[推荐学习]2019年中考数学复习专题复习五函数的实际应用题练习
中考数学专题复习--函数--应用题(有答案)
专题复习函数应用题类型之一与函数有关的最优化问题函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，在人们的生产、生活中有着广泛的应用，利用函数的解析式、图象、性质求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．1.（莆田市）枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。
每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？2.（贵阳市）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？例3：某商场经营某种品牌的服装，进价为每件60元，根据市场调查发现，在一段时间内，销售单价是100元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出10件(1)写出销售该品牌服装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。
（2）若服装厂规定该品牌服装销售单价不低于80元，且商场要完成不少于350件的销售任务，则商场销售该品牌服装获得最大利润是多少元？3（2014江苏省常州市）某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表所示:假定试销中每天的销售号(件)与销售价x（元/件）之间满足一次函数.（1）试求与x之间的函数关系式;（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下,每件服装的销售定价为多少时,该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大?每天的最大毛利润是多少?（注:每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价－每件服装的进货价）类型之二 图表信息题本类问题是指通过图形、图象、表格及一定的文字说明来提供实际情境的一类应用题，解题时要通过观察、比较、分析，从中提取相关信息，建立数学模型，最终达到解决问题的目的。
九年级数学中考专项复习——函数图像与实际问题应用题(附答案)
中考专项复习——函数与实际问题1. 甲、乙两车从A 城出发前往B 城．在整个行程中，甲车离开A 城的距离1km y 与甲车离开A 城的时间 h x 的对应关系如图所示．乙车比甲车晚出发1h 2，以60 km/h 的速度匀速行驶．（Ⅰ）填空：① A ，B 两城相距km② 当02x ≤≤时，甲车的速度为 km/h ③ 乙车比甲车晚 h 到达B 城 ④ 甲车出发4h 时，距离A 城km⑤ 甲、乙两车在行程中相遇时，甲车离开A 城的时间为 h（Ⅱ）当2053x ≤≤时，请直接写出1y 关于x 的函数解析式．（Ⅲ）当1352x ≤≤时，两车所在位置的距离最多相差多少km ？y 1/ km 53232. 已知聪聪家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：聪聪从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x 表示过程中聪聪离开家的时间，y 表示聪聪离家的距离．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表：离开家的时间/min 6 10 20 46 离家的距离/km12.5（Ⅱ）填空：① 聪聪家到体育场的距离为______km② 聪聪从体育场到文具店的速度为______km/min ③ 聪聪从文具店散步回家的速度为______ km/min④ 当聪聪离家的距离为2 km 时，他离开家的时间为______min （Ⅲ）当10045≤≤x 时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．3.同一种品牌的空调在甲、乙两个电器店的标价均是每台3000元.现甲、乙两个电器店优惠促销，甲电器店的优惠方案：如果一次购买台数不超过5台时，价格为每台3000元，如果一次购买台数超过5台时，超过部分按六折销售；乙电器店的优惠方案：全部按八折销售.设某校在同一家电器店一次购买空调的数量为x （x 为正整数）. （Ⅰ）根据题意，填写下表： 一次购买台数（台） 2 6 15 … 甲电器店收费（元） 6000 … 乙电器店收费（元）4800…（Ⅱ）设在甲电器店购买收费y 1元，在乙电器店购买收费y 2元，分别写出y 1、y 2关于x 的函数关系式； （Ⅲ）当x > 6时，该校在哪家电器店购买更合算？并说明理由.4.已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上． 下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家．图中x 表示时间（单位是分钟）y 表示到小明家的距离（单位是千米）．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表：小明离开家的时间/min 5 10 15 30 45 小明离家的距离/km131（Ⅱ）填空：（i ）小明在文化宫停留了_____________min（ii ）小明从家到体育场的速度为_______________km /min （iii ）小明从文化宫回家的平均速度为_______________km /min（iv ）当小明距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为_________________min （Ⅲ）当0≤x ≤45时，请直接写出y 关于x 的函数解析式.5.共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有A 两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费元与骑行时间min 之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应． 请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：骑行时间/min 10 20 25 A 品牌收费/元 8 B 品牌收费/元8（Ⅱ）填空：①B 品牌10分钟后，每分钟收费 元；②如果小明每天早上需要骑行A 品牌或B 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择 品牌共享电动车更省钱；③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时的值是 ． （Ⅲ）直接写出，关于的函数解析式．3~10km B y x A 1y B 2y 300m /min 9km x 1y 2y x y /元O 10 20 x /min8 66. 小明的父亲在批发市场按每千克1.5元批发了若干千克的西瓜进城出售,为了方便他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x 与他手中持有的钱数y 元（含备用零钱）的关系如图所示，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：售出西瓜x /kg 0 10 20 30 40 80手中持有的钱数y /元 50______120155190 ______（Ⅱ）填空：①降价前他每千克西瓜出售的价格是________元②随后他按每千克下降1元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450 元， 他一共批发了_________千克的西瓜 （Ⅲ）当0≤x ≤80 时求y 与x 的函数关系式．7. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间为t （时），甲组加工零件的数量为 y 甲（个），乙组加工零件的数量为 y 乙（个），其函数图象如图所示． （I ）根据图象信息填表：（Ⅱ）填空：①甲组工人每小时加工零件 个 ②乙组工人每小时加工零件 个③甲组加工 小时的时候，甲、乙两组加工零件的总数为480个 （Ⅲ）分别求出 y 甲、y 乙与t 之间的函数关系式．加工时间t （时） 3 4 8 甲组加工零件的数量（个）a ＝8. 4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．在甲书店所有书籍按标价总额的折出售．在乙书店一次购书的标价总额不超过元的按标价总额计费，超过元后的部分打折．设在同一家书店一次购书的标价总额为（单位：元，）． （Ⅰ）根据题意，填写下表：一次购书的标价总额/元… 在甲书店应支付金额/元 … 在乙书店应支付金额/元…（Ⅱ）设在甲书店应支付金额元，在乙书店应支付金额元，分别写出、关于的函数关系式； （Ⅲ）根据题意填空：① 若在甲书店和在乙书店一次购书的标价总额相同，且应支付的金额相同，则在同一个书店一次购书的标价总额 元；② 若在同一个书店一次购书应支付金额为元，则在甲、乙两个书店中的 书店购书的标价总额多； ③ 若在同一个书店一次购书的标价总额元，则在甲、乙两个书店中的 书店购书应支付的金额少．9. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小明家、体育场、文具店依次在同一条直线上. 体育场离家，文具店离家．周末小明从家出发，匀速跑步到体育场；在体育场锻炼后，匀速走了到文具店；在文具店停留买笔后，匀速走了返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题： （I ）填表：离开家的时间/min离开家的距离/ km（II ）填空：① 体育场到文具店的距离为______ ② 小明从家到体育场的速度为______ ③ 小明从文具店返回家的速度为______④ 当小明离家的距离为时，他离开家的时间为______ （III ）当时，请直接写出关于的函数解析式．81001006x 0x 501503*********y 2y 1y 2y x 2801203km 1.5km 15min 15min 15min 20min 30min km y min x 6122050701.23km km /min km /min 0.6km min 045x ≤≤y x10. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表：（Ⅱ）填空：①每分钟进水______升，每分钟出水______升 ②容器中储水量不低于15升的时长是_________分钟 （Ⅲ）当0≤x ≤12时，请直接写出y 关于x 的函数解析式.11. 明明的家与书店、学校依次在同一直线上，明明骑自行车从家出发去学校上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的书店，买到书后继续去学校.下面图象反映了明明本次上学离家距离y （单位：m ）与所用时间x （单位：min ）之间的对应关系.请根据相关信息，解决下列问题： （Ⅰ）填表：（Ⅱ）填空：①明明家与书店的距离是 m②明明在书店停留的时间是min③明明与家距离900m 时，明明离开家的时间是 min（Ⅲ）当6≤t 14≤时，请直接写出y 与x 的函数关系式. 时间/min23412容器内水量/L1020离开家的时间/min25811离家的距离/m400 60012. 甲，乙两车从A 城出发前往B 城．在整个行程中，甲乙两车都以匀速行驶，汽车离开A 城的距离ykm 与时刻t 的对应关系如下图所示．请根据相关信息，解答下列问题：（I ）填表：（II ）填空：①A ，B 两城的距离为 km②甲车的速度为 km/h 乙车的速度为 km/h ③乙车追上甲车用了 h 此时两车离开A 城的距离是 km ④当9:00时，甲乙两车相距 km⑤ 当甲车离开A 城120km 时甲车行驶了 h ⑥ 当乙车出发行驶 h 时甲乙两车相距20km13.大部分国家都使用摄氏温度，但美国、英国等国家的天气预报仍然使用华氏温度．两种计量之间有如下对应：（Ⅰ）如果两种计量之间的关系是一次函数，设摄氏温度为x （ °C ）时对应的华氏温度为y （ °F ），请你写出华氏温度关于摄氏温度的函数表达式；（Ⅱ）求当华氏温度为0°F 时，摄氏温度是多少°C ？（Ⅲ）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有可能相等吗？若可能求出此值；若不可能请说明理由 .从A 城出发的时刻 到达B 城的时刻甲 5:00 乙9:00摄氏温度/°C 0 10 20 30 40 华氏温度/°F32506886104参考答案1. 解：（Ⅰ）①360 ②60 ③56④6803⑤52或196（Ⅱ）当0≤x ≤2时 160y x =当2223x <≤时 1120y =当222533x <≤时 1280803y x =-（Ⅲ）当1352x ≤≤时由题意，可知甲车在乙车前面，设两车所在位置的距离相差y km则2801908060302033y x x x =---=-（）（） ∵ 200>∴ y 随x 的增大而增大 ∴ 当5x =时y 取得最大值1103答：两车所在位置的距离最多相差1103km2.解：（Ⅰ） 1.5（Ⅱ）①2.5 ②③ ④12或 （Ⅲ）当时当时3. 解：（Ⅰ）16800 33000 14400 36000（Ⅱ）当0＜≤5时当＞5时，即；=⎩⎪⎨⎪⎧3000x （0＜x ≤5且x 为正整数），1800x ＋6000（x ＞5且x 为正整数）.（x ＞0且x 为正整数）531153702756545≤≤x 5.1=y 10065≤<x 730703+-=x y x 13000y x x 1300053000605y x％（）118006000y x1y 23000802400y x x ％（Ⅲ）设与的总费用的差为元. 则 即. 当时 即 解得.∴当时 选择甲乙两家电器店购买均可 ∵＜0∴随的增大而减小∴当6＜x ＜10时1y ＞2y 在乙家电器店购买更合算 当x ＞10时＜在甲家电器店购买更合算4. 解：（Ⅰ）1 0.5（Ⅱ）填空：（i ） 25 （ii ）（iii ） （iv ）9或42（ii ） （Ⅲ）y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0≤x ≤15），1（15＜x ≤30）， x ＋2（30＜x ≤ 45）.5.解：（Ⅰ）（Ⅱ）①0.2 ②B ③152或35 （Ⅲ）10.4 (0)y x x =≥ 26 0100.24 10x y x x ⎧=⎨+⎩，≤≤．，，＞6. 解：（Ⅰ）85 330（Ⅱ）3.5 128（Ⅲ）设y 与x 的函数关系式是)0(≠+=k b kx y ∵图象过），（500和）（330,80∴⎩⎨⎧+==b k b8033050 1y 2y y 180060002400y x x 6006000y x 0y60060000x10x10x 600y x 1y 2y 23115160115130-解得⎩⎨⎧==505.3b k ∴y 与x 的函数关系式为505.3+=x y )800(≤≤x7. （Ⅰ）（II ） ① 40 ② 120 ③ 7 (III ) （1）当时 当时当时∵图象经过（4 120）则 解得：∴ 当时∴（2）设 把 分别代入得解得 ∴与时间t 之间的函数关系式为：8. 解：（Ⅰ）40 240 50 220 （Ⅱ）10.8y x =（0x >） 当0100x <≤时 2y x =当100x >时 21000.6100y x =+⨯-（） 即20.640y x =+ （Ⅲ）① 200 ② 乙 ③ 甲03t t y 40=甲43≤t ＜120=甲y 84≤t ＜140b t y +=甲1440120b +⨯=401-=b 84≤t ＜4040-=t y 甲⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤≤=)84(404043(120)3040t t t t t y ＜）＜（甲2b kt y +=乙(5,0)(8,360)⎩⎨⎧+=+=22836050b k b k ⎩⎨⎧-==6001202b k y 乙）乙85(600120≤≤-=t t y9. 解：（Ⅰ）2.4 1.5 1.25（Ⅱ）①1.5 ②0.2 ③0.05 ④3或83（Ⅲ）当015≤≤x 时 0.2=y x当1530<≤x 时 3=y当3045<≤x 时 0.16=-+y x10. （Ⅰ）填表：（Ⅱ）①5 3.75 ②13（Ⅲ）当04x ≤<时5y x =当412x <≤时5154y x =+11. 解：（Ⅰ）1000 600（Ⅱ）①600 ②4 ③4.5或7或338 （Ⅲ）300300068600812450480014x x y x x x -+≤≤⎧⎪=≤⎨⎪-≤⎩（）（＜）（12＜） 12. 解：（I ）甲 10:00 乙 6:00（II ）①300 ②60 100 ③1.5 150④60 ⑤2 ⑥ 1或213. 解：（Ⅰ）过程略 ∴华氏温度关于摄氏温度的函数表达式为1832y .x （Ⅱ）令0=y 则0328.1=+x 解得9160-=x ∴当华氏温度为0 °F 时摄氏温度是1609°C （Ⅲ）令x y =则x x =+328.1解得40-=x答：当华氏温度为- 40 °F 时，摄氏温度为-40°C 时，华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等. 时间/min 2 3 4 12 容器内水量/L 10 15 20 30。
中考数学考点：专题(50)函数的应用(含答案)
专题50 函数的应用 聚焦考点☆温习理解1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．名师点睛☆典例分类考点典例一、一次函数相关应用题【例1】 (2015.陕西省，第21题，7分)（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费。
假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人。
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y （元）与x （人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。
【答案】（1）甲旅行社：x 85.0640y ⨯==x 544.乙旅行社：当20x ≤时，x 9.0640y ⨯==x 576.当x>20时，20)-x 0.75640209.0640y （⨯+⨯⨯==1920x 480+.（2）胡老师选择乙旅行社.【解析】×人数；乙总费用y=20个人九折的费用+超过的人数×报价×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.考点：一次函数的应用、分类思想的应用．【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．【举一反三】(2015·黑龙江哈尔滨）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）。
2019年全国中考数学真题分类汇编：方程、不等式与函数的实际应用题
（分类）专题复习（四）方程、不等式与函数的实际应用题类型1 多种函数的综合应用类型2 函数与方程或不等式的综合应用类型1 多种函数的综合应用（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．（2019十堰）（2019毕节）（2019襄阳）（2019咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x 天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z=-2x+120.（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w圆.①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大.最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？（2019随州）（2019荆门）（2019黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红。
经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100），已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p=x+1.（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w’（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？（2019鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐. 某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施. 据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条. 设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条.（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生. 为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？解：（1）y＝100+5（80－x）或y＝－5x+500 …………2′（2）由题意，得：W=(x-40)( －5x+500)=-5x2+700x-20000=-5(x-70)2+4500 …………4′∵a=-5<0 ∴w有最大值即当x=70时，w最大值＝4500∴应降价80－70＝10（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元 …………6′（3）由题意，得：-5(x-70)2+4500＝4220+200解得：x1＝66 x2 ＝74 …………8′∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=70，∴当66≤x≤74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠.…………10′(2019黔东南)某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该士特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表:X(元)152030…y(袋)252010…若日销售量y是销售价x的一次函数,试求:(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式;(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元?（2019广西北部湾）（2019天水）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出没见销售价位多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？答案不完整……（2019武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）(1) ①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元(2) 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值（2019攀枝花）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/干克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量；（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？（2019宿迁）（2019嘉兴）某农作物的生长率 与温度 ()有如下关系：如图 1，当10≤≤25 时可近似用函数p t C t 11505p t =-刻画；当25≤≤37 时可近似用函数 刻画．t 21()0.4160p t h =--+ (1)求 的值． (2)按照经验，该作物提前上市的天数(天)与生长率满足函数关系：h m p 生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数 （天）m 051015①请运用已学的知识，求 关于 的函数表达式；m p ②请用含的代数式表示t m(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为 200元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 (元)与大棚温度()之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个w t C 最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．x y （2019临沂）汛期到来，山洪暴发，下表记录了某水库20h内水位的变化情况，其中表示时间（单位：h），x表示水位高度（单位：m），当=8（h）时，达到警戒水位，开始开闸放水。
2019安徽中考数学专题训练——函数的实际应用
2019安徽中考数学 函数的实际应用 专题训练类型一 最大利润问题1.某企业推销自己的品牌，设计了一款篮球工艺品投放市场进行试销.根据市场调查，这种工艺品一段时间内每周的销售量y （个）与销售单价x （元）之间的对应关系如图所示（x 为大于6的整数）.（1）试判断y 与x 的函数关系，并求出y 关于x 的函数表达式；（2）已知篮球工艺品的进价为10元/个，按照上述销售规律，当销售单价x 定为多少时，试销该工艺品每周获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？（3）某体育超市每周购进该款篮球工艺品的进货成本不超过1000元，要想每周获得的利润最大，试确定该工艺品的单价（规定取整数），并求出此时每周所获得的最大利润.第1题图解：（1）由题图可知，y 是x 的一次函数.设此一次函数表达式为y =kx +b ，把点（10，300），（12，240）代入，得⎩⎨⎧=+=+2401230010b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=06030b k ， ∴y 关于x 的函数表达式为y =-30x +600；（2）由题意可得：w =(x -10)(-30x +600)=-30x 2+900x -6000=-30(x -15)2+750，∵-30<0，∴当x =15时，w 有最大值750，即当销售单价定为15元时，试销该工艺品每周获得的利润最大，最大利润为750元；（3）由题意得：10(-30x +600)≤1000，解得x ≥503，由（2）知，w =-30(x -15)2+750的函数图象开口向下，对称轴为直线x =15，∴当x ≥503时，w 随x 的增大而减小，又∵x 取整数，∴当x =17时，w 最大，且w 最大=-30(17-15)2+750=630，即该工艺品的单价定为17元时，每周获得的利润最大，最大利润为630元.2.某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y （万个）与销售价格x （元/个）的变化如下表：（1）求出当销售量为2.5万个时，销售价格为多少？（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润w （万元）与销售价格（元/个）的函数关系式；（3）销售价格定为多少元时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）根据表格中数据可得，当y =2.5时，代入y =- 110x +8，得x =55，当y =2.5时，代入y =120x ，得x =48（不合题意，舍去）， ∴当销售量为2.5万个时，销售价格为55元/个；（2）根据题意得，当30≤x ≤60时，y =- 110x +8，∴w =(x -20)y -40=(x -20)(- 110x +8)-40=- 110x 2+10x -200=- 110(x -50)2+50；当60<x ≤80时，y =120x ，∴w =(x -20)y -40=(x -20)·120x -40=- 2400x +80.综上可得，w =⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+--)8060(802400)6030(50501012x x x x ）（； （3）当30≤x ≤60时，w =- 110(x -50)2+50，∴当x =50时，w 最大=50；当60<x ≤80时，w =- 2400x +80，∴当x =80时，w 最大=50.综上可得，当销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润为50万元.类型二 最优方案问题3.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，准备一次运完，且恰好每辆车都载满货物.已知：每辆A 型车载满货物一次可运货3吨，每辆B 型车载满货物一次可运货4吨.（1）该物流公司共有几种租车方案？请分别写出来；（2）若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.解：（1）由题意得3a +4b =31，∵a ，b 都是整数，∴⎩⎨⎧==19b a 或⎩⎨⎧==45b a 或⎩⎨⎧==71b a . 即共有3种租车方案；分别为方案一：租A 型车9辆、B 型车1辆；方案二：租A 型车5辆、B 型车4辆；方案三：租A 型车1辆、B 型车7辆.（2）∵租A 型车每辆需租金100元/次，租B 型车每辆需租金120元/次，∴方案一需租金：9×100+1×120=1020（元）；方案二需租金：5×100+4×120=980（元），方案三需租金：1×100+7×120=940（元）.∵1020>980>940，∴最省钱的租车方案是方案三：租A 型车1辆、B 型车 7辆，最少租车费为940元.4.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示：快递物品重量不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元.设小明快递物品x 千克.（1）根据题意，填写下表：（2）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元）与x （千克）之间的函数关系式；（3）小明应选择哪家快递公司更省钱？解：（1）11，52，19，67；【解法提示】当x =0.5时，y 甲=22×0.5=11；当x =3时，y 甲=22+15×2=52；当x =1时，y 乙=16×1+3=19；当x =4时，y 乙=16×4+3=67；（2）当0<x ≤1时，y 甲=22x ；当x >1时，y 甲=22+15(x -1)=15x +7.∴y 甲=⎩⎨⎧>+≤<)1(715)10(22x x x x , y 乙=16x +3（x >0）；（3）若0<x ≤1，则当 y 甲=y 乙时，即22x =16x +3，解得x =12；当 y 甲>y 乙时，即22x >16x +3，解得x >12；当 y 甲<y 乙时，即22x <16x +3，解得x <12；若x >1，则当 y 甲=y 乙时，即15x +7=16x +3，解得x =4；当 y 甲>y 乙时，即15x +7>16x +3，解得x <4；当 y 甲<y 乙时，即15x +7<16x +3，解得x >4；综上可得，当小明快递物品少于12千克或超过4千克时，选择甲公司更省钱；当快递物品等于12千克或4千克时，选择两家快递公司的费用一样；当快递物品超过12千克或不足4千克时，选择乙公司更省钱.类型三 抛物线型问题5.如图①，是安徽省著名的彩虹桥，桥面的截面图可近似地看成一条抛物线.（如图②）已知桥面在拱桥之间的长度 CD 为40米，桥面CD 距拱形支撑的最高点的距离AB 为10米.（1）求该抛物线的解析式；（2）小王准备在桥面M 处竖直搭建一块广告牌，M 为BC 的中点，广告牌与拱形的交点为N ，为了广告效果，规定广告牌的最高点P 距离N 点不得少于1.1米，求广告牌PM的最低高度.图① 图②第5题图解：（1）如解图，以A 为坐标原点，过点A 的水平线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意知，点C （-20，-10），点D （20，-10），设该抛物线的解析式为y =ax 2，将点D 的坐标代入，得a =- 140，∴该抛物线的解析式为y =- 140x 2（-20≤x ≤20）；第5题解图（2）∵M 为BC 中点，∴设点N 的坐标为（-10，k ），第5题解图则k=- 1×(-10)2=-2.5，40∴MN=10+k=7.5，∴PM=MN+PN≥7.5+1.1=8.6，∴广告牌PM的最低高度为8.6米.6.某中学阳光体育跳大绳规定：2名同学甩绳，5名同学跳绳，甩绳的形状可看作抛物线.如图，以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，正在甩绳的甲乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，点C为抛物线的最低点，且在x轴上，5名同学在OD之间站立.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果小华站在OD之间，且离原点O的距离为2米，他至少跳起多少米，才能顺利通过？（3）若小刚的连续弹跳高度为0.4米，作为一名体育老师，应安排他在哪个位置才能顺利通过？第6题图解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a(x-3)2，将点A（0，0.9）代入，得0.9=a(x-3)2，解得a=0.1，∴y=0.1(x-3)2，即y=0.1x2-0.6x+0.9；（2）当x=2时，y=0.1×(2-3)2=0.1，∴小华至少跳起0.1米；（3）当y=0.4时，0.1(x-3)2=0.4，解得x1=1，x2=5，∴可安排他距离O点1米至5米范围内.类型四几何面积最大值问题7.如图，在一面墙的周围用篱笆围成一个矩形ABCD的草坪，在AD、BC边上有一个宽为1 m 的小路，在草坪中间用篱笆做出一个隔断EF ，EF ⊥AB ，AB >EF ，矩形ADFE 种植兰花，矩形BCFE 种植月季，已知所用篱笆总长度为40 m .设矩形ABCD 的面积为y m 2.（1）设隔断EF 的长为x m ，请用含x 的代数式表示出AB 的长；（2）求y 与x 之间的函数关系式；（3）所围成的矩形草坪面积是否能为150 m 2，若能，请求出x 的值，若不能， 求出当x 为多少时，所围成的矩形草坪面积最大？并求出这个最大值.解：（1）∵隔断EF 的长为x m ，∴AB =40-3x +2=(42-3x ) m ；（2）y =x ·(42-3x )=-3x 2+42x ，∴y 与x 之间的函数关系式为y =-3x 2+42x ；（3）当y =150时，即-3x 2+42x =150，b 2-4ac =422-4×(-3)×(-150)=-36<0，∴所围成的矩形面积不能为150 m 2，∵AB >EF ，∴42-3x >x ，∴1<x <212，∵y ==-3x 2+42x =-3(x -7)2+147，∴当x =7时，所围成的矩形草坪面积最大，最大面积为147 m 2.8.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一个135°的角（如图，即∠MON =135°）两边为边，用总长为120 m 的围网围成了①、②、③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②、③均为矩形.（1）若①、②、③这三块区域的面积相等，求OB 的长；（2）设OB =x ，四边形OBDG 的面积为y m 2，求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；（3）x 取何值时，y 有最大值？最大值是多少？第7题图 第7题图第8题图解：（1）由题意知，∠MON =135°，∠EOB =∠D =∠DBO =90°， ∴∠EGO =∠EOG =45°，∴EG =EO =DB ，DE =FC =OB ，设OB =CF =DE =x ，则GE =OE =BD =13(120-2x )=40- 23x .∵①②③这三块区域的面积相等，∴12(40- 23x )2=12×(40- 23x )x ，解得x =24或60（舍去）， ∴OB =24 m ；（2）y =)3240(23240x x x x -⨯-++=- 49x 2+403x +800（0<x <60）； （3）y =- 49x 2+403x +800=- 49(x -15)2+900.∴当x =15时，y 有最大值，最大值为900 m 2.。
安徽省2019年中考二轮复习题型五：函数的实际应用题(含答案)
题型五函数的实际应用题类型一最大利润问题1.新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x(元)有如下关系：y＝－2x＋320(80≤x≤160)．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？2.某旅行社推出一条成本价为500元/人的省内旅游线路，游客人数y(人/月)与旅游报价x(元/人)之间的关系为y＝－x＋1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间．(1)要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，求该旅游线路报价的取值范围；(2)求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本；(3)当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？3.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润，最大利润为多少元？4. (2018合肥庐阳区一模)某公司2017年初刚成立时投资1000万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本40元．按规定，该产品售价不得低于60元/件且不得超过160元/件，且每年售价确定以后不再变化，该产品销售量y(万件)与产品售价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求2017年该公司的最大利润？(3)在2017年取得最大利润的前提下，2018年公司将重新确定产品售价，能否使两年共盈利达980万元，若能，求出2018年产品的售价；若不能，请说明理由．第4题图5.某公司生产一种产品，每件成本为2元，售价为3元，年销售量为100万件．为获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告，通过市场调查发现：每年投入的广告费用为x(单位：十万元) 时，产品的年销售量将是原来的y倍，同时y又是x的二次函数，且满足的相互关系如下表：x0 1 2 …y 1 1.5 1.8 …(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润s(单位：十万元)与广告费x(单位：十万元)的函数关系；(3)如果公司一年投入的年广告费为10－30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增加？公司可获得的最大年利润是多少？6.每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲．节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为每件30元，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量y(件)是销售单价x (元/件)的一次函数．(1)求出y 与x 的函数关系；(2)物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润不得高于100%.①当销售单价x 取何值时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元？(利润＝销售总价－成本总价)；②试确定销售单价x 取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润W (元)最大？并求出花店销售该鲜花礼盒每天获得的最大利润．7. 某种商品的成本为每件20元，经市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量m (件)与x (天)的关系如表．时间x (天) 1361036…日销售量m (件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与时间x (天)的函数关系式为y 1＝14x ＋25(1≤x ≤20且x 为整数)，后20天每天的价格y 2(元/件)与时间x (天)的函数关系式为y 2＝－12x ＋40(21≤x ≤40且x 为整数)．(1)求日销售量m (件)与时间x (天)之间的关系式；(2)请预测本地市场在未来40天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？类型二最优方案问题1.某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．2.某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销量为x(件)，其中x＞0.若在甲地销售，每件售价y(元)与x之间的函数关系式为y＝－110x＋100，每件成本为20元，设此时的年销售利润为w甲(元)(利润＝销售额－成本)；若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为a元(a为常数，15≤a≤25)，每件售价为106元，销售x(件)每年还需缴纳110x2元的附加费，设此时的年销售利润为w乙(元)(利润＝销售额－成本－附加费)；(1)当a＝16，且x＝100时，w乙＝________元；(2)求w甲与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)，并求x为何值时，w甲最大以及最大值是多少？3.近年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元(a为常数，且40＜a＜100)，每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：(1)分别写出该企业两个投资方案的年利润y1(万元)、y2(万元)与相应生产件数x(万件)(x为正整数)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；(2)分别求出这两个投资方案的最大年利润；(3)如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？4.都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打7.5折，已知所有人员都买一等座单程火车票需6175元，都买二等座单程火车票需3150元；如果家长代表与教师的人数之比为2∶1.运行区间票价起点站终点站一等座二等座都匀桂林95(元) 60(元)(1)参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？(2)由于各种原因，二等座单程火车票只能买x张(x＜参加社会实践的总人数)，其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用y与x之间的函数关系式；(3)在(2)的方案下，请求出当x＝30时，购买单程火车票的总费用．类型三抛物线型问题1. (2018滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？第1题图2. 有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC 的宽为8米，拱桥的最高点D 到水面BC 的距离DO 为4米，点O 是BC 的中点，如图，以点O 为原点，直线BC 为x 轴，建立直角坐标系xOy .(1)求该抛物线的表达式；(2)如果水面BC 上升3米(即OA ＝3)至水面EF ，点E 在点F 的左侧，求水面宽度EF 的长．第2题图3. 有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y ＝ax 2＋bx 来表示．已知大棚在地面上的宽度OA 为10米，距离O 点2米处的棚高BC 为3米．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？(3)若借助横梁DE 建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米？第3题图4. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面209m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，当球出手后水平距离为4 m 时到达最大高度4 m ，篮圈距地面3 m ，设篮球运行的轨迹为抛物线．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)此球能否准确投中？(3)此时，若对方队员乙在甲前面1 m 处跳起拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m ，那么他能否拦截成功？第4题图5. 如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA ，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系式可以用y ＝－x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线经过点B (12，52)，C (2，74)，请根据以上信息，解答下列问题．(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度； (2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？第5题图类型四 几何面积最大值问题1. 投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24 m ，平行于墙的边的费用为200元/m ，垂直于墙的边的费用为150元/m ，设平行于墙的边长为x m.(1)设垂直于墙的一边长为y m ，直接写出y 与x 之间的函数关系式； (2)若菜园面积为384 m 2，求x 的值；(3)当x 为何值时，菜园的面积最大，最大值为多少？第1题图2.为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁的一块地上进行绿化改造，他们依据地势整理出了一块矩形区域ABCD，铺成人们可以活动的砖石地面，又分别以AB、BC、CD、DA为斜边向外作等腰直角三角形(如图所示)，通过测量，发现四边形MNGH的周长正好为200米，设AB ＝x米，BC＝y米 .(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果矩形区域ABCD铺设砖石地面，建设费用为每平方米50元，其他区域种花草，建设费用为每平方米100元，设总建设费用为w元，求w与x之间的函数关系式；当x取何值时，w有最小值，最小值为多少？第2题图3. (2018合肥瑶海区三模)国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图所示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(如图阴影所示)，供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为y m2.(1)求y与x的函数表达式；(2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值；(3)若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．第3题图4. (2017潍坊)如图，工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)．(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线、虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元．裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？第4题图5.如图，为美化社区环境，满足市民休闲娱乐需要，某社区计划在一块长为60 m，宽为40 m 的矩形空地上修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽x m，纵向宽为2x m的鹅卵石健身道．第5题图(1)用含x(m)的代数式表示休闲区的面积S(m2)，并注明x的取值范围；(2)若休闲区的面积与鹅卵石健身道的面积相等，求此时x的值；(3)已知承建公司修建休闲区、鹅卵石健身道的前期投入及造价w1(万元)、w2(万元)与修建面积a(m2)之间的关系如下表所示，并要求满足1≤x≤3，要使修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w最低，x应取多少米，最低造价多少万元？a(m2) 0 10 100 …w1(万元) 0.5 0.6 1.5 …w2(万元) 0.5 0.58 1.3 …参考答案类型一最大利润问题1.解：(1)w＝(x－80)·y＝(x－80)(－2x＋320)＝－2x2＋480x－25600，w与x的函数关系式为：w＝－2x2＋480x－25600；(2)w＝－2x2＋480x－25600＝－2(x－120)2＋3200，∵－2＜0，80≤x≤160， ∴当 x＝120 时，w 有最大值，w 最大值为 3200. 答：销售单价定为 120 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 3200 元． 2. 解：(1)由题意得 y＜200 时，即－x＋1300＜200， 解得：x＞1100， 即该旅游线路报价的取值范围为 1100 元/人～1200 元/人之间； (2)设经营这条旅游线路每月所需要的成本为 z 元， ∴z＝500(－x＋1300)＝－500x＋650000， ∵－500＜0， ∴当 x＝1200 时，z 最低＝－500×1200＋650000＝50000； 答：经营这条旅游线路每月所需的最低成本为 50000 元． (3)设经营这条旅游线路的总利润为 w， 则 w＝(x－500)(－x＋1300)＝－x2＋1800x－650000＝－(x－900)2＋160000， ∵－1＜0，800≤x≤1200， ∴当 x＝900 时，w 最大＝160000. 答：当这条旅游线路的旅游报价为 900 元时，可获得最大利润，最大利润为 160000 元． 3. 解：(1)若商场经营该商品不降价，则一天可获利润 100×(100－80)＝2000(元)； (2)①依题意得： (100－80－x)(100＋10x)＝2160， 即 x2－10x＋16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8， 经检验：x1＝2，x2＝8 均符合题意， 答：商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价 2 元或 8 元； ②依题意得： y＝(100－80－x)(100＋10x)＝－10x2＋100x＋2000＝－10(x－5)2＋2250， ∵－10＜0， ∴当 x＝5 时，商场所获利润最大，最大利润为 2250 元． k＝－ 1 60k＋b＝15 20， 4. 解：(1)设 y＝kx＋b，则根据题图可知 ，解得 160k＋b＝10 b＝18 ∴y 与 x 的函数关系为 y＝－ 1 x＋18(60≤x≤160)； 201 1 (2)设公司的利润为 w 万元，则 w＝(x－40)(－ x＋18)－1000＝－ (x－200)2＋280， 20 20 1 又∵－ ＜0， 20 ∴当 x＜200 时，w 随 x 增大而增大，则 60≤x≤160， ∴当 x＝160 时，w 最大，最大值为 200， ∴2017 年该公司的最大利润为 200 万元； (3)根据题意可得： 1 (x－40)(－ x＋18)＋200＝980， 20 解得 x1＝100，x2＝300(舍)， ∴当 x＝100 时，能使两年共盈利达 980 万元． 5. 解：(1)设二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，c＝1 根据题意，得 a＋b＋c＝1.5 ， 4a＋2b＋c＝1.8 a＝－ 10 解得： 3 ， b＝ 5 c＝1 1 3 故所求函数的解析式是：y＝－ x2＋ x＋1； 10 5 (2)根据题意，得 s＝10y(3－2)－x＝－x2＋5x＋10； (3)s＝－x2＋5x＋10 5 65 ＝－(x－ )2＋ . 2 4 由于 1≤x≤3，所以当 1≤x≤2.5 时，s 随 x 的增大而增大． ∴当广告费在 10～25 万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大，公司可获得的最大 65 年利润是 万元． 4 6. 解：(1)设一次函数的解析式为 y＝kx＋b，将(30，350)和(40，300) 分别代入 y＝kx＋b 30k＋b＝350 k＝－5 得： ，解得 ， 40k＋b＝300 b＝5001∴y 与 x 的函数关系式为 y＝－5x＋500； (2)①据题意得：(x－30)(－5x＋500)＝5000 即 x2－130x＋4000＝0， 解得：x1＝50，x2＝80， 又∵30×(1＋100%)＝60，80＞60 不合题意，舍去， 答：当销售单价 x＝50 时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为 5000 元． ②据题意得，W＝(x－30)(－5x＋500)，即 W＝－5(x－65)2＋6125 ∵－5<0，30≤x≤60， 在对称轴直线 x＝65 的左边，y 随 x 的增大而增大， 所以，当销售单价 x＝60 时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润 W(元)最大，最大利润 W＝ －5(60－65)2＋6125＝6000 元． 7. 解：(1)通过图表可知 m 与 x 之间的关系式为一次函数，设一次函数解析式为 m＝kx＋b， k＋b＝94 k＝－2 把(1，94)和(3，90)代入，得 ，解得 ， 3k＋b＝90 b＝96 ∴m＝－2x＋96； (2)设日销售利润为 W 元， 1 1 当 1≤x≤20 时，W＝(－2x＋96)( x＋25－20)＝－ (x－14)2＋578， 4 2 当 x＝14 时，W 最大＝578， 1 当 21≤x≤40 时，W＝(－2x＋96)(－ x＋40－20)＝(x－44)2－16， 2∵当 x＜44 时，W 随 x 增大而减小， ∴x＝21 时，W 最大＝(21－44)2－16＝513， ∴未来 40 天中，第 14 天日销售利润最大，最大利润 578 元． 类型二 最优方案问题 1. 解：(1)设 A 种商品每件的进价为 x 元，B 种商品每件的进价为 y 元， 30x＋40y＝3800 根据题意得： ， 40x＋30y＝3200 x＝20 解得 ， y＝80 答：A 种商品每件的进价为 20 元，B 种商品每件的进价为 80 元； (2)设购进 B 种商品 m 件，获得的利润为 w 元，则购进 A 种商品(1000－m)件， 根据题意得：w＝(30－20)(1000－m)＋(100－80)m＝10m＋10000， ∵A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍， ∴1000－m≥4m， 解得：m≤200， ∵在 w＝10m＋10000 中，10＞0， ∴w 的值随 m 的增大而增大， ∴当 m＝200 时，w 取最大值，最大值为 10×200＋10000＝12000， ∴当购进 A 种商品 800 件、B 种商品 200 件时，销售利润最大，最大利润为 12000 元． 2. 解：(1)8000； 1 【解法提示】w 乙＝(106－a)x－ x2， 10 当 a＝16 且 x＝100 时，w 乙＝90×100－1000＝8000(元)； 1 1 1 (2)w 甲＝(y－20)x＝(－ x＋100－20)x＝－ x2＋80x＝－ (x－400)2＋16000， 10 10 10 1 ∵－ ＜0，∴当 x＝400 时，w 甲最大，最大值是 16000. 10 3. 解：(1)由题意得： y1＝(120－a)x(1≤x≤125，x 为正整数)， y2＝(180－80)x－0.5x2＝100x－0.5x2(1≤x≤120，x 为正整数)； (2)①∵40＜a＜100， ∴120－a＞0， 即 y1 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝125 时，y1 最大值＝(120－a)×125＝15000－125a(万元)， 即方案一的最大年利润为(15000－125a)万元； ②y2＝－0.5(x－100)2＋5000， ∵－0.5＜0， ∴当 x＝100 时，y2 最大值＝5000(万元)， 即方案二的最大年利润为 5000 万元； (3)由 15000－125a＞5000， 解得 a＜80， ∴当 40＜a＜80 时，选择方案一；由 15000－125a＝5000，解得 a＝80， ∴当 a＝80 时，选择方案一或方案二均可； 由 15000－125a＜5000，得 a＞80， ∴当 80＜a＜100 时，选择方案二． 4. 解：(1)设参加社会实践的老师有 m 人，学生有 n 人，则学生家长代表有 2m 人， 根据题意得： 95（3m＋n）＝6175 m＝5 ，解得 ， 60（m＋2m）＋60×0.75n＝3150 n＝50 则 2m＝10， 答：参加社会实践的老师、家长代表与学生各有 5、10 与 50 人； (2)由(1)知所有参与人员总共有 65 人，其中学生有 50 人， ①当 50≤x＜65 时，最经济的购票方案为： 学生都买学生票共 50 张，(x－50)名成年人买二等座火车票，(65－x)名成年人买一等座火车票． ∴火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式为：y＝60×0.75×50＋60(x－50)＋95(65－x)， 即 y＝－35x＋5425(50≤x＜65)； ②当 0＜x＜50 时， 最经济的购票方案为： 一部分学生买学生票共 x 张， 其余的学生与家长代表、 老师一起购买一等座火车票共(65－x)张． ∴火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式为：y＝60×0.75x＋95(65－x)， 即 y＝－50x＋6175(0＜x＜50)， ∴购买单程火车票的总费用 y 与 x 之间的函数关系式为：－50x＋6175（0<x＜50） y＝ ； －35x＋5425（50≤x＜65）(3)∵x＝30＜50， ∴y＝－50x＋6175＝－50×30＋6175＝4675， 答：当 x＝30 时，购买单程火车票的总费用为 4675 元． 类型三 抛物线型问题 1. 解：(1)当 y＝15 时， 15＝－5x2＋20x， 解得 x1＝1，x2＝3， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 m 时，飞行时间是 1 s 或 3 s； (2)当 y＝0 时， 0＝－5x2＋20x， 解得 x1＝0，x2＝4， ∵4－0＝4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4 s； (3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20， ∵－5＜0 ∴当 x＝2 时，y 取得最大值，此时，y＝20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度在第 2 s 时最大，最大高度是 20 m. 2. 解：(1)设抛物线的表达式为：y＝ax2＋c， 由题意可得图象经过(4，0)，(0，4)，c＝4 则 ， 16a＋c＝01 解得：a＝－ ， 4 1 故抛物线的表达式为：y＝－ x2＋4； 4 (2)由题意可得：y＝3 时， 1 3＝－ x2＋4， 4 解得：x＝± 2， 故 EF＝4， 答：水面宽度 EF 的长为 4 m. 3. 解：(1)由题意可得，抛物线经过(2，3)，(10，0)，100a＋10b＝0 故 ， 4a＋2b＝3 a＝－16 解得： ， 15 b ＝ 83 15 故抛物线的函数关系式为：y＝－ x2＋ x； 16 8 3 15 (2)y＝－ x2＋ x 16 8 3 75 ＝－ (x－5)2＋ ， 16 16 3 ∵－ ＜0， 16 75 ∴当 x＝5 时，y 最大＝ ， 16 75 故蔬菜大棚离地面的最大高度是 米； 16 (3)由题意可得：当 y＝1.5 时， 3 15 1．5＝－ x2＋ x， 16 8 解得：x1＝5＋ 17，x2＝5－ 17， 故 DE＝x1－x2＝5＋ 17－(5－ 17)＝2 17. 答：门高度不低于 1.5 米时，横梁 DE 最宽为 2 17米． 20 4. 解：(1)根据题意，求出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：(0， )，(4，4)，(7，3)， 9 设二次函数解析式为 y＝a(x－h)2＋k，由题知 h＝4，k＝4，即 y＝a(x－4)2＋4， 20 20 将点(0， )代入上式可得 16a＋4＝ ， 9 931 解得 a＝－ ， 9 1 ∴抛物线解析式为 y＝－ (x－4)2＋4(0≤x≤7); 9 (2)将(7，3)点坐标代入抛物线解析式得： 1 － ×(7－4)2＋4＝3， 9 ∴(7，3)点在抛物线上， ∴此球一定能投中； (3)能拦截成功， 1 理由：将 x＝1 代入 y＝－ (x－4)2＋4 得 y＝3， 9 ∵3＜3.1， ∴他能拦截成功． 1 5 7 5. 解：(1)根据题意，将点 B( ， )，C(2， )代入 y＝－x2＋bx＋c， 2 2 4－（2） ＋2b＋c＝2 得 ， 7 － 2 ＋ 2 b ＋ c ＝ 42 2115b＝2 解得 7 ， c＝4 7 ∴抛物线的函数关系式为 y＝－x2＋2x＋ ， 4 7 7 当 x＝0 时，y＝ ，∴喷水装置 OA 的高度为 米； 4 4 7 11 (2)∵y＝－x2＋2x＋ ＝－(x－1)2＋ ， 4 4 11 11 ∴当 x＝1 时，y 取得最大值 ，故喷出的水流距水面的最大高度是 米； 4 4 7 (3)当 y＝0 时，解方程－x2＋2x＋ ＝0， 4 解得 x1＝1－ 11 11 (舍去)，x2＝1＋ ， 2 2 11 )米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 2 类型四 几何面积最大值问题 1. 解：(1)根据题意知，y＝ (2)根据题意，得： 2 100 (－ x＋ )x＝384， 3 3 解得：x＝18 或 x＝32， ∵墙的长度为 24 m， 10000－200x 2 100 ＝－ x＋ (0＜x≤24)； 3 3 2×150答：水池的半径至少要(1＋∴x＝32，不合题意，舍去， ∴x＝18； (3)设菜园的面积为 S m2， 2 100 则 S＝(－ x＋ )x 3 3 2 100 ＝－ x2＋ x 3 3 2 1250 ＝－ (x－25)2＋ ， 3 3 2 ∵－ ＜0， 3 ∴当 x＜25 时，S 随 x 的增大而增大， ∵x≤24， 2 1250 ∴当 x＝24 时，S 取得最大值，最大值为－ ×(24－25)2＋ ＝416(m2)， 3 3 答：当 x＝24 时，菜园的最大面积为 416 m2. 2. 解：(1)∵以 AB、BC、CD、DA 为斜边向外作等腰直角三角形， ∴四边形 MNGH 为矩形， ∵AB＝CD， ∴△AHB≌△DNC， ∴AH＝DN， 又∵MA＝MD，∴MH＝MN， ∴矩形 MNGH 为正方形， ∵AB＝x，∴BH＝ ∵BC＝y，∴BG＝ ∴ 2 x， 2 2 y， 22 2 x＋ y＝200÷ 4＝50， 2 2 200 2 ) － xy]×100 ＝－ 50xy ＋ 250000 ＝－ 50x( － x ＋ 50 2) ＋ 250000 ＝ 50x2 － 4整理得 y＝－x＋50 2； (2)∵w ＝ 50xy ＋ [(2500 2 x＋250000， 2500 2 ∵50＞0， ∴当 x＝ ＝25 2时， w 有最小值， w 最小＝50×(25 2)2－2500 2×25 2＋250000 2×50 ＝187500. 答：当 x＝25 2时，w 有最小值，最小值为 187500 元． 3. 解：(1)由题意可得：y＝(8－x)(6－x)＝x2－14x＋48(0＜x＜6)； (2)由题意可得：y＝48－13＝35， 则 x2－14x＋48＝35， 即(x－1)(x－13)＝0， 解得：x1＝1，x2＝13， 经检验得：x＝13 不合题意，舍去， 答：x 的值为 1； (3)y＝x2－14x＋48＝(x－7)2－1， 当 0.5≤x≤1 时，y 随 x 的增大而减小， 165 故当 x＝0.5 时，y 最大，最大值为(0.5－7)2－1＝ (m2)． 4 165 答：改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 m2. 4 4. 解：(1)裁剪示意图如解图：第 4 题解图 设裁掉的正方形的边长为 x dm. 根据题意可得：(10－2x)(6－2x)＝12， 即 x2－8x＋12＝0， 解得 x1＝2，x2＝6(不合题意，舍去)， ∴裁掉的正方形的边长为 2 dm； (2)由题意可得 10－2x≤5(6－2x)，解得 0＜x≤2.5， 设总费用为 y 元， 根据题意得 y＝2[x(10－2x)＋x(6－2x)]×0.5＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24， ∵对称轴为直线 x＝6，函数图象开口向上， ∴当 0＜x≤2.5 时，y 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝2.5 时，y 有最小值，最小值为 4×(2.5－6)2－24＝25(元)． 答：当正方形的边长为 2.5 dm 时，总费用最低，最低为 25 元． 5. 解：(1)S＝40×60－2x×40×3－60×x×3＋2x· x· 9＝18x2－420x＋2400； x<10 60－2x×3>0 ∵ ，得 40， 40－x×3>0 x< 3 ∴0<x<10， ∴S＝18x2－420x＋2400(0<x<10)； 40×60 (2)由题意得：18x2－420x＋2400＝ ，化简得 3x2－70x＋200＝0， 2 10 10 解得 x1＝ ，x2＝20(不合题意，舍去)，∴此时 x 为 m； 3 3 (3)由表可知：修建休闲区前期投入 0.5 万元，每平方米造价 0.01 万元；修建鹅卵石健身道前期 投入 0.5 万元，每平方米造价 0.008 万元，由上述信息可得：w＝0.01×(18x2－420x＋2400)＋ 0.008×(－18x2＋420x)＋1 ， 整理， 得 w＝0.036x2－0.84x＋25， 配方后， 得 w＝ 35 ∵a＞0，∴当 x＜ 时，w 随 x 的增大而减小， 3 ∵1≤x≤3，∴当 x＝3 时，w 最小＝0.036×9－0.84×3＋25＝22.804(万元)， 答 ： 当 x 的 值 取 3 米 时 ， 最 低 造 价 为 元． 22.804 万 9 35 201 (x－ )2＋ ， 250 3 10。
中考数学函数实际应用综合题(解析版)
专题03 函数实际应用综合题1.（2019•常德中考）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【解析】（1）设y甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y甲=20x；设y乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y乙=10x+100．（2）①y甲<y乙，即20x<10x+100，解得x<10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y甲=y乙，即20x=10x+100，解得x=10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y甲>y乙，即20x>10x+100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．2.（2019•山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1=30x+200，方式二的费用为：y2=40x．（2）由y1<y2得：30x+200<40x，解得x>20时，当x>20时，选择方式一比方式二省钱．3．（2019•台州中考）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）之间具有函数关系3610h x =-+，乙离一楼地面的高度y （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）的函数关系如图2所示． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式是y kx b =+，6153b k b =⎧⎨+=⎩，解得，156k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 即y 关于x 的函数解析式是165y x =-+． （2）当0h =时，30610x =-+，得20x ，当0y =时，1065x =-+，得30x =， ∵2030<， ∴甲先到达地面．4．（2019•天门中考）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？ 【解析】（1）根据题意，得①当0≤x ≤5时，y =20x ； ②当x >5，y =20×0.8（x -5）+20×5=16x +20． （2）把x =30代入y =16x +20，∴y =16×30+20=500； ∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．5.（2019•天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50 kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x >．（1）根据题意填表：（2）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式； （3）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg ，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多．【解析】（1）当x =30时，1306180y =⨯=，2307210y =⨯=，当x =150时，11506900y =⨯=，2507515050850y =⨯+-=（）， 故答案为：180，900，210，850． （2）16y x =(0)x >． 当050x <≤时，27y x =；当50x >时，27505(50)y x =⨯+-，即25100y x =+． （3）①∵0x >∴6x 7x ≠， ∴当21y y =时，即6x =5x +100，∴x =100， 故答案为：100． ②∵x =12050>，∴16120720y =⨯=；25120100=700y =⨯+， ∴乙批发店购买花费少， 故答案为：乙．③∵当x =50时乙批发店的花费是：350360<， ∵一次购买苹果花费了360元，∴x >50， ∴当1360y =时，6x =360，∴x =60， ∴当2360y =时，5x +100=360,∴x =52， ∴甲批发店购买数量多． 故答案为：甲．6.（2019•湖州中考）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是24003080÷=（米/分）， ∴乙出发时甲离开小区的路程是8010800⨯=（米）．（2）设直线OA 的解析式为:(0)y kx k =≠， ∵直线OA 过点()30,2400A ， ∴302400k =， 解得80k =，∴直线OA 的解析式为:80y x =， ∴当18x =时，80181440y =⨯=，∴乙骑自行车的速度是()14401810180÷-=（米/分）． ∵乙骑自行车的时间为251015-=（分）， ∴乙骑自行车的路程为180152700⨯=（米）．当25x =时，甲走过的路程是8080252000y x ==⨯=（米），∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是27002000700-=（米）． （3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分）， 当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如图所示．7.2019•河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元． （1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3015x y =⎧⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为（30-z ）个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，z ≥13（30-z ）， ∴z ≥152， W =30z +15（30-z ）=450+15z ， ∵15＞0，W 随z 的减小而减小 ∴当z =8时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少．8.（2019•宿迁中考）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？ 【解析】（1）根据题意得，1502y x =-+． （2）根据题意得，()140(50)22502x x +-+=， 解得：150x =，210x =， ∵每件利润不能超过60元， ∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元． （3）根据题意得，()21140(50)30200022w x x x x =+-+=-++()213024502x =--+， ∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大，∴当20x时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．9．（2019•潍坊中考）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）【解析】（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为()1x +元， 今年的批发销售总额为()10120%12-=万元， ∴12000010000010001x x -=+， 整理得2191200x x --=，解得24x =或5x =-（不合题意，舍去）， 故这种水果今年每千克的平均批发价是24元． （2）设每千克的平均售价为m 元，依题意 由（1）知平均批发价为24元，则有()4124(180300)3mw m -=-⨯+260420066240m m =-+-， 整理得()260357260w m =--+， ∵600a =-<， ∴抛物线开口向下，∴当35m =元时，w 取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．10．（2019•南充中考）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． （1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？ 【解析】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意可得23384570x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：106x y =⎧⎨=⎩． 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元， ①当30≤b ≤50时，100.1(30)0.113a b b =--=-+，w =b （-0.1b +13）+6（100-b ）20.17600b b =-++20.1(35)722.5b =--+， ∵当30b =时，W =720，当b =50时，W =700， ∴当30≤b ≤50时，700≤W ≤722.5． ②当50＜b ≤60时， a =8，86(100)2600W b b b =+-=+，∵700720W <≤，∴当30≤b ≤60时，W 的最小值为700元，∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．11．（2019•梧州中考）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（x ≥6，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解析】（1）由题意，y =（x -5）（100-60.5x -×5）=-10x 2+210x -800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，∵-10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）∵每件文具利润不超过80%，∴50.8xx-≤，得x≤9，∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，∵对称轴为x=10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．12．（2019•云南中考）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．【解析】（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得1000620010k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得2002200kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-200x+1200，当10<x≤12时，y=200，故y 与x 的函数解析式为：y =2002200(610)200(1012)x x x -+≤≤⎧⎨<≤⎩．（2）由已知得：W =（x -6）y ， 当6≤x ≤10时，W =（x -6）（-200x +1200）=-200（x -172）2+1250， ∵-200<0，抛物线的开口向下， ∴x =172时，取最大值， ∴W =1250，当10<x ≤12时，W =（x -6）•200=200x -1200， ∵y 随x 的增大而增大，∴x =12时取得最大值，W =200×12-1200=1200， 综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．13．（2019•成都中考）随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可以用p =12x +12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【解析】（1）设函数的解析式为：y =kx +b （k ≠0），由图象可得，700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5007500kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的关系式：y=-500x+7500．（2）设销售收入为w万元，根据题意得，w=yp=（-500x+7500）（12x+12），即w=-250（x-7）2+16000，∴当x=7时，w有最大值为16000，此时y=-500×7+7500=4000（元）．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．14．（2019•武汉中考）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．【解析】（1）①依题意设y=kx+b，则有50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2200 kb=-⎧⎨=⎩，所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200．②该商品进价是50-1000÷100=40，设每周获得利润w=ax2+bx+c，则有2500501000 3600601600 6400801600a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得22808000 abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，∵对称轴x=1402m+，∴①当1402m+<65时（舍），②当1402m+≥65时，x=65时，w求最大值1400，解得：m=5．。
2019中考数学试题分类考点训练及中考冲刺集训-题型二-函数的实际应用-试题及解析
题型二函数的实际应用类型1 最优方案问题1．(2019·宁波)某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林(上下车时间忽略不计)．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7︰40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数关系如图2所示．(1)求第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达式．(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．(3)小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？(假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变)(第24题图)类型2 分段函数问题2．(2019·淮安)快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有体息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米，下图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系，请解答下列问题:(1)求快车和慢车的速度；(2)求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．3．(2019·无锡)“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出发时间t(h)之间的函数关系式如图①中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x(km)与出发时间t(h)之间的函数关系式如图①中折线段CD-DE-EF所示．(1)小丽和小明骑车的速度各是多少？(2)求点E坐标，并解释点E的实际意义．类型3 利润最值问题4．(2019·广元)某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．(1)求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？(2)该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？5．(2019·通辽)当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0＜a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．类型4 抛物线型问题6．(2019·广安)在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y＝－112x2＋23x＋53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为________米．7．（2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．8．(2019·临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示，下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m；①小球抛出3秒后，速度越来越快；①小球抛出3秒时速度为0；①小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是()A．①① B．①① C．①①① D．①①类型5 图形面积问题9．(2019·连云港)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中①C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A．18 m2B．18 3 m2C．24 3 m2 D.4532m210．(2019·绍兴)有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，①A＝①B＝90°，①C＝135°，①E＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．题型二 函数的实际应用答案1．思路分析：本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的生活应用，一元一次不等式，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题．在第(1)小题中，根据(20，0)，(38，2700)这两个特殊点，利用待定系数法可以求出y 关于x 的函数关系式．在第(2)小题中，已知函数值求自变量．第(3)小题中，利用一元一次不等式求出最早可以坐的班车，进而求出时差．解题过程：解：(1)由题意得，可设函数表达式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)． 把(20，0)，(38，2700)代入y ＝kx ＋b ，得020270038k b k b，解得1503000k b．①第一班车离入口处的路程y (米)与时间x (分)的函数表达式为 y ＝150x －3000(20≤x ≤38)．(注：x 的取值范围可省略不写) (2)把y ＝1500代入，解得x ＝30，则30－20＝10(分)． ①第一班车到塔林所需时间10分钟． (3)设小聪坐上第n 班车．30－25＋10(n －1)≥40，解得n ≥4.5， ①小聪最早坐上第5班车．等班车时间为5分钟，坐班车所需时间：1200÷150＝8(分)， 步行所需时间：1200÷(1500÷25)＝20(分)，20－(8＋5)＝7(分)． ①小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟． 2．思路分析：（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；（2）根据函数图象中的数据可以求得点E 和点C 的坐标，从而可以求得1y 与x 之间的函数表达式；（3）根据图象可知，点F 表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F 的坐标，并写出点F 的实际意义．解题过程：解：(1)快车速度＝1802＝90(千米/小时)，慢车速度＝1803＝60(千米/小时)．(2)点E 坐标(3.5，180)，点C 坐标(5.5，360)．设直线EC 的表达式为y 1＝kx ＋b (k ≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧3.5k ＋b ＝180，5.5k ＋b ＝360，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝90，b ＝－135，即y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝90x －135. (3)F (4.5，270)，F 点的实际意义是出发了4.5小时后两车都行驶了270千米．点拨:直线OD 的表达式为y 2＝60x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝60x ，y ＝90x －135，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝270.3．思路分析：（1）由点A ，点B ，点D 表示的实际意义，可求解；（2）理解点E 表示的实际意义，则点E 的横坐标为小明从甲地到乙地的时间，点E 纵坐标为小丽这个时间段走的路程，即可求解． 解题过程：解：（1）由题意可得：小丽速度3616(/)2.25km h == 设小明速度为/xkm h 由题意得：1(16)36x ⨯+= 20x ∴=答：小明的速度为20/km h ，小丽的速度为16/km h ． （2）由图象可得：点E 表示小明到了甲地，此时小丽没到，∴点E 的横坐标369205==， 点E 的纵坐标91441655=⨯=∴点9(5E ，144)54．思路分析：（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；（2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后根据一次函数的性质即可解答本题．解题过程：解:(1)设乙种水果的单价是x 元/千克，则甲种水果的单价是(x －4)元/千克． 根据题意，得800x －4＝1000x ，解得x ＝20.经检验，x ＝20是原方程的解， 当x ＝20时，x －4＝20－4＝16.答:甲、乙两种水果的单价分别是16元/千克，20元/千克． (2)设水果商购进乙种水果m 千克，获得的利润为w 元．⎩⎪⎨⎪⎧200－m ≤3m ，16（200－m ）＋20m ≤3420，解得50≤m ≤55， w ＝(20－16)(200－m )＋(25－20)m ，即w ＝m ＋800. ①1＞0，①w 随m 的增大而增大．①50≤m ≤55，①当m ＝55时，w 有最大值，此时，200－m ＝200－55＝145，w ＝55＋800＝855. 答:水果商应购进乙种水果55千克，购进甲种水果145千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．5．思路分析：（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到2(20)(10500)10(10700)50010000(3038)w x a x x a x a x =---+=-++--求得对称轴为1352x a =+，若06a <<，则130352a <+，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到12a =，258a =，于是得到2a =．解题过程：解：①当销售单价是25元时，每天的销售量是250本； 销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，①销售量y (本)与销售单价x (元)之间的函数关系式为：y ＝250－10×x －251，①y ＝－10x ＋500.①书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元， ①10≤x －20≤18，①30≤x ≤38，即为所求自变量的取值范围． (2)设每天扣除捐赠后可获得的利润为W 元，则W ＝(x －20－a )(－10x ＋500)＝－10x 2＋(10a ＋700)x －500a －1000. ①对称轴为x ＝12a ＋35，且0＜a ≤6，①30＜12a ＋35≤38，①当x ＝12a ＋35时，W 有最大值，①1960＝⎝⎛⎭⎫12a ＋35－20－a ⎣⎡⎦⎤－10⎝⎛⎭⎫12a ＋35＋500， ①a 1＝2，a 2＝58(不符合题意，舍去)． ①a ＝2.6．答案：10．解析：当0y =时，212501233y x x =-++=， 解得，2x =（舍去），10x =．故答案为：10． 7．答案：4．解析：依题意，令h ＝0得 0＝20t ﹣5t 2 得t （20﹣5t ）＝0 解得t ＝0（舍去）或t ＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s 故答案为4．8．答案：D ．解析：由图象可知小球竖直向上达到最大高度40 m 后再下落回来，因此小球在空中经过的路程是80 m ，故①错误；小球抛出3秒时，速度为0，然后落回地面，速度越来越快，故①与①均正确；当小球的高度h ＝30 m 时，即y ＝30，此时函数图象对称轴两侧各有一点纵坐标为30，也就是说存在两个时间点使小球的高度为30 m(小球上升与回落)，故①错误，设抛物线的解析式为y ＝a (x －3)2＋40，把(6，0)代入，得0＝9a ＋40，解得a ＝－409，①y ＝－409(x －3)2＋40，当y ＝30时，－409(x －3)2＋40＝30，解得x 1＝1.5，x 2＝4.5，即当t ＝1.5 s 或t ＝4.5 s 时，小球的高度h ＝30 m ． 9．答案：C ．解析：如图，过点C 作CE AB ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，CD AE x ==，90DCE CEB ∠=∠=︒， 则30BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒，12BC x =-， 在Rt CBE ∆中，90CEB ∠=︒， 11622BE BC x ∴==-，AD CE x ∴==， 116622AB AE BE x x x =+=+-=+，∴梯形ABCD 面积221113()(6)(63)4)222S CD AB CE x x x x =+=++-=++-+，∴当4x =时，S =最大．即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为2； 故选：C ．10．思路分析：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，过点C 作CF AE ⊥于F ，得出16530S AB BC ==⨯=；①若所截矩形材料的一条边是AE ，过点E 作//EF AB 交CD 于F ，FG AB ⊥于G ，过点C 作CH FG ⊥于H ，则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形，证出CHF ∆为等腰三角形，得出6AE FG ==，5HG BC ==，BG CH FH ==，求出1BG CH FH FG HG ===-=，5AG AB BG =-=，得出26530S AE AG ==⨯=；（2）在CD 上取点F ，过点F 作FM AB ⊥于M ，FN AE ⊥于N ，过点C 作CG FM ⊥于G ，则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形，证出CGF ∆为等腰三角形，得出5MG BC ==，BM CG =，FG DG=，设AM x =，则6BM x =-，11FM GM FG GM CG BC BM x =+=+=+=-，得出2(11)11S AM FM x x x x =⨯=-=-+，由二次函数的性质即可得出结果．解题过程：解:(1)①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图①所示: 过点C 作CF ①AE 于点F ，S 1＝AB ·BC ＝6×5＝30； ①若所截矩形材料的一条边是AE ，如图①所示:过点E 作EF ①AB 交CD 于点F ，过点F 作FG ①AB 于点G ，过点C 作CH ①FG 于点H ， 则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形， ①①C ＝135°，①①FCH ＝45°， ①①CHF 为等腰直角三角形，①AE ＝FG ＝6，HG ＝BC ＝5，BG ＝CH ＝FH ， ①BG ＝CH ＝FH ＝FG －HG ＝6－5＝1， ①AG ＝AB －BG ＝6－1＝5， ①S 2＝AE ·AG ＝6×5＝30； (2)能；理由如下:在CD 上取点F ，过点F 作FM ①AB 于点M ，FN ①AE 于点N ，过点C 作CG ①FM 于点G ，则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形， ①①C ＝135°， ①①FCG ＝45°，①①CGF 为等腰直角三角形， ①MG ＝BC ＝5，BM ＝CG ，FG ＝CG ， 设AM ＝x ，则BM ＝6－x ，①FM ＝GM ＋FG ＝GM ＋CG ＝BC ＋BM ＝11－x ，①S ＝AM ×FM ＝x (11－x )＝－x 2＋11x ＝－(x －5.5)2＋30.25， ①当x ＝5.5时，S 的最大值为30.25.。
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专题复习(五) 函数的实际应用题类型1 一次函数的图象信息题1．求函数解析式的方法有两种：一种是直接利用两个变量之间的等量关系建立函数模型；另一种是采用待定系数法，用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组．正因如此，能正确地解方程(组)成为运用待定系数法求解析式的前提和基础．2．用函数探究实际中的最值问题，一种是对于一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是对于二次函数解析式，首先整理成顶点式，然后结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值．3．在组合函数中，若有一个函数是分段函数，则组合后的函数也必须分段．1．(2018·吉林)小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示：(1)家与图书馆之间的路程为4__000 m，小玲步行的速度为100m/min；(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)求两人相遇的时间．解：(1)结合题意和图象可知，线段CD 为小东路程与时间的函数图象，折线O —A —B 为小玲路程与时间的函数图象，则家与图书馆之间路程为 4 000m ，小玲步行速度为(4 000－2 000)÷(30－10)＝100 m /min .故答案为：4 000，100.(2)∵小东从离家4 000 m 处以300 m /min 的速度返回家， 则x min 时，他离家的路程y ＝4 000－300x ，自变量x 的范围为0≤x≤403.(3)当x ＝10时，y 玲＝2 000，y 东＝1 000，即两人相遇是在小玲改变速度之前， ∴令4 000－300x ＝200x ，解得x ＝8. ∴两人相遇时间为第8分钟．2．(2018·成都)为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m 2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．(1)直接写出当0≤x≤300和x ＞300时，y 与x 的函数关系式； (2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1 200 m 2，若甲种花卉的种植面积不少于200 m 2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？解：(1)y ＝错误!(2)设甲种花卉种植为a m 2，则乙种花卉种植(1 200－a)m 2. ∴a≤2(1 200－a)，解得a≤800. 又a≥200，∴200≤a≤800. 当200≤a＜300时，W 1＝130a ＋100(1 200－a)＝30a ＋120 000.当a＝200 时．W min＝126 000 元；当300≤a≤800时，W2＝80a＋15 000＋100(1 200－a)＝135 000－20a.当a＝800时，W min＝119 000 元．∵119 000＜126 000，∴当a＝800时，总费用最少，最少总费用为119 000元．此时乙种花卉种植面积为1 200－800＝400(m2)．答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800 m2和400 m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119 000元．类型2 一次函数与方程或不等式的综合运用1．(2018·武汉)用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A，B型钢板共100块，并全部加工成C，D 型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块(x为整数)．(1)求A，B型钢板的购买方案共有多少种？(2)出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若将C，D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案．解：(1)设购买A型钢板x块，则购买B型钢板(100－x)块，根据题意，得错误!解得20≤x≤25.∵x为整数，∴x＝20，21，22，23，24，25共6种方案，即A，B型钢板的购买方案共有6种．(2)设总利润为w，根据题意，得w＝100(2x＋100－x)＋120(x＋300－3x)＝100x＋10 000－240x＋36 000＝－140x＋46 000，∵－140＜0，∴w随x的增大而减小．∴当x＝20时，w max＝－140×20＋46 000＝43 200.即购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大．2．(2018·潍坊)为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1 080立方米的挖土量，且总费用不超过12 960元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意，得错误!解得错误!答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米．(2)设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖掘机有(12－m)台．根据题意，得W＝4×300m＋4×180(12－m)＝480m＋8 640.∵错误!∴错误!∵m≠12－m，解得m≠6，∴7≤m≤9.∴共有三种调配方案，即方案一：当m＝7时，12－m＝5，即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台；方案二：当m＝8时，12－m＝4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；方案三：当m＝9时，12－m＝3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台．∵480＞0，由一次函数的性质可知，W随m的减小而减小，∴当m＝7时，W小＝480×7＋8 640＝12 000(元)．当A型挖掘机7台，B型挖掘机5台时的施工费用最低，最低费用为12 000元．3．(2018·恩施)某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A 型空调和2台B型空调，需费用39 000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6 000元．(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217 000元，该校共有哪几种采购方案？(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设A型空调和B型空调每台各需x元，y元，根据题意，得错误!解得错误!答：A型空调和B型空调每台各需9 000元，6 000元．(2)设购买A型空调a台，则购买B型空调(30－a)台，根据题意，得错误!解得10≤a≤12错误!.∴a＝10，11，12，共有三种采购方案，即方案一：采购A型空调10台，B型空调20台；方案二：采购A型空调11台，B型空调19台：方案三：采购A型空调12台，B型空调18台．(3)设总费用为w元，则w＝9 000a＋6 000(30－a)＝3 000a＋180 000，∴当a＝10时，w取得最小值，此时w＝210 000，即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210 000元．类型3 二次函数的实际应用1．(2018·衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝a(x －3)2＋5(a≠0)，将(8，0)代入y ＝a(x －3)2＋5，得 25a ＋5＝0，解得a ＝－15.∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15(x －3)2＋5(0＜x ＜8)．(2)当y ＝1.8时，有－15(x －3)2＋5＝1.8，解得x 1＝－1，x 2＝7.答：为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． (3)当x ＝0时，y ＝－15(0－3)2＋5＝165.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15x 2＋bx ＋165，∵该函数图象过点(16，0)， ∴0＝－15×162＋16b ＋165，解得b ＝3.∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15x 2＋3x ＋165＝－15(x －152)2＋28920. ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米．2．(2018·温州)温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x 人生产乙产品．(1)根据信息填表：(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润；(3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一种产品)，丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的x 值．解：(2)由题意，得15×2(65－x)＝x(130－2x)＋550，整理得x 2－80x ＋700＝0，解得x 1＝10，x 2＝70(不合题意，舍去)． ∴130－2x ＝110.答：每件乙产品可获得的利润是110元． (3)设生产甲产品m 人，则W ＝x(130－2x)＋15×2m＋30(65－x －m)＝－2(x －25)2＋3 200.∵每天甲、丙两种产品的产量相等，∴2m＝65－x －m.∴m＝65－x3.又∵－2＜0，x ，m 都是非负整数， ∴取x ＝26时，m ＝13，65－x －m ＝26. 此时，W 最大＝3 198.答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3 198元．类型4 一次函数与二次函数的综合运用1．(2018·河南)某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：[(注：日销售利润＝日销售量×(销售单价－成本单价)](1)求y 关于x 的函数解析式(不要求写出x 的取值范围)及m 的值； (2)根据以上信息，填空：该产品的成本单价是80元，当销售单价x ＝100元时，日销售利润w 最大，最大值是2__000元；(3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3 750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？解：(1)设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧85k ＋b ＝175，95k ＋b ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝600. 即y 关于x 的函数解析式是y ＝－5x ＋600. 当x ＝115时，y ＝－5×115＋600＝25， 即m 的值是25.(2)设成本为a 元/个，当x ＝85时，875＝175×(85－a)，得a ＝80. w ＝(－5x ＋600)(x －80)＝－5x 2＋1 000x －48 000＝－5(x －100)2＋2 000，∴当x ＝100时，w 取得最大值，此时w ＝2 000. 故答案为：80，100，2 000.(3)设科技创新后成本为b 元/个，当x ＝90时，(－5×90＋600)(90－b)≥3 750， 解得b≤65.答：该产品的成本单价应不超过65元．2．(2018·黔南)某种蔬菜的销售单价y 1与销售月份x 之间的关系如图1所示，成本y 2与销售月份x 之间的关系如图2所示．(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)图1 图2 (1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益＝售价－成本)(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由；(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？解：(1)当x ＝6时，y 1＝3，y 2＝1. ∵y 1－y 2＝3－1＝2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．(2)设y 1＝mx ＋n ，y 2＝a(x －6)2＋1. 将(3，5)，(6，3)代入y 1＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝5，6m ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－23，n ＝7.∴y 1＝－23x ＋7.将(3，4)代入y 2＝a(x －6)2＋1， 4＝a(3－6)2＋1，解得a ＝13.∴y 2＝13(x －6)2＋1＝13x 2－4x ＋13.∴y 1－y 2＝－23x ＋7－(13x 2－4x ＋13)＝－13x 2＋103x －6＝－13(x －5)2＋73.∵－13＜0，∴当x ＝5时，y 1－y 2取最大值，最大值为73，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大． (3)当x ＝4时，y 1－y 2＝2.设4月份的销售量为t 万千克，则5月份的销售量为(t ＋2)万千克，根据题意，得 2t ＋73(t ＋2)＝22，解得t ＝4.∴t＋2＝6.答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．3．(2018·荆门)随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10 000 kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166 000，放养30天的总成本为178 000元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为 a kg ，销售单价为y 元/kg ，根据往年的行情预测，a 与t 的函数关系为a ＝⎩⎪⎨⎪⎧10 000（0≤t≤20），100t ＋8 000（20＜t≤50），y 与t 的函数关系如图所示． (1)设每天的养殖成本为m 元，收购成本为n 元，求m 与n 的值；(2)求y 与t 的函数关系式；(3)如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？(总成本＝放养总费用＋收购成本；利润＝销售总额－总成本)解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10m ＋n ＝166 000，30m ＋n ＝178 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝600，n ＝160 000. (2)当0≤t≤20时，设y ＝k 1t ＋b 1，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝16，20k 1＋b 1＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝35，b 1＝16.∴y＝35t ＋16；当20＜t≤50时，设y ＝k 2t ＋b 2，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧20k 2＋b 2＝28，50k 2＋b 2＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－15b 2＝32.∴y＝－15t ＋32.综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧35t ＋16（0≤t≤20），－15t ＋32（20＜t≤50）.(3)W ＝ya －mt －n ，当0≤t≤20时，W ＝10 000(35t ＋16)－600t －160 000＝5 400t.∵5 400＞0，∴当t ＝20时，W 最大＝5 400×20＝108 000.当20＜t≤50时，W ＝(－15t ＋32)(100t ＋8 000)－600t －160 000＝－20t 2＋1 000t ＋96 000＝－20(t －25)2＋108 500.∵－20＜0，抛物线开口向下， ∴当t ＝25时，W 最大＝108 500. ∵108 500＞108 000，∴当t ＝25时，W 取得最大值，该最大值为108 500元．4．(2018·扬州)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3 600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700. 故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700. (2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x≤46，设利润为w ＝(x －30)·y＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1 000x －21 000＝－10(x －50)2＋4 000.∵－10＜0，∴x＜50时，w 随x 的增大而增大．∴当x ＝46时，w 最大＝－10(46－50)2＋4 000＝3 840.答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3 840元．(3)w －150＝－10x 2＋1 000x －21 000－150＝3 600， 解得x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3 600元．5．(2018·天门)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF 、折线ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价y 1(元)、生产成本y 2(元)与产量x(kg )之间的函数关系．(1)求该产品销售价y 1(元)与产量x(kg )之间的函数关系式；(2)直接写出生产成本y 2(元)与产量x(kg )之间的函数关系式；(3)当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？解：(1)设y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝kx ＋b ，∵经过点(0，168)与(180，60)，根据题意，得∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝168，180k ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝168.∴产品销售价y 1(元)与产量x(kg )之间的函数关系式为y 1＝－35x ＋168(0≤x≤180)． (2)由题意，可得当0≤x≤50时，y 2＝70；当130≤x≤180时，y 2＝54；当50＜x ＜130时，设y 2与x 之间的函数关系式为y 2＝mx ＋n.∵直线y 2＝mx ＋n 经过点(50，70)与(130，54)，∴⎩⎪⎨⎪⎧50m ＋n ＝70，130m ＋n ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－15，n ＝80.∴当50＜x ＜130时，y 2＝－15x ＋80. 综上所述，生产成本y 2(元)与产量x(kg )之间的函数关系式为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧70（0≤x≤50），－15x ＋80（50＜x ＜130），54（130≤x≤180）.(3)设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，①当0≤x≤50时，W ＝x(－35x ＋168－70) ＝－35(x －2453)2＋12 0053， ∴当x ＝50时，W 的值最大，最大值为3 400；②当50＜x ＜130时，W ＝x[(－35x ＋168)－(－15x ＋80)]＝－25(x －110)2＋4 840， ∴当x ＝110时，W 的值最大，最大值为4 840；③当130≤x≤180时，W ＝x(－35x ＋168－54)＝－35(x －95)2＋5 415， ∴当x ＝130时，W 的值最大，最大值为4 680.因此当该产品产量为110 kg 时，获得的利润最大，最大值为4 840元．。