中考数学中的存在性问题

2010年中考数学中的存在性问题一、存在性问题的内涵所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．存在性问题是相对于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的．存在性问题可抽象为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。

”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在。

此类问题的叙述一般是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证明）；如果不存在，请说明理由．”二、存在性问题的解决策略1、直接求解法存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法。

2、假设求解法先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在。

即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在．三、中考数学中的存在性问题的类型1、定性分类（1）肯定型存在性问题肯定型存在性问题是解决其余两类存在性问题的基础，具体地构造出（或求出，寻找出）满足条件的数学对象，是证明肯定型存在性问题的主要方法。

这种处理方法一般分为两大步，第一步是构造出满足要求的数学对象；第二步是通过验证，证明构造的对象满足问题的要求。

例1、(2010年陕西卷)问题探究(1)请你在图①中做一条．．直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。

问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。

为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由解析：（1）如图①（2）如图②连结AC 、BC 交与P 则P 为矩形对称中心。

作直线MP ，直线MP 即为所求。

（3）如图③存在直线l 。

过点D 的直线只要作 DA⊥OB 与点A ，则点P(4,2)为矩形ABCD 的对称中心。

∴过点P 的直线只要平分△DOA 的面积即可。

易知，在OD 边上必存在点H 使得PH 将△DOA 面积平分。

从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积,即直线 PH 为所求直线l.设直线PH 的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2).∴2=4k+b 即b=2－4k.∴y=kx+2－4k ∵直线OD 的表达式为y=2x∴242y kx k y x =+-⎧⎨=⎩ 解之242482kx kk x k-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩∴点H 的坐标为（242k x k -=-，482k y k -=-） ∴PH 与线段AD 的交点F （2,2－2k ）,∴0＜2－2k ＜4, ∴－1＜k ＜1 ∴S △DHF =12411(422)(2)242222k k k --+•-=⨯⨯⨯- ∴解之，得133k -=（133k --=舍去） ∴b=8－213∴直线l 的表达式为1338213x -+-（2）否定型存在性问题反证法是证明否定型存在性问题的主要方法，特别是在无限个候选对象中，证明某种数学对象不存在时，逐一淘汰的方法几乎不能实行，更经常地使用反证法。

例2、(2010年安徽卷)如图，已知111ABC A B C △∽△，相似比为k （k >1），且ABC △的三边长分别为a 、b 、c （a>b>c ），111A B C △的三边长分别为1a 、1b 、1c .（1）若c=a 1，求证：a=kc ；（2）若c=a 1，试给出符合条件的一对111ABC A B C △和△，使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 都是正整数，并加以说明；（3）若b=a 1，c=b 1，是否存在111ABC A B C △和△使得k =2？请说明理由.解析:（1）证：111ABC A B C Q △∽△，且相似比为11(1).ak k k aka a >∴=∴=，， 又1.c a a kc =∴=Q ，（2）取11186443 2.a b c a b c ======，，，同时取，， 此时1111112a b cABC A B C a b c ===∴，△∽△且1.c a = （3）不存在这样的ABC △和111A B C △.理由如下：若2k =，则111222.a a b b c c ===，， 又1b a =Q ，1c b =，112244a a b b c ∴====， 2.b c ∴= 24b c c c c a ∴+=+<=，而b c a +>， 故不存在这样的ABC △和111A B C △，使得 2.k = （3）讨论型存在性问题将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决讨论型存在性问题的主要方法。

另外，先猜出对象可能存在或不存在，从而将讨论型存在性问题转化为肯定型或否定型处理，是解决讨论型存在性问题的又一重要方法。

例3、(2010年重庆市江津区卷)如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）把A (1,0)- B (1,0)代入21y ax bx =++得：1010a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：10a b =-⎧⎨=⎩ 21y x ∴=-+ （2）令0x =，得1y = ∴()0,1C ∵OA=OB=OC=1∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC =45o∵BD ∥CA ， ∴∠AB D=∠BA C 45=︒ 过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则∆BDE 为等腰直角三角形。

令OE k = ()0k >， 则1DE k =+ ∴(),1D k k ---，∵点D 在抛物线21y x ∴=-+上∴ ()211k k --=--+ 解得12k =，21k =-（不合题意，舍去）()2,3D -- ∴DE=3∴四边形ACBD 的面积S =12AB •OC +12AB •DE 112123422=⨯⨯+⨯⨯=(3)存在这样的点M∵∠ABC=∠ABD=45o ∴∠DBC=90o ∵MN ⊥x 轴于点N ， ∴∠ANM=∠DBC =90o在Rt △BOC 中，OB=OC=1 有 在Rt △DBE 中，BE=DE=3 有BD=设M 点的横坐标为m ，则M ()2,1m m -+ ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有AN MN BC BD= ∵21,1AN m MN m =--=- 即2=解得：1m =-（舍去） 22m =- 则()2,3M --(ⅱ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有AN MNBD BC = 2=解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有AN MN BD BC=∵21,1AN m MN m =+=- ∴2=解得11m =-（舍去） 243m = ∴47,39M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (ⅱ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有AN MNBC BD = 即2=解得：11m =-（舍去） 24m = ∴()4,15M - ∴M 点的坐标为()()472,3,,,4,1539⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 2、定量分类 （1）数值存在性问题例4、（2010年舟山卷)△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB =ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点B 时，求点B 的横坐标； (2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：① 当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 设b =-2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．（2）定值存在性问题例5、（2010年咸宁卷）如图，24DC ==，6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 的交点为E ，与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）．（1）当0.5t =时，求线段QM 的长；（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQRQ 是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．（3）极值存在性问题例6、（2010年莆田卷）如图，矩形ABCD (点A 在第一象限)与x 轴的正半轴相交于M,，与y 的负半轴相交于N ，AB ∥x 轴，反比例函数y=的图象kx过A 、C 两点，直线AC 与x 轴相交于点E 、与y 轴相交于点F 。

(1)若B （-3，3），直线AC 的解析式为y=b ax +. ①求a 的值；②连结OA 、OC ，若△OAC 的面积记为S OAC ∆，△ABC 的面积记为S ABC ∆，记S= S ABC ∆－S OAC ∆，问S 是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由 (2)AE 与CF 是否相等？请证明你的结论。

BCDBCDQ A BCDl MP EA BCD C（4）点存在性问题例7、（湘潭）如图，直线6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，以线段AB 为直径作⊙C ，抛物线c bx ax y ++=2过A 、C 、O 三点．(1) 求点C 的坐标和抛物线的解析式；(2) 过点B 作直线与x 轴交于点D ，且OB 2=OA·OD ，求证：DB 是⊙C 的切线；(3) 抛物线上是否存在一点P ， 使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（5）直线存在性问题例8、（2010年扬州卷）在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ． （1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；（3）若F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．x（6）三角形存在性问题例9、（2010年红河卷）如图，在直角坐标系xoy 中，O 是坐标原点，点A 在x 正半轴上，OA=312cm ，点B 在y 轴的正半轴上，OB=12cm ，动点P 从点O 开始沿OA 以32cm/s 的速度向点A 移动，动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动，动点R 从点B 开始沿BO 以2cm/s 的速度向点O 移动.如果P 、Q 、R 分别从O 、A 、B 同时移动，移动时间为t （0＜t ＜6）s.（1）求∠OAB 的度数.（2）以OB 为直径的⊙O ‘与AB 交于点M ，当t 为何值时，PM 与⊙O ‘相切？（3）写出△PQR 的面积S 随动点移动时间t 的函数关系式，并求s 的最小值及相应的t 值. （4）是否存在△APQ 为等腰三角形，若存在，求出相应的t 值，若不存在请说明理由.（7）平行四边形存在性问题例10、（2010年遵义卷）如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（8）圆存在性问题例11、(2010年成都卷)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线1y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ∆、BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆，且:2:3ABP BPC S S ∆∆=，求点P 的坐标；（3）设⊙Q 径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q 标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？（9）时间存在性问题例12、（2010年青岛卷）已知：把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm ，BC = 6 cm ，EF = 9 cm ．如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2 cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动.当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？（2）连接PE ，设四边形APEC 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）（10）位置存在性问题例13、（2010年苏州卷）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm ；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．ADBC F（ E ）图（1）图（2）(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐▲．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．（11）变化存在性问题例14、（2010年广州卷）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.（12）关联存在性问题例15、（2010年宜昌卷）如图①，P 是△ABC 边AC 上的动点，以P 为顶点作矩形PDEF ，顶点D,E 在边BC 上，顶点F 在边AB 上；△ABC 的底边BC 及BC 上的高的长分别为a , h,且是关于x 的一元二次方程20mx nx k ++=的两个实数根，设过D, E,F 三点的⊙O 的面积为O S ๏,矩形PDEF 的面积为PDEF S 矩形。