八年级数学培优训练题(二)--干东红(无答案) 10.9
八年级数学培优题精选18例
八年级数学培优题精选18例（含答案）例题1、如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B' 处，点A 对应点为A' ，且B'C = 3 ，则AM 的长是（B）A、1.5B、2C、2.25D、2.5例题2、如图，一只蚂蚁沿着边长为2 的正方体表面从点A 出发，经过三个面爬到点B ，如果它运动的路径是最短，则AC 的长度是多少？答案：AC =2√10 / 3。
例题3、如图所示，是由8 个全等的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成一个大正方形，如果最大的正方形的面积是25 ，最小正方形的面积为1 ，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则a^2 - b^2 是多少？答案：a^2 - b^2 = 5 。
例题4、如图，一辆小汽车在一条城市街路上沿东西方向行驶，某一时刻刚好行驶到距车速检测仪A 点距离为40 米的C （位于A 点北偏东30°处）处，过了3 秒钟，到达B 点，（位于A 点北偏西45°）此时小汽车距车速检测仪间的距离为60 米，若规定小汽车在城街路上行驶的速度不得超过25 米/秒，请问这辆汽车是否超速？解：过点A 作AD⊥BC 于点D ，由题意知：∠DBA = 45°，∴BD = AD ，∵AB = 60 米，∴BD = √（AB^2 - AD^2）= 30√2 米，由题意知：∠DAC = 30°，AC = 40 米，∴DC = 1/2 AC = 20 米，∴BC = BD + CD = （30√2 + 20）米，∴v = （30√2 + 20）÷3 ≈24 米/秒< 25="" 米/秒="">∴这辆汽车不超速。
例题5、实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简后为（A）A、7B、-7C、2a - 15D、无法确定例题6、对实数a , b ，定义新运算☆如下：a ☆b =例如2 ☆3 = 2^(-3) = 1/8 , 计算[ 2 ☆( -4 ) ] ×[ (-4) ☆(-2) ] = ?答案：1 。
最新八年级上数学培优试题及答案解析.docx
最新八年级上数学培优试题及答案解析11.1 与三角形有关的 段一三角形个数的确定1．如 ， 中三角形的个数 （）A ．2B ．18C ．19D ．202．如 所示，第1 个 中有 1 个三角形，第2 个 中共有 5 个三角形，第3 个 中共有9 个三角形，依此推， 第 6 个 中共有三角形 __________个．3． 材料，并填表：在△ ABC 中，有一点 P 1，当 P 1、A 、B 、C 没有任何三点在同一直 上 ， 可构成三个不重叠 的小三角形（如 ）．当△ABC 内的点的个数增加 ，若其他条件不 ，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎 ？完成下表：△ABC 内点的个数 1 2 3⋯ 1007构成不重叠的小三角形的个数 3 5 ⋯二 根据三角形的三 不等关系确定未知字母的范 4．三角形的三 分 3，1－2 ， 8， a的取 范 是（ ）aA ．－ 6＜a ＜－ 3B ．－ 5＜ a ＜－ 2C ． 2＜ a ＜ 5D ． a ＜－ 5 或 a ＞－ 25. 在△ ABC 中，三 分 正整数 a 、 b 、 c ，且 c ≥ b ≥a ＞ 0，如果 b =4， 的三角形共有 ______个．6．若三角形的三 分 是2、 x 、 8，且 x 是不等式x2 ＞ 1 2x 的正整数解， 求第三 x 的 ．2 3状元笔【知 要点】1．三角形的三 关系三角形两 的和大于第三 ，两 的差小于第三 ． 2．三角形三条重要 段(1) 高：从三角形的 点向 所在的直 作垂 ， 点与垂足之 的 段叫做三角形的 高．(2) 中 ： 接三角形的 点与 中点的 段叫做三角形的中 ．(3) 角平分 ：三角形内角的平分 与 相交， 点与交点之 的 段叫做三角形的角平分 ．3．三角形的 定性1．以“是否有相等”，可以将三角形分两：三都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分三：三都不相等的三角形、等腰三角形、等三角形，等三角形是等腰三角形的一种．2．三角形的高、中、角平分都是段，而不是直或射．【方法技巧】1．根据三角形的三关系判定三条段能否成三角形，要看两条短之和是否大于最．2．三角形的中将三角形分成两个同底等高的三角形，两个三角形面相等．参考答案 :1． D 解析：段上有 5 个点，段与点C成 5×（ 5－ 1）÷ 2=10 个三角形；同，段上也有AB AB DE5 个点，段DE与点C成 5×（ 5－ 1）÷ 2=10 个三角形，中三角形的个数20 个．故 D．2． 21 解析：根据前的具体数据，再合形，不：后的比前多4，若把第一个形中三角形的个数看作是1=4－ 3，第n个形中，三角形的个数是4n－ 3．所以当 n=6 ，原式 =21．3．解：填表如下：△ABC内点的个数123⋯1007构成不重叠的小三角形的个数357⋯2015解析：当△ ABC内有1个点，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋ 1；当△ABC内有 2 个点，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋ 1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之的关系是：三角形内有 n 个点，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有 3 个点，三角形的个数是3×2＋ 1=7；当有1007 个点，三角形的个数是1007×2＋ 1=2015．4． B解析：根据意，得8－ 3＜ 1－2 ＜ 8＋3，即 5＜1－ 2 ＜ 11，解得－ 5＜＜－ 2．故 B．a a a5． 10解析：∵在△ ABC中，三分正整数a、 b、c，且 c≥ b≥ a＞0，∴ c＜ a+b．∵ b=4，∴a=1，2，3，4． a=1， c=4； a=2， c=4或5； a=3， c=4，5，6； a=4， c=4，5，6，7．∴ 的三角形共有1+2+3+4=10 个．6．解：原不等式可化3（x+2）＞－ 2（ 1－ 2x），解得x＜8．∵x 是它的正整数解，∴x 可取1，2，3，5，6，7．再根据三角形三关系，得6＜x＜ 10，∴x=7．11.2 与三角形有关的角一利用三角形的内角和求角度1．如，在△ ABC 中，∠ ABC的平分与∠ ACB 的外角平分相交于 D 点，∠ A=50°，∠ D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°2．如，已知：在直角△ABC 中，∠ C=90°， BD平分∠ ABC且交 AC于 D. 若 AP平分∠ BAC 且交 BD于 P，求∠BPA 的度数．2/173．已知：如图 1，线段 AB、 CD相交于点 O，连接 AD、 CB，如图 2，在图 1 的条件下，∠ DAB 和∠ BCD的平分线AP 和 CP相交于点 P，并且与 CD、 AB分别相交于 M、 N．试解答下列问题：（1）在图 1 中，请直接写出∠ A、∠ B、∠ C、∠D 之间的数量关系： __________ ；（2）在图 2 中，若∠ D=40°，∠ B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图 2 中∠D和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠ D、∠B 之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ ABD，∠ ACD 的角平分线交于点P，若∠ A=50°，∠ D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20° C ．25° D ．30°5．如图，△ ABC 中， CD是∠ ACB的角平分线，C E是 AB边上的高，若∠ A=40°，∠ B=72°．（1）求∠ DCE的度数；（2）试写出∠ DCE 与∠ A、∠B 的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠ BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点 D与点 A 分别在线段 BC的两侧，猜想∠ BDC、∠ A、∠ ABD、∠ ACD这 4 个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180°． 2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外 角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角． 2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余” ．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案 :1．C 解析：∵∠ ABC 的平分线与∠A CB 的外角平分线相交于点 D ，∴∠ 1= 1 ∠ACE ，∠2= 1∠ABC ．又∵∠ D=∠1 2 2－∠ 2， ∠A=∠ACE －∠ ABC ，∴∠ D=1∠A=25°．故选C ．22．解：（法 1） 因为∠ C=90°，所以∠ BAC ＋∠ ABC=90°，所以 1( ∠BAC ＋∠ ABC)=45°.2因为 BD 平分∠ ABC ， AP 平分∠ BAC ， ∠ B AP=1∠BAC ，∠ ABP= 1∠ABC ，22即∠ BAP ＋∠ ABP=45°，所以∠ APB=180°－ 45°=135°.（法 2）因为∠ C=90°，所以∠ BAC ＋∠ ABC=90°， 所以 1( ∠BAC ＋∠ ABC)=45°，2因为 BD 平分∠ ABC ， AP 平分∠ BAC ，1 ∠ABC ，∠ PAC=1 ∠DBC= ∠BAC ，所以∠ DBC ＋∠ PAD=45°.22所以∠ APB=∠PDA ＋∠ PAD =∠DBC ＋∠ C ＋∠ PAD=∠DBC ＋∠ PAD ＋∠ C =45°＋ 90°=135°. 3．解：（ 1）∠ A+∠D=∠B+∠C ；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P ， ∠2+∠P=∠4+∠B ， ∴∠ 1－∠ 3=∠P －∠ D ， ∠2－∠ 4=∠B －∠ P ， 又∵ AP 、CP 分别平分∠ DAB 和∠ BCD ，∴∠ 1=∠2，∠ 3=∠4，∴∠ P －∠ D=∠B －∠ P ，即 2∠P=∠B+∠D ，∴∠ P=（40°+30°）÷ 2=35°． （ 3）2∠P=∠B+∠D ． 4．B 解析：延长 DC ，与 AB 交于点 E ．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ ACD －∠ ABD=60°．设 AC 与 BP 相交于点O ，则∠ AOB=∠POC ，∴∠ P+ 1 ∠ACD=∠A+ 1∠ABD ，即∠ P=50°－1（∠ ACD －∠ ABD ）=20°．故选B ．2 2 25．解：（ 1）∵∠ A=40°，∠ B=72°，∴∠ ACB=68°．∵ CD平分∠ ACB ，∴∠ DCB= 1∠ACB=34°．2∵CE 是 AB 边上的高，∴∠ ECB=90°－∠ B=90°－ 72°=18°．∴∠ DCE=34°－ 18°=16°． （2）∠ DCE= 1（∠ B －∠ A ）．26．（ 1）证明：延长 BD 交 AC 于点 E ，∵∠ BEC 是△ ABE 的外角，∴∠ BEC=∠A+∠B ． ∵∠ BDC 是△ CED 的外角，∴∠ BDC=∠C+∠DEC =∠C+∠A+∠B ．（ 2）猜想：∠ BDC+∠ ACD+∠A+∠ ABD=360°．证明：∠ BDC+∠ ACD+∠A+∠ ABD =∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠ 3+∠2+∠1） +（∠ 6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．11.3 多边形及其内角和专题一 根据正多边形的内角或外角求值 1．若一个正多边形的每个内角为 150°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．9 2．一个多边形的每一个外角都等于 36°，则该多边形的内角和等于 ________°． 3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的 9 倍，求这个多边形的边数．专题二求多个角的和4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720°5．如图，∠ A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F= _________°．6．如图，求：∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．状元笔记【知识要点】1．多边形及相关概念多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和与外角和内角和： n 边形的内角和等于(n － 2) · 180°．外角和：多边形的外角和等于360°．【温馨提示】1．从 n 边形的一个顶点出发，可以做 (n － 3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n － 2) 个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于 360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．参考答案 :1． A 解析：∵每个内角为 150°，∴每个外角等于 30°．∵多边形的外角和是 360°，360°÷ 30°=12，∴这个正多边形的边数为 12．故选 A．2． 1440 解析：∵多边形的边数为 360°÷ 36° =10，多边形的内角为 180°－ 36° =144°，∴多边形的内角和等于 144°× 10=1440°．3．解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n － 2) ·180° =9× 360°，解得 n=20．所以这个多边形的边数为20．4． B解析：∵∠ 1=∠C+∠D，∠ 2=∠E+∠F，∴∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．5．360°解析：在四边形BEFG中，∵∠ EBG=∠C+∠D，∠B GF=∠A+∠ABC，∴∠ A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．6．解：∵∠ POA 是△ OEF的外角，∴∠ POA=∠E+∠F．同理：∠ BPO=∠ D+∠C．∵∠ A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，∴∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．第十二章全等三角形12.1 全等三角形12.2 三角形全等的判定专题一三角形全等的判定1．如图， BD是平行四边形ABCD的对角线，∠ABD的平分线 BE交 AD于点 E，∠CDB的平分线DF交 BC于点 F．求证：△A BE≌△ CDF．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合）， F， E 分别是 AD及其延长线上的点，CF∥BE.请你添加一个条件，使△BDE≌△ CDF ( 不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母) ，并给出证明．（1）你添加的条件是： __________；（2）证明：3．如图，△ ABC 中，点 D 在 BC上，点 E 在 AB上， BD=BE，要使△ ADB≌△ CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ ADB≌△ CEB 的条件，并给出证明；（2）在（ 1）中所给出的条件中，能使△ ADB≌△ CEB 的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号． __________________．专题二全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC中，∠ ABC=45°， AC=4， H是高 AD和 BE的交点，则线段BH的长度为（）A．6B．4C．23D．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点 D落在点 E处， AE的延长线交CB的延长线于点M， EB的延长线交AD的延长线于点N.求证： AM＝ AN.AEMB D CN8/176．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接 AE．求证： AE∥ BC．专题三全等三角形在实际生活中的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ ABC 与∠ DFE的度数和是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．有一座小山，现要在小山 A、B 的两端开一条隧道，施工队要知道 A、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC并延长到 D，使 CD=CA，连接 BC并延长到 E，使 CE=CB，连接 DE，那么量出 DE的长，就是 A、 B 两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽 AB，可过点 A 作直线 AC⊥AB，再由点 C观测，在 BA 延长线上找一点 B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出 AB′的长，就知道 AB 的长，对吗？为什么？状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等( 简写成“边边边”或“ SSS”) ．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等( 简写成“边角边”或“ SAS” ) ．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等( 简写成“角边角”或“ ASA” ) ．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 ( 简写成“角角边”或“ AAS” ) ．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等( 简写成“斜边、直角边”或“HL” ) ．【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．3．“ HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（ 1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（ 2）对应顶点所对应的边是对应边；（ 3）公共边（角）是对应边（角）；（ 4）对顶角是对应角；（ 5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△AB C≌△ DEF，说明 A 与 D， B 与 E， C 与 F 是对应点，则∠ABC与∠ DEF是对应角，边AC与边 DF是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：找夹角—— SAS已知两边找另一边—— SSS边为角的对边——找任一角——AAS找夹角的另一边——SAS已知一边一角已知两角边为角的邻边找夹边的另一角——ASA找边的对角—— AAS找夹边—— ASA找任一边—— AAS参考答案 :1．证明：平行四边形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，AB∥CD，∴∠ ABD=∠CDB．∵∠ ABE= 1∠ ABD，∠ CDF=1∠CDB，∴∠ ABE=∠ CDF．22在△ ABE与△ CDF中，A CAB CDABECDF∴△ ABE≌△ CDF．2．解：（ 1） BD DC ( 或点D是线段BC的中点 ) ，FD ED ，CF BE 中任选一个即可﹒（ 2）以 BD DC 为例进行证明：∵ CF∥ BE，∴∠ FCD﹦∠ EBD．又∵ BD DC ，∠FDC=∠EDB，∴△ BDE≌△ CDF．3．解：（ 1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明．证明：∵ AE=CD， BE=BD，∴A B=CB．又∠ ABD=∠CBE， BE=BD，∴△ ADB≌△ CEB．（ 2）③④．4． B解析：∵∠ ABC=45°，AD⊥ BC，∴ AD=BD，∠ ADC=∠ BDH，∠AHE=∠ BHD=∠ C．∴△ ADC≌△ BDH．∴ BH=AC=4．故选B．5．证明：如图所示，A32 1E4 6 7MB5D CN∵△ AEB由△ ADC旋转而得，∴△ AEB≌△ ADC.∴∠ 3＝∠ 1，∠ 6＝∠ C．∵ AB＝AC，AD⊥ BC，∴∠ 2＝∠ 1，∠7＝∠C. ∴∠ 3＝∠ 2，∠ 6＝∠ 7．∵∠ 4＝∠ 5，∴∠ABM＝∠ABN．又∵ AB＝AB，∴△ AMB≌△ ANB．∴ AM＝ AN．6．证明：∵△ABC和△ EDC是等边三角形，∴∠ BCA＝∠ DCE＝60°．∴∠ BCA－∠ ACD＝∠ DCE－∠ ACD，即∠ BCD＝∠ ACE．在△ DBC和△ EAC中， BC＝AC，∠ BCD＝∠ ACE， DC＝ EC，∴△ DBC≌△ EAC（SAS）．∴∠ DBC＝∠ EAC．又∵∠ DBC＝∠ ACB＝60°，∴∠ ACB＝∠ EAC．∴ AE∥ BC．7．B解析：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，又∵ BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．∴∠ ABC=∠ DEF，∵∠ DEF+∠ DFE=90°，∴∠ ABC+∠DFE=90°．8．解：在△ ABC 和△ CED中， AC=CD，∠ ACB=∠ECD， EC=BC，∴△ ABC≌△ CED．∴ AB=ED．即量出DE的长，就是A、 B 两端的距离．9．解：对．理由：∵ AC⊥AB，∴∠ CAB=∠CAB′=90°.在△ ABC和△ AB′C中，∠ACB∠ACB′，AC AC，∠CAB∠CAB′，∴△ ABC≌△ AB′C（ ASA）．∴ AB′=AB．第十三章轴对称13.1 轴对称13.2 画轴对称图形专题一轴对称图形1．下列图案是轴对称图形的是（）2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________ ．（答案不唯一）3．如图，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图，△ ABC 和△ ADE关于直线l 对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；② l 垂直平分DB；③∠ C=∠E；④ BC 与 DE的延长线的交点一定落在直线l 上．其中错误的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，∠ A=90°， E 为 BC上一点， A 点和 E 点关于 BD对称， B 点、 C 点关于 DE对称，求∠ AB C 和∠C的度数．6．如图，△ ABC 和△ A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接 A、 A′，直线 m与线段 AA′有什么关系？（3）延长线段 AC与 A′C′，它们的交点与直线 m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图，在Rt△ABC中，∠ ACB=90°， AB的垂直平分线DE交于 BC的延长线于F，若∠ F=30°， DE=1，则EF的长是（）A．3B．2C．3D．18．如图，在△ ABC 中， BC=8，AB 的垂直平分线交BC于 D，AC的垂直平分线交BC与 E，则△ ADE的周长等于________．9．如图， AD⊥BC， BD=DC，点 C在 AE 的垂直平分线上，那么线段 AB、 BD、 DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P（－ 2， 3）关于 y 轴的对称点为Q（ a， b），则 a+b 的值是（）A．1 B．－1C．5D．－511．已知 P1点关于 x 轴的对称点 P2（ 3－ 2a，2a－ 5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则 P1点的坐标是 __________ ．状元笔记【知识要点】1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 ( 成轴 ) 对称，这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4．关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标的特点点 (x ， y) 关于 x 轴对称的点的坐标为(x ，－ y) ；点 (x ， y) 关于 y 轴对称的点的坐标为( － x， y) ；【温馨提示】1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．参考答案 :1． D解析：∵将D图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D图形是轴对称图形，故选 D．2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3．如图所示：4． A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ ABC和△ ADE关于直线l对称，则△ ABC≌△ ADE，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l 垂直平分DB，∠C=∠E，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC与 DE的延长线的交点一定落在直线l 上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A．5．解：根据题意 A 点和 E 点关于 BD对称，有∠ ABD=∠EBD，即∠ ABC=2∠ABD=2∠EBD．B 点、C 点关于 DE对称，有∠ DBE=∠BCD，∠ ABC=2∠BCD．且已知∠ A=90°，故∠ ABC+∠BCD=90°．故∠ ABC=60°，∠ C=30°．6．解：（ 1）对称点有 A 和 A' ，B 和 B' ，C 和 C' ．（2）连接 A、A′，直线 m是线段 AA′的垂直平分线．（3）延长线段 AC与 A′C′，它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线 m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．7． B 解析：在 Rt△FDB中，∵∠ F＝30°，∴∠ B＝60°．在 Rt△ABC中，∵∠ ACB＝90°，∠ ABC＝60°，∴∠ A＝30°．在 Rt△中，∵∠ A＝30°， DE＝ 1，∴ AE＝ 2．连接 EB. ∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴ EB AED＝AE＝2. ∴∠ EBD＝∠ A＝30°．∵∠ ABC＝60°，∴∠ EBC＝30°．∵∠ F＝30°，∴ EF＝EB＝ 2．故选 B．ADEF C B8． 8解析：∵ DF是AB的垂直平分线，∴DB=DA．∵ EG是 AC的垂直平分线，∴EC=EA．∵B C=8，∴△ ADE的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8．9．解： AB+BD=DE．证明：∵ AD⊥BC， BD=DC，∴ AB=AC．∵点 C 在 AE的垂直平分线上，∴AC=CE．∴AB=CE．∴AB+BD=CE+DC=DE．10． C解析：关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2， b=3．∴ a+b=5．解得 1.5 ＜a＜ 2.5 ，又因为 a 必须为整数，∴a=2．∴点 P2（－ 1，－ 1）．∴P1点的坐标是（－1，1）．第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法专题一幂的性质1．下列运算中，正确的是（）A． 3a2－a2＝ 2 B．(a2)3＝a9C．a3?a6＝a9D．(2a2)2＝2a4 2．下列计算正确的是（）A．x3·x22x6B． x 4· x 2x8C ．( x2)3x6D．( x3)2x53．下列计算正确的是（）22462362126212 A ． 2a＋a＝ 3a B．a÷a＝a C．a·a＝a D．( －a ) ＝a专题二幂的性质的逆用4．若 2a=3， 2b=4，则 23a+2b等于（）A ． 7B．12 C． 432D．1085．若 2ｍ=5， 2ｎ =3，求 23ｍ+2ｎ的值．6．计算： (1)( － 0.125) 2014× ( － 2) 2014× ( －4) 2015；(2)(－ 1 )2015×811007．9专题三整式的乘法7．下列运算中正确的是（）A．3a 2a5a2B． (2a b)(a b)2a2ab b2C．2a2a32a6D． (2 a b)24a 2b28．若（ 3x2－ 2x+1）（x+b）中不含x2项，求 b 的值，并求（3x2－ 2x+1）（x+b）的值．9．先阅读，再填空解题：（x+5）（ x+6）=x2+11x+30；2（x－5）（ x－6）=x －11x+30；（x+5）（ x－6）=x2－ x－30．（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________．（2 ）根据以上的规律，用公式表示出来：________．（3）根据规律，直接写出下列各式的结果：10．计算：（3x3y－ 18x2y2+x2y）÷（－ 6x2y） =_______ _．11．计算：（24b7126132 3a9a b ）（3ab ）．12．计算：（a－b）3÷（b－a）2+（－a－b）5÷（a+b）4．。
八年级数学暑期培优(二)
八年级数学暑期培优（二） 一、选择题： 1．要使分式11x +有意义，则x 必须满足的条件是 A ．x ≠1 B ．x ≠－1 C ．x ≠0 D ．x >1 2．下列各式化简正确的是 A ．13455= B ．21233= C ．1316224= D ．234323= 3．反比例函数1m y x-=的图象在第一、第三象限，则m 可能取的一个值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．若a 、b 为实数，且满足22a b -+-，则b －a 的值为A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对5．下列说法中错误的是A ．所有的等边三角形都相似B ．所有的等腰三角形都相似C ．有一对锐角相等的两个直角三角形相似D ．全等的三角形一定相似6．若关于x 的方程1011m x x x --=--有增根，则m 的值是 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．37．下列命题中，真命题是A ．四边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分D ．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质8．已知反比例函数2y x=-，下列结论不正确的是 A ．图象经过点（－2，1） B ．图象在第二、四象限C ．当x <0时，y 随着x 的增大而增大D ．当x >－1时，y >2 9．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设A 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为A ．108010801215x x =+- B ．108010801215x x =-- C ．108010801215x x =-+ D ．108010801215x x =++ 10．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE 23AE EC =AB AC 231325352a b b ÷k y x =1432311x m x x -=+++211a x +=+221112a a a a a ---÷+21133x x x x =+++2321121x x x x x -⎛⎫--÷ ⎪--+⎝⎭2ky x =23AB BC =ky x =60kg480kg10cm6cm2cm1cmθθ把小棒依次摆放在两射线A B ，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A 1A 2为第1根小棒. 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1.①θ= 度；②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2,）,求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.图甲 图乙活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2= AA 1. 数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1θ= ，2θ= ，3θ= ；（用含θ的式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围.。
(word版)八年级数学培优综合训练题
2021-2021学年度第一学期八年级数学名师讲堂2021-2021学年度第一学期八年级数学期末复习试题精选一，?三角形?局部；1，，在四边形ABCD中．∠A=∠C=90゜．1〕求证：∠ABC+∠ADC=180゜；2〕如图1，假设DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，写出DE与BF的位置关系，并证明；3〕如图2，假设BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．〔第1题图〕〔第2题图〕2，如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和．3，如图在平面直角坐标系中，直线 AB交y轴于点C,连接OB(1)假设A(-1,0),B(1,2)求三角形AOB的面积如下列图，在平面直角坐标系中，AB交y轴于点C，连接OB．〔1〕如图①所示，A〔﹣2，0〕，B〔2，4〕，求△AOB的面积；〔2〕如图②所示，点 D在x轴上，∠OBD=∠OBC，求的值；（3〕如图③所示，BM⊥x轴于点M，N在y轴上，∠MNB=∠MBN，点P在x轴上，∠MNP=∠MPN，求∠BNP的度数．12021-2021学年度第一学期八年级数学名师讲堂二，?轴对称?与?全等三角形?局部；4，∠MAN，AC平分∠MAN．1〕在图1中，假设∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；2〕在图2中，假设∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，那么〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由．5，△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．〔1〕如图1，假设∠DAB=60°，那么∠AFG=；〔2〕如图2，假设∠DAB=90°，那么∠AFG=；〔3〕如图3，假设∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．6,如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD= AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2MC；其中正确的结论有〔〕A 1个B 2个C 3个D 4个22021-2021学年度第一学期八年级数学名师讲堂．．．．如图，∠BAC=110°，假设MP和NQ分别垂直平分AB和AC，那么∠PAQ的度数是〔〕A20° B 40° C 50° D 60°．．．．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D．①求证：AD是∠BAC的平分线；②求∠ADC的度数；③求证：点D在AB的中垂线上；④求证：S△DAC：S△ABC=1：3．，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，D为直线AB上一点，连接CD，过C作CE⊥CD，且CE=CD，连接DE，交AC于F．1〕如图1，当D、B重合时，求证：EF=BF．2〕如图2，当D在线段AB上，且∠DCB=30°时，请探究DF、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP=60°，交∠DFG的角平分线于点Q，求证：FD+FG=FQ．如图，D是等边△ABC外的一点，DB=DC，∠BDC=120°，且E、F分别在AB和AC上．32021-2021学年度第一学期八年级数学名师讲堂1〕求证：AD是BC的垂直平分线；2〕假设ED平分∠BEF，证明：FD平分∠EFC；②△AEF的周长是B C长的2倍．2021?溧水县二模〕如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，假设BE=6cm，DE=2cm，求BC．以下屏幕解锁图案中不是轴对称图形的是〔〕AB C D．．．．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如下列图．假设∠A=60°，∠1=95°，那么∠2的度数为〔〕A24° B 25° C 30° D 35°．．．．42021-2021学年度第一学期八年级数学名师讲堂如图△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：〔1〕△ACE ≌△DCB；〔2〕CM=CN；〔3〕MN∥AB；〔4〕AC=DN，其中正确结论的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④PC平分∠APB；⑤∠APD=60°．其中不正确结论是．〔填序号〕13，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，将∠C沿EF〔E在BC上，F在AC上〕折叠，点C与点O恰好重合，那么∠OEC度数为_________°．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，将∠C沿EF〔E在BC上，F在AC上〕折叠，点C与点O恰好重合，那么∠OEC度数为_________°．52021-2021学年度第一学期八年级数学名师讲堂如图，等边△ABC中，D为AC上一动点．CD=nAD，连接BD，M为线段BD上一点，∠AMD=60°，AM交BC于E．〔1〕假设n=1，如图1，那么=，=2〕〔2〕假设n=2，如图2，求证：2AB=3BE；〔3〕当时，那么n的值为如图，点D是等边△ABC外一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，三角尺的两边DP、DQ 分别与射线AB、CA相交于E、F两点．1〕当EF∥BC时，如图①，证明：EF=BE+CF；〔2〕当三角尺绕点D旋转到如图②的位置时，线段EF、BE、CF之间的上述数量关系是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；〔3〕当三角尺绕点D继续旋转到如图③的位置时，〔1〕中的结论是否发生变化？如果不变化，直接写出结论；如果变化，请直接写出EF、BE、CF之间的数量关系．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，假设∠A=50°，∠D=10°，那么∠P的度数为62021-2021学年度第一学期八年级数学名师讲堂一，?分式?练习题1,某人骑自行车匀速爬上一个斜坡后立即匀速下坡回到出发点，假设上坡速度为为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，那么他在这段路上、下坡的平均速度是V1V2V1V2V1V22V1V2A2B V1V2C V1V2D V1V2117n m2,假设mn m n,那么m n的值为111 3,假设a11a21a1，a31a2，L那么a2021的值为m，〔用含m的代数式表示〕x 111 z1,求y4,y x z的值5,〔2021?东莞〕观察以下等式：第1个等式：a1==×〔1﹣〕；第2个等式：a2==×〔﹣〕；第3个等式：a3==×〔﹣〕；第4个等式：a4==×〔﹣〕；请解答以下问题：〔1〕按以上规律列出第5个等式：a5=；〔2〕用含有n的代数式表示第n个等式：a n==〔n为正整数〕；3〕求a1+a2+a3+a4+⋯+a100的值．223x2y3x1y xy23221053103先阅读以下材料，在解答后面的问题；上述题中用到的是‘整体思想’阅读以下材料解答以下问题：观察以下方程：①；②；③72021-2021学年度第一学期八年级数学名师讲堂〔1〕按此规律写出关于x的第n个方程为，此方程的解为．〔2〕根据上述结论，求出x+的解．初中数学课本中有这样一段表达,“要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数，负数还是零〞有一块直径为2a+2b的圆形钢板〔a≠b〕现在要挖去两个圆．方案一：挖去直径分别为2a，2b的两个圆；方案二：挖去直径都为a+b的两个圆．设方案一、方案二剩下钢板的面积分别为M，N．1〕分别用字母a，b表示M、N的值；2〕比较M、N的大小．〔2021?古冶区一模〕请先阅读以下一段文字，然后解答问题：有这样一段表达：“要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零，〞由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以．问题：甲、乙两人两次同时在同一粮店购置粮食〔假设两次购置粮食的单价不相同〕甲每次购置粮食100kg，乙每次购粮用去100元．〔1〕设第一、第二次购粮单价分别为x元/kg和y元/kg，用含x、y的代数式表示：甲两次购置粮食共需付粮款元，乙两次共购置kg粮食．假设甲两次购粮的平均单价为每千克q1元，乙两次购粮的平均单价和每千克q2元，那么q1=，q2=2〕假设规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算，并说明理由．假设关于x的分式方程﹣1=无解，那么m的值．研究问题经常采用由特殊到一般的方法．在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．〔1〕比较以下各式的大小．．．．〔2〕比较原来每个分数对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是〔a，b均为正数〕，给其分子分母同加一个正数m，得，82021-2021学年度第一学期八年级数学名师讲堂那么两个分数的大小关系是．①请你用文字表达〔2〕中结论的含义：②请用图形的面积说明这个结论．整式的乘法与因式分解222因式分解1,3ab6abc3c2,ab4ab3,(a3)(a7)252222 4，4ab12(a b)9ab222ab4ab1ambn(anbm)5，6，22c28，x27，a2abb2xyy22x2y1先阅读下面的内容，再解决问题，例题：假设m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴〔m+n〕2+〔n﹣3〕2=0m+n=0，n﹣3=0m=﹣3，n=3问题〔1〕假设x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2〕a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．9(word 版)八年级数学培优综合训练题11 / 11112021-2021学年度第一学期八年级数学 名师讲堂先阅读材料，再答复以下问题：材料：分解因式：〔 x+y 〕2+2〔x+y 〕+1解：将“x+y 〞看成整体，令 x+y=A ，那么原式=A 2+2A+1=〔A+1〕2，再将“A 〞复原，原式=〔x+y+1〕2．上述解题中用到的是 “整体思想〞，整体思想是数学中常用的一种思想，你能用整体思想答复以下问题吗？ 问题：1〕分解因式：〔a+b)〔a+b ﹣4〕+4．2〕求证：假设n 为正整数，那么代数式n 〔n+1〕〔n+2〕〔n+3〕+1的值一定是某一个整数的平方．2021?河池〕铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000 元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了 元，购进苹果数量是试销时的2倍．〔1〕试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？〔2〕如果超市将该品种苹果按每千克 7元的定价出售，当大局部苹果售出后，余下的400千克按定价的七折〔“七折〞即定价的 70%〕售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？如图(自己画图〕所示，直线AB 与Y 轴正半轴交与A(0,a 〕与X 轴正半轴交与B(b,0〕 1 11(1)假设a+b=4,且a b，求三角形AOB 的面积3AO OC〔2〕假设分式ab 无意义，AC 平分角OAB 交X 轴于C,求证;1ABAC 2CD(3)在〔2〕的条件下，过 O 作OD 垂直AC 于D 点，求OD的值在平面直角坐标系中，A(-1,-1)B(3,3),假设M 为x 轴上的点，且 MA+MB 最小，那么M 的坐标是〔2021?张家界〕阅读材料：求 1+2+22+23+24+⋯+22021的值．解：设S=1+2+22+23+24+⋯+22021+22021，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+⋯+22021+22021将下式减去上式得2SS=220211（ 即S=220211（即1+2+22+23+24+⋯+22021=220211（ 请你仿照此法计算：（ 1〕1+2+22+23+24+⋯+210（ 2〕1+3+32+33+34+⋯+3n 〔其中n 为正整数〕．10。
八年级下学期数学第二章培优练习卷及答案
数学第二章练习卷 （难度：★★★）共13题，1-10题每题5分，11-13题每题12分，总分100分1. 若m ＞-1，则多项式m 3-m 2-m+1的值为（ ）A 、正数B 、负数C 、非负数D 、非正数2. 若m 2+m-1=0，则m 3+2m 2+2008的值为（ ）A 、2006B 、2007C 、2008D 、20093. 如果x 2+x-1=0，那么代数式x 3+2x 2-7的值为（ ） A 、6 B 、8 C 、-6 D 、-84. 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x 的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x □-4y 2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）A 、2种B 、3种C 、4种D 、5种5. 已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36. 任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=s×t （s 、t 是正整数，且s≤t ），如果p×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q （p≤q ）是n 的最佳分解，并规定例如：18可以分解成1×18，2×9，3×6，这时就有结合以上信息，给出下列关于F（n ）的说法:其中正确的说法有 。
（只填序号）7.仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2-4x+m 有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为（x+n ），得 x 2-4x+m=（x+3）（x+n ） 则x 2-4x+m=x 2+（n+3）x+3n n+3=-4 ∴m=3n解得：n=-7，m=-21∴另一个因式为（x-7），m 的值为-21 问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2+3x-k 有一个因式是（2x-5），那么另一个因式是 ，k= 。
八年级数学竞赛培优专题及答案 02 乘法公式
专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+， 求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）专题02 乘法公式例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2 （1）B x －y ＝（2a ＋4a ＋a ）＋（2b －8b ＋16）＝()22a +＋()24b -≥0，x ≥y ．（2）B 3个等式相加得：()23a -＋()21b +＋()21c -＝0，a ＝3，b ＝－1，c ＝1．a ＋b ＋c ＝3－1＋1＝3．例3 （1）167 （2）4 （3）－5050例4718 提示：由a ＋b ＝1，2a ＋2b ＝2得ab ＝－12，利用1n a +＋1n b +＝（n a ＋n b ）（a ＋b )－ab (1n a -＋1n b -)可分别求得3a ＋3b ＝52，4a ＋4b ＝72，5a ＋5b ＝194，6a ＋6b ＝264，7a ＋7b ＝718．例5 （1）设n 为自然数，则n （n ＋1)(n ＋2)(n ＋3）＋1＝()2231n n ++ （2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝24006001．例6（1）设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①.3,2,1333222c b a c b a c b a2①－②，得ab ＋b c ＋a c ＝21-，∵333c b a ++－3ab c ＝（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）， ∴ab c ＝31（333c b a ++）－31（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）＝31×3－31×1×（2＋21）＝61． （2）将②式两边平方，得,4222222222444=+++++a c c b b a c b a ∴()2222224442224a c c b b a c b a ++-=++ ＝4－2()[])(22c b a abc ac bc ab ++-++＝4－2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1612212＝625．A 级1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C10.原有136或904名学生．设⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②①.1208,120822m x m xm ，n 均为正整数，且m ＞n ，①－②得（m ＋n ）（m －n ）＝240＝5324⨯⨯．2m ，2n 都是8的倍数，则m ，n 能被4整除，m ＋n ，m －n 均能被4整除．得⎩⎨⎧=-=+460n m n m 或⎩⎨⎧=-=+1220n m n m ， ∴⎩⎨⎧==2812n m 或⎩⎨⎧==416n m8x ＝2m －120＝904或8x ＝2m －120＝136．11.因为a ＝910＋338－2＝（910－1）＋（338－1）＝999 999 999＋37×（238＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）． 所以37|999 999 999，且37|37×（238＋38＋1），因此a 是37的倍数．12.第2003行式子为：()2222004200420032003+⨯+＝()2120042003+⨯．第n 行式子为：()()222211++++n n n n ＝()221++n n ．证明略B 级 1．1．0942．76 提示：由13＋a ＝9＋b ＝3＋c 得a －b ＝－4，b －c ＝－6，c －a ＝10 3．13 4．156 5．D6.C 提示：（x ＋y ）（x －y ）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：⎩⎨⎧------=-------=+.1,7,41,49,287,2009,1,7,41,49,287,2009;2009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1y x y x 故（x ，y ）共有12组不同的表示． 7．B 8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m ，n ），因为1954不能被4整除．10．设所求两位数为AB ，由已知得22BA AB -＝2k （k 为整数），得2119.k A B A B =⨯+⨯-而11A B +=⎧11A B +=⎧解得65A B =⎧⎨=⎩或56A B =⎧⎨=⎩，即所求两位数为65，5611. 设2222x y a bx y a b+=+⎧⎨+=+⎩①②, 则由2,-①②得22xy ab = ③②-③, 得22()()x y a b -=-, 即x y a b -=- x y a b ∴-=-或x y b a -=-分别与x y a b +=+联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x by a =⎧⎨=⎩2003200320032003x y a b ∴+=+12. (1)22284786,=⨯=- 2220124503504502=⨯=-, 故28和2012都是神秘数 （2）22(22)(2)4(21),k k k +-=+为4的倍数（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. 22(21)(21)8n n n +--=,故两个连续奇数的平方差不是神秘数。
八年级上数学培优试题及答案
第十一章三角形11.1与三角形有关的线段专题一三角形个数的确定1．如图，图中三角形的个数为（）A．2 B．18 C．19 D．202．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个．3．阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表：△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)构成不重叠的小三角形的个数 3 5 …专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（）A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－25. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个．6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式22x+＞123x--的正整数解，试求第三边x的长．状元笔记【知识要点】1．三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．2．三角形三条重要线段(1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．(3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．3．三角形的稳定性三角形具有稳定性．【温馨提示】1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种．2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线．【方法技巧】1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边．2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．参考答案:1．D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D．2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21．3．解：填表如下：△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015)解析：当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015．4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B．5．10 解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，∴a=1，2，3，4．a=1时，c=4；a=2时，c=4或5；a=3时，c=4，5，6；a=4时，c=4，5，6，7．∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个．6．解：原不等式可化为3（x+2）＞－2（1－2x），解得x＜8．∵x是它的正整数解，∴x可取1，2，3，5，6，7．再根据三角形三边关系，得6＜x＜10，∴x=7．11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC 且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C 解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB=34°．∵CE是AB边上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．（2）∠DCE=12（∠B－∠A）．6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．11.3多边形及其内角和专题一根据正多边形的内角或外角求值1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．92．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．专题二求多个角的和4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720°5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．状元笔记【知识要点】1．多边形及相关概念多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和与外角和内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°．外角和：多边形的外角和等于360°．【温馨提示】1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．参考答案:1．A 解析：∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A．2．1440 解析：∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°×10=1440°．3．解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)·180°=9×360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为20．4．B 解析：∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．5．360°解析：在四边形BEFG中，∵∠EBG=∠C+∠D，∠BGF=∠A+∠ABC，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．6．解：∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F．同理：∠BPO=∠D+∠C．∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．第十二章全等三角形12.1全等三角形12.2三角形全等的判定专题一三角形全等的判定1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB 的平分线DF交BC于点F．求证：△A BE≌△CDF．2．如图，在△AB C中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________；（2）证明：3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A．6B．4 C．23D．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.求证：AM＝AN.NMEDB CA6．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．专题三全等三角形在实际生活中的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，对吗？为什么？状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL ”)． 【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 3．“HL ”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等． 【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角； （2）对应顶点所对应的边是对应边； （3）公共边（角）是对应边（角）； （4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC ≌△DEF ， 说明A 与D ，B 与E ，C 与F 是对应点，则∠ABC 与∠DEF 是对应角，边AC 与边DF 是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——参考答案:1．证明：平行四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ．∵∠AB E=21∠ABD ，∠CDF=21∠CDB ，∴∠ABE=∠CDF ．在△ABE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDF ABE CDAB C A ∴△ABE ≌△CDF ． 2．解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒（2）以DC BD =为例进行证明： ∵CF ∥BE ，∴∠FCD ﹦∠EBD ．又∵DC BD =，∠FDC =∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ． 3．解：（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明． 证明：∵AE=CD ，BE=BD ， ∴AB=CB ．又∠ABD=∠CBE ，BE=BD ， ∴△ADB ≌△CEB ． （2）③④．4．B 解析：∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，∠ADC =∠BDH ， ∠AHE =∠BHD =∠C ．∴△ADC ≌△BDH ．∴BH =AC =4．故选B ． 5．证明：如图所示，7654321NME D B CA∵△AEB 由△ADC 旋转而得， ∴△AEB ≌△ADC .∴∠3＝∠1，∠6＝∠C ．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠2＝∠1，∠7＝∠C .∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．∵∠4＝∠5，∴∠ABM ＝∠ABN ． 又∵AB ＝AB ，∴△AMB ≌△ANB ．∴AM ＝AN ．6．证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60°． ∴∠BCA －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ． 在△DBC 和△EAC 中，BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC （SAS ）． ∴∠DBC ＝∠EAC ． 又∵∠DBC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ACB ＝∠EAC ．∴AE ∥BC ．7．B 解析：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，又∵BC=EF ，AC=DF ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF ．∴∠ABC=∠DEF ，∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°． 故选B ．8．解：在△ABC 和△CED 中，AC=CD ，∠ACB=∠ECD ，EC=BC ，∴△ABC ≌△CED ．∴AB=ED ．即量出DE 的长，就是A 、B 两端的距离． 9．解：对．理由：∵AC ⊥AB,∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C 中，ACB ACBAC ACCAB CAB=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠′，，∠∠′，∴△ABC≌△AB′C（ASA）．∴AB′=AB．第十三章轴对称13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1．下列图案是轴对称图形的是（）2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠AB C和∠C的度数．6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3D．18．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．9．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是__________．状元笔记【知识要点】1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；【温馨提示】1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．参考答案:1．D 解析：∵将D图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D图形是轴对称图形，故选D．2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3．如图所示：4．A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ABC和△ADE关于直线l对称，则△ABC≌△ADE，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l垂直平分DB，∠C=∠E，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A．5．解：根据题意A点和E点关于BD对称，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．B 点、C 点关于DE 对称，有∠DBE=∠BCD ，∠ABC=2∠BCD ． 且已知∠A=90°，故∠ABC+∠BCD=90°． 故∠ABC=60°，∠C=30°．6．解：（1）对称点有A 和A'，B 和B'，C 和C'． （2）连接A 、A′，直线m 是线段AA′的垂直平分线．（3）延长线段AC 与A′C′，它们的交点在直线m 上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m 上，即若两线段关于直线m 对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．7．B 解析：在Rt △FDB 中，∵∠F ＝30°，∴∠B ＝60°． 在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴∠A ＝30°．在Rt △AED 中，∵∠A ＝30°， DE ＝1，∴AE ＝2．连接EB. ∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EB ＝AE ＝2. ∴∠EBD ＝∠A ＝30°．∵∠ABC ＝60°，∴∠EBC ＝30°．∵∠F ＝30°，∴EF ＝EB ＝2．故选B ．ABFCED8．8 解析：∵DF 是AB 的垂直平分线，∴DB=DA ．∵EG 是AC 的垂直平分线，∴EC=EA ． ∵BC=8，∴△ADE 的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8． 9．解：AB+BD=DE ．证明：∵AD ⊥BC ，BD=DC ，∴AB=AC ． ∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC=CE ． ∴AB=CE ．∴AB+BD=CE+DC=DE ．10．C 解析：关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5． 解得1.5＜a ＜2.5，又因为a 必须为整数，∴a=2．∴点P 2（－1，－1）． ∴P 1点的坐标是（－1，1）．第十四章 整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法专题一 幂的性质1．下列运算中，正确的是（ ）A ．3a 2－a 2＝2B ．(a 2)3＝a 9C ．a 3•a 6＝a 9D ．(2a 2)2＝2a 4 2．下列计算正确的是（ ）A ．3x ·622x x = B ．4x ·82x x =C ．632)(x x -=- D ．523)(x x =3．下列计算正确的是（ ）A ．2a 2＋a 2＝3a 4B ．a 6÷a 2＝a 3C ．a 6·a 2＝a 12D ．( －a 6)2＝a 12 专题二 幂的性质的逆用4．若2a =3，2b =4，则23a+2b 等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．1085．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值．6．计算：(1)(－0.125)2014×(－2)2014×(－4)2015； (2)(－19)2015×811007．专题三 整式的乘法7．下列运算中正确的是（ ）A ．2325a a a +=B ．22(2)()2a b a b a ab b +-=--C ．23622a a a ⋅=D ．222(2)4a b a b +=+8．若（3x 2－2x +1）（x +b ）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b ）的值．9．先阅读，再填空解题： （x +5）（x +6）=x 2+11x +30； （x －5）（x －6）=x 2－11x +30； （x －5）（x +6）=x 2+x －30； （x +5）（x －6）=x 2－x －30．（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________．（3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________．专题四 整式的除法10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________．11．计算：236274319132）（）（ab b a b a -÷-．12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4．状元笔记【知识要点】 1．幂的性质(1)同底数幂的乘法：n m n m aa a +=⋅ (m ，n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．(2)幂的乘方：()m n mn a a=(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (3)积的乘方：()n n nab a b =(n 都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．整式的乘法(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加．(3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．3．整式的除法(1)同底数幂相除：m n m n a a a-÷=(m ，n 都是正整数，并且m ＞n )，即同底数幂相除，底数不变，指数相减．(2)0a =1(a ≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1．(3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．(4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【温馨提示】1．同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”．2．同底数幂相乘与幂的乘方相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”． 3．运用同底数幂的乘法(除法)法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算．4．在单项式(多项式)除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．【方法技巧】1．在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式．2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．参考答案:1．C 解析：A 中，3a 2与－a 2是同类项，可以合并，3a 2―a 2＝2a 2，故A 错误；B 中，(a 2)3＝a 2×3=a 6，故B 错误；C 中，a 3•a 6＝a 3+6＝a 9，故C 正确；D 中，(2a 2)2＝22（a 2）2＝4a 4，故D 错误．故选C ．2．C 解析：3x ·2235x x x +==，选项A 错误；4x ·2246x x x +==，选项B 错误；23236()x x x ⨯-=-=-，选项C 正确；32236()x x x ⨯==，选项D 错误. 故选C ．3．D 解析：A 中，22223a a a +=，故A 错误；B 中，624a a a ÷=，故B 错误；C 中，628a a a ⋅=，故C 错误. 故选D ．4．C 解析：23a+2b =23a ×22b =（2a ）3×（2b ）2=33×42=432．故选C ．5．解：23ｍ+2ｎ=23ｍ·22ｎ=（2ｍ）3·（2ｎ）2 =53·32=1125.6．解：(1)原式=(0.125×2×4)2014×(－4)=12014×(－4)=－4．(2)原式=(－19)2015×92014=(19×9)2014×(－19)=－19．7．B 解析：A 中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a ，故A 错误；B 中，由多项式与多项式相乘的法则可得22(2)()22a b a b a ab ab b +-=-+-=222a ab b --，故B 正确；C 中，由单项式与单项式相乘的法则可得232322a a a +⋅==52a ，故C 错误；D 中，由多项式与多项式相乘的法则可得222(2)44a b a ab b +=++，故D 错误. 综上所述，选B ．8．解：原式=3x 3+（3b －2）x 2+（－2b+1）x+b ， ∵不含x 2项， ∴3b －2=0，得b=23． ∴（3x 2－2x+1）（x+23） =3x 3－2x 2+x+2x 2－43x+23=3x 3－13x+23． 9．解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是： 一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；（2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b ）（a+c ）=a 2+（b+c ）a+bc ；（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a －100）=a 2－a －9900；（y －80）（y －81）=y 2－161y+6480．10．－12x+3y －16解析：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=（3x 3y ）÷（－6x 2y ）－18x 2y 2÷（－6x 2y ）+x 2y÷（－6x 2y ）=－12x+3y －16．11．解：原式。
浙教版数学八年级下册一元二次方程培优训练(二).docx
一元二次方程培优训练(二)姓名______班级______序号______组别_____一、选择题 每题3分 共40分1.若2-=x 是关于x 的一元二次方程02522=+-a ax x 的一个根，则a 的值为( ) A . 1或4B . -1或-4C . -1或4D . 1或-42.一元二次方程0122=--x x 的解是( )A. 121==x x B . 21,2121--=+=x x C . 21,2121-=+=x x D . 21,2121--=+-=x x3.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是( )A . ()8111002=+xB . ()8111002=-xC . ()81%11002=-x D . 811002=x4.关于x 的一元二次方程x 2-3x +m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )49.>m A 49.<m B C . 49=m 49.-<m D 5.若α、β是一元二次方程x 2+2x -6=0的两根，则α2+β2=( ) A . -8B . 32C . 16D .406.21,x x 是关于x 的一元二次方程022=-+-m mx x 的两个实数根，是否存在实数m 使01121=+x x 成立？则正确的是( ) A . m =0时成立B . m =2时成立C . m =0或2时成立D .不存在7.已知α是一元二次方程x 2-x -1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是( ) A . 0＜α＜1B . 1＜α＜1.5C . 1.5＜α＜2D . 2＜α＜38.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( )A.21x (x +1)=28 B.21x (x -1)=28 C. x (x +1)=28 D.x (x -1)=289.已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( )A . b =-1B . b =2C . b =-2D . b =010.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )A ．(3+x )(4-0.5x )=15B ．(x +3)(4+0.5x )=15C ．(x +4)(3-0.5x )=15D ．(x +1)(4-0.5x )=151. 2.3.4.5.6.7.8.9.10.二．填空题 每题4分 共40分11.已知关于x 的方程04)1(22=+-+m x m x 有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是_____12.已知a ，b 是方程x 2-x -3=0的两个根，则代数式2a 3+b 2+3a 2-11a -b +5的值为 13.已知m ，n 是方程x 2+2x -5=0的两个实数根，则m 2-mn +3m +n = 14.方程x 2+2kx +k 2-2k +1=0的两个实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=4，则k 的值为 15. 若一元二次方程ax 2=b (ab ＞0)的两个根分别是m +1与2m -4，则ab= 16.若正数a 是一元二次方程x 2-5x +m =0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x -m =0的一个根，则a 的值是17.某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 18.若α,β是方程x 2-2x -3=0的两个实数根，则α2+β2=________19.现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm 2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得_________________ 20.若关于x 的方程x 2+(k -2)x +k 2=0的两根互为倒数，则k =11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.三．解答题 (6+8+8+12+8+8+8+12=70分)21. (6分)已知关于x 的方程x 2+ax +a -2=0(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22. (8分)已知关于x 的方程()260x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．23. (8分)关于x 的方程250x mx m -++=的两个实数根为α，β，()2811570x m x m -+++=的两个实数根为α，γ，求228αβγ+的值．24.(12分)已知关于x 的一元二次方程(a +c )x 2+2bx +(a -c )=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长． (1)如果x =-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．25. (8分)已知关于x 的方程0111=----x xx m 无解，方程062=++kx x 的一个根是m ． (1)求m 和k 的值；(2)求方程062=++kx x 的另一个根．26. (8分)已知关于x 的一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+2k =0有两个实数根x 1，x 2． (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k 使得0222121≥--⋅x x x x 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．27. (8分)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x ．(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为 万元．(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率28. (12分)已知：关于x 的一元二次方程()()0022232>=+++-m m x m mx(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为21,x x (其中21x x <)若y 是关于m 的函数，且217mx x y -=，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，my 3≤初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
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八年级数学培优训练题（二）
命题人：干东红10.9
一、选择题（每小题5分，共25分）
1、已知实数a、b满足|2a－4|+（6－2b）2＝0，则ab的算术平方根是（）
A、±6
B、＋6
C、±6
D、6
2、三角形的三边长分别为整数a、b、c，且a≦b≦c，当b＝3时，这样的不全等的三角形共有（）
个。
A、4 B、5 C、7 D、6
3、如果5个矿泉水瓶可以换一瓶矿泉水，那么现在有40个矿泉水瓶，问不交钱最多可以喝矿泉
水多少瓶？（）A、8 B、9 C、10 D、11
4、今天是2009年11月28日，我市定于每年的11月份的最后一个星期六举行初中语数外物四
科联赛，那么2012年我市举行初中四科联赛的时间是（）
A、11月24日
B、11月25日
C、11月29日
D、11月28日
5、如图所示的（1）（2）（3）三个图形所表示的规律，依次下去，第n个图形中长方形的个数是
（）
A、4n
B、5n（n+1）
C、8n
D、10n（n+1）
5题图 6题图8题图
6、如图，点P是□ABCD上一点，已知S△PAB＝7，S△PAD＝5，则S△PAC＝（）
A、1
B、2
C、3
D、无法确定
7、甲乙两人两次同时在同一家水果店买苹果，每次价格相同，但两次价格不同，甲每次买a元，
乙每次买b斤，则甲、乙再次买的平均价格（）
A、甲比乙高
B、甲、乙一样高
C、甲比乙低
D、不能确定
8、已知如图在△ABC中，BC＝AC＝2，∠ACB＝90°，D为BC边的中点，E为边AB上的一动
点，则CE+ED的最小值为（）
A、5
B、2
C、22
D、3
二、填空题（第小题5分，共25分）
9、如图，在△ABC中，AB＝BC＝20cm，AC＝8cm，D为AC的中点，动点P从点A出发，
以每秒1cm的速度沿A→B→C运动，设运动时间为t，那么t＝时，过点D、P的直线
把△ABC周长分成两个部分，且其中一个部分是另一部分的2倍。
9题图10题图15题图
10、如图，△ABC≌△ADC≌△ABE，且∠BAC：∠ABC：∠ACB＝9：2：1，直线BE与AD
交于点P，则∠APB＝
11、已知函数y＝|x+3|的图象与X轴交于点A，P是该函数图象上纵坐标为3的点，试在X轴上
确定点B，使得△PAB是等腰三角形，则B点的坐标
是。
12、如图，在平面直角坐标系上有点P（0，0），点P第1
次向右跳动一个单位至点P1（1，0），第2次向上跳
动至点P2（1，1），第3次向左跳动2个单位至点P3
（－1，1），第4次向上跳动一个单位，第5次向右跳
动3个单位，第7次又向左跳动4个单位，……，依
次规律，点P在第2009次跳至点P2008的坐标是。
13、有A、B、C、D、E五个球队分在同一个小组进行单
循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定胜一场得3分，
平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两支球队获得出线权，积分相等的球队，
净胜球多的名次在前，则球队A为了确保在本小组出线，它至少要获得分。
14、若
a
2
+
b
3
+
c
4
＝6，
a
4
+
b
3
+
c
2
＝12，则
a
1
+
b
1
+
c
1
＝
15、如图两块平面镜WV、UV相交成30°的位置，交点为V，一束水平的光从光源S发出平行于
其中一面镜子VW，在另一面镜子UV上的点A处反射又在镜子VW上的点B处反射，然
后，在镜子UV上的点C处反射，在经过若干次反射后，光束又返回到S，若SA＝V A＝1，
则光束经过的总路程为
16、按如图所示的程序计算，若开始输入的X的值为48，我们发现第一次得到的结果为24，第
2次得到的结果为12……请你探索第2009次得到的结果为
16题图17题图
17、在梯形ABCD中，已知AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°,若
AE＝10，则CE＝
三、解答题
18、某次数学竞赛前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调为一等奖
10人，二等奖20人，三等奖30人；调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降2分，
三等奖平均分降1分，如果调整前的二等奖比三等奖平均分高6分，求调整后一等奖比二等
奖的平均分数多几分？（12′）
19、将一个正方形剖分成若干个小正方形，称为正方形的剖分。
一般的，将一个正方形分成d 个
小正方形，而且不限制剖分出的小正方形的大小，这种剖分被称为简单剖分，下图是d ＝1，4，7，8的简单剖分。
（12′）
（1）请你分别在下图中画出d ＝6，11的简单剖分。
（2）设能将一个正方形简单剖分为d 个小正方形，请你通过画图探究，求出d 的取值范围？
20、如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边长向形外作两个正三角形△ABD 和△ACE ，连结CD 和
BE ，CD 和BE 交于点P 。
（13′） （1）求证：∠DPB ＝60°。
（2）连AP ，求证：PA+PB+PC ＝CD 。
21
某食品公司欲用这三种食物混合配制100千克的食品，要求配制成的食品中至少含48000单位的维生素A 和50000单位的维生素B 。
（1）若限定甲种食物用50千克，则配制这100千克食品的总成本s 的取值范围是多少？
（2）配制这100千克食品，至少要用甲种食物和乙种食物多少千克？丙种食物至多能用多少千克？（13′）
22、已知如图两个全等三正方形的其中一边CD 完全重合，点M 是BC 的中点，连结AM 且∠AMN
＝90°，交E 于N ， 求证：CN ＝EN （12′）
23、已知一次函数y ＝ax+b ，与反比例函数y ＝k
x
的图像交于点M （2，3），N （－1，m ）， （1）求一次函数y ＝ax+b 与反比例函数y ＝
k
x
的解析式。
（2）求△MON 的面积。
（3）求X 轴上有动点P ，构成△PMN 为等腰三角形时，P 点的坐标。
（14′）
24、2009年武穴市举行“足球迷”杯足球比赛，共有奇数个足球队参加，每个队都与其它队比赛一场，记分方法为：胜一场得1分，平一场各得0.5分，负一场得0分，已知其中有两队共得10分，其他队的平均分为整数，求参加此次比赛的足球队共有几支？（14′）。