音乐中的物理
音调 音响 音色物理 知识点
音调音响音色物理知识点音调、音响、音色物理是音乐领域中的重要概念，涉及声音的频率、幅度、谐波结构、共鸣等方面。
本文将从这三个知识点出发，探讨它们在音乐中的作用和相互关系。
一、音调音调是指声音的高低，是由声波的频率决定的。
频率越高，音调越高；频率越低，音调越低。
音调是音乐中最基本的要素之一，不同的音调组合成了音乐中的旋律和和声。
音调对于音乐的表现力有着重要的影响。
高音调常常被用于表达欢快、明亮的情感，如欢乐的歌曲或愉快的音乐片段；低音调则常常被用于表达沉重、悲伤的情感，如悲剧或忧郁的音乐作品。
通过巧妙地运用不同的音调，音乐家可以创造出丰富多样的情感效果，使音乐更加生动有趣。
二、音响音响是指声音在空间中的传播和感知，包括声音的深度、宽度和高度等方面。
音响是音乐表演和录音的重要工具，能够增强音乐的立体感和空间感。
音响系统由音箱、扬声器、调音台等组成，通过调节音响设备的参数，如声音的定位、音量、均衡等，可以使音乐在听众中产生更好的效果。
合理的音响设置可以使音乐更加清晰、动态，给人以身临其境的感觉。
在现代音乐演出和录音中，音响已成为不可或缺的一部分。
三、音色物理音色是指不同乐器、声源或人声在相同音调下的独特音质特征。
音色是由音波的谐波结构和共鸣特性决定的。
不同乐器具有不同的音色，如小提琴的音色明亮、圆润，大提琴的音色深沉、浑厚。
音色物理研究了音色的形成机制，涉及共振、谐波、泛音等物理原理。
乐器的共鸣腔体和材质会对音色产生影响，乐器演奏者的演奏技巧也会对音色产生影响。
通过对音色物理的研究，音乐家可以更好地理解和运用乐器的特点，创作出更具个性和表现力的音乐作品。
音调、音响、音色物理是音乐中不可或缺的要素，它们相互作用、相互影响，共同构成了音乐的基础。
音乐家需要深入理解这些知识点，才能更好地创作和演奏音乐。
同时，对于音乐爱好者来说，了解这些知识也能够帮助他们更好地欣赏和理解音乐作品。
在今后的学习和实践中，我们应该注重对音调、音响、音色物理的研究和应用。
音乐中的物理
下面我们重点讨论什么决定乐音的音色。这一点关系到我们该如何欣赏音乐之美和物理之美。
数学分析中傅利叶级数(Fourier Series)的方法为我们的研究提供了很好的工具。这套理论首先由波那利(Bernoulli)在1753年首先提出，并由迪利克莱特(Dirichlet)在1829年对这套理论给出完整的证明。这种分析法的用途不仅仅在分析乐音上，而傅利叶(Fourier)首先对这套方法的利用是在1822年出版的《热的分析》。
这时候，我们实际上也得到了乐音的定义：周期性振动产生的声波。
音乐家们谈论乐音时，总是从响度、音调、"音色"三个方面谈起。声波的响度在升学中也叫做声强，可以用下面的方程计算声强
这里的速度v是一个标量。如果把它看成矢量，那么I也是一个矢量，表示能量随声波的流动，叫做"班印廷矢量"。
早在毕达哥拉斯（Pythagoras）时代，人们就对此问题进行过深入的探讨。毕达哥拉斯就认为，两根相似的琴弦处于相同张力下的时候，当它们同时发声时，如果它们的长度之比为两个小整数之比，那么发出的音程是悦耳的。
当时的毕达哥拉斯和他的学派--人们称之为毕达哥拉斯学派--对此感受颇为深刻，并把它作为学派的基础，甚至相信在天体方面也会有类似的定律。而牛顿力学创立之后，我们十分惊喜地发现，行星运动的轨道的确存在着数字间的某些定律，即万有引力定律。不仅仅是定律本身，定律推导出的行星运动规律--尽管只是接近于完美--足以让人感到自然界的伟大。于是，我们不该指责毕达哥拉斯学派中人，因为对数字的威力怀有神秘信仰的不只是他们，也包括许多物理学家--因为物理曾被称为"自然哲学的数学原理"。
而事实上，任何运动都可以这的运动之和。后面的分析还将利用这一点。
音乐中的物理学
一．物理意义上的音乐声人们一般把机械波按其频率分为不同的波。
一般来说，振动频率在20Hz以下的叫做“次声”。
如地震前兆的大地震动，海洋，大气里传播的气流震动，原子弹爆炸都有可能有次声波。
振动频率在20到20000Hz之间的声波叫做“可听波”，即人耳可以听到的声音。
当然，对于每个人来说，可听的范围会有一些不懂，一般来说，年轻人的听觉范围比老年人要广一些。
振动频率大于20000Hz的称作超声波。
在可听声里，人的唱歌声大概从60Hz（男低音）到2500Hz（女高音）。
钢琴的最低音是27.5Hz最高是4086Hz。
除了特大的管风琴之外，几乎所有的传统乐器的发声频率都在这个区间之间。
在可听声里，又分为乐音和噪音。
凡是其振动波形是周期性的，在频谱上是分列的，听起来是有一定的音调的，就叫做“乐音”。
反之，凡是其振动的波形不是呈周期性，在频谱上是连续的，听起来是没有一定音调的，则称作“噪声”。
每一个乐音，即周期性的振动都可以分解为许多不同频率，不同相位，不同振幅的简谐振动的叠加，这叫做“富式分析”。
简单的简谐振动即正弦振动或余弦振动产生的声波叫做“纯音”。
实际的乐音如歌声和乐器声都不是简单的纯音，而是许多纯音的叠加。
在这些简谐振动中频率最低的叫“基频”，频率是基频的整数倍的叫作“谐波”，频率不是基频的整数倍的叫作“分音”。
基频，谐波，分音组成了实际的乐音。
我们所听到的音乐中，除了一部分是乐音以外，还包括一部分物理意义上是噪音的部分，如锣，鼓等没有固定音调的打击乐器，水声，风声等效果声等，当然也是音乐声的一部分。
很久以前的科学家就做过这样的一个实验，把一个乐音中的20000Hz至50000Hz的高次谐波“切掉”，与原来的相比，二者听起来是有明显的区别的。
这个实验说明了部分高次谐波对音乐的改变（尤其是音色）是有作用的。
因此，也应纳入到音乐声中。
所以，我们可以得出结论：从物理上来讲，音乐声应由三部分组成，即乐音，音乐中使用的“噪声（单纯物理意义上的）”和对音色有影响的谐波中存在的一部分超声。
歌曲中的科学知识
歌曲中的科学知识及说明歌曲是我们日常生活的一部分，它们不仅可以提供娱乐和情感满足，而且还可以传递各种信息，包括科学知识。
在这篇文章中，我们将探讨歌曲中包含的科学知识以及如何通过歌曲来解释科学原理。
一、物理学物理学是研究物质和能量以及它们之间相互作用的一门学科。
许多歌曲中都包含了物理学的原理。
例如，在摇滚乐中，吉他手们经常使用物理学的共振原理来制造出令人震撼的音效。
通过调整吉他的弦的长度和张力，他们可以让吉他产生共鸣，从而制造出具有强烈冲击力的声音。
二、化学化学是研究物质的组成、性质和变化的科学。
虽然不是每首歌都会涉及到化学知识，但有些歌曲却用化学元素或化学反应作为歌词。
例如，皇后乐队的经典歌曲《波西米亚狂想曲》中就提到了“水银和水银灯”。
这首歌的歌词描述了一个浪漫的场景，但同时也向听众介绍了化学元素汞的毒性。
三、生物学生物学是研究生命的科学，它涉及到许多不同的主题，从细胞到生态系统，从基因到物种进化。
许多歌曲都以生物学为主题，通过音乐来传达生命的奇迹和复杂性。
例如，弗雷迪·墨丘利的经典歌曲《生命之源》就探讨了生命的起源和目的。
这首歌的歌词中提到了细胞、基因和自然选择等生物学概念。
四、地理学地理学是研究地球的学科，它涉及到地形、气候、资源和人口等方面。
许多歌曲都以地理为主题，通过音乐来描述地球的美妙景观和多样性。
例如，阿黛尔的《给我一个拥抱》中就提到了世界各地的地名和风情，向听众展示了地球的多样性。
五、天文学天文学是研究宇宙的学科，它涉及到恒星、行星、星系和宇宙起源等主题。
许多歌曲都以天文学为主题，通过音乐来探索宇宙的奥秘。
例如，比吉斯乐队的《日出》中就提到了黑洞和相对论等天文学概念。
这首歌的歌词向听众展示了宇宙的壮观和神秘感。
六、数学数学是研究数量、结构、空间和变化等概念的抽象科学。
虽然不是每首歌都会涉及到数学概念，但有些歌曲却用数学元素或数学原理作为歌词。
例如，披头士乐队的《埃莉诺·里格比》中就提到了“黄金分割”这个数学概念。
音乐与物理的结合：探寻音调、响度和音色的奥秘教案二
音乐与物理的结合：探寻音调、响度和音色的奥秘教案二。
一、什么是音调谈起音乐的第一个要素-音调，我们有必要先了解一下物理中的声音。
声音是指物体振动被传播给周围介质的波动能量，能够使空气、水或固体等介质中的分子振动，形成相应波形。
在物理中，声音的频率被我们称为音调。
在乐器中，音调取决于其震动的频率，例如，钢琴中某一个琴键升高一个半音就意味着它的频率要升高到原来的1根开普勒级别。
在一定条件下，两个不同的物体所发出的音调可能会完全一样，比如某个人想必大家都熟知的玉米片吹奏法。
物理学中给出的更严谨的定义为：音调是声音的基本特性之一，表示音高的高低和“轻重漏泄”的区别。
音的高低与波的频率有关，频率愈高，音高愈高。
二、响度是什么与音调相似，响度也是声音的固有属性。
响度是指声音的强弱和可听性。
在物理学中，响度与声波的振幅有直接关联关系，也就是指声压级。
这个就比较有趣了，我们都知道按一下键盘发出的声音会比较小，但是当我们在某个地方说话的时候，似乎周围的人就能轻松听到。
这就是响度不同所造成的效果。
而专业术语来讲，声音在四分贝计算下的强弱程度。
从音乐角度来看，响度是指乐器的音量大小，也就是我们通常所说的高低电平（Volume Level），在现代音乐制作中，通常由软件实现声音的放大或是减小以达到满意的音响效果。
三、音色的影响音色是通常是音乐中描述和区分不同的音乐乐器的属性之一。
但是，音色这个东西不是很好描述的。
物理学中，我们所说的音色更多的是关于谐波的描述，也就是说，音乐中所特征较强的高谐波，让我们更加能够分辨不同乐器发出的音色。
在音乐制作中，为了达到不同乐器的音色，通常人们会使用不同的音色合成器，从而达到更加显著的效果。
通过合成器，可以在精确控制原始信号的情况下，加上不同的音色特征，比如乐器的各种特性、不同乐器的声音等，来营造多个不同的音色。
四、结语这里所提的这三个要素，是音乐制作中非常重要的元素。
正是因为这些物理学特征，才能让我们更好地了解和制作音乐。
音乐的科学实验探索音乐中的物理原理
音乐的科学实验探索音乐中的物理原理音乐是一门令人陶醉的艺术，充满了美妙的旋律、和谐的和声和动人的节奏。
然而，除了人类耳朵所能感知到的声波外，音乐也是一个可以通过科学实验来探索的领域。
在这篇文章中，我们将以实验的方式来探索音乐中的物理原理。
一、共鸣和音调共鸣是音乐中一个重要的物理现象，它与音调有着密切的关系。
我们可以通过实验来观察共鸣的效应。
首先，我们准备一个小碗和一只调羹。
然后，将小碗中加入一些水，并用调羹敲击碗的边缘。
你会发现，当碗中的水位适当时，碗会发出明亮的声音。
这是因为碗的共鸣频率与敲击调羹的频率相吻合，从而使得声音更加响亮。
通过这个实验，我们可以理解到音乐中调音的原理。
乐器中的共鸣腔体就像是碗，当乐器发出的声音与腔体的共鸣频率相符时，声音就会变得更加悦耳动听。
二、泛音和音色泛音是组成乐音的基本元素之一，也是音色的重要组成部分。
我们可以通过实验观察到泛音的存在。
取一根长而细的笛子，并轻轻地吹奏。
你会发现，除了主音之外，还会听到其他辅助音。
这些辅助音就是泛音，它们是由主音在共鸣腔中产生的。
音色指的是不同乐器演奏相同音高时所具有的特殊音质。
这是由于不同乐器在产生泛音的能力和强弱上存在差异所致。
通过实验，我们可以使用不同的乐器演奏相同的音高，然后听取它们的音色差异。
这可以帮助我们更好地理解音乐中的物理原理。
三、声音传播和声纹声音的传播是音乐中的另一个重要现象。
我们可以通过实验来观察声音传播的特性。
首先，我们准备两个音箱，并将它们放置在房间的不同位置。
接下来，我们在一个音箱中播放一段音乐，然后走到房间的不同位置，听取音乐的声音变化。
通过实验，我们可以发现，音箱所放置的位置会对声音的传播产生不同的影响。
当音箱靠近墙壁时，声音会更加明亮，因为墙面会反射声波。
当音箱放置在房间的角落时，声音会产生扩声的效果。
这说明了声音在传播过程中的反射和衍射现象。
声纹是声音传播中的另一个有趣的现象。
每个人的声音都是独一无二的，就像指纹一样。
物理学与音乐如何理解音乐中的物理现象
物理学与音乐如何理解音乐中的物理现象音乐是人类文化的重要组成部分，而物理学则是探究自然界各种现象的科学。
尽管它们在表面上看起来似乎毫无关系，但物理学与音乐之间存在着紧密的联系。
事实上，物理学可以帮助我们更好地理解音乐中的各种现象，包括声音的产生、传播和演奏乐器的原理。
本文将探讨物理学如何理解音乐中的物理现象。
1. 声音的产生和传播声音是通过物质的振动传播而产生的。
在音乐中，乐器的振动是产生声音的根本原因。
各种乐器的振动特点不同，因此产生的声音也各具特色。
例如，弦乐器的声音是由琴弦的振动引起的，而铜管乐器的声音则是由气流在管内的振动引起的。
物理学告诉我们，声音是通过振动传播的。
声音振动的频率决定了声音的音调，振幅则决定了声音的音量。
物理学家使用频率和振幅这两个参数来描述声音，这使得我们可以准确地理解和分析音乐中的声音现象。
2. 音调和谐与共鸣现象音乐中的音调可以通过物理学原理解释。
音调取决于声源振动的频率，即振动周期内的振动次数。
较高的频率产生较高的音调，较低的频率产生较低的音调。
通过物理学对声音频率的研究，我们可以更好地理解音乐中不同音符的音调。
此外，音乐中的谐与共鸣现象也与物理学有关。
谐是指两个或多个振动频率之间存在特定的整数比例关系。
在音乐中，和声和谐指的是两个或多个音符之间存在谐的关系，使得它们的音调和声音相互融合。
共鸣则是指在特定的条件下，物体对特定频率的振动表现出特殊的共振现象。
乐器共鸣箱中的空气柱、琴弦共鸣和琴脑共振都是共鸣现象的例子。
3. 拍和泛音现象在音乐中，拍是由两个或多个音符间微小的相位差引起的强弱交替的声音效果。
拍的出现是因为两个音源的振动相位差在不断变化。
物理学告诉我们，当两个频率接近的声波相遇时，它们的相位差会不断变化，从而产生拍。
此外，泛音现象也是音乐中的一个重要概念，它与物理学的谐波理论有关。
根据谐波理论，振动体产生的声音包含基频和一系列谐波成分。
这些谐波成分的频率是基频频率的整数倍。
音乐中的声音音乐背后的物理原理
音乐中的声音音乐背后的物理原理音乐中的声音——音乐背后的物理原理音乐是我们生活中不可或缺的一部分，它能够给我们带来愉悦的感受，引发我们的情感共鸣。
然而，你是否曾思考过音乐背后隐藏的物理原理呢？本文将深入探讨音乐中的声音，揭示其中的物理奥秘。
一、声音的产生声音的产生源于物体的振动，当物体受到外力作用时，开始振动，这个振动会产生压缩和稀疏的循环，从而形成声波。
例如，当我们敲击钢琴键盘时，琴弦就会振动，产生声音。
二、声音的传播声音需要通过介质传播，常见的介质包括空气、水和固体物体等。
在空气中，声音传播的速度约为343米/秒，而在水中则约为1480米/秒。
当声音传播到我们的耳朵时，耳膜会受到声波的压力变化，进而将其转化为神经信号，最终被大脑感知。
三、音调与频率我们都知道，音乐中的音调不同，有高音、中音和低音之分。
这与声音的频率有密切关系。
频率是指振动物体每秒钟完成的往复振动次数，单位为赫兹（Hz）。
一般来说，频率越高，音调越高。
例如，中央C的频率约为261.63Hz。
四、音量与振幅音乐中的音量大小由声音的振幅决定。
振幅是指振动物体在振动过程中偏离平衡位置的最大距离。
振幅越大，声音越响亮；振幅越小，声音越轻柔。
这也是为什么演奏乐器时，力度的大小会影响音量的原因。
五、共鸣与音色音乐中的每个乐器都有独特的音色，这是由于共鸣的现象造成的。
共鸣是指在特定频率下，物体受到外界振动的作用后，被迫以相同的频率振动，最终加强某个频率的声音。
各种乐器通过不同的共鸣频率，使每个乐器发出独特的音色。
六、回音和混响我们常常在大型音乐会厅或教堂中听到回音和混响的效果。
回音是指声音遇到较大的障碍物后，被反射回来的现象，而混响则是指声音在封闭空间中来回反射多次形成的持续声音。
这些效果的存在丰富了音乐的层次和空间感。
七、音乐的和谐与共振音乐中的和谐是指不同音符之间的搭配和谐美妙。
共振是指两个或多个物体在相同的频率下振动，相互加强声音的现象。
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音乐中的物理
一、表观联系
首先，我想先从表观和感性的角度谈一谈物理与音乐的联系。
从美学角度谈起。
音乐之美在于每一个音符（不论单音还是和弦）都让人感到快感。
艺术家们就是利用这一点将自己的情感融入旋律中，让人们在音符的跳动中或喜或悲。
单纯分析每一个音节，就会发现如下事实：单音总是十分悦耳，而只有某些音节混合在一起时会让人感到悦耳，人们将其称之为和弦。
早在毕达哥拉斯（Pythagoras ）时代，人们就对此问题进行过深入的探讨。
毕达哥拉斯就认为，两根相似的琴弦处于相同张力下的时候，当它们同时发声时，如果它们的长度之比为两个小整数之比，那么发出的音程是悦耳的。
当时的毕达哥拉斯和他的学派——人们称之为毕达哥拉斯学派——对此感受颇为深刻，并把它作为学派的基础，甚至相信在天体方面也会有类似的定律。
而牛顿力学创立之后，我们十分惊喜地发现，行星运动的轨道的确存在着数字间的某些定律，即万有引力定律。
不仅仅是定律本身，定律推导出的行星运动规律——尽管只是接近于完美——足以让人感到自然界的伟大。
于是，我们不该指责毕达哥拉斯学派中人，因为对数字的威力怀有神秘信仰的不只是他们，也包括许多物理学家——因为物理曾被称为“自然哲学的数学原理”。
当然，除了“天体音乐”外，物理的很多方面都蕴含着音乐旋律一样的数字关系，如量子能级结构等。
而我这里不想列举更多的音乐一般的物理现象，只想谈谈音乐中蕴含的物理现象。
即便是这一点，物理之美已经显现无疑。
二、弦上的振动
弦的一端发生振动时，弦上就会生成一列波，其方程可表示为
)(vt x F y -=
通常写成复数形式
)/(v x t i Ae y -=ω
这样写的一大好处就是将繁琐的三角函数运算简化为指数的加减法运算，从而将线性微分方程变成实数的多项式方程。
当一端固定时，令固定端点为0=x ，则反射波与原来的波叠加，方程变为
)()(vt x F vt x F y ----=
将方程变为复数形式
)/sin(2)(//v x ie e e e y t i v x i v x i t i ωωωωω-=-=-
从这个方程可以看出，弦上的每一个点都在以ω为角频率振动，只是位移不同而已。
在
ωπ/v k x =时，位移0=y 。
这些点我们称之为“波节”。
这种弦上的图像被称为“驻波”。
琴弦总是两端都固定的。
也就是说，弦上各点振动的角频率必须满足
L v n /πω=
因此，我们知道，两端固定的弦具有做正弦运动的性质，但仅能以某些确定的频率做正弦运动。
随着n 的不同，我们看到的弦上的波节数也不同。
但一般的情况是弦上的振动总是由两个或两个以上的正弦运动叠加而成。
这样的弦上的
波节分布是不均匀的。
而事实上，任何运动都可以这样来分析，即设想它是所有各种由适当振幅和相位组成的不同模式的运动之和。
后面的分析还将利用这一点。
这样，我们就基本研究清楚琴弦的振动方式了。
三、悦耳的音符
重新回到毕达哥拉斯和他的学派，也就是当数学分析工具已经成为了了解自然界的良好工具的时候，重新去了解他们的发现。
先说说什么是噪声。
噪声就是那些听上去并不是那么悦耳的声音。
不只是建筑工地才能发出噪声，即便是给我们带来无数悦耳音符的钢琴，当某人同时按下“duo ”和“re ”时，我们也可以听到不和谐的音调。
不过在物理学家看来，这仍然不是噪声。
对于一根弦，无论我们怎样拨动它，在一个周期后，它总是会重复上一个周期的音调。
而噪声不同。
当噪声袭来时，如果我们在耳朵边安放一个气压计，读数的人将不会从读数中发现任何规律——也就是说，我们的耳膜受到的是没有任何规律的音符群！这种音符群就被物理学家们称为噪声。
这时候，我们实际上也得到了乐音的定义：周期性振动产生的声波。
音乐家们谈论乐音时，总是从响度、音调、“音色”三个方面谈起。
声波的响度在升学中也叫做声强，可以用下面的方程计算声强
v A I 222
1ρω= 这里的速度v 是一个标量。
如果把它看成矢量，那么I 也是一个矢量，表示能量随声波的流动，叫做“班印廷矢量”。
音调对应于乐音中声波的振动周期。
从上面的论述中可以看出，这是乐音特有的行为。
音色是乐音的一个更为复杂的特性。
它能反映为什么古筝和钢琴在发出同样音调和响度的乐音时，我们依然能够分辨出这两种乐器。
画出固定点空气压强与时间的函数图像，我们就很容易了解这三个概念：响度由每个周期上曲线下的面积决定，音调由周期表示，而音色则取决于图像的形状。
下面我们重点讨论什么决定乐音的音色。
这一点关系到我们该如何欣赏音乐之美和物理之美。
数学分析中傅利叶级数(Fourier Series)的方法为我们的研究提供了很好的工具。
这套理论首先由波那利(Bernoulli)在1753年首先提出，并由迪利克莱特(Dirichlet)在1829年对这套理论给出完整的证明。
这种分析法的用途不仅仅在分析乐音上，而傅利叶(Fourier)首先对这套方法的利用是在1822年出版的《热的分析》。
对于任何一个连续的周期函数，我们总能将它写成傅利叶级数的形式
)sin cos (2/)(10t n b t n a a t f n n n ωω++=∑∞
=
其中
⎰⎰⎰===T n T n T
tdt n t f T b tdt n n t f T a dt t f T a 00
0sin )(1cos )(1)(1ωω
于是，我们就将任意的一个乐音分解成频率为ω的整数倍的若干个音符的和。
这时，我们将ω称为“基频”。
而a 和b 的值就决定了乐音的音色。
现在我们该如何理解毕达哥拉斯的发现呢？我们从驻波的知识中可以知道，基频ω由的长度决定。
当两根弦的长度之比为两个小整数之比，比如说是2比3，那么它们的基频之比就是3比2。
那么，短弦产生的二次谐波就和长弦产生的三次谐波频率相等。
于是，我们听到了悦耳的声音。
不过我们至今还不能确定，当我们判断一个音符是否悦耳时，我们的耳朵究竟是在与谐波匹配还是在做算术？
傅利叶级数的另一大好处在于它满足帕斯沃(Parseval)等式，即
∑⎰∞=++=1
222002)(2)(2n n n T b a a dt t f T 而它恰好表示了声波的能量！这是因为波中的能量与其振幅的平方成正比，对于一个形
状复杂的波来说在一个周期内的能量与⎰T
dt t f
02)(成正比。
由此可见，乐音的三个特性——音色、音调和响度——都蕴含在傅立叶级数的公式中！
关于乐音，我先写到这里。
也许，其中蕴含的音乐之美和物理之美不能很好的表达出来，但我想从这些数学的表达式中，人们总是能找到数学在物理中的应用。
至少我还抱着毕达格拉斯式的幻想——数学在解决自然界的问题中有着巨大的威力，而物理正是要利用这种威力去解决自然界中的所有问题。
当然，现在的数学中还有很多定律没有找到它在物理中的应用，但我相信，在统一——物理学家永恒的追求——达到之前，这些数学的定律总能找到在物理中的应用。
也许那时，物理和数学都将回到从前，回到那个自然哲学的时代。
PB04025026 于越。