棱锥的概念和性质
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棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
棱锥极其性质
9.8 棱锥与它的性质
棱锥概念引入
棱锥印象举例
棱锥定义讲解
棱锥概念引入
观察下列多面体,有什么相同点
棱锥印象举例
棱锥定义讲解
1.棱锥定义
定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形， 那么这个多面体叫做棱锥
S
（1）棱锥的基本概念 底面与侧面 侧棱 顶点 高
D E
C B
S SSSS S S SS S S SS
S
E A OO O O OOOO O OOO O G GG G G GGGG GGGG G B BBBB返回 B B BBB B BB
O
D
C
B
2.正棱锥及其性质
（1）正棱锥定义 正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射 影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
（ 2） 证 （ 3） 证
SA1 A1B1 SA AB
SA1 SH 1 SA SH
E1 A1 B1
D1
H1
D
C1
E A B
2.面积比与高的平方比的证明思路 思路：相似多边形面积比 等比相似比的平方
H
C
返回
3. 棱锥的性质 定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截。那么截面和底面 相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的 高的平方比。
棱锥基本概念
A
棱锥的基本概念
S
棱锥的顶点 棱锥的侧棱
棱锥的高
D E A O B
棱锥的侧面
棱锥的底面
表示法
C
1.棱锥定义
定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其
S
（1）棱锥的基本概念 底面与侧面 侧棱 顶点 高 （2）棱锥的表示方法 如：S-ABCDE 或 S-AC （3）棱锥的分类
棱锥概念引入
棱锥印象举例
棱锥定义讲解
棱锥概念引入
观察下列多面体,有什么相同点
棱锥印象举例
棱锥定义讲解
1.棱锥定义
定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形， 那么这个多面体叫做棱锥
S
（1）棱锥的基本概念 底面与侧面 侧棱 顶点 高
D E
C B
S SSSS S S SS S S SS
S
E A OO O O OOOO O OOO O G GG G G GGGG GGGG G B BBBB返回 B B BBB B BB
O
D
C
B
2.正棱锥及其性质
（1）正棱锥定义 正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射 影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
（ 2） 证 （ 3） 证
SA1 A1B1 SA AB
SA1 SH 1 SA SH
E1 A1 B1
D1
H1
D
C1
E A B
2.面积比与高的平方比的证明思路 思路：相似多边形面积比 等比相似比的平方
H
C
返回
3. 棱锥的性质 定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截。那么截面和底面 相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的 高的平方比。
棱锥基本概念
A
棱锥的基本概念
S
棱锥的顶点 棱锥的侧棱
棱锥的高
D E A O B
棱锥的侧面
棱锥的底面
表示法
C
1.棱锥定义
定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其
S
（1）棱锥的基本概念 底面与侧面 侧棱 顶点 高 （2）棱锥的表示方法 如：S-ABCDE 或 S-AC （3）棱锥的分类
棱锥的概念和性质
E H
D
C
又∵
'
过SC、SH的平面与截面和 底面分别交于 C ' H ' 和 CH
'
C H // CH , 得
C B CB
'
'
SC SC
'
SH SH
'
A
B
A B
'
'
同理
'
SH SH
'
,...
S
'
AB
A B AB
'
B C BC
'
'
SH SH
D
'
因此
底面A’B’C’D’E’ ∽底面ABCDE
( B ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3 1 )
( C ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3 2 )
( D ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3
2)
提示：
3.
D
4.C
应用
例1 已知正三棱锥S-ABC的 高SO=h，斜高SM= l
求 .经过SO的中点平行于底面的 截面 A ' B ' C ' 的面积.
棱锥的高
D E A
棱锥的侧面
O
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
棱锥的底面
棱锥的分类
三棱锥
棱 底边的边数 锥 四棱锥
S
五棱锥
六棱锥 ……
D E O C
A
B
棱锥有如下重要性质
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么， 截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱 锥的高和已知棱锥的高的平方比
棱锥有关概念及性质
解题回顾】 点 到面 到面A 的距离， 【 解题回顾 】(3)点 B到面 1ACC1 的距离 ， 即 为三棱锥B—AA1C的高 ， 可由三棱锥的体积 的高， 为三棱锥 的高 转换法而求得， 转换法而求得，即VB - AA C = V A - ABC 1 1
4.三棱锥 三棱锥S-ABC是底面边长为 的正三角形 ， A 是底面边长为a的正三角形 三棱锥 是底面边长为 的正三角形， 在侧面SBC上的射影 是△SBC的垂心 上的射影H是 的垂心. 在侧面 上的射影 的垂心 (1)证明三棱锥 证明三棱锥S—ABC是正三棱锥； 是正三棱锥； 证明三棱锥 是正三棱锥 (2)设BC中点为 ，若 设 中点为 中点为D，
解题回顾】 求距离时， 用了多次转化； 【 解题回顾 】 求距离时 ， 用了多次转化 ； 求 二面角的平面角时， 直接用定义， 二面角的平面角时 ， 直接用定义 ， 本题有新 意。
2.求证 ： 平行六面体的对角线交于一点 ， 且在 求证： 平行六面体的对角线交于一点， 求证 这点互相平分。 这点互相平分。
sin2 α +sin2 β+ sin2 γ=2 返回
能力·思维· 能力·思维·方法
1. 在底面是直角梯形的四棱锥 P- ABCD 中，侧 美国广播公司=90 °， 棱 PA ⊥底面 ABCD ，∠美国广播公司 PA 西元前 =AB= =2 西元，=1 西元， (1)求 D 到平面 PBC 的距离； 的距离； 求 (2)求面 PAB 与面 PCD 所成的 求面 二面角的大小 二面角的大小
返回
延伸· 延伸·拓展
5.已知直三棱柱美国广播公司 A1B1C1 ， AB 已知直三棱柱美国广播公司— 已知直三棱柱美国广播公司 上一点， 西元前 =AC ， F 为 BB1 上一点， BF==2 ， FB1=一。 一 (1) 若 D 西元前为中点 ， E 西元为上不同于 西元前为中点， A,D 的任意一点，求证： EF ⊥ FC1 ； 的任意一点，求证： (2)若 A1B1=3 ，求 FC1 与平面 AA1B1B 所成角 若 的大小。 的大小。 【说明】本例 (1) 中，由于 E 西元在上的任意 说明】 给证题带来些迷惑，但若认真分析题意， 性 ， 给证题带来些迷惑 ， 但若认真分析题意 ， 点位置是无关的。 将会发现 EF ⊥ FC1 与 E 点位置是无关的。
高二数学 棱锥基本性质及其应用
高二数学棱锥基本性质及其应用本周学习内容：棱锥的性质、侧面积公式及体积公式；本周学习重点：棱锥的性质及其应用一、基本概念1. 定义、概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面构成的几何体叫棱锥。
2. 分类：按底面多边形的数，(底面、侧面、棱、侧棱、顶点、高、斜高)3. 棱锥的性质：1. 平行于底面的截面与底面是相似的多边形；2. 有一个面是多边形，其余各面是三角形，但反之不然。
4. 正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
判断一个棱锥是否是正棱锥必须满足下列两个条件：一是底面是正多边形，二是顶点在底面上的射影是正多边形的中心。
5. 正棱锥的性质：1. 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高；2. 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
6. 棱锥的体积及侧面积：；棱锥的侧面积等各侧面三角形面积之和。
二、相关例题：例1. 判断问题：(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥。
( )(2)所有的侧棱都相等的棱锥是正棱锥。
( )(3)侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥。
( )例2. 如图正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的大小为( C )A. 30°B. 60°C.D.例3.若正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则底面与底面所成的二面角是( D )(A)15° (B)30° (C)45° (D)60°分析：可利用二面角的定义或者说二面角的投影面积公式得到答案例4.正四棱锥的侧棱与底面成45°角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为( D )(A)(B)(C)(D)分析：可设棱高为1，通过转化可得顶点在底面的射影到正多边形的距离，进而可得。
七年级有关棱锥的知识点
七年级有关棱锥的知识点棱锥是一种几何体，由一个多边形的底面和相连的三角形面组成。
在七年级数学学习中，棱锥是一个比较重要的概念，掌握相关知识对于学生来说是非常必要的。
下面我们将介绍有关棱锥的各种知识点。
一、棱锥定义棱锥是一种几何体，由一个多边形的底面和相连的三角形面组成。
底面的任意两点之间都可以用棱线连接起来，并在每条棱线的一端连接一条三角形面，形成一个尖端。
尖端处的三角形面称为棱锥的顶面，连接顶面的每一条棱线都称为棱锥的母线。
棱锥的高是从顶面到底面的垂直距离。
二、棱锥分类1. 正棱锥：当上下底面为正多边形且底面中心与顶点连线垂直时，称其为正棱锥。
2. 锥顶角：将任意一点向顶点作射线，这条射线与棱锥底面相交成角，称为锥顶角。
3. 棱锥的性质：- 棱锥的侧面是由底面上的每一条边与顶面连接而成；- 棱锥的侧面三角形两边之和大于第三边；- 棱锥的底面视情况而定，可以是任何多边形。
三、棱锥图形的测量1. 棱锥体积公式：棱锥的体积可以用下式来计算：V = 1/3 ×底面面积 ×高其中，底面面积指的是棱锥底面所围成的面积大小，高为从顶面到底面的垂直距离。
2. 棱锥侧面积公式：棱锥的侧面积可以用下式来计算：S = 1/2 ×母线 ×母线生成的三角形面积其中，母线指的是棱锥底边的一条边，母线生成的三角形面积指的是以该条母线为斜边的棱锥侧面三角形围成的面积。
综上所述，棱锥是一种基本几何体，在七年级数学的双入口阶段中，掌握棱锥的相关知识点是很重要的。
希望通过本文的介绍，能够帮助学生们更好的理解和掌握棱锥的知识。
棱锥概念和性质
(4)正棱锥的侧棱与底面所成角相等 (4)正棱锥的侧棱与底面所成角相等 (5)正棱锥的侧面与底面所成二面角相等 (5)正棱锥的侧面与底面所成二面角相等
(6)正棱锥定点在底面上的射影为底面正 (6)正棱锥定点在底面上的射影为底面正 多边形的外接圆圆心和内接圆的圆心。 多边形的外接圆圆心和内接圆的圆心。
A P
4
D O C B
6
练习2 练习2
正三棱锥P ABC侧棱长为 正三棱锥P-ABC侧棱长为5，底 侧棱长为5 面边长为6 面边长为6，求： 侧棱PA与底面ABC的夹角。 PA与底面ABC的夹角 （1）侧棱PA与底面ABC的夹角。 侧棱PA与底边BC PA与底边BC所成的 （2）侧棱PA与底边BC所成的 角。 侧面PAB与底面所成的角。 PAB与底面所成的角 （3）侧面PAB与底面所成的角。 侧面PAB与侧面PBC PAB与侧面PBC所成 （4）侧面PAB与侧面PBC所成 A 的两面角。 的两面角。
二 选择
1 已知一个正四棱锥，它的相邻两个 已知一个正四棱锥， 侧面所成的二面角的平面角是（ 侧面所成的二面角的平面角是（ ）
A
锐角
B 钝角 C直角 D以上均有可能
2 一棱锥被平行于底面的截面所截，顶点到 一棱锥被平行于底面的截面所截，
离与截面到底面的距离比为2： ， 截 面的距 离与截面到底面的距离比为 ：3， 则截面与底面的面积比为（ 则截面与底面的面积比为（ ）
（A) 2:5 (C) 2:3
(B) 4:25 (D) 4:9
3.正四棱锥S ABCD中 底面边长为2 3.正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高 正四棱锥 为2，求：（1）侧棱长 （2）棱锥的高 侧棱与底面所成的角的正切值 所成的角的正切值； （3）侧棱与底面所成的角的正切值； 侧面与底面所成的角； （4）侧面与底面所成的角； S
棱锥的概念和性质PPT课件
棱锥的概念和性质
2020年10月2日
1
观察下列图形，概括出棱锥的概念：
2020年10月2日
2
棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，
这些面围成的几何体叫做棱锥。
S
棱锥的顶点
棱锥的高
E
棱锥的侧棱
D O AB
棱锥的侧面
C
棱锥的底面 返回
棱锥的分类
按底面多边形的边数分为：三棱 锥，四棱锥，五棱锥等。
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
10
2020年10月2日
4
正棱锥的定义
如果一个棱锥的底面是正多边 形，并且顶点在底面内的射影是底 面中心，这样的棱锥叫正棱锥。
2020年10月2日
5
正棱锥的基本性质
S
1、各侧棱相等，各侧 面是全等的等腰三角形。
2、两条斜高相等。
D
3、斜高大于高。
E
O
C
G
F
AB
正棱锥的重要性质
例 1： 已 知 ： 正 四 棱 锥 S－ － A BC D中 ， 底 面 边 长 为 2，
图形 ，是 正棱 锥的关键 部分。它 集
中反 映了 正棱 锥的线面 关系，将 正
棱 锥 中 基 本 量 L ， h， h ′ ， a ， R ， r，
以及 侧棱 与底 面所成角 ，侧面与 底
h
h’
面所 成的 角， 通过四个 直角三角 形
有机 地联 系在 一起，因 而解题时 可
r
将题 目中 各量 转化进这 个小三棱 锥 O 中进行计算。
斜 高 为 2。 求 ： （ 1） 侧 棱 长 ； （ 2） 棱 锥 的 高 ； （ 3）
2020年10月2日
1
观察下列图形，概括出棱锥的概念：
2020年10月2日
2
棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，
这些面围成的几何体叫做棱锥。
S
棱锥的顶点
棱锥的高
E
棱锥的侧棱
D O AB
棱锥的侧面
C
棱锥的底面 返回
棱锥的分类
按底面多边形的边数分为：三棱 锥，四棱锥，五棱锥等。
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
10
2020年10月2日
4
正棱锥的定义
如果一个棱锥的底面是正多边 形，并且顶点在底面内的射影是底 面中心，这样的棱锥叫正棱锥。
2020年10月2日
5
正棱锥的基本性质
S
1、各侧棱相等，各侧 面是全等的等腰三角形。
2、两条斜高相等。
D
3、斜高大于高。
E
O
C
G
F
AB
正棱锥的重要性质
例 1： 已 知 ： 正 四 棱 锥 S－ － A BC D中 ， 底 面 边 长 为 2，
图形 ，是 正棱 锥的关键 部分。它 集
中反 映了 正棱 锥的线面 关系，将 正
棱 锥 中 基 本 量 L ， h， h ′ ， a ， R ， r，
以及 侧棱 与底 面所成角 ，侧面与 底
h
h’
面所 成的 角， 通过四个 直角三角 形
有机 地联 系在 一起，因 而解题时 可
r
将题 目中 各量 转化进这 个小三棱 锥 O 中进行计算。
斜 高 为 2。 求 ： （ 1） 侧 棱 长 ； （ 2） 棱 锥 的 高 ； （ 3）
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A1B1 = SA1 = A1E1
AB
SA AE
同理
A1E1 AE
= SE1 = SE
D1E1 DE
∴ A1B1 = D1
A1
. C1
B1
E
D
因此，截面A1B1C1D1E1 ∽ A
C
底面ABCDE
B
证明 ：截面A1B1C1D1E1 ∽底面ABCDE
∴
SA1B1C1D1E1 SABCDE
高 二 刘洋
棱柱的概念
有两个面 互相，平其行余各面都是 ，
每相四邻边两形个四边形的公共边都
，
由这些面互所相围平成行的几何体叫棱柱。
棱柱
棱锥
底面 两个平行多边形 一个多边形
侧棱 互相平行
交于一点
侧面
四边形
三角形
图形
棱 面a
一、棱锥的概念
如果一个多面体的一 S
个面是 多，边其形余各面
是有一个公共顶点
（）
E
A
O
GB
C
F
D
练习2 已知正六棱锥的高为h，侧棱为l, 求它的底面边长和斜高.
S
F
A
O
B
E D
C
才华展示 判断题
1，各侧棱与底面所成的角都相等
的棱锥是正棱锥（ ）
S
O是外心
E
A
O
D
B
C
才华展示
2，各侧面与底面所成的二面角都
相等的棱锥是正棱锥（ ）
S
O是内心
E
A
O
GB
C
F
D
3 三棱锥P—ABC各侧面与底面所成的 二面角都是600，底面三角形的边长分 别为 3、4、5，求此棱锥的侧面积。
E
B1
D
A
H
C
B
四、棱锥的性质
如果棱锥被平行于 S
底面的平面所截，那么
所得的截面与底面相似，
截面面积与底面面积的 E1 D1
比等于顶点到截面的距 A1
.H1 C1
离与棱锥的高的平方比。E B1 D
A
.H
C
B
证明 ：A因1B为1∥截AB面，平B1行C1于∥B底C面，…，…所 以
因而∠A1B1C1=∠ABC,…… S
不存在直棱锥
三、棱锥的分类 如果一个棱锥的底面是 正多，边形 并且顶点在底面的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
四，正棱锥的性质: （1） 正棱锥各侧棱相等,各侧面都 是全等的等腰三角形，
S
E
AB
O C
D
正棱锥的性质: （1） 正棱锥各侧棱相等,各侧面都 是全等的等腰三角形，
S
E
AB
D C
的 三，角那形么这个多面
体叫做棱锥。
E
D
A
B
C
点拨：
如果一个多面体的一个面是多 边形，其余各面是三角形 ，那么 这个多面体还是棱锥吗？
棱锥的有关概念
S
棱锥底面：一个多边形的面
A OE BC
棱锥侧面：其余三角形各面
棱锥侧棱：两个侧面的公 共边
D棱锥顶点：各侧面的公共顶 点
棱锥高：顶点到底面的距离
二、棱锥的表示方法 S
棱锥S—ABCDE
棱锥S—AD E D
A BC
点拨：
﹖ 三棱锥有几种表示方法
三棱锥的表示方法
又叫空间四面体
至少有（四)面围成一个棱锥？
棱锥S—ABC
S
棱锥A—SBC
棱锥B—ASC
棱锥C—SAC
C
A
B
三、棱锥的分类 根据底面多边形的边数
三棱锥
四棱锥 五棱锥
三、棱锥的分类 根据侧棱是否与底面垂直？ 棱锥有几条侧棱与底面垂直？
A1
A M
. O1 B1
O B
过高的中点 且平行于底 C1 面的截面叫 做中截面
C
P
O是内心
N
A
O
C
M BE
四、棱锥的性质教材47页
S
E1 . D1
A1
C1
E
B1
D
A
C
B
相似多边形定义及性质教材47页 如果两个多边形的各对应角相等，
各对应边的比也相等，那么这两个多 边形是相似多边形。
并且相似多边形的面积的比， 等于对应边的平方比。
四、棱锥的性质 S
E1 A1
. HD11
C1
线线角 = 面面角 （2）侧棱与射影所成的角等于 侧棱与底面所成的角
线线角 = 线面角
练习1 判断题
（1）正棱锥的侧面是正三角形 （ ） （2）侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥
S （）
A C
B
判断题
（3）底面是正多边形的棱锥是正棱锥 （）
判断题 （4）正棱锥的各侧面与底面所成的
二面角都相等
S
斜高与射影所成角
A1B12 = AB2
=
SA12 SA2
又因平面SAH与底面
S
分别交于A1 H1和AH，
∴ A1 H1∥AH，
SA1 = A1H1= SH1
SA
AH SH
∴
SA1B1C1D1E1 SABCDE
=
SH12 SH2
A
E1 D1
A1
.H1 C1
B1
E
D
H
C
B
例1 已知正三棱锥S—ABC的高SO=h, 斜高SM=l,求经过SO的中点O1平行于 底面的截面△AS1B1C1的面积.
（2）各等腰三角形底边上的高,
叫做正棱锥的斜高,它们相等。 注意：只有正棱锥有斜高
S
E
A GB
D F C
（3）正棱锥的高、斜高和斜高在底 面的射影组成一个直角三角形；正 棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的 射影也组成一个直角三角形.
S
E
A
O
D
F
B
C
知识扩展：
（1）斜高与射影所成的角等于 侧面与底面所成二面角的平面角