最新北航计算流体力学第15课

北航计算流体力学第

15课

进口

出口

n

n

n

外边界

l

l

外流边界形状

n n

n

周期边

进口边界

出口边界

（b ）叶栅流

n

n

n

n

进口边界

出口边界

（a ）通道流

固体壁

内流边界形状

二．几个重要概念

边界条件的定义：

边界条件表示求解域外的信息（扰动）对求解域边界的影响。

确定边界条件的原则：

1．若一信息由边界传入求解域，就应指定该信息的边界条件（第一原则）；

2．若一信息由求解域内传出边界，则不应指定该信息的边界条件（第二原则）。

由第一原则确定的边界条件称为解析边界条件；

由第二原则确定不给边界条件，但在数值求解中必须补充的边界条件称为数值边界条件。

由于信息传播的方式由方程的类型所决定，所以边界条件如何确定是由方程的类型所决定的。

又由于信息（扰动）是沿特征线传播的，所以边界条件的确定与特征线与边界交汇的方式有关。

进口

出口

三．进口与出口条件

（一） 一维Euler 方程

0t x U F +=

式中：

U u e ρρ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦ ()2u F u p e p u ρρ⎡⎤⎢⎥

=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦

补充状态方程

21

12

p e u ργ=

+- 1．进口边界（用下标 “in ”表示） 1）超音流（u a ∞>）

3个解析边界条件均由来流条件决定，即

in u u ∞= ，in ρρ∞= ，in p p ∞=

2）亚音流（u a ∞<）

2个解析边界条件，1个数值边界条件

in u u ∞= ，in ρρ∞= ，in inner p p =

下标inner 表示内场值。

2．出口边界（用下标“out ”表示） 1）超音流（out u a >） 3个数值边界条件

out inner u u = ，out inner ρρ= ，out inner p p =

即所有边界条件均由内场值外推获得； 2）亚音流（out u a <）

2个数值边界条件，1个解析边界条件

out inner u u = ，out inner ρρ= ，out b p p =

其中，b p 为出口反压

进口

出口

亚音速 超音速 亚音速 超音速 解析 边界条件 2 3 1 0 数值 边界条件

1

2

3

进出口边界条件

（二）二维Euler 方程

+

+

-

+++

++

-+++

0t x y U F G ++=

式中，

u U v e ρρρ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦ ()2u u p F uv e p u ρρρ⎡⎤⎢⎥+⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ (

)2v uv G v p e p v ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 补充，

()22112

p e u v ργ=++-

对于多维问题，与一维类似，考察进出口截面上特征值的正负来确定边界条件。

1．进口边界 1）超音流

4个特征值均为正,需要确定的4个边界条件（解析边界条件数为4），均由来流值决定； 2）亚音流

3个特征值为正，1个特征值为负，存在着从域内传至域外的特征线，只需确定3个边界条件（解析边界条件数为3），再补充1个数值边界条件；

2．出口边界

1）超音流

4个特征值为正，信息都是从域内传至域外，因此无需确定边界条件（无解析边界条件），4个边界条件均由内场外推获得(数值边界条件数为4)。

2）亚音流

3个特征值为正, 1个特征值为负，只需确定1个边界条件（解析边界条件数为1），再补充3个数值边界条件。

三维Euler方程进出口边界条件的确定可类推。

四．物面边界条件

在物面边界（用下标 “w ”表示），法向速度为零，任何流量或对流通量都无法通过固壁，可以证明，只有1个特征值为正，因此只能给出1个解析边界条件，即

0n V =

也就是滑移条件，其它3个边界条件均为数值边界条件，由内场值外推获得。法向速度为零，也就是逆变速度w V 为零。即，

0w w x w y V u v ηη=+= （9-1）

另外一个逆变速度w U 由内场值外推获得。即，

w inner U U =

也就是，

w w x w y inner U u v U ξξ=+= （9-2）

联立（9-1）、（9-2），求得物面边界的速度w u 和w v 。另外，物面上密度和压力均内场值外推获得。即，

w inner ρρ= ， w inner p p =

由于物面边界对压力最敏感，可用法向动量方程求得压力w p 。 法向动量方程为：

()()22x y x x y y x y u v p p U ρηηξηξηηηξ

ξξη⎛⎫∂∂∂∂-+=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭

五．外边界（自由边界）

外边界一般离扰动源（例如机翼）较远，可认为是均匀流动，可以用一维Euler 方程黎曼不变量来确定边界上的气动参数。

用下标“f ”表示外边界上的气动参数。

根据特征线理论，一维Euler 方程有3条特征线，其斜率（特征值）分别为

1dt dx u a =+，1dt dx u =，1

dt dx u a

=

- 证

斜率为1u a +的特征线为C +；斜率为1u

的为0

C ；斜率为

1u a -的为C -。

沿着特征线C +，有黎曼不变量

1

a

u γ+

=-常数 （9-3） 沿着特征线C -，有黎曼不变量

1

a

u γ-

=-常数 （9-4） 沿着特征线0C ，实际上就是流线，熵不变，有等熵关系式

p γρ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

常数 （9-5） 于是，在外边界（自由边界）上，有以下关系成立：

1

1

f

f a a u u R γγ+∞

∞+=+

=-- （9-6） 1

1

f

inner f inner

a a u u R γγ--

=-=-- （9-7） 令：（9-6）+（9-7），得