图形的相似经典测试题及答案解析

∵四边形 ABCD 是正方形
∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B= 90
∴△ADE≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA
∵∠DAO+∠FAB= 90 ，∠FAB+∠BFA= 90 ，
∴∠DAO=∠BFA，
∴∠DAO=∠AED
∴△AOD∽△EAD
∴ AO AE 1 DO AD 2
故选：D
A．1.5cm 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
B．1.2cm
C．1.8cm
D．2cm
由图 2 知，点 P 在 AC、CB 上的运动时间时间分别是 3 秒和 4 秒，
∵点 P 的运动速度是每秒 1cm ，
∴AC=3，BC=4．
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，
∴根据勾股定理得：AB=5．
AE / / AB，
DAE DAB ，
则
AD 2 AD
SADE SABD
，即
AD 2 AD 1
2
9 8
9 16
，
解得 AD 3 或 AD 3 （舍）， 7
故选： B ． 【点睛】 本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
3．如图，将 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 ABC 的位置．已知 ABC 的面积为 16，阴影部分三角形的面积 9．若 AA 1，则 AD 等于（ ）
A．2
【答案】B 【解析】
B．3
C．4
D． 3 2
【分析】
由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9 且 AD 为 BC 边的中线知
SADE
解得：{
5．
b 21
5
∴直线 EF 的解析式为 y 3 x 21 ． 55
∴当 x 5 时， PD y 3 5 21 6 1.2cm ．
5 55
故选 B．
9．如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 【分析】 由平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，可知△ADE 与△ABC 相似，且面积
AQ
AC
三角形的边角关系得出答案．
【详解】
解：如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE 是等腰直角三角形，即 AE＝DE＝ 2 AD， 2
在 Rt△ABC 中，
∵∠BAC＝90°，AD 是△ABC 的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
3x 15 5x,
x 15 , 8
15 8 ED ,
54 ED 3 ,
2 DE BC ，
BE DB2 DE2 (15)2 ( 3)2 3 41 .
82
8
故选 D． 【点睛】 本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关 键．
8．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 P 以每秒 1cm 的速度从点 A 出发，沿折线 AC－ CB 运动，到点 B 停止．过点 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，PD 的长 y（cm）与点 P 的运动时间 x（秒）的函数图象如图 2 所示．当点 P 运动 5 秒时，PD 的长是（ ）
利用勾股定理计算即可． 【详解】
解： ABC 90, DE BC ，
DE / /BA,
CED CAB,
CE CD ED , CA CB AB ABC 90, AB 4, BC 3,
AC 5,
设 BD x, BD CE ， BD CE x,CD 3 x,
x 3 x ED , 53 4
4．如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点，AF 与 DE 相交于点 O，则 AO DO
（ ）．
A． 1 3
B． 2 5 5
C． 2 3
D． 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质即可
求解．
【详解】
比为 ，则相似比为 ， 的值为 ．
【详解】 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵DE 把△ABC 分成面积相等的两部分， ∴S△ADE＝S 四边形 DBCE，
∴
＝，
∴＝ ＝，
故选：C． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．
10．如图，点 A ， B 是双曲线 y 18 图象上的两点，连接 AB ，线段 AB 经过点 O ，点 x
C．②③④
D．①③
【答案】B
【解析】
【分析】
①正确．只要证明 EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．
②错误．想办法证明 BF=2OF，推出 S△BOC=3S△OCF 即可判断．
③正确．设 BC=BE=EC=a，求出 AC，BD 即可判断． ④正确．求出 BF，OF，DF（用 a 表示），通过计算证明即可． 【详解】 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC， ∴∠DCB+∠ABC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DCB=120°， ∵EC 平分∠DCB，
SCEF SDHFC SCED SEHF
1 x(1 x 8) 1 8(4 x) 1 4 • 1 x
22
2
22
1 x2 4x 16 4x x 4
1 x2 x 16, 4
∴当
xபைடு நூலகம்
1 2 1
4
2
时，△CEF
面积的最小值
1 4
4
2
16
15.
故选：B．
【点睛】 本题通过构造 K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与 AE 长度的函数 关系式是解题的关键．
2．如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F， 且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接 OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD
＝ 21 ：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ）
A．①②④
B．①③④
1 2
SAEF
9， 2
SABD
1 2 SABC
8
，根据△DA′E∽△DAB
知
AD
2
AD
SADE SABD
，据此求解可得．
【详解】
SABC 16 、 SAEF 9 ，且 AD 为 BC 边的中线，
SADE
1 2 SAEF
9 2
， SABD
1 2 SABC
8，
将 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到 ABC ，
【详解】
解：如图，
∵∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高， ∴由射影定理得：AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB， CD2＝AD•BD；
∴ CD BC ； AD AC
∴CD•AC＝AD•BC， ∴A，B，C 正确，D 不正确． 故选：D． 【点睛】 该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、 推理或解答．
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，
∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ 得： BQ ＝ BD ， AC AE
∴ BQ ＝ BQ ＝ AD ＝ AQ AC AE
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
5．在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝45°，把△ADC 沿 AD 对折，
BQ
使点 C 落在 C′的位置，C′D 交 AB 于点 Q，则 的值为（ ）
AQ
A． 2
B． 3
C． 2 2
∵OF= 1 OB= 7 a， 36
∴BF= 7 a， 3
∴BF2= 7 a2，OF•DF= 9
7 6
a•
7 a 2
7 6
a
7 9
a2，
∴BF2=OF•DF，故④正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角
形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
C 为双曲线 y k 在第二象限的分支上一点，当 ABC 满足 AC BC 且 x
AC : AB 13: 24 时， k 的值为（ ）．
A． 25 16
B． 25 8
C． 25 4
D． 25
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作 AE⊥x 轴于 E，CF⊥x 轴于 F．连接 OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出
如图，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，则易得△ABC∽△ACH．
∴ CH AC ，即 CH AC BC CH 3 4 12 ．
BC AB
AB
55
∴如图，点 E（3， 12 ），F（7，0）． 5
设直线 EF 的解析式为 y kx b ，则
12 3k b
{5
，
0 7k b
k3
D． 3 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可