曲线曲面建模经典方法

这里β为任意常数。当α=1， β=0时， G2连续就成 为C2连续。 从上面的讨论可以看到： C1连续保证G1连续，C2连 续能保证G2连续；但反过来不行，也即Cn连续的条件比Gn 连续的条件要苛刻。
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二、曲线曲面描述的基本原理
自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而 成，自由曲面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。 因此，曲线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述 及其连接拼合方法。 自由曲线曲面的计算机内部描述有一个特征就是 它具有插补性，或称作近似性 。为此产生了许多不同 的自由曲面描述方法，如Bezier逼近、Coons曲面、B 样条插补以及NURBS描述等都通过参数多项式近似表示 ，目前曲面多采用NURBS样条表达。
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隐函数、显函数表示的缺点： Ø 用隐函数表示不直观，作图不方便（如ax+by+c=0）； Ø 用显函数表示存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率无穷 大（如y=mx+b）等问题。 Ø 此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲 线曲面。 自由曲线曲面多用参数方程表示，相应地称为参数 曲线或参数曲面。
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(2)连续性
连续性描述分段边界处的曲线与曲面的行为。 在CAD中通常使用的两种连续性：1）参数连续性 (用Cn 表示，其中 n 是某个整数)；2）几何连续性(用Gn 表示) 。 1）参数连续性 C0： 零阶参数连续，指两曲线段共点 。 C1：一阶导数连续，指两曲线段在共点处具有相同的 一阶导数；即切矢量方向相同，大小相等。 C2： 二阶导数连续，指两曲线段在共点处一阶、二阶 导数的方向相同，大小相等，即等曲率。 C3： 三阶导数连续，指两曲线段在共点处曲率连续。
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1、几何设计的基本概念
在自由曲线和曲面描述中常用几种类型的点：
Degree 3, 5 poles, 2 segments
3 2
+ +
2
+
4
1
5 3
+ 1
+
特征点（控制顶 点）：用来确定 曲线曲面的形状 位置，但曲线或 曲面不一定经过 该点。 型值点：用于确 定曲线或曲面的 位置与形状并且 经过该点。
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用参数表示曲线曲面的优点：
1）具有几何不变性。某些几何性质不随坐标变换而变化 的性质称为几何不变性。曲线形状本质上与坐标系的 选取无关。 2）可以处理无穷大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) 3) 参数方程将自变量和因变量完全分开，使得参数变化 对各因变量的影响可以明显地表示出来。 4）可以处理多值曲线。 5）规格化参数变量，使其相应的几何分量是有界的。 由 于参数限制在0到1的闭区间之内，因而所表示的曲线 总是有界的，不需另设其他数据来定义其边界。
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2）几何连续性 G0：零阶几何连续，与零阶参数连续C0相同，指两曲 线段共点 。 G1：一阶几何连续，指两曲线段在共点处切矢量方向 相同，但大小不等。 G2： 二阶几何连续，指两曲线段在共点处其一阶、二 阶导数方向相同，但大小不等。 G3： 三阶几何连续，指两曲线段在共点处曲率连续。
三、自由曲线
1、Hermite曲线/三次参数样条曲线 2、Bezier曲线 3、B样条曲线 4、非均匀有理B样条（NURBS）曲线
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1、Hermite曲线
Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两 端点处的切线矢量来描述的一条三次曲线。 空间一条三次参数曲线可以表示为：
2、曲线、曲面的表达
曲线曲面可以用显函数、隐函数或参数方程表示。 （1）显式表达 坐标值y可利用等号右侧的x的计算式直接计算得 到。 曲线: y=f(x),如y=x，y=2x 曲面: z=f(x,y) （2）隐式表达 x、y的关系是“隐含”在曲线的表达式中的。 曲线: f(x,y)=0; 如:x2+y2-r2=0 曲面: f(x,y,z)=0;
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参数表达的重要特点：
பைடு நூலகம்
X=t Y=t
X=t2 Y=t2
Ø 一条曲线可以有不同的参数表达方式； Ø 参数的等间距分布不一定导致曲线上对应点的等间距分 布，即参数域的等间距分割不等价于曲线的等间距分割。
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一阶导数连续
二阶导数连续
三阶导数连续
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曲线曲面按照描述方式的不同可以分为两类：
1）规则曲线曲面
CAD中可以用数学方程式表示的曲线曲面称 为规则曲线曲面，常用隐函数或二次方程的显函数 表示。如圆、抛物线/球、圆柱、圆锥等。
2）自由曲线曲面
不能用简单的数学方程进行描述的曲线曲 面称为自由曲线（Free Form Curves）和自由曲 面（Free Form Surfaces），通常用参数方程表 示。如汽车、轮船、飞机、人体的外形等。
p0 = k 0 p'0 = k 1 p1 = k 0 + k 1 + k 2 + k 3 p'1 = k 1 + 2k 2 + 3k 3
于是，
k 0 = p0 k 1 = p′ 0 ′ k 2 = 3(p1 − p 0 ) − 2p ′ 0 − p1 ′ k 3 = 2(p1 − p 0 ) + p ′ 0 + p1
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空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点 的轨迹，其矢量函数为： P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) ， t 的范围是 [0,1] 同理，空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为： P(u,v)=P( x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ， (u,v) 的范围是 [0,1]×[0,1]
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3）若要求在结合处达到C2连续，即两相邻曲线段的连接 点处有相同的一阶导数和二阶导数。若要求在结合处达到 G2连续，即在连接点处满足G1连续的条件下，有公共的曲 率矢：
曲线、曲面建模
[ 2009年4月 20日星期一
数字化设计
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一、自由曲线与自由曲面基本概念
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(0 ≤ t ≤ 1)
应用端点P0和P1，以及端点切矢P0’和P1’,可得：
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p = p(t ) = k 0 + k 1 t + k 2 t 2 + k 3 t 3
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Segment 1 由pole 1 ~ pole 4描述
Segment 2 由pole 2 ~ pole 5描述
Knotpoints:
1
Pole: 1
Defining points: +
节点
控制点
型值点
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x = a1 + b1t + c1t 2 + d1t 3 y = a 2 + b2 t + c 2 t 2 + d 2 t 3 z = a3 + b3 t + c3 t 2 + d 3 t 3
该曲线的矢量表达式为：
p = p (t ) = k 0 + k 1 t + k 2 t 2 + k 3 t 3
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6）对曲线曲面形状控制的自由度更大。 如一条二维三次曲线的显式表示为：
y = ax 3 + bx 2 + cx + d
其中只有4个系数可控制曲线的形状，而对于其参数 表示为： 3 2
x = at + bt + ct + d
y = et 3 + ft 2 + gt + h
其中有8个系数可用来控制曲线的形状。 7） 易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计算。
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(1)常用术语
Ø 插值（interpolate）：给定一组精确的数值点，要求 构造一个函数，使之严格地依次通过全部型值点，且满 足光顺的要求。 Ø 逼近（approach）：对于一组给定的型值点，要求构 造一个函数，使之在整体上最接近这些点而不一定通过 这些点。 Ø 拟合（fit）：指已知某函数的若干离散函数值 {f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意 义)最小。
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（3）参数表达 x、y间的关系是通过一个“t”来间接地反映出来的， t即称为参数。 曲线: x=f(t) t为参数,在0~1之间变化。 y=g(t) 曲面: x=f(u,v) u,v为参数,通常规定在0~1之间变化。 y=g(u,v) z=h(u,v)
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下面讨论两条曲线P(t)与Q(t)在参数t∈[0,1]的连续问题: 1）若要求在结合处达到G0 或C0连续，即在结合处位置 连续： P(1)=Q(0) 2）若要求在结合处达到C1连续，即在连接点处有相同的一阶 导数。若要求在结合处达到G1连续，即在连接点处满足G0连 续的条件下，有公共的切矢： Q’(1)=αP’(0) （ α>0） 当α =1时， G1连续就成为C1连续。
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Ø光滑(smooth)：从数学意义上讲，光滑是指曲线或曲 面具有至少一阶连续导数。
Ø光顺(fair)：指曲线的拐点不能太多。如平面曲线光 顺条件：具有二阶几何连续；不存在多余的拐点；曲率 变化较小。