最新北航计算流体力学第15课

北航计算流体力学第
15课
进口
出口
n
n
n
外边界
l
l
外流边界形状
n n
n
周期边
进口边界
出口边界
（b ）叶栅流
n
n
n
n
进口边界
出口边界
（a ）通道流
固体壁
内流边界形状
二．几个重要概念
边界条件的定义：
边界条件表示求解域外的信息（扰动）对求解域边界的影响。

确定边界条件的原则：
1．若一信息由边界传入求解域，就应指定该信息的边界条件（第一原则）；
2．若一信息由求解域内传出边界，则不应指定该信息的边界条件（第二原则）。

由第一原则确定的边界条件称为解析边界条件；
由第二原则确定不给边界条件，但在数值求解中必须补充的边界条件称为数值边界条件。

由于信息传播的方式由方程的类型所决定，所以边界条件如何确定是由方程的类型所决定的。

又由于信息（扰动）是沿特征线传播的，所以边界条件的确定与特征线与边界交汇的方式有关。

进口
出口
三．进口与出口条件
（一） 一维Euler 方程
0t x U F +=
式中：
U u e ρρ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ ()2u F u p e p u ρρ⎡⎤⎢⎥
=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
补充状态方程
21
12
p e u ργ=
+- 1．进口边界（用下标 “in ”表示） 1）超音流（u a ∞>）
3个解析边界条件均由来流条件决定，即
in u u ∞= ，in ρρ∞= ，in p p ∞=
2）亚音流（u a ∞<）
2个解析边界条件，1个数值边界条件
in u u ∞= ，in ρρ∞= ，in inner p p =
下标inner 表示内场值。

2．出口边界（用下标“out ”表示） 1）超音流（out u a >） 3个数值边界条件
out inner u u = ，out inner ρρ= ，out inner p p =
即所有边界条件均由内场值外推获得； 2）亚音流（out u a <）
2个数值边界条件，1个解析边界条件
out inner u u = ，out inner ρρ= ，out b p p =
其中，b p 为出口反压
进口
出口
亚音速 超音速 亚音速 超音速 解析 边界条件 2 3 1 0 数值 边界条件
1
2
3
进出口边界条件
（二）二维Euler 方程
+
+
-
+++
++
-+++
0t x y U F G ++=
式中，
u U v e ρρρ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ ()2u u p F uv e p u ρρρ⎡⎤⎢⎥+⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ (
)2v uv G v p e p v ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 补充，
()22112
p e u v ργ=++-
对于多维问题，与一维类似，考察进出口截面上特征值的正负来确定边界条件。

1．进口边界 1）超音流
4个特征值均为正,需要确定的4个边界条件（解析边界条件数为4），均由来流值决定； 2）亚音流
3个特征值为正，1个特征值为负，存在着从域内传至域外的特征线，只需确定3个边界条件（解析边界条件数为3），再补充1个数值边界条件；
2．出口边界
1）超音流
4个特征值为正，信息都是从域内传至域外，因此无需确定边界条件（无解析边界条件），4个边界条件均由内场外推获得(数值边界条件数为4)。

2）亚音流
3个特征值为正, 1个特征值为负，只需确定1个边界条件（解析边界条件数为1），再补充3个数值边界条件。

三维Euler方程进出口边界条件的确定可类推。

四．物面边界条件
在物面边界（用下标 “w ”表示），法向速度为零，任何流量或对流通量都无法通过固壁，可以证明，只有1个特征值为正，因此只能给出1个解析边界条件，即
0n V =
也就是滑移条件，其它3个边界条件均为数值边界条件，由内场值外推获得。

法向速度为零，也就是逆变速度w V 为零。

即，
0w w x w y V u v ηη=+= （9-1）
另外一个逆变速度w U 由内场值外推获得。

即，
w inner U U =
也就是，
w w x w y inner U u v U ξξ=+= （9-2）
联立（9-1）、（9-2），求得物面边界的速度w u 和w v 。

另外，物面上密度和压力均内场值外推获得。

即，
w inner ρρ= ， w inner p p =
由于物面边界对压力最敏感，可用法向动量方程求得压力w p 。

法向动量方程为：
()()22x y x x y y x y u v p p U ρηηξηξηηηξ
ξξη⎛⎫∂∂∂∂-+=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
五．外边界（自由边界）
外边界一般离扰动源（例如机翼）较远，可认为是均匀流动，可以用一维Euler 方程黎曼不变量来确定边界上的气动参数。

用下标“f ”表示外边界上的气动参数。

根据特征线理论，一维Euler 方程有3条特征线，其斜率（特征值）分别为
1dt dx u a =+，1dt dx u =，1
dt dx u a
=
- 证
斜率为1u a +的特征线为C +；斜率为1u
的为0
C ；斜率为
1u a -的为C -。

沿着特征线C +，有黎曼不变量
1
a
u γ+
=-常数 （9-3） 沿着特征线C -，有黎曼不变量
1
a
u γ-
=-常数 （9-4） 沿着特征线0C ，实际上就是流线，熵不变，有等熵关系式
p γρ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
常数 （9-5） 于是，在外边界（自由边界）上，有以下关系成立：
1
1
f
f a a u u R γγ+∞
∞+=+
=-- （9-6） 1
1
f
inner f inner
a a u u R γγ--
=-=-- （9-7） 令：（9-6）+（9-7），得
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f u R R +-=
+ （9-8） （9-6）-（9-7），得 ()1
4f a R R γ+--=+ （9-9）
由（9-8）、（9-9）求得外边界（自由边界）上的速度和音
速，而
2f f f p a γ
ρ= （9-10）
根据式（9-5）有 0f f p p R γγρρ∞∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ （9-11） 联立（9-10），（9-11）可求得外边界上的压力和密度，从而确定了外边界上所有气动参数。