屈婉玲离散数学(课堂PPT)
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离散数学第2章-高等教育出版社-屈婉玲-耿素云-张立昂--ppt课件
p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq)r （蕴涵等值式，置换规则）
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
8
等值演算的应用举例
证明两个公式不等值 例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
(pqr)(pqr)(pqr)
m0m1m3 m5m7
非重言式的可满足式
29
主范式的应用
3. 判断两个公式是否等值 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否等值
⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 成假赋值为 000, 010, 100.
类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.
27
主范式的应用
2. 判断公式的类型 设A含n个命题变项. A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项 A的主合取范式不含任何极大项, 记为1. A为矛盾式 A的主合析取范式含全部2n个极大项 A的主析取范式不含任何极小项, 记为0. A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项 A的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项.
30
主范式的应用
4. 解实际问题 例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下
述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记 p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值 A=(pr)(qr)((pq)(pq))
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
8
等值演算的应用举例
证明两个公式不等值 例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
(pqr)(pqr)(pqr)
m0m1m3 m5m7
非重言式的可满足式
29
主范式的应用
3. 判断两个公式是否等值 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否等值
⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 成假赋值为 000, 010, 100.
类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.
27
主范式的应用
2. 判断公式的类型 设A含n个命题变项. A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项 A的主合取范式不含任何极大项, 记为1. A为矛盾式 A的主合析取范式含全部2n个极大项 A的主析取范式不含任何极小项, 记为0. A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项 A的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项.
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主范式的应用
4. 解实际问题 例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下
述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记 p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值 A=(pr)(qr)((pq)(pq))
最新离散数学屈婉玲第十四章ppt课件
对于x∈S，如果存在yl (或yr)∈S使得 yl◦x=e（或x◦yr=e）
则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
可以证明： 对于给定二元运算，单位元或零元如果存在，则是唯一的. 对于可结合的二元运算，给定元素若存在逆元，则是唯一
定义14.5-6 设◦和∗为S上两个不同的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 (x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律. (2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
例1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是． (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．求一个数的相反数是Z上的一元运算. (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而 加法和减法不是．求倒数是R*上的一元运算.
3
实例
(6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算. 求反函数不一定是一元运算.
4
二元与一元运算的表示
1．算符 可以用◦, ∗, ·, , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z 对一元运算, x的运算结果记作x.
2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表 公式表示 例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：
13
消去律
定义14.10 设∘为S上的二元运算，如果对于任意的 x, y, zS 满足以下条件：
则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
可以证明： 对于给定二元运算，单位元或零元如果存在，则是唯一的. 对于可结合的二元运算，给定元素若存在逆元，则是唯一
定义14.5-6 设◦和∗为S上两个不同的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 (x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律. (2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
例1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是． (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．求一个数的相反数是Z上的一元运算. (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而 加法和减法不是．求倒数是R*上的一元运算.
3
实例
(6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算. 求反函数不一定是一元运算.
4
二元与一元运算的表示
1．算符 可以用◦, ∗, ·, , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z 对一元运算, x的运算结果记作x.
2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表 公式表示 例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：
13
消去律
定义14.10 设∘为S上的二元运算，如果对于任意的 x, y, zS 满足以下条件：
离散数学高等教育出版社配套PPT课件屈婉玲耿素云张立昂
15
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
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10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
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实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
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群中元素的幂
离散数学北京大学出版社第二版配套PPT课件_屈婉玲_耿素云_张立昂ch
离散数学北京大学出版社第二版配套PPT课件介绍本文档是北京大学出版社出版的《离散数学》第二版的配套PPT课件的简介。
透过课件，学生可以更好地理解和学习离散数学的概念和原理。
课件的作者包括屈婉玲、耿素云和张立昂等离散数学领域的专家，他们精心设计了课件的内容和布局，旨在帮助学生更好地理解离散数学的基础知识，并应用到实际问题中。
内容概述离散数学是计算机科学和信息技术中的一门基础课程，它研究离散的数学结构和离散对象之间的关系。
离散数学的理论和方法在计算机科学、密码学、人工智能等领域有着广泛的应用。
《离散数学》第二版的配套PPT课件涵盖了离散数学的主要内容，包括集合论、逻辑、关系、图论、计数原理等。
课件的设计旨在让学生通过图示、例子和练习等形式来理解和掌握离散数学的概念和方法。
课件还提供了一些附加材料和参考资料，供学生进一步学习和探索离散数学的相关内容。
课件特点1.系统性：课件内容有机地连接起来，形成一个完整的体系，学生可以从不同的章节中逐步深入学习离散数学的不同方面。
2.可视化：课件中使用了大量的图示和示例，帮助学生更直观地理解离散数学的概念和原理。
3.互动性：课件中设置了各种练习和思考题，鼓励学生积极参与和思考，提高学习效果。
4.实用性：课件中的例子和实际应用案例帮助学生将离散数学的理论应用到实际问题中，增强学习的实际效果。
使用指南学生可以使用任何支持Markdown文本格式的编辑器来打开和阅读本课件。
在阅读的同时，建议学生积极参与，思考课件中的问题，并完成相应的练习。
学生还可以根据自己的学习情况，有针对性地选择课件中的章节进行学习。
附加材料《离散数学》第二版的配套PPT课件还提供了一些附加材料，供学生进一步学习和探索离散数学的相关内容。
这些附加材料包括参考资料、习题解答和扩展阅读等。
学生可以根据自己的学习需要，选择适合自己的附加材料进行阅读。
结语《离散数学》第二版的配套PPT课件是学习离散数学的重要辅助工具，它通过图示、例子和练习等形式，帮助学生更好地理解和掌握离散数学的概念和方法。
离散数学 屈婉玲第2版ppt(1)
(6) a能被4整除，仅当a能被2整除。
rs 真值:1
(7) 除非a能被2整除，a才能被4整除。 rs 真值:1 (8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 rs 真值:1
(9) 只有a能被2整除，a才能被4整除。 rs 真值:1
(10) 只有a能被4整除，a才能被2整除。 sr 与a有关
假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道
假命题 真命题 不是命题
School of Software
6
1.1 命题与联结词
软件学院
二. 命题分类
简单命题: 由简单句构成, 不能再分解成更简单的命题。 复合命题: 由简单命题和联结词构成。
三. 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
School of Software
9
1.1 命题与联结词
软件学院
4. 蕴涵联结词
注意:
(1) pq 的逻辑关系: p为q的充分条件；q为p的必要条件。 (2) pq 的多种表达方式:
充分式: 只要 p 就 q 如果 p 就 q p为q的充分条件, pq 因为 p 所以 q
必要式: 只有 q 才 p
仅当 q 才 除非 q 才
p q为 p 的必要条件, pq p
除非 q 否则非 p
(3) 常出现的错误: 不分充分与必要条件
Northeast Petroleum University
School of Software 10
1.1 命题与联结词
软件学院
例5 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化
(1) 如果3+3＝6，则雪是白的。 (2) 如果3+3≠6，则雪是白的。 (3) 如果3+3＝6，则雪不是白的。 (4) 如果3+3≠6，则雪不是白的。
屈婉玲离散数学(课堂PPT)
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律 自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
1
3.1 推理的形式结构
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
5
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
12
附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 做法 在前提中加入B，推出矛盾. 理由
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) (A1A2…AkB)0 A1A2…AkB0
16
归谬法实例
例4 前提：(pq)r, rs, s, p
结论：q
证明 用归缪法
①q
主要内容 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律 自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
1
3.1 推理的形式结构
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
5
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
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附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 做法 在前提中加入B，推出矛盾. 理由
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) (A1A2…AkB)0 A1A2…AkB0
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归谬法实例
例4 前提：(pq)r, rs, s, p
结论：q
证明 用归缪法
①q
离散数学讲义ppt课件
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
3
课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
4
课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
20
NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
Q
PQ
P
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
离散数学第五版第四章(耿素云屈婉玲张立昂编著) ppt课件
证明：设A=、B={1}、C={2}、D={3}
(AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>}
(A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>}
所以：等式不成立 （3）(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)
证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3}
(A-B)×(C-D)=
(xAyB) (xAyC)
<x,y>A×B <x,y>A×C
<x,y>(A×B)(A×C) PPT课件
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (4)（BC）×A= (B×A)(C×A）
证明： 对于任意的<x,y>
<x,y>（BC）×A
PPT课件
24
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例5：设A={a,b}，R是P(A)上的包含关系， R={<x,y>|x,yP(A)xy}
解：P(A)={,{a},{b},{a,b}} R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>, <{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>, <{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
PPT课件
16
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例4：设A,B,C,D为任意集合，判断真假。 （1）A×B=A×CB=C 证明：若A=，B={1}，C={2} 则A×B=A×C=，而BC。 所以：命题真假不定
PPT课件
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若明天是星期一或星期三，我明天就有课. 若我明天有 课，今天必备课. 我今天没备课. 所以，明天不是星期一、 也不是星期三.
解 (1) 设命题并符号化
设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我明天有课，s：我今天备课
11
直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq
(AB)(AB) B
构造性二难(特殊形式)
9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
6
3.2 自然推理系统P
本节对由{A1, A2, …, Ak}推B的正确推理的证明给出严格的形 式描述 定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
结论： B
判断推理是否正确的方法: 真值表法（见例子3.1） 等值演算法（见例子3.2） 主析取范式法（见例子3.2）
3
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号.
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推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
拒取式
5. (AB)ห้องสมุดไป่ตู้ A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律 自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
1
3.1 推理的形式结构
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
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附加前提证明法实例
例3 构造下面推理的证明
2是素数或合数. 若2是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理
数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数. 解 用附加前提证明法构造证明
(1) 设 p：2是素数，q：2是合数，
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
1. 字母表
(1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号：, , , ,
(3) 括号与逗号：(, ), ，
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
12
附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
用等值演算法 (pq)pq
((pq)p)q pqq 1 由定理3.1可知推理正确
4
推理实例
(2) 推理的形式结构: (pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确
BD ∴AC
10
在自然推理系统P中构造证明
设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl. 如果每 一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理 规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由A1, A2,, Ak推 出B的证明 见例子3.3/3.4 例2 构造下面推理的证明：
注意: 推理正确不能保证结论一定正确
2
推理的形式结构
由{A1, A2, …, Ak}推B的推理有以下的形式结构： 1. {A1, A2, …, Ak} B
若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B 2. A1A2…AkB
若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B 3. 前提： A1, A2, … , Ak
r： 2 是无理数，s：4是素数
(2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
14
附加前提证明法实例
(3) 证明 ①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论.
定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式
2. 合式公式（同定义1.6）
3. 推理规则
(1) 前提引入规则：在证明的任何步骤都可引入前提
(2) 结论引入规则：在证明的任何步骤得到的结论都可以做
为后续证明的前提
(3) 置换规则：在证明的任何步骤，命题公式中的子公式都
可用等值的公式置换，得到公式序列中又
一个公式
8
推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B
(6) 化简规则
AB ∴A
(8) 假言三段论规则 AB BC
∴AC
(5) 附加规则
A ∴AB
(7) 拒取式规则 AB B ∴A
(9) 析取三段论规则 AB B ∴A
9
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC
∴BD (12) 合取引入规则
A B ∴AC
(11) 破坏性二难推理规则 AB CD
解 (1) 设命题并符号化
设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我明天有课，s：我今天备课
11
直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq
(AB)(AB) B
构造性二难(特殊形式)
9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
6
3.2 自然推理系统P
本节对由{A1, A2, …, Ak}推B的正确推理的证明给出严格的形 式描述 定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
结论： B
判断推理是否正确的方法: 真值表法（见例子3.1） 等值演算法（见例子3.2） 主析取范式法（见例子3.2）
3
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号.
5
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
拒取式
5. (AB)ห้องสมุดไป่ตู้ A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律 自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
1
3.1 推理的形式结构
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
13
附加前提证明法实例
例3 构造下面推理的证明
2是素数或合数. 若2是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理
数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数. 解 用附加前提证明法构造证明
(1) 设 p：2是素数，q：2是合数，
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
7
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
1. 字母表
(1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号：, , , ,
(3) 括号与逗号：(, ), ，
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
12
附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
用等值演算法 (pq)pq
((pq)p)q pqq 1 由定理3.1可知推理正确
4
推理实例
(2) 推理的形式结构: (pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确
BD ∴AC
10
在自然推理系统P中构造证明
设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl. 如果每 一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理 规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由A1, A2,, Ak推 出B的证明 见例子3.3/3.4 例2 构造下面推理的证明：
注意: 推理正确不能保证结论一定正确
2
推理的形式结构
由{A1, A2, …, Ak}推B的推理有以下的形式结构： 1. {A1, A2, …, Ak} B
若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B 2. A1A2…AkB
若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B 3. 前提： A1, A2, … , Ak
r： 2 是无理数，s：4是素数
(2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
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附加前提证明法实例
(3) 证明 ①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论.
定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式
2. 合式公式（同定义1.6）
3. 推理规则
(1) 前提引入规则：在证明的任何步骤都可引入前提
(2) 结论引入规则：在证明的任何步骤得到的结论都可以做
为后续证明的前提
(3) 置换规则：在证明的任何步骤，命题公式中的子公式都
可用等值的公式置换，得到公式序列中又
一个公式
8
推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B
(6) 化简规则
AB ∴A
(8) 假言三段论规则 AB BC
∴AC
(5) 附加规则
A ∴AB
(7) 拒取式规则 AB B ∴A
(9) 析取三段论规则 AB B ∴A
9
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC
∴BD (12) 合取引入规则
A B ∴AC
(11) 破坏性二难推理规则 AB CD