( y 2) y 2 ]dy
1
2
1 3 2 9 1 2 y 2y y . 3 1 2 2
显然,由于 g1(y), g2(y) 不是分段定义的函数,比较 容易计算.
π π 3π 5π 范围是 [ , ] 与 [ , ]. 4 4 4 4
y
由图形的对称性,
1 π 2 4 S ( A) 4 a cos 2 d 2 0
a 2 sin 2
π 4 0
O
a/2
a x
a2 .
前页 后页 返回
2 例2 求由 y x 和 x y 2 围成的图形 A 的面积.
解 y 2 x 和 x y 2 的交点为 (1, 1) 和 (4, 2). 图形
A 如下图.
前页 后页 返回
y
2
y2 x
(4, 2)
A
O
(1, 1)
x y2
4
x
若把 A 看作 x 型区域, 则
§1 平面图形的面积
本节介绍用定积分计算平面图形在 各种表示形式下的面积. 一、直角坐标方程表示的平面图形的
面积
二、参数方程表示的平面图形的面积 三、极坐标表示的平面图形的面积
前页 后页 返回
一、直角坐标方程表示的 平面图形的面积
用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面
积,通常把它化为 x 型和 y 型区域上的积分来计算.
2 2
前页 后页 返回
三、极坐标表示的平面图形的面积
设曲线C 的极坐标方程为 r r ( ), [ , ]. 图形 A 由曲线 C 和两条射线 = 与 = 围成.
r r
A
O
x
1 2 S ( A) r ( )d . 2
前页 后页 返回
16 64 8 . 3 24 3
前页 后页 返回
把 A 看作为 y 型区域， 则 g1 ( y ) y 2 , g2 ( y ) 8 y ,
于是
3 3 2 2 y 2 2 S ( A) 8 y y dy 8 y 0 0 3 3 2 8 8 8 8 . 3 3 3 2
前页 后页 返回
二、参数方程表示的 平面图形的面积
x x( t ) 设曲线C 由参数方程 , t [ , ] 表示, y y( t ) 其中 y( t ) 连续, x( t ) 连续可微.
不论 x(t)递增或递减,
S ( A) y t x t dt .
2 2
解
y2 x x1 0 的解为 , 2 y1 0 x 8 y
x2 4 . y2 2
前页 后页 返回
图形 A 既是 x 型区域 又是 y 型区域. 把 A 看作 x 型区域,则
y
2
y x
2
(4, 2)
A
x2 8 y
x
x2 O 4 f1 ( x ) , f2 ( x) x , 8 于是 4 2 3 x2 1 34 2 S A x dx x x 3 0 0 8 24
1
S ( A2 )
1
x ( x 2) dx
2 4
2 32 x 14 3 x 2x . 2 3 1 3 2
则
4 14 3 9 S ( A) S ( A1 ) S ( A2 ) . 3 3 2 2
前页 后页 返回
若把 A 看作为 y 型区域，则
若上述曲线C 是封闭的，即
x( ) x( ), y( ) y( ),
前页 后页 返回
则由C 所围的平面图形 A 的面积同样是
S ( A) y t x t d t.
或 S ( A)
x t y t d t .
前页 后页 返回
例4 求心脏线 r a(1 cos ) 所围平面图形的面积.
解
1 2π S ( A) [a (1 cos )]2d 2 0
y
r a (1 cos )
a
a
2
0 (1 cos ) d
2
π
O
2a x
3 2 πa . 2
前页 后页 返回
例5 求双纽线 r 2 a 2 cos 2 所围平面图形的面积. 解 因为 r 2 0, 所以 的取值
x a( t sin t ) 例3 求由摆线 , t [0, 2 ] 与 x 轴 y a(1 cos t )
所围图形的面积.
y
2a
a
O
A
2 a
2 0
x
解 S ( A)
a(1 cos t )[a( t sin t )]dt
2 0
a
2
(1 cos t ) dt 3 a .