空间曲线在一般平面上投影方程的求法
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曲线及二次曲面
Co x
1y
例. 空间曲线在坐标面上的投影
求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
解
由
z z
2 x2
x2 y2
y2
z
得交线L：
1
x2 y2 1 z 1
o
x
.
y
例. 空间曲线在坐标面上的投影
求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
z C
y
C
2、投影曲线的方程
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
x
T
C
(x, z) y0
0
例如,
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
oy
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
图形
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
第四节
第七章
空间曲线及其方程
高等数学 -空间曲线及其方程
高等数学(下)
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
空间曲线方程
空间曲线方程
一、空间曲线及其方程
1. 空间曲线的一般式方程
空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这 两相交平面方程的联立方程组来表示，同样空间曲线可以看作两 个曲面的交线．
设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0．那么联立方程组
（7-15） 就是它们交线的方程，称式(7 15）为空间曲线的一般式方程．
2x2+y2－2x=0． 于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为
最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来 描绘空间区域的方法．它在今后多元函数积分学中经常用到， 要仔细体会．
二、空间曲线在坐标面上的投影
【例4】
描绘由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程．
二、空间曲线在坐标面上的投影
同理，从式(7-17）中消去x或y，分别得投影柱面方程 G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y =0联立，即可得曲 线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为
【例3】
求两球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交线 在xOy面上的投影方程．
解 在空间解析几何中，不等式关系描述了曲线上（下） 方或内（外）的区域，为此，我们在空间直角坐标系中只要 描绘出相应方程的图形，就可得到所描绘的空间区域．
方程x+y=1表示过点（1，0，0）和点（0，1，0）且 平行于z轴的平面．
二、空间曲线在坐标面上的投影
x+y≤1表示以x+y=1为界，且包含原点的那 个半空间．
一、空间曲线及其方程
一、空间曲线及其方程
1. 空间曲线的一般式方程
空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这 两相交平面方程的联立方程组来表示，同样空间曲线可以看作两 个曲面的交线．
设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0．那么联立方程组
（7-15） 就是它们交线的方程，称式(7 15）为空间曲线的一般式方程．
2x2+y2－2x=0． 于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为
最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来 描绘空间区域的方法．它在今后多元函数积分学中经常用到， 要仔细体会．
二、空间曲线在坐标面上的投影
【例4】
描绘由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程．
二、空间曲线在坐标面上的投影
同理，从式(7-17）中消去x或y，分别得投影柱面方程 G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y =0联立，即可得曲 线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为
【例3】
求两球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交线 在xOy面上的投影方程．
解 在空间解析几何中，不等式关系描述了曲线上（下） 方或内（外）的区域，为此，我们在空间直角坐标系中只要 描绘出相应方程的图形，就可得到所描绘的空间区域．
方程x+y=1表示过点（1，0，0）和点（0，1，0）且 平行于z轴的平面．
二、空间曲线在坐标面上的投影
x+y≤1表示以x+y=1为界，且包含原点的那 个半空间．
一、空间曲线及其方程
7_7空间曲线
且有 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t点可导， r ( t ) ( x( t ), y( t ), z( t )).
四、空间曲线的切线与法平面
点 M 0处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 0 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 求空间曲线的切线与法平面的关键在于
t t0
lim r (t ) r (t0 )
t t0
t t0
t t0
t t0
r ( t ) 在 t 0点连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t 0 点连续 r ( t ) 在区间 I 连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在区间 I 连续
（对应的图形为连续曲线）
导数
r ( t ) t t 0 t t0
r ( t )在I 上可导.
如果 r ( t ) 在区间 I 上每一点都可导， 则称
向量值函数 r ( t ) x( t ), y( t ), z ( t ) 在 t 点可导
证: 先看简单情况， 当A是矩形, 且一边与x轴平行,
则 也是矩形, 且
σ ab | cosγ | A | cosγ |
成立.
b
A
a o y
一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 然后累加，再取极限即可. 证毕.
.
.
x
三、一元向量值函数
引例: 已知空间曲线 的参数方程:
x x (t ) y y (t ) z z (t )
空 间 立 体
曲 面
例如, 上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .
四、空间曲线的切线与法平面
点 M 0处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 0 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 求空间曲线的切线与法平面的关键在于
t t0
lim r (t ) r (t0 )
t t0
t t0
t t0
t t0
r ( t ) 在 t 0点连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t 0 点连续 r ( t ) 在区间 I 连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在区间 I 连续
（对应的图形为连续曲线）
导数
r ( t ) t t 0 t t0
r ( t )在I 上可导.
如果 r ( t ) 在区间 I 上每一点都可导， 则称
向量值函数 r ( t ) x( t ), y( t ), z ( t ) 在 t 点可导
证: 先看简单情况， 当A是矩形, 且一边与x轴平行,
则 也是矩形, 且
σ ab | cosγ | A | cosγ |
成立.
b
A
a o y
一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 然后累加，再取极限即可. 证毕.
.
.
x
三、一元向量值函数
引例: 已知空间曲线 的参数方程:
x x (t ) y y (t ) z z (t )
空 间 立 体
曲 面
例如, 上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .
空间曲线及其方程
n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
8.3-8.4空间曲面、空间曲线及其方程
(4)
方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
注意：曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于:
z
C
o o
H (x, y) = 0 z=0
y
x
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面
上的投影曲线方程.
已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 例6 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1.求它们的交线C在xOy 面上的投影曲线的方程. 解 联立两个方程消去 z ,得 椭圆柱面
定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
M
o x
y
例2
研究方程
表示怎样
的曲面. 解 配方得 故此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物 面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x
y
z
x y z ( p , q 同号) 2p 2q
2
2
空间曲线及其方程
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
高等数学
* 曲面的参数方程 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程, 形如
x x s, t , y y s, t , z z s, t .
China Institute of Industrial Relations
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
z a2 x2 y2 2 表示怎样的曲线？ 例3 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4 解 z a2 x2 y2
球心在坐标原点，半径为 a 的上半球面,
中国劳动关系学院
高等数学
投影曲线的研究过程如图所示.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
高等数学
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
x x( t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x , y ) 0 R( y , z ) 0 z 0 x 0
T ( x , z ) 0 y 0
解 方程组中第一个方程表示母线
平行于z轴的圆柱面, 其准线是 xOy 面上的圆, 圆心在原点O,半径为1. 方程组中第二个方程表示一个 母线平行于y轴的柱面, 由于它 的准线是zOx面上的直线, 因此
空间曲线在坐标面上的投影_高等数学(下册)_[共2页]
29 向量代数与空间解析几何第7章（4）用平面z = c （c > 0）截该曲面得截痕为虚轴在xOz 坐标面上的双曲线22y x c −=； （5）用平面z = c （c < 0）截该曲面得截痕为虚轴在yOz 坐标面上的双曲线22y x c −=−； （6）综上，可得曲面完整图形[如图7-6-3（b）所示].图7-6-3不难发现该曲面就是双曲抛物面，形状类似于马鞍. 如果一个人在yOz 坐标面内沿曲面行走的话，原点是最低点，而一个人如果在zOx 坐标面内沿曲面行走的话，原点却成了最高点.这样的点就称为曲面的鞍点.7.6.2 空间曲线在坐标面上的投影在后续学习中，常常需要求出两空间曲面所围成的立体在指定坐标面上的投影区域. 在满足一定条件的情况下，此类问题就可以转化为求这两个空间曲面的交线在指定坐标面上的投影.定义7.6.1 以空间曲线Γ为准线，母线平行于z 轴的柱面称为曲线Γ对xOy 坐标面的投影柱面. 投影柱面与xOy 坐标面的交线C 称为曲线Γ在xOy 坐标面上的投影曲线. 同理，可得到空间曲线Γ在yOz ，zOx 坐标面上的投影柱面和投影曲线的定义.已知空间曲线Γ的方程为()0()0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩,,,,,. 如何求Γ在xOy 坐标面上的投影曲线C ？显然投影曲线C 的方程中不应含有变量z ，并且要满足曲线Γ的方程，故在以上方程组中消去变量z ，得到方程()0H x y =,. （7.6.3）由柱面方程的特点知，式（7.6.3）表示的是母线平行于z 轴的柱面，且曲线Γ在该柱面上，所以由定义知，式（7.6.3）即曲线Γ对xOy 坐标面的投影柱面，由此可得Γ在xOy 坐标面上的投影曲线方程为()00H x y z =⎧⎨=⎩,,. （7.6.4） 例7.6.2 求圆柱面221x y +=与平面10x y z −+−=所围立体的水平投影区域.解 此投影区域为两曲面的交线在xOy 坐标面上的投影曲线所围成的区域（见图7-6-4）.图7-6-4。
空间几何体在平面上的投影区域
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Journal of Qiqihar University
Vol.23,No.4 July,2007
空间几何体在平面上的投影区域
丁殿坤
（山东科技大学公共课部，山东 泰安 271019） 摘要：首先给出了关于平面投影柱面方程的求法，从而得到了投影柱面围成的柱体，进而又给出了空间几何体在 平面上投影区域的求法，并给予证明，使求柱体和投影区域方便灵活。 关键词：空间几何体；柱体；投影区域；求法 中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2007)04-0076-04
⎧ F ( x + At , y + Bt , z + Ct ) = 0 ⎧ F ( x, y , z + t ) = 0 G G 变为 ⎨ ，若消 显然，当 s 为 z 轴时，即 s = { 0,0,1 } ，因此, ⎨ ⎩G ( x + At , y + Bt , z + Ct ) = 0 ⎩G ( x, y, z + t ) = 0 去参数 t 时，则 z 也同时消去，此时得到柱体为 H1 ( x, y ) ≤ 0 ，即垂直于 XOY 坐标面的柱体为 H 1 ( x, y ) ≤ 0 。 于是得到推论 1。
收稿日期：2007-04-11 基金项目：山东省教育厅立项课题资助项目（J06P14） 作者简介：丁殿坤（1956-） ，男，山东省新泰市人，副教授，大学本科，研究方向为基础数学，E-mail：skd的投影区域
・７７・
H ( x, y , z ) ≤ 0 。
数学分析（或高等数学）的主要内容是微积分，因此，积分是重要的内容之一。计算重积分经常要求 柱面方程以及空间几何体在平面上的投影区域，且在许多应用中也需要求投影区域，因此，求空间几何体 在平面上的投影区域就显得比较重要了。为了使求投影区域灵活方便多样化，所以，本文就此作一探讨。
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摘 要 介 绍 了两 种 求 空 间 曲线 在 一 般 平 面 上 投 影 曲线 方 程 的 方 法 ，方 法一 是将 投 影 曲 线 看 作 是柱 面与 一 般
平 面 的 交 线 ，而 方 法 二 是 将 投 影 曲线 看 作 是 空 间 曲 线 上各 点 在 一 般 平 面 上 的 投 影 点 组 成 的 曲线 ．
性质 ３ ．（ × ）一 （ ×占）． 一 （ × ）． ．
所 以
ｙ ｌ ×６ Ｉ。，
证 明 令
· （６× ）一 （ × ６）· ．
一 ＋ ＋ × ｂ，
同理可得
因 为
（ × ６） · ＝ （ × ）·ｂ．
· （６× ） ＝ · （６× （ ＋ ＋ × ６））一 · （ｏｈ× ＋ × （ Ｘ ６））＝
１ Ｇ（ｘ１，Ｙ１，ｚ１）一 ０
ｏ ● ＝＇● ＝Ｈ ｏ ●‘ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●‘》 ●ｏ ● ＝ ●‘＝ ●ｏ ● ＝Ｈ ｏ ●
ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●
· （ ＋ ）］ 一 ［ ·（ ＋ ）
（ · ）６——（６· ） ．
· （６× （ × ６））一 · （（６ ·ｂ）Ｅ一 （６ ·ｉｆ）ｂ）＝
ｙ（１ Ｉ。Ｉ ｂ ｌ 一 （ ·６）。）一 ｙ｝ Ｉ ｚ ｌ Ｉ ｚ（１一 ｃＯＳｚ（ ， ））一
参 考 文 献
［１３同济 大 学 数 学 教 研 室 ．高 等 数 学 ＩＭ］．北 京 ：高等 教 育 出版 社 ，１９９６．
ＶｏＩ．１３，Ｎｏ．２ Ｍ ａＦ．，２０１０
高 等 数学 研 究
ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩＣＳ
２３
空 间 曲线 在 一 般 平 面 上 投 影 方 程 的 求 法
李 勇 ，汪 民 乐
（西安 市第 二 炮 兵 工 程 学 院 ，西 安 ，７１００２５）
种方法 ，以作参 考．
面方程 ．
问题 求 空间 曲线 Ｃ在 一般 平面 Ｐ：
设 柱面 三的准线 ｒ 的方程 为
Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃｚ＋ Ｄ ＝ ０
ｆＦ（ｘ， ， ）一 ０，
上 的投影 曲线 Ｚ的方 程．
１Ｇ（ ， ， ）一 ０，
方法 一 空 间 曲线 Ｃ可看成 两个 空 间曲面 的交 母 线方 向
一 （１，０，一 ２），
１触 ＋ ＋ Ｃ ＋ Ｄ 一 ０．
设点 Ｍ（ｘ，Ｙ，ｚ）是柱 面上 一 点 ，点 Ｍ１（ｚｌ，Ｙｌ，２１）为
方 法二 空 间曲线 Ｃ也 可用参数方 程表示 ，即 准线 ｆ上一 点 ，则 有
ｒＸ — ｚ（￡），
ｌ — ｛一 ｚ；＝ ０，
ｙ — （ ），
２４
高 等数 学 研 究
２０１０年 ３月
ｆｚ Ｘｌ＋ Ａｔ，
．
ｙ ：＝＝ｙ１—卜Ｂｔ，
Ｉ — ｚｌ＋ Ｃｔ．
上的投 影曲线 的方程 ． 解 投影 曲线 的方 程可看 作平面 丌和经过空 间
曲线 Ｃ且垂 直于 平面 丌的柱 面 的交线．
从 以上诸式 中消 去 。，Ｙ ，２ 及 ｔ可得方程
Ｉｚ—ｚ（￡），
１ ｚ１— ２ｚｌ＝ ０；
“
其 中 ｔ为参数 ．
所谓 空间 曲线 Ｃ在 平 面 Ｐ上 的投 影线 ，是将 Ｃ上
作 战决 策 与 模 拟 研 究 ，Ｅｍａｉｌｌ Ｉｙ２００３０９０１０＠１６３．ｃｏｍ；
汪 民乐 （１９６４－），男 。安 徽 枞 阳 人 。博 士 ，教 授 ，从 事 计 算 智
ｆＦ（ １， １， １）一 ０，
能 、决 策 理 论 等 研究 ，Ｅｍａｉｌ：ｗａｎｇ－ｍｌ＠ ｓｏｈｕ．ｃｏｍ．
关 键 词 空 间 曲 线 ；投 影 曲线 ；曲 线 方 程 ．
中 图分 类号 Ｏ１８２
大一新 生在 学完 高等数 学 中“空 间解析几 何 与向 量代 数”这一章 后 ，基 本上 已经掌 握 了求 直线 在 一般
／Ｆ（ ， ， ）一ｏ，
１Ｇ（ ， ， ）一 ０
（１）
平面 上的投影 直线 的 方 程 和空 间 曲线 在坐 标 平 面上 表示 ，（１）式称 为 曲线 Ｃ的一 般方程 ．
的投影 曲线 的 方 程 ，而善 于思 考 的 学 生 自然 就会 有 所 求投 影 曲线 ｚ可 看成 由两 个 空 间曲面 的交线 ，
“如何求 空间 曲线在 一般 平 面上 投影 曲线 方 程 ”的疑 一 个 是 已知平 面 Ｐ，另一 个是 经过 已给空 间 曲线 Ｃ且
问 ，并且许 多学 生为 此而 困惑好 久 ，在 此 ，作 者介 绍两 垂直 于 已知平 面 Ｐ的柱 面 ，故 问题 转化为求 这一柱
先 求柱面 方程 ：柱 面 的准线 ｒ方程为
Ｈ （ｚ，ｙ， ）一 ０，
它 就是 以（１）为准线 ，母 线方 向为 的柱 面三 的方程 ．
， — Ｙ。一 ２ ＝ ０，
ＩＸ－２ｚ—ｏ。
因此 ，空间曲线 Ｃ在一般平 面 Ｐ上 的投影 曲线方程为 母 线方 向为
，Ｈ （ｘ，Ｙ， ） 一 ０，
［２］钱 昌本．高等数 学解 题过程中的分析和研究［Ｍ］．北京 ：科 学 出版 社 ，２００５．
［３］孙 本 旺 ，汪 浩 ．数 学 分 析 中 典 型 例 题 和 解 题 方 法 ［Ｍ］．长 沙 ：湖 南 科 学 技 术 出 版社 ，１９８３．
Ｉ ×ｂ Ｉ ，
（ × ６）· ＝
［４］徐利治 ，王 兴华 ．数学 分析的方法及 例题选讲 ［Ｍ］．北京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ，１９８４．
线 ，即可用
一 （Ａ ，Ｂ ，Ｃ），
点 Ｍ（ｘ，Ｙ， ）属 于柱 面 的充要条件是点 Ｍ 在某一条
收 稿 日期 ：２００９～ ０９— ２０ｆ修 改 日期 ：２０１０～ ０１— ２７．
母线上 ，即存在 准线 ｒ上一点 Ｍｌ（ｚ ，Ｙ ， ），使 得点 Ｍ
作者 简 介 ：李 勇 （１９７９－），男 ，江 苏 江都 人 ，硕士 ，讲 师 ，从 事 组 合 优化 、 位于过点 Ｍ１且 以 为方 向 向量 的直线上 ．因此 ，有