三角形的内角和
三角形的内角和
由平行线的性质，得 ∠EAB=∠B，∠FAC=∠C（两直线平行，
内错角相等）
因为E、A、F在直线EF上（所作） 得∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的意义)
所以∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）
三角形的内角和性质：
三角形的内角和等于180°
√
√
例1、在△ABC中，已知∠B=35°，∠C=55°， 求∠A的度数，并判断△ABC的类型. 例2、在△ABC中，已知∠A:∠B:∠C=1:2:3， 求∠A、∠B、∠C的度数.
解：根据题意，可设∠A、∠B、∠C的度数分别为x、 2x、3x. 因为∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角 (已知)， 所以∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于 180°）， 即 x+2x+3x=180. 解得 x=30. 所以 ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°.
作业：课本练习14.2(1) 练习册14.2(1)
练习2、在△ABC中，已知角平分线BD、CE相交于 点F，如果∠A=50°，求∠BFC的度数.
A E F D
BCΒιβλιοθήκη 14.2(1) 三角形的内角和
老师的问题
问题1、等边三角形的三个角分别是多少？三个内角的 和为多少？
问题2、一副三角尺的两个三角形的三个角分别是多少？ 三个内角的和是多少？
猜想 ：三角形的内角和等于180°
动动手
说理验证
猜想：三角形的内角和等于180°
已知：△ABC. 试说明：∠A +∠B +∠C=180°
想一想
一个三角形 最多有几个锐角？几个直角？几个钝角？ 一个三角形最多有 3 个锐角. 最多有 1 个直角. 最多有 1 个钝角.
三角形的内角和
三角形的内角和在我们的数学世界中，三角形是一个极其基础且重要的图形。
而三角形的内角和，更是一个具有关键性质的知识点。
让我们先从最基本的概念说起。
什么是三角形呢？三角形就是由三条线段首尾相连所组成的封闭图形。
这三条线段就叫做三角形的边，而它们两两相接的点则被称为三角形的顶点。
那三角形的内角又是什么呢？内角就是三角形相邻两边所夹的角。
一个三角形有三个内角。
现在，重点来了，三角形的内角和究竟是多少呢？答案是 180 度。
可能你会问，为什么三角形的内角和一定是 180 度呢？为了更直观地理解这个结论，我们可以通过一些简单的实验和推理来证明。
我们可以准备一个纸质的三角形，然后把三个角剪下来。
将这三个角的顶点拼在一起，你会发现它们恰好可以拼成一个平角，也就是 180 度。
这就直观地展示了三角形的内角和为 180 度。
再从数学推理的角度来看。
我们知道，平行线的性质在证明三角形内角和中起着关键作用。
假设三角形的三个顶点分别为 A、B、C，我们过点 A 作一条平行于 BC 的直线。
根据平行线的内错角相等，我们可以得到角 B 和角 B'相等，角 C 和角 C'相等。
而平角 BAC'是 180 度，所以角 A ＋角 B ＋角 C 也就是三角形的内角和，就是 180 度。
三角形内角和为 180 度这个性质在解决各种数学问题中都有着广泛的应用。
比如在几何证明题中，如果已知三角形的两个内角的度数，我们就可以很容易地求出第三个内角的度数。
又比如在实际生活中，三角形内角和的知识也有不少用处。
工程师在设计桥梁、建筑等结构时，常常需要考虑三角形的稳定性和角度关系，这其中就涉及到三角形内角和的知识。
在数学的学习过程中，理解三角形内角和不仅有助于我们解决与三角形相关的具体问题，还能帮助我们建立更深入的几何思维和逻辑推理能力。
当我们进一步拓展思维，会发现三角形内角和的概念还可以延伸到更复杂的图形中。
比如，由多个三角形组成的多边形，其内角和可以通过三角形内角和的知识来计算。
三角形的内角和
在一个三角形中，已知∠1=1400，∠3=250， 求∠2的度数？ 1800－1400－250 =400－250 =150
答：∠2的度数为150。
判断下列说法对吗?
①钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内 角和。（ × ） ②在直角三角形中，两个锐角的和等于90 º 。 （√ ） ③在钝角三角形中，两个锐角的和大于90 º 。 （×） ④三角形中有一个角是60 º ，那么这个三角形 一定是个锐角三角形。（ ×） ⑤一个三角形中一定不可能有两个钝角。（ ） √
4个三角形： 180°×4＝720°
总结：通过今天的学习， 大家有什么收获？
三角形内角和180°。
量
380
钝角三角形 0
260
116
1160＋260＋380=1800
量
640
直角三角形
260
900
260＋640＋900＝1800
方法二：
撕一撕 拼一拼
拼
3
1
2
3 平角：1800
方法三：
折一折
拼一拼
1
2
2
钝角三角形
1 1
2 2 2
2
3
3
直角三角形
锐角三角形
1
1
3
3
3
3
1
结论:
三角形的
内角和是180°
1、什么是三角形的内角？ ∠1， ∠2， ∠3 2、什么是三角形的内角和？ ∠1+∠2+∠3
1
2
3
90 +60 +30 =180
30° 90 +45 +45 =180 45°
三角形的内角和
（1）三角形越大，内角和（ C）。 A、越大 B、越小 C、不变
（2）在钝角三角形中，两个锐角之 和（ C ）90°。想：180°- 钝角＜90°
A、大于
B、等于
C、小于
（3）在直角三角形中，两个锐角之和 （ B ）90°。想：180°- 直角 = 90° A、大于 B、等于 C、小于
（4）在锐角三角形中，两个锐角之 和（ A ）90°。想：180°- 锐角＞90° A、大于 B、等于 C、小于
拿一个锐角三角形，先把∠2沿横的虚 线折过来，使它的顶点落在底边上，再 把∠1和∠3沿竖的虚线折过来，使三个 角正好拼在一起，这三个角组成一个什 么角？
再拿一个钝角来试试。
从以上可以得出什么结论？
三角形的内角和等于180°
在三角形中，已知∠1=78°， ∠2=44°，求∠3的度数。
∠3=180°－78°－44°
=58°
1、在三角形中，已知 ∠1=140°，∠3=25°，求∠2。 ∠2 =180°-140°-25°=15° 2、在一个直角三角形中，已知一 个锐角是65°，能求另一个锐角 的度数吗？为什么？ 180°-90°-65°=25°
3、在等边三角形中，求它一个角的 度数怎么求呢？
180°÷ 3 = 60°
小学数学
第八册
三角形的内角和
什么是三角形的内角？
三角形的三个内角的度 数之和叫着三角形的内 角和
量一量三角形中三个内角的度数， 算一60° 60°
60°
90°
30°
60°+ 60°+ 60°=180°
90°+ 60°+ 30°=180°
拿一个直角三角形，把∠1和∠2沿虚线 折过来，正好组成一个什么角？直角三角 形的内角和是多少度？
三角形的内角和
∵ ∠1+∠2 +∠ AC B+ = 180° ﹙平角定义﹚
∴ ∠A C B +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚ 17
证法三
已知：△A B C.
证明：
求证：∠A +∠B +∠C =180°
EA
F
过A 作E F∥B C.
则∠E A B =∠B.
B
C
∠F A C = ∠C ﹙两直线平行,内错角相等﹚ ∵ ∠B A C + ∠E A B +∠C A F =180°
如图：R t △A B C 中， ∠C =90° 则∠A +∠B =90 °
21
例1、 已知：在△ABC中，
∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高， 求 ∠DBC的度数。
分析：∠DBC在△BDC中，∠BDC=900，为求
∠DBC的度数,只要求出∠C的度数即可。 A
解：设∠A= X，则∠C=∠ABC=2X.
1
1 2 3
2
1 2 3
3
1 2 3
4
1 2 3
5
6
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于1800
已知：Δ ABC 求证：∠A+∠B+∠C=1800
A
B
C
7
已知：△A B C.
求证：∠A +∠B +∠C=180° A
B
C
8
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°
A
∴ ∠B A C + ∠B +∠C= 180°﹙等量代换﹚
18
一、填空.
（1）在△ABC中，∠A=500, ∠B=800, 则∠C= 500
三角形内角规律及关系
三角形内角规律及关系如下：
1.三角形内角和为180度，即三角形三个内角大小之和为180
度。
2.在三角形中，有一个角是直角，则该三角形为直角三角形；如
果一个角大于90度，则该三角形为钝角三角形；如果一个三
角形中最大的角小于90度，则该三角形为锐角三角形。
3.三角形内角之间存在以下关系：
•如果一个三角形的两个内角相等，则第三个内角也相等，这个三角形是等边三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于第三个内角，则这个三角形是直角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之差等于第三个内角，则这个三角形是钝角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于180度减去第三个内角的度数，则这个三角形是锐角三角形。
三角形的内角和
4 、一个等腰三角形的顶角是３0 °,它的 一个底角是( ７５ )度.
判断题:
1、大三角形的内角和一定大于小三角形 的内角和. ( × ) 2 、直角三角形中一个锐角是70°,另一个 锐角一定是20 °. ( √ ) ３ 、一个三形中最多只能有一个钝角或 直角. ( √ ) ４、把一个三角形分成两个三角形，其 中一个三角形的内角和应是９０度。（× ）
根据三角形的内角和是180°,你 能求出下面的图形的内角和吗?
(图一)
(图二)
１８０×２出你所剪的纸三角形中三个角的度数，
请你告诉老师其中两个角的度数，看老 师能否猜出第三个角的度数。
三角形的内角和是180 °。
例
在三角形中，已知∠1=78°， ∠ 2=44 ° ，求∠ 3的度数。
∠ 3 =180 ° - 78 °- 44 °
=58 °
填空:
1、三角形中, ∠1=140°, ∠ 3=25 °. ∠ 2=( １５ )度. 2 、一个等腰三角形的一个底角是70 °, 它的顶角是( ４０ )度. 3 、等边三角形的一个角是( ６０ )度.
三角形的内角和
一个等腰三角形的风筝, 它的一个底角是700，它 的顶角是多少度？
已知等腰三角形的风筝， 一个底角70°，顶角多少度？
180°－70°－70°=40° 180°－70°×2=40° 70° 70°
答：顶角的度数是400。
恭喜你过关啦！~ ＞▽＜
三角形的内角和是180°。
√
）
③钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和（×）
× ④红领巾有一个底角是30度，那么它的顶角是150度（ ）
⑤任何一个三角形的内角和都是180度。（ √ ）
23Βιβλιοθήκη 在一个三角形中，已知∠1=1400，∠3=250， 求∠2的度数？
1800－1400－250==150
1800－(1400+250 )=150
不对。我有一个 大钝角，所以我 的内角和才最大！ 我的三角形最 大，所以内角 和也就最大！ 我的三角形小， 难道我的内角 和就小吗？
三角形的内角和
提示： 可以用拼一拼、量一量、折一折 的方法探究三角形的内角和。
结论
三角形的内角和是180°。
我们的内角和都是180°
判断正误
①三角形越大，它的内角和就越大。 ②直角三角形的两个锐角和是90度。（ （ × ）
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三角形的内角和
教材与教学资源分析
本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书数学第八册第85页例5——三角形的内角和。
“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质。
它有助于学生理解三角形的三个内角之间的关系，是掌握多边形内角和及解决其他实际问题的基础。
在此之前，学生已经掌握了三角形的概念、分类，熟悉了锐角、直角、钝角、平角这些角的知识，也可能有部分学生已经知道三角形的内角和是180°，但“知其然而不知其所以然”。
所以本课的重点不在于了解，而在于验证和应用，同时发展学生的空间观念和思维能力、解决问题的能力。
教学目标：
知识与技能：
1、通过测量、撕拼、折等方法，探索和发现三角形内角和是180°。
2、能运用新知识解决问题。
过程与方法：
在操作活动中，培养学生的合作意识、动手实践能力，发展学生的空间观念，培养学生自主探究能力。
情感态度与价值观：
激发学生主动学习数学的兴趣，体验知识的形成过程，实现自主发展。
重、难点：用不同方法探究、验证三角形的内角和是180°
教具准备：多媒体课件
学具准备：学生每人准备量角器、小剪刀、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的纸片各一张。
教学过程：
一、创设情景，以情激趣
1、复习三角形的特点，解释内角，内角和。
2、这节课，我们就来研究三角形的内角和。
二、交流，自主探究
（1）师：每个同学都准备了直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，下面就请同学们在小组内量一量每种三角形的各个角是多少度，把结果填在表中：
（2）汇报记录结果。
小结：通过测量我们发现每个三角形的三个内角和都在180度左右。
只是因为我们在测量时会出现一些误差，所以测量出的结果不是很准确。
同学们能通过动手操作，想其他办法来验证三角形的内角和是不是180度，请同学们先独立思考想一想，再在小组内把你的想法与同伴进行交流，然后选用一种方法进行验证。
看谁最先发现其中的“奥秘”；看谁能争取到向大家作“实验成功的报告”。
汇报验证方法、结果
师：谁愿意给大家介绍你们小组是用什么方法来验证的？结果怎样？
生1：我们小组是用撕的方法。
我们是用手把3个角撕下来，然后再拼，结果能拼成一个平角。
师：上来展示给大家瞧一瞧。
（投影仪）你们看这位同学多细心呀，为了方便、不混淆，在撕之前，他先给3个角标上了符号。
师：现在请同学们看屏幕，我们在电脑里把刚才剪拼的过程重播一遍。
你们看成功了，3个角拼成了一个平角。
（课件播放视频）刚才剪拼的是一个锐角三角形，那还有直角三角形、钝角三角形呢？请同学们进行剪拼，看是否能拼成一个平角。
生：不管什么三角形三个角都能拼成一个平角。
师：刚才这种剪拼的方法可以不用再一个角一个角来量，就能证明三角形的内角和是180°，你们觉得这种方法好不好？那我们把掌声送给刚才这个小组。
生2：我们小组是用折的方法，同样得到三角形的内角和是180度。
师：请这位同学折来给大家看看。
（投影仪展示）
生：3个角折成了一个平角。
师：真是个手巧的孩子。
（3）得出结果：三角形的内角和是180 o
三、巩固练习
课件出示
1、口答：在一个等腰三角形中，底角是30 º，求顶角的度数。
2、求出三角形一个底角的度数。
我是一个等腰三角
形，顶角是96º。
3、等边三角形的一个角是多少度？
4、等腰直角三角形的两个底角各是多少度？
5、在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。
可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大直角说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷。
同学们，你们谁能帮他解决这个疑问呢？
五、课堂小结
这节课你有什么收获？
四、拓展练习
同学们现在知道了三角形内角和是180º，那么四边形的内角和是多少度呢？五边形和六边形的内角和又是多少度呢？。