第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
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大学电路第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱课件
21 7 ) = 3[1+ j(0.143k − )] k k 3 Z(kω1) = cosϕ(k)
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电路 第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 章 ϕ 7 cos (k) & P =1.5I 2m(k) & ϕ(k) = arctan(0.143k − ) Im(k) = Usm(k)∠−ϕ(k) (k) k 3 us=[280.11cos(ω1t)+93.37cos(3ω1t)+56.02cos(5ω1t)+ 40.03cos(7ω1t)+31.12cos(9ω1t)+…]V
& Im(k) =
& Usm(k) Z (kω1)
=
& Usm(k) R + jkω1L − j 1 kω1C
_
d
Z(kω1) = R + j(kω1L −
1 kω1C
) = 3 + j(0.429k −
则有
7 ϕ(k) = arctan(0.143k − ) k cosϕ(k) & & Im(k) = Usm(k)∠−ϕ(k) 3 1 2 P = I m(k) R =1.5I 2m(k) (k) 2
电路
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 章
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 本章重点
13.1 13.2 13.3 13.4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅里叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算 小结
电路
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 章
重点
基波
三次谐波
T
t
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱(Polat)
2014年12月2日星期二（2./.20）
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
§1313-1 非正弦周期信号
§13-1
非正弦周期信号
◇生产实际中, 经常会遇到非正弦周期电流电路。 经常会遇到非正弦周期电流电路。 ◇在电子技术、 在电子技术、自动控制、 自动控制、计算机和无线电技术等方面, 电压 和电流往往都是周期性的非正弦波形。 和电流往往都是周期性的非正弦波形。 ◇非正弦周期交流信号的特点： 非正弦周期交流信号的特点： ⑴ 非正弦波, 按周期规律变化; ⑵ 满足狄利赫里条件。 满足狄利赫里条件。
2014年12月2日星期二（10./.20）
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
§1313-4 非正弦周期交流电路的计算
§13-4
非正弦周期交流电路的计算
【例 13-3】 图示电路中的电压表达式如下, 试求该单口网络 向外传输的最大平均功率。 向外传输的最大平均功率。
u (t ) = 10 2 cos t + 5 2 cos 2t V
2014年12月2日星期二（5./.20）
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
§1313-2 周期函数分解为付里叶级数
§13-2
【解】
周期函数分解为付里叶级数
【例 13-1】 把图示周期性方波电流分解成傅里叶级数。 把图示周期性方波电流分解成傅里叶级数。
I sm 0 < t ≤ T/2 iS (t ) = − I T/2 < t ≤ T sm
【解】 u1(t ) = 10 2 cos t V u2 (t ) = 5 2 cos 2t V ⑶ 向外传输的最大平均功率为：
Pmax = P1max + P2 max = ( 25 + 6.25) W = 31.25 W
电气学院《电路-非正弦周期电流电路和信号的频谱》课件
k =1
例 周期性方波 的分解
直流分量 t
三次谐波
t
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
频谱图
时域
U
Um
T
t
4U m
=U0
U0
3
w 3w
频域
U0
5w
5w
U = 4Um (coswt + 1 cos 3wt + 1 cos 5wt + )
π
13-4 非正弦周期电流电路的计算
一、一般步骤：
1） 将激励为非正弦周期函数展开为傅立叶级数： f (w t) = A0 + Ak m cos(kw t + k ) k =1 2） 将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的 正弦激励分量； 3） 求各激励分量单独作用时的响应分量：
(1) 直流分量作用：直流分析（C开路，L短路）求Y0;
（2）基波分量作用：角频率为w （正弦稳态分析）求y1; （3）二次谐波分量作用：角频率为2w （正弦稳态分析）求y2;
………………
4) 时域叠加：y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
例：图示电路中 us (t) = 40 + 180 coswt + 60 cos(3wt + 45)
二、非正弦周期函数的有效值
若 u(wt) = U0 + Ukm cos(kwt + k ) k =1
则： U =
U
2 0
+ U12
+
第十三章非正弦周期电路
uR
1 1 L1 2 2 0.1H 1 C 10 0.1 1 j3 L1 j3C j3 L2 0 1 j (3 L1 ) 3C
L2 L1 C
32 L1
1 C
1 302 .01 1 0.1
1 0.0125H 80
11
第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
• 非正弦周期信号
• 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
• 非正弦周期信号的有效值、平均值、平均功率的 计算 • 非正弦周期电流电路的分析和计算
1
§13-1 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
1、非正弦周期信号分解为傅里叶级数
f (t ) A0
直流分量
A1m cos(1t 1 ) A2 m cos(21t 2 ) ....
二端网络：
u U 0 U km cos(k1t uk ) i I 0 I km cos(k1t ik )
k 1 k 1
平均功率：
1 P T
T
0
1 pdt T
T
0
u idt
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
k 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则有效值:
I 1 T
1 T
T
0
i 2 d (t )
2
T
0
I 0 I km cosk1t k d (t ) k 1
4
利用三角函数的正交性得：
I
同理有： U
2 I km I 02 k 1 2
1 1 L1 2 2 0.1H 1 C 10 0.1 1 j3 L1 j3C j3 L2 0 1 j (3 L1 ) 3C
L2 L1 C
32 L1
1 C
1 302 .01 1 0.1
1 0.0125H 80
11
第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
• 非正弦周期信号
• 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
• 非正弦周期信号的有效值、平均值、平均功率的 计算 • 非正弦周期电流电路的分析和计算
1
§13-1 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
1、非正弦周期信号分解为傅里叶级数
f (t ) A0
直流分量
A1m cos(1t 1 ) A2 m cos(21t 2 ) ....
二端网络：
u U 0 U km cos(k1t uk ) i I 0 I km cos(k1t ik )
k 1 k 1
平均功率：
1 P T
T
0
1 pdt T
T
0
u idt
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
k 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则有效值:
I 1 T
1 T
T
0
i 2 d (t )
2
T
0
I 0 I km cosk1t k d (t ) k 1
4
利用三角函数的正交性得：
I
同理有： U
2 I km I 02 k 1 2
13第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
OT 2Tt对所有的k，a2k= b2k=0 a0=0
不包含直流分量和偶次谐波分量。
4. 函数的对称性与计时起点的关系 在傅里叶级数中，Akm与计时起点无关，而k与计时起点 有关，由于系数ak和bk与初相k有关，所以它们也随计时 起点变动而变动。 由于系数ak和bk与初相k有关，所以函数的奇偶性质就可
则有： P U 0 I 0 U1 I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 ... U k I k cos k ... U km I km Uk , Ik , k uk ik 式中： 2 2 即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功 率的代数和。
f ( t ) a0 a1 cos1t b1 sin1t a2 cos21t b2 sin21t ...... ak cosk1t bk sink1t ......
a0 ak cosk1t bk sink1t
k 1
A0 Akm cosk1t k
( 10-2 )
( 10-1 )和( 10-2 )中系数称为傅里叶系数，各系数关系为： bk 2 2 k arctan Akm ak bk A0 a0 a k bk Akm sin k ak Akm cos k 谐波分析： 式( 10-2 )中第1项A0称为周期函数f(t)的恒定分量(或直流分量)； 上式第2项称为1次谐波(或基波分量)，其周期与f(t)相同； 其它各项称为高次谐波，即2次、3次……。
i
R C
I m 3
47.130V A 10.8346.4 A 3 j 3.15
i3 10.83 cos31t 46.4 A
电路理论课件第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱
二次谐波 （2倍频）
高次谐波
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
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也可表示成：
Akm cos(k1t k ) ak cos k1t bk sin k1t
f (t) a0 [ak cosk1t bk sin k1t] k 1
I
周期性方波信号的分解
iS
m
iS (t
)
I
m
t
0
o T/2 T
0tT 2
T tT 2
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
直流分量：IO
1 T
T 0
iS
(t ) dt
1 T
T /2
0 Imdt
Im 2
谐波分量：
bK
1 π
2
0
π
iS
(t
)
s
in
ktd
2
0
π
sin
2
ktd(t
)
π
2π
0
cos
2ktd(t
)
π
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③三角函数的正交性
2
0
π
co
s
kt
sin
ptd(t)
0
2
0
π
co
s
kt
co
s
ptd
(t
)
0
2π
0 sin
kt
sin
ptd(t)
0
k p
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第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
]
15
因此： 因此：
ak = 0
k=0,1,2,3……, k=1,2,3……, cos(k )=1, cos(kπ)=1, cos(k cos(kπ)= -1, bk=0 bk=4Em/kπ
bk = 2 Em [ − cos( k π )] 1 kπ
当k为偶数时: 为偶数时: 当k为奇数时: 为奇数时: 由此可得: 由此可得:
§13-2 周期函数分解为傅里叶级数
一．傅氏级数
周期电流、电压信号可以用一个周期函数表示； 周期电流、电压信号可以用一个周期函数表示 即： f(t)=f(t+kT) 式中T为周期函数f(t)的周期，k=0,1,2,…。 式中T为周期函数f(t)的周期，k=0,1,2,…。 f(t)的周期 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能展 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件， 开成一个收敛的傅里叶级数， 开成一个收敛的傅里叶级数，即：
∫
T 2 T − 2
f ( t ) cos( k ω 1 t ) dt 1
π
∫0 f ( t ) cos( k ω 1 t )d (ω 1 t ) = π ∫− π f ( t ) cos( k ω 1 t )d (ω 1 t ) π
2π
2 bk = T = 1
∫0
T
2 f ( t ) sin( k ω 1 t )dt = T
π
= =
bk = = =
[ ∫0 π
1 2Em
1
2π
π
E m cos( kω 1 t )d (ω 1 t ) − ∫π E m cos( kω 1 t )d (ω 1 t )
π
2π
]
∫0 cos( kω 1 t )d (ω 1 t ) = 0 π
13非正弦周期电流电路和信号的频谱(龙).ppt
2、更普遍的情形，也是本章重点研究的情形则是线性电路 中，当激励是非正弦周期函数时，各部分的稳态响应也将是非正弦 周期电压和电流。
3、在含有非线性元件的电路中，即使是在一个正弦激励作用下， 电路中也会出现非正弦电流 。
二、非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
f( t ) f( t nT )
Hale Waihona Puke 周期函数的频谱图： 幅度频谱 Akm
A km ~ k 1 的图形
o 相位频谱
3 5 7
1 1 1 1
kω1
k ~ k1 的图形
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§3 有效值、平均值、平均功率
一、有效值
非正弦周期电流i的有效值定义为：
I
1 T
i I o Ikmcos( k t 1 k)
T 2 T 0
f ( t ) cos( k 1t ) dt
1 0
2
f ( t ) cos( k 1t ) d 1t f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 T 0
bk
T 2 T 0
f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 0
π : u 30 120 cos 1000 t 60 cos( 2000 t ) V 例1 已知 4 求电路中各表读数(有效值) 。
L1 40mH A1 L2 30 10mH A3 c d C2 25F u _ b V2
C1
25F V11 V a +
A2
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解
L1 40mH L1 C1 i i0 a a ++
3、在含有非线性元件的电路中，即使是在一个正弦激励作用下， 电路中也会出现非正弦电流 。
二、非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
f( t ) f( t nT )
Hale Waihona Puke 周期函数的频谱图： 幅度频谱 Akm
A km ~ k 1 的图形
o 相位频谱
3 5 7
1 1 1 1
kω1
k ~ k1 的图形
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§3 有效值、平均值、平均功率
一、有效值
非正弦周期电流i的有效值定义为：
I
1 T
i I o Ikmcos( k t 1 k)
T 2 T 0
f ( t ) cos( k 1t ) dt
1 0
2
f ( t ) cos( k 1t ) d 1t f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 T 0
bk
T 2 T 0
f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 0
π : u 30 120 cos 1000 t 60 cos( 2000 t ) V 例1 已知 4 求电路中各表读数(有效值) 。
L1 40mH A1 L2 30 10mH A3 c d C2 25F u _ b V2
C1
25F V11 V a +
A2
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解
L1 40mH L1 C1 i i0 a a ++
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非正弦周期电压u的有效值为 非正弦周期电压 的有效值为U = U02 +U12 +U22 +L 结论： 结论：非正弦周期量的有效值为直流分量及各次 谐波分量有效值平方和的平方根。 谐波分量有效值平方和的平方根。
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§13-3 有效值、平均值和平均功率 13- 有效值、
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§13-2 非正弦周期函数分解为傅立叶级数 13-
奇谐波函数具有镜像对称的性质， 奇谐波函数具有镜像对称的性质，即该波形移动 半周期后与横轴对称。 半周期后与横轴对称。
T f (t ) = f t + 2 故 a2k = b2k = 0 ，级数展开式中不含偶次谐波。 级数展开式中不含偶次谐波。 =b
谐波项数取得越多， 谐波项数取得越多，合成曲线就越接近于原来的 波形。参见P321页图 页图13-2 波形。参见 页图
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§13-2 非正弦周期函数分解为傅立叶级数 13-
电工技术中遇到的周期函数常具有某种对称性， 电工技术中遇到的周期函数常具有某种对称性，利 用其对称性可使系数a 的求解简化。 用其对称性可使系数 k、bk的求解简化。 偶函数具有纵轴对称的性质，即 f (t ) = f (t ) 偶函数具有纵轴对称的性质， 故 bk = 0, k = 0，级数展开式中不含 级数展开式中不含sine项(奇函数)。 项 奇函数) 奇函数具有原点对称的性质， 奇函数具有原点对称的性质，即 f (t ) = f (t ) 故 ak = 0 ，级数展开式中不含 级数展开式中不含cosine项(偶函数)。 项 偶函数)
§13-2 非正弦周期函数分解为傅立叶级数 13-
2 T 2 T ak = ∫ f (t ) cos(kω t )dt = ∫ 2T f (t ) cos(kω t )dt 1 1 0 T 2 T
=
∫ f (t)cos(kωt)d(ωt) = π ∫ π f (t)cos(kωt)d(ωt) π
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t
退
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§13-2 非正弦周期函数分解为傅立叶级数 13-
Akme
jk
Em = 1 ejkπ jkπ
(
)
2
当k为偶数时，上述结果为零；当k为奇数时，上 为偶数时，上述结果为零； 为奇数时， 为偶数时 为奇数时 述结果为
Akme
jk
4Em = jkπ
4Em Akm = k = -90° kπ 4Em 1 1 f (t ) = sin (ω1t ) + 3 sin (3ω1t ) + 5 sin (5ω1t ) +L π
1 1
0 1 1 1 1
2π
π
2 2 bk = ∫ f (t )sin (kω1t )dt = ∫ f (t )sin (kω t )dt 1 0 T T
T
T 2 T 2
= Akme
∫ f (t)sin (kωt)d(ωt) π
1
0 1 1 jk
2π
=
∫ π f (t)sin (kωt)d(ωt) π
a0 f (t ) = +[a1 cos(ω1t ) + b1 sin (ω1t )] +[a2 cos(2ω1t ) + b2 sin (2ω1t )] 2 +L+[ak cos(kω1t ) + bk sin (kω1t )] +L a0 ∞ = + ∑[ak cos(kω1t ) + bk sin (kω1t )] 2 k=1
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退
出
§13-3 有效值、平均值和平均功率 13- 有效值、
一、非正弦周期电压和电流的有效值
1 T 2 非正弦周期电流i的有效值为 非正弦周期电流 的有效值为 I = ∫0 i dt = I02 + I12 + I22 +L T I I I1 = 1m , I2 = 2m , L为基波、二次谐波等的有效值 为基波、 式中 2 2
2π 4π ωt
u Um O π 2π ωt 全波整流波形
锯齿波 矩形波
按周期性变化，但不是正弦量。 按周期性变化，但不是正弦量。
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§13-1 非正弦周期信号 13-
谐波分析法
首先应用傅立叶级数，将非正弦周期激励电压、 首先应用傅立叶级数，将非正弦周期激励电压、电 正弦周期激励电压 流或信号， 流或信号，分解为一系列频率为周期函数频率的正整倍 数的正弦量之和； 数的正弦量之和； 再根据线性电路的叠加定理， 再根据线性电路的叠加定理，分别计算每一频率的 正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和 电压分量； 电压分量； 最后，把所得分量按时域形式叠加， 最后，把所得分量按时域形式叠加，就可以得到电 路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压 非正弦周期激励下的稳态电流和电压。 路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。 它实质上是把非正弦周期电流电路的计算转化为一 它实质上是把非正弦周期电流电路的计算转化为一 系列不同频率的正弦电流电路的计算。 系列不同频率的正弦电流电路的计算。
制作群
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§13-2 非正弦周期函数分解为傅立叶级数 13一、非正弦周期函数的分解
为周期函数f(t)的周期 为自然数0， ， ， 为周期函数 的周期， 为自然数 f (t ) = f (t + nT) T为周期函数 的周期，n为自然数 ，1，2，
一个非正弦周期函数，只要满足狄里赫利条件， 一个非正弦周期函数，只要满足狄里赫利条件，都 正弦周期函数 满足狄里赫利条件 可以展开为一个收敛的傅里叶级数， 可以展开为一个收敛的傅里叶级数，即
Am k
Akme 称为频谱函数
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jk
O ω1 2ω13ω1
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kω 1
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§13-2 非正弦周期函数分解为傅立叶级数 13-
求图示周期性矩形信号f 的傅立叶级数展开式 例13-1 求图示周期性矩形信号 (t)的傅立叶级数展开式 及其频谱。 及其频谱。 f(t)在第一个周期内的表达式为 解： 在第一个周期内的表达式为
1
1 1
π
2 T = ak jbk = ∫ f (t )ejkω1t dt T 0
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k = 0 ,1, 2 , L
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§13-2 非正弦周期函数分解为傅立叶级数 13-
二、频谱图
一般所说频谱是专指幅度频谱而言：为了直观、 一般所说频谱是专指幅度频谱而言：为了直观、 幅度频谱而言 形象地表示一个周期函数分解为傅立叶级数后包含哪 些频率分量以及各分量所占“比重” 些频率分量以及各分量所占“比重”，用线段的高度 表示各次谐波振幅， Ak 的图形。 表示各次谐波振幅，画出m ~ kω1 的图形。 频谱图提供一种从谐波 的幅度和谱线密度两个方面 研究函数f 研究函数 ( t )的频率特性的 的频率特性的 图像方法。 图像方法。
其它各项( 其它各项(k >1)为高次谐波 )
a0 = A0
ak = Akm cosk bk = Akm sin k
Akm = a + b
2 k
2 k
Akme
jk
= ak jbk
bk 傅立叶级数是一 k = arctan a 个无穷三角级数 k
制作群
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第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
§13-1 13§13-2 13§13-3 13§13-4 13-
非正弦周期信号 非正弦周期函数分解为傅立叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
制作群
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退
出
理解非正弦周期电流电路的概念； 理解非正弦周期电流电路的概念；掌握非正弦周 期电流电路有效值和平均功率的计算； 期电流电路有效值和平均功率的计算；掌握应用谐波 分析法计算非正弦周期电流电路。 分析法计算非正弦周期电流电路。
f(t)
T Em f (t ) = Em 0≤t ≤ T 2 2 T T O f (t ) = Em ≤ t ≤T 2 -Em 2 T jk Akme = ak jbk = ∫ f (t )ejkω1t dt T 0 T T 2 2 Em jkω1t jkω1t jkπ 2 = ∫ Eme dt ∫T Eme dt = (1e ) 0 T 2 jkπ
不同频率的正弦电压与电流乘积的积分为零； 不同频率的正弦电压与电流乘积的积分为零；同 频率的正弦电压与电流乘积的积分不为零。 频率的正弦电压与电流乘积的积分不为零。
二、非正弦周期电压和电流的平均值
1 T 1 T Iav = ∫ i dt = ∫ Im cos(ωt )dt = 0.898I T 0 T 0
def
它相当于正弦电流经全波整波后的平均值。 它相当于正弦电流经全波整波后的平均值。 注意：对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪 注意：对于同一非正弦周期电流， 表进行测量时，会得到不同的结果， 表进行测量时，会得到不同的结果，要注意不同类型 仪表读数表示的含义。 仪表读数表示的含义。
函数是否为奇谐波函数与计时起点无关。 函数是否为奇谐波函数与计时起点无关。 适当选择计时起点有时会使函数的级数展开式简 化。