2018年秋高中数学 课时分层作业14 平面向量的实际背景及基本概念 新人教A版必修4
平面向量的基本概念
平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。
数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。
4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。
②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。
③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。
长度为1的向量称为单位向量。
9.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量A(起点)B（终点）a长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．． 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。
（2）共线向量是可以相互平行的。
例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。
高中数学 第2章 第14课时 平面向量的实际背景及基本概念 新人教A版必修4
解析：与向量O→A共线的向量有A→O，O→D，D→O，A→D，D→A，E→F，
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【思考】我们知道，两个数量可以比较大小，两个向量能比较 大小吗？
【提示】向量不能比较大小．因为向量既有大小，又有方向．
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【练习 1】 下列量中是向量的是( )
A．长度
B．体积
C．速度
D．密度
解析：向量是既有大小，又有方向的量，只有 C 选项满足． 答案：C
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知识点二 向量的几何表示 阅读教材 P75～P76 第一、二自然段，完成下列问题．
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分析：利用零向量、单位向量与平行向量逐一判断即可．
解析：
序号 正误
原因
①√
|A→B|＝|B→A|＝AB
②×
因为平行向量包括方向相同和相反两种情况
③ × 向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来
④×
0 是一个向量，而 0 是一个数量
⑤ × 向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别
⑥
×
向量，叫做单位向量．
(4)方向 相同或相反 的非零向量叫做平行向量，如果向量
a，b 平行，记作 a∥b. 规定：零向量与任意向量平行．
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【练习 2】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模是一个正实数．( × ) (2)单位向量一定相等．( × ) (3)零向量没有方向．( × )
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目标导航 1．理解向量的概念及向量的表示方法．(重点) 2．理解向量的模、零向量、单位向量的概念．(重点、易错点) 3．理解相等向量、共线(平行)向量的概念．(难点)
2018版高中数学平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4含解析
2.1平面向量的实际背景及基本概念【学习目标！1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.ET问题导学--------------------------知识点一向量的概念思考i在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小梳理向量与数量（1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量（2）数量：只有大小，没有方向的量称为数量.知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示.思考2 0的模长是多少？ 0有方向吗？答案 0的模长为0,方向任意.思考3单位向量的模长是多少？答案单位向量的模长为1个单位长度.梳理（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作X B⑵向量的字母表示：向量可以用字母a, b , c，…表示（印刷用黑体a, b, c,书写时用b , c).⑶向量AB勺大小，也就是向量AB勺长度（或称模），即有向线段AB勺长度，记作|AB.长度为0的向量叫做零向量，记作 0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 .知识点三相等向量与共线向量思考1已知A B为平面上不同两点，那么向量AB和向量BAf等吗？它们共线吗?答案因为向量昭和向量BA方向不同，所以二者不相等•又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动•由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量•因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合•思考3若a// b, b// c,那么一定有a// c吗？答案不一定•因为当b= 0时，a, c可以是任意向量•梳理⑴相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量⑵平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量①记法：向量a平行于b,记作a//b.②规定：零向量与任一向量平行•(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量•也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆•类型一向量的概念例i下列说法正确的是( )A.向量AB与向量BA勺长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等答案 A解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B, C, D都错误，A正确•故选A.反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题•跟踪训练1下列说法正确的有•(1)若| a| = | b|，则a= b或a=—b；⑵ 向量AB^CD是共线向量，贝U A B C D四点必在同一条直线上;⑶向量ABW BA 是平行向量. 答案⑶解析(1)错误.| a | = | b |仅说明a 与b 的模相等，不能说明它们方向的关系 .(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 AB &必须在同一直线上，因此点 A B 、G D 不一定在同一条直线上•⑶ 正确•向量AB 和BA 是长度相等，方向相反的两个向量 •类型二共线向量与相等向量例2如图所示，△ ABG 勺三边均不相等，E 、F 、D 分别是AG AB BC 的中点•(1)写出与EF 共线的向量；⑵ 写出与EF 的模大小相等的向量；(3)写出与EF 相等的向量•解⑴因为E F 分别是AC AB 的中点, 1所以EF 綊j BC 又因为D 是BC 的中点，所以与 吝共线的向量有F^E BD DB D C CD , B C , C B⑵ 与&模相等的向量有F E, E3D, DB D C , C D ⑶ 与EF 相等的向量有C D反思与感悟(i)非零向量共线是指向量的方向相同或相反相等的向量一定共线•跟踪训练2 如图所示,O 是正六边形 ABCDE 的中心•(1)与0A 勺模相等的向量有多少个?(2)是否存在与OA 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个?⑶与0A 共线的向量有哪些?• (2)共线的向量不一定相等，但解（1）与0A勺模相等的线段是六条边和六条半径（如OB，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有 23个.⑵ 存在.由正六边形的性质可知，BC// AO/ EF,所以与OA勺长度相等、方向相反的向量有X Q 5D F E BC 共 4 个.⑶ 由⑵ 知，BC/ OA/ EF,线段OD AD与0A在同一条直线上，所以与OA共线的向量有EBCCB X，FE, AO O D DO A D DA 共 9 个.类型三向量的表示及应用例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了 100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了 200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.（1）作出向量X B B C CD⑵求|AD.解⑴向量屁BC CD如图所示.⑵ 由题意，易知A B W CD方向相反，故A B W A[共线，•••I X B = |CD,•••在四边形ABCD^ , AB綊CD•••四边形ABC曲平行四边形，• AD= BC, •I AD = | BC = 200 km.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量 a ,每个小正方形的边长为 1.（1）试以B为终点画一个向量b,使b= a；（2）在图中画一个以A为起点的向量c ,使|c|=[ 5 ,并说出向量c的终点的轨迹是什么?解（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等（作图略）.⑵ 由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为：5的圆（作图1. 下列结论正确的个数是（ ） ①温度含零上和零下温度，所以温度是向量;②向量的模是一个正实数;③ 向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量; ④ 若 |a |>| b |，则 a >b . A. 0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若 a ， b 中有一个为零向量，则 a 与b 必共线，故a 与b 不共 线，则应均为非零向量，故③对 • 2.下列说法错误的是（ ）A. 若 a = 0,则 | a | = 0B. 零向量是没有方向的C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意的 答案 B解析 零向量的长度为 0,方向是任意的，它与任何向量都平行，所以 B 是错误的•3. 如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量 ABW DC 勺关系是（A .AB = DC C .A B >D C答案 B 解析| AB 与|DC 表示等腰梯形两腰的长度，故相等 .4. 如图所示，以1X2方格纸中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中⑴写出与XF> AE 相等的向量；当堂训练B.| AB = |D Q D.AB^DC(2)写出与忌莫相等的向量.-> -> -> -> -> -> -> ->解⑴ AF= BE= CD, AE= BD(2) DA CF, FC厂规律与方法----- -------------------------------- ■]1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用•2.共线向量与平行向量是一组等价的概念•两个共线向量不一定要在一条直线上•当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意两个特殊向量一一零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆课时作业一、选择题1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程•其中是向量的有( )A.2个B.3 个C.4个D.5个答案 C解析②③④⑤是向量•2.下列说法中正确的个数是( )①任一向量与它的相反向量不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0;③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等A.0B.1C.2D.3答案 C3.下列说法正确的是( )A.若a// b,贝U a与b的方向相同或相反B.若a / b, b / c,贝U a / cC.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D.若a= b, b = c,贝U a = c答案 D4.如图，在四边形ABC即，若云B= DC则图中相等的向量是( )A.疋与CBC .X C 与 B DD.°与 OC答案 D解析 •/ °B=OC •••四边形 ABCD 是平行四边形，••• AC BD 互相平分，••• °O= OC 5.如图，在菱形 ABCC 中，/ BA* 120° 则以下说法错误的是（ ）A.与AB 相等的向量只有一个（不含AB B •与AB 勺模相等的向量有 9个（不含AB C.BD 勺模恰为［°勺勺模的：3倍D .C BI DA 不共线答案 D解析 由于AB = D C ,因此与AB 相等的向量只有 D C ,而与AB 的模相等的向量有 D A De Ac , °B °D°D C A BC , B A 因此选项B 正确.而 Rt △ AOD 中, •••/ADO= 30°,A| D O =¥I DA ，故|DB = _.''3| DA ，因此选项 C 正确.由于CB = DA 因此cB<DA 是共线的，故选 D . 6.如图所示，四边形 ABCD CEFG CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是 （ ）A.|= | E FB .A BI °共线 C.B ［与 EH 共线 D .°= F G 答案 C7. 以下命题：①| a |与| b |是否相等与a , b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定 是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量其中，正B. OB OD确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 C解析②④错误•二、填空题8.在四边形ABCDh若AB= BC a |A B = | A[D，则四边形的形状为.答案菱形解析•/ XB=D C ••• AB綊DC•••四边形ABC[是平行四边形，•••|A B = I AD，•四边形ABCD是菱形.9.给出以下5个条件：①a = b；②| a| = | b| :③a与b的方向相反；④| a| = 0或| b| = 0:⑤a与b都是单位向量其中能使a // b成立的是.( 填序号)答案①③④解析相等向量一定是共线向量，故①能使 a / b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a / b；零向量与任一向量平行，故④成立10.如图，若四边形ABCC为正方形，△ BCE为等腰直角三角形，则：\A(1)____________________________ 图中与AB共线的向量有；⑵图中与AB相等的向量有__________ ；(3)________________________________ 图中与AB勺模相等的向量有；⑷图中与ECW等的向量有.答案⑴ 6C E3E, B A CD EB, A E E A⑵ D C E3E⑶ A A BE E B, DC C D X D DA BC CB⑷BD三、解答题11.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地•rt(1) 画出X D 5C , CB X B(2) 求B 地相对于A 地的位置向量 解 ⑴向量死 DC CB AB 如图所示•⑵由题意知AD = B e••• AD 綊BC 则四边形ABCD^平行四边形,••• AB= DC 贝U B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东 60°,长度为6千米”12.如图，已知A A = B B = C C .求证：cn 1(2) X B = —, AC=—厂& 证明(1)••• A X = B A,••I A X | = | B E? |，且点 // B 目. 又•••点 A 不在B E?上，• AA // BB ,•四边形AA B' B 是平行四边形， • I X B = | A ' ~B ' |.同理 |AC = 1 &A| , I BC = 1 —&—A|.• △ ABC2AA 'B ' C'.⑵•/四边形 AA B ' B 是平行四边形， • AB// ———A，且 | AB = |———A|,••• AB=———.同理可证 AC= A——.13.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A, B 点C 为小正方形的顶点，且|AC = '5.(1)画出所有的向量(2)求|B C|的最大值与最小值.解(1)画出所有的向量A C如图所示(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C或C2时，| B C取得最小值，：12+ 22= ：5;②当点C位于点G或C6时，| B C取得最大值，：42+ 52= 41.所以| BC的最大值为，41，最小值为.''5.四、探究与拓展14.设a o，b o是两个单位向量，则下列结论中正确的是①a o= b o；②a o=—b o；③| a o| + | b o| = 2；④a。
平面向量的实际背景和基本概念
1200公里
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
一、向量的物理背景的概念
定义：既有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素： 大小，方向 2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能
b
a
c
d
e
小结：
知识要点
向量
向量的概念 向量的关系 单 位 向 量 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
向 量 的 定 义
表 零 示 向 方 量 法
作业：
教材习题2.1 1， 2 ， 3 题
例1. 如图，试根据图 中的比例尺以及三地 的位置，在图中分别
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
P
（四）向量间的关系----相等向量和相反向量 相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量。记作：a d
a 相反向量： 长度相等且方向相反的向量叫做 C B 思考：单位向量和单位向量一定相等吗？ 相反向量。记作： b a c d c AB DC a b d c
带着问题奔向课堂
Questioning
向量与数量的区别 向量与数量的区别
向量用什么来表示？
相等向量相反向量
认真听讲
仔细思考 积极发言
知识 方法 技能
2.1 平面向量的实际背景 及基本概念
引例
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
平面向量的实际背景及基本概念
向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满 足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外， 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。
课时作业4：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2．1 平面向量的实际背景及基本概念一、基础达标1．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同；②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →；③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中，正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．2．下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小答案 D解析 向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小．3．给出下列五个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形；④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k .其中不正确的命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 不正确的是①②③.4．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( )A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量 答案 D解析 这四个向量的模相等．5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1，其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③ 答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0.6.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →答案 D解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.二、能力提升8．下列结论中，正确的是( )A ．2 010 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B ．若O 是直线l 上的一点，单位长度已选定，则l 上有且仅有两个点A ，B ，使得OA →，OB→是单位向量C ．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D ．一个从A 点向东走500米到达B 点，则向量AB →不能表示这个人从A 点到B 点的位移答案 B解析 一个单位长度取作2 010 cm 时，2 010 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；B 正确；C 中两向量为平行向量；D 选项的AB →表示从点A 到点B 的位移．9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，△CBE 为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB →共线的向量有_____________________________________；(2)图中与AB →相等的向量有____________；(3)图中与AB →模相等的向量有____________．答案 (1)BA →，BE →，EB →，AE →，EA →，CD →，DC →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示：(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.11．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．(注：至少转变两次方向)(1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？解 (1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，故有：n (180°－α)＝(n －2)180°.∴即α＝360°n，n 为不小于3的整数． 12．如图平面图形中，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→.证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′綊BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.∵集合中元素具有互异性，∴集合T 中的元素共有12个.。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念说课稿 新人教A版必修4
平面向量的实际背景及基本概念各位同仁，大家好！我说课的内容是《平面向量的实际背景及基本概念》，选自人教A版数学《必修4》第二章第一节.下面我将从课标要求、教材分析、学情分析、教学目标、教学理念、教学方法和教学过程这七个方面来进行说课。
一、课标要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
二、教材分析（一）本节的地位和作用向量是近代数学最重要的和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的桥梁，是解决几何问题的有力工具，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。
向量有着丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。
向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念。
向量集数与形于一身，是数形结合的重要体现。
向量作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活的问题，因此它在整个高中数学学习过程中占有特别重要的地位。
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。
本节课重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。
（二）本节的主要内容向量就是从物理背景中抽象概括出来的数学概念，因此把本节课的主要内容确定为向量的概念和向量的表示方法。
（三）教学重点、难点分析掌握向量的概念，要抓住向量的本质——大小和方向.尽管学生有着相对比较丰富的物理素材，但对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以平面向量的概念是本节课的重点也是难点，同时，向量的几何表示也是本节课的重点。
教学重点：向量的概念及向量的表示方法.教学难点：向量的概念和向量与有向线段的区别.三、学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。
还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。
最新必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)
平面向量的实际背景及基本概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一 向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题． ②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．思考 已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有________________，是向量的有________________．答案 ②④⑤⑨⑩ ①③⑥⑦⑧知识点二 向量的表示方法(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c ，…，表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →，b →，c →)．(3)向量AB →的大小：也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．思考 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．答案 单位圆知识点三 相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b .②规定：零向量与任一向量平行．(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．思考 向量平行具备传递性吗？答案 向量的平行不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，这是因为，当b ＝0时，a 、c 可以是任意向量，但若b ≠0，必有a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．题型一 向量的基本概念例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0；⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确．②AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a ＝b ，则|a |＝|b |且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |且b 与c 方向相同，则a 与c 方向相同且模相等，故a ＝c ，⑤正确．若b ＝0，由于a 的方向与c 的方向都是任意的，a ∥c 可能不成立；b ≠0时，a ∥c 成立，故⑥不正确．跟踪训练1 下列说法正确的有________．(1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；(2)向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上；(3)向量AB →与BA →是平行向量；(4)任何两个单位向量都是相等向量．答案 (3)解析 (1)错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上，因此点A 、B 、C 、D 不一定在同一条直线上．(3)正确．向量AB →和BA →是长度相等，方向相反的两个向量．(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．题型二 向量的表示及应用例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．题型三 平行向量与共线向量例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点， 所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.跟踪训练3 如图，已知四边形ABCD 为▱ABCD ，则(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与AB →共线的向量．解 (1)与OA →的模相等的向量有AO →，OC →，CO →三个向量．(2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.对向量的有关概念理解不清致误例4下列说法正确的个数是()①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．A．1 B．2 C．3 D．4错解向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．答案B或C或D错因分析对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．正解事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．答案 A1．下列说法错误的是()A ．若a ＝0，则|a |＝0B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的2．下列说法正确的是( )A ．若|a |>|b |，则a >bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a 与b 共线D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC →B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →>DC →D.AB →<DC →4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量；(2)写出与AD →模相等的向量．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点且CN →＝MA →，求证：四边形DNBM 是平行四边形．一、选择题1．下列条件中能得到a ＝b 的是( )A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0，b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝02．下列说法正确的是( )A ．若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c3．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( )A ．总成立B ．当a ≠0时成立C ．当b ≠0时成立D ．当c ≠0时成立 4．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1，其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③6．判断下列命题中不正确的是命题个数为( )①若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；②若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；③对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；④向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．若对任意向量b ，均有a ∥b ，则a 为________．8．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)9．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．10．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________.三、解答题11．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的位置向量．12．如图，已知AA ′—→＝BB ′—→＝CC ′—→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′——→，AC →＝A ′C ′———→.13．O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2)找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？当堂检测答案1．答案 B解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B 是错误的．2．答案 C解析 A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a |>|b |，但a 与b 的方向不确定，不能说a >b ，A 不正确；同理B 错误；D 中，a ≠b ，a 可与b 共线．故选C.3．答案 B解析 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．4.解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →.(2)DA →，CF →，FC →.5．证明 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．当堂检测答案一、选择题1．答案 D2．答案 D3．答案 C解析 当b ＝0时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行．4．答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →.5．答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0.6．答案 C解析 ①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．②不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．③正确．∵|a |＝|b |，且a 与b 同向．由两向量相等的条件可得a ＝b .④不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不确定．二、填空题7．答案 零向量8．答案 ①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．9．答案 菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC∴四边形ABCD 是平行四边形，∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．10．答案 2 3解析 易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.三、解答题11．解 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．12．证明 (1)∵AA ′—→＝BB ′—→，∴|AA ′—→|＝|BB ′—→|，且AA ′—→∥BB ′—→.又∵A 不在BB ′—→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′———→|.同理|AC →|＝|A ′C ′———→|，|BC →|＝|B ′C ′———→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′———→，且|AB →|＝|A ′B ′———→|.∴AB →＝A ′B ′———→.同理可证AC →＝A ′C ′———→.13．解 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →.(2)与AO →共线的向量有BF →，CO →，DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.(4)向量AO →与CO →不相等，因此它们的方向不相同．班级工作计划15机电班，作为一个全男生班，管理上要特别对待。
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课时分层作业(十四) 平面向量的实际背景及基本概念
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题 1．下面几个命题： (1)若a ＝b ，则|a |＝|b |. (2)若|a |＝0，则a ＝0. (3)若|a |＝|b |，则a ＝b .
(4)若向量a ，b 满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
|a |＝|b |，
a ∥
b ，则a ＝b .
其中正确命题的个数是( )
【导学号：84352175】
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
B [(1)正确．(2)错误．|a |＝0，则a ＝0.(3)错误．a 与b 的方向不一定相同．(4)错误．a 与b 的方向有可能相反．]
2．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )
A ．单位圆
B ．一段弧
C ．线段
D ．直线
A [平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．] 3．如图217，在⊙O 中，向量O
B →，O
C →，AO →
是( )
图217
A ．有相同起点的向量
B ．共线向量
C ．模相等的向量
D ．相等的向量
C [由圆的性质可知|OB →|＝|OC →|＝|AO →
|.]
4．以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，
一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量的模相等．其中，正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
D [①正确；②错误；终点相同方向不一定相同或相反；③正确；④正确．] 5．如图218所示，在正三角形ABC 中，P 、Q 、R 分别是AB 、BC 、AC 的中点，则与向量PQ →
相等的向量是( )
图218
A.PR →与QR →
B.AR →与RC →
C.RA →与CR →
D.PA →与QR →
B [向量相等要求模相等，方向相同，因此AR →与R
C →都是和PQ →
相等的向量．] 二、填空题
6．如图219，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，则与BC →
相等的向量有________.
【导学号：84352176】
图219
AD →
，DE → [由平行四边形的性质和相等向量的定义得BC →＝AD →，BC →＝DE →
.]
7．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：
①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1，其中正确的是________(填序号)． ③ [①错误．|a |＝1
2
时，|a |＜|b |；②错误．a 与b 的方向关系无法确定；③正确，
④错误．|b |＝1.]
8．如图2110，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量OA →
共线的向量共有________个．
图2110
9 [由正六边形的性质可知与OA →共线的向量有AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，EF →，FE →，BC →，CB →
共9个．]
三、解答题
9．O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图2111所示的向量中：
图2111
(1)分别找出与AO →，BO →
相等的向量； (2)找出与AO →
共线的向量； (3)找出与AO →
模相等的向量； (4)向量AO →与CO →
是否相等？
【导学号：84352177】
[解] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →
. (2)与AO →共线的向量有：BF →，CO →，DE →.
(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →. (4)向量AO →与CO →
不相等，因为它们的方向不相同．
10．(教师用书独具)如图2112的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →
|＝ 5.
图2112
(1)画出所有的向量AC →
； (2)求|BC →
|的最大值与最小值．
[解] (1)画出所有的向量AC →
，如图所示．
(2)由(1)所画的图知， ①当点C 位于点C 1或C 2时， |BC →|取得最小值12＋22
＝5； ②当点C 位于点C 5或C 6时， |BC →|取得最大值42＋52
＝41. 所以|BC →
|的最大值为41，最小值为 5.
[冲A 挑战练]
1．四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 都是全等的菱形，HE 与CG 相交于点M ，则下列关系不一定成立的是( )
图2113
A ．|A
B →|＝|EF →| B.AB →与FH →
共线 C.BD →与EH →
共线 D.DC →与EC →
共线
C [∵三个四边形都是菱形，∴|AB →|＝|EF →|，AB ∥C
D ∥FH ，故AB →与FH →
共线．又三点D ，
C ，E 共线，∴DC →与EC →
共线，故A ，B ，D 都正确．故选C.]
2．(教师用书独具)若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →
，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形
D ．等腰梯形
C [因为BA →＝C
D →
，所以BA ∥CD 且BA ＝CD 所以四边形ABCD 为平行四边形． 又因为|AB →|＝|AD →
|， 所以四边形ABCD 为菱形．]
3．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →
是共线向量，则
m ＝________.
0 [因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB →与BC →不共线．又因为m ∥AB →且m ∥BC →
，所以m ＝
0.]
4．(教师用书独具)如图2114，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的1
3处相交的两个全等
的等边三角形，设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a
3
的若干个向量，则
图2114
(1)与向量GH →
相等的向量有________；
(2)与向量GH →
共线，且模相等的向量有________； (3)与向量EA →
共线，且模相等的向量有________.
【导学号：84352178】
(1)LB ′→，HC → (2)EC ′→，LE →，LB ′→，GB →，HC → (3)EF →，FB →，HA ′→，HK →，KB ′→
[向量相等⇔向量方向相同且模相等．
向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．]
5．已知飞机从A 地按北偏东30°方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．画图表示向量AB →，BC →，CD →，并指出向量AD →
的模和方向.
【导学号：84352179】
[解] 以A 为原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正
方向建立直角坐标系．
据题设，B 点在第一象限，C 点在x 轴正半轴上，D 点在第四象限，向量AB →，BC →，CD →
如图所示，
由已知可得，
△ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km. 又∠ACD ＝45°，CD ＝1 000 2 km ， 所以△ADC 为等腰直角三角形， 所以AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°.
故向量AD →
的模为1 000 2 km ，方向为东南方向．。