平面曲线的一般方程
曲面和平面的交线方程
曲面和平面的交线方程曲面和平面的交线方程是描述曲面和平面交线的方程。
曲面和平面都是几何体，曲面是三维空间中的一个二次曲线，平面是一个没有任何曲率的二维几何图形。
当一个平面与一个曲面相交时，交线是平面曲线，其形状可以是直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
本文将介绍曲面和平面的交线方程的基本概念、相关理论和具体案例。
首先，我们来了解曲面和平面的基本概念。
曲面是三维空间中的二次曲线，它可以用一个二次方程表示。
一个二次方程的一般形式是：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J都是实数系数。
当方程的系数满足某些条件时，我们可以得到不同类型的曲面，比如球面、圆柱面、锥面等。
平面是一个没有任何曲率的二维几何图形，它可以用一个一次方程表示。
一个一次方程的一般形式是：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C、D都是实数系数。
一个平面可以通过三个点或者一个点和一个法向量确定。
当一个平面与一个曲面相交时，它们的交线是平面曲线，其方程可以通过以下步骤确定：1.确定平面和曲面的方程。
根据给定的条件，可以得到平面和曲面的方程。
2.将平面方程代入曲面方程。
将平面方程的变量表达式代入曲面方程中，可以得到与之相交的曲面上的点坐标。
3.求解方程组。
将得到的点坐标代入曲面方程和平面方程中，可以得到方程组。
通过求解方程组，可以确定曲面和平面的交线方程。
具体情况下，交线方程的形式可能会有所不同。
下面将通过几个具体的实例来解释曲面和平面的交线方程。
例1：平面与球面相交设球面的方程为x^2 + y^2 + z^2 = 1，平面的方程为x + y + 2z = 0。
将平面方程代入球面方程中，得到方程组：(x + y + 2z)^2 + y^2 + z^2 = 1化简得：2x^2 + 3y^2 + 5z^2 + 4xy + 8xz + 4yz = 1通过求解方程组，可以得到平面与球面的交线方程。
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
平面曲线的方程及其性质
平面曲线的方程及其性质在数学中，平面曲线是一个广泛的研究领域，涵盖了各种各样的曲线类型和方程形式。
本文将探讨平面曲线的方程及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一数学概念。
1. 一次方程平面上最简单的曲线方程通常是一次方程，它的一般形式为：$$Ax + By = C$$其中A、B、C为常数，且A和B不同时为零。
这个方程表示了平面上的一条直线，A和B的比值决定了直线的斜率，C决定了直线与坐标轴的交点。
这种方程可以用来描述线性关系，例如直线的斜率和截距。
2. 二次方程二次方程是另一类重要的曲线方程，一般形式为：$$Ax^2 + By^2 = C$$其中A、B、C为常数，且至少有一个非零。
这种方程通常描述了圆、椭圆或双曲线等曲线类型。
参数A和B的符号以及与零的比值将决定曲线的形状。
3. 抛物线方程抛物线是一种特殊类型的曲线，其一般方程为：$$y = ax^2 + bx + c$$其中a、b、c为常数，且a不等于零。
抛物线可以是开口向上或开口向下的，取决于参数a的正负性。
它们在物理学和工程学中有广泛的应用，例如抛物线轨迹和焦点反射等方面。
4. 椭圆方程椭圆是平面上的另一种常见曲线类型，其标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中a和b为正常数，决定了椭圆的形状和大小。
椭圆方程用于描述行星轨道、天文学中的椭圆形星系等现象。
5. 双曲线方程双曲线是具有两支的曲线，其一般方程可以表示为：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$或$$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$$这两种形式分别对应于水平和垂直方向的双曲线。
双曲线方程用于描述光线折射、电磁波传播等物理现象。
6. 曲线的性质不同类型的曲线具有各自独特的性质和特征。
以下是一些常见的曲线性质：- 直线是最简单的曲线，具有恒定的斜率和长度。
第三节 空间平面及其方程
特别有下列结论：
n2
(1) π1 ⊥ π 2
n1 ⊥ n2
∏1
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0
n1
∏2
(2) π1 / /π 2
n1 // n2 A1 = B1 = C1 A2 B2 C2
n2 n1
∏2
∏1
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 一平面通过两点O( 0 , 0, 0 ) 和 M ( 6 , − 3 , 2 ) , 且 垂直于平面π: 4x - y + 2z = 8, 求其方程 .
xO y
z
x2 + y2 a2
−
z2 c2
=1
x
O
y
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
目录 上页 下页 返回 结束
3、二次曲面
三元二次方程
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形统称为二次曲面. 其基本类型有:
第三节 空间平面及其方程
1、平面的点法式方程
量设nG一= 平{ A面, B通, 过C }已, 求知该点平M面0π(x的0 ,方y0程, z.0 任取 M ( x, y, z) ∈ π , 则有
M 0M ⊥ n
)
且垂直于非零向
zn
π
M M0
O
故
M 0M ⋅n = 0
x
y
M 0M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
书上第7页例题
目录 上页 下页 返回 结束
空间曲线方程不同形式间的转化技巧
空间曲线方程不同形式间的转化技巧晶晶摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式，它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本文主要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性．关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性Transformation Techniques for Different Forms ofInter-space Curve EquationLi Jingjing(20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics& Statistics)Abstract:Space curve parameter equation and general equation aretwo very important form of the equation of space curve．They represent the same curve, so they can be transformed into each other．There are many methods for the conversion between these two kinds of forms．This paper mainly introduces several methods commonly used．During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution．Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution1引言空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1]空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．1.1 平面曲线方程的形式1.1.1 平面曲线的一般方程平面曲线一般方程的定义[2] 当平面上取定了坐标系之后，如果方程(,)0F x y =或()y f x =与一条曲线有着下列关系：满足方程的(,)x y 必是曲线上的某一点的坐标；反过来，曲线上任何一点的坐标(,)x y 满足这个方程，那么这个方程(,)0F x y =就叫做这条曲线的一般方程，而这条曲线叫做这个方程的图形．1.1.2 平面曲线的参数方程平面曲线参数方程的定义[2] 若取()t a t b ≤≤的一切可能取的值，满足：由12()()()r t x t e y t e →→→=+()a t b ≤≤表示的向径()r t →的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t 的某一值0t ()0a t b ≤≤通过12()()()r t x t e y t e →→→=+()a t b ≤≤完全决定，那么就把这个表达式叫做这条曲线的向量式参数方程，其中t 为参数．参数方程为(),(),x t y t φϕ=⎧⎨=⎩ ()a t b ≤≤.1.2 平面曲线方程不同形式间的转化1.2.1 平面曲线的参数方程转化为一般方程平面曲线的参数方程转化为一般方程的方法有很多，主要根据实际情况消去参数，从而转化为一般方程．下面重点介绍比较常用的代数消元法和三角公式消元法．首先是代入消元法．例1.1 化物体的运动方程 020cos ,sin ,2x v t a gt y v t a =⎧⎪⎨=-⎪⎩ （0t T ≤≤）为一般方程．解 由方程组的第一个式子得0/(cos )t x v a =,代入方程组第二式子得2220/(2cos ),y xtga gx v a =-即222200sin 22cos 0gx v a x v a y -⋅+⋅=． 这是抛物线方程．下面介绍应用三角公式消元法．例1.2 化下列参数方程为一般方程:（１）sec ,,x a y btg θθ=⎧⎨=⎩（θ为常数） （２）1cos ,sin ,x y tg θθθ=+⎧⎨=+⎩（0/2θπ<<）解（1）原方程即sec ,,x a y tg bθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①② 22-①②，得22221x y a b -= ．这是双曲线的标准方程． 当2222n n πππθπ-<<+，（n 是整数）时，sec 0x a θ=>,参数方程表示双曲线的右面一支；当32222n n πππθπ+<<+ 时，表示双曲线的左面一支． （2）原方程即1cos ,sin ,x y tg θθθ-=⎧⎨-=⎩③④÷④③，得1y tg tg x θθ-=-．由此，y tg x θ=．代入④得sin y y xθ-=．⑤ 22+③⑤，得22(1)()1y x y x -+-=，即2222()(1)x y x x +-=，(12,0)x y <<>． 1.2.2 平面曲线的一般方程转化为参数方程我们也可以把平面曲线的一般方程(,)0F x y =改写为参数方程(),().x t y t φϕ=⎧⎨=⎩一般地，根据实际情况选取参数t ，找出x 与参数t 的关系式()x t φ=，然后代入原方程求出()y t ϕ=，那么，()x t φ=，()y t ϕ=就是曲线的参数方程．也可以先求出()y t ϕ=，然后，代入原方程得出曲线的参数方程.[4]例1.3 化普通方程222220x xy y x y +++-=为参数方程，其条件是2x t t =-．解 把条件2x t t =-代入原方程，得22222()2()2()20t t t t y y t t y -+-++--= 解得2y t t =+或232y t t =-+，所以曲线的参数方程为22,,x t t y t t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数）或22,3 2.x t t y t t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ (其中t 为参数)． 第二种类型，没有任何条件需要自己选择参数表示出恰当的函数关系．例1.4 化平面曲线的普通方程222360x y --=为参数方程．解 由原方程可得22236x y -=，即221-=，根据三角公式22sec 1tg θθ-=sec θ=，tg θ=，所以参数方程为,,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.2 空间曲线方程的形式2.1空间曲线的一般方程空间曲线一般方程的定义[3] 空间曲线可以看做是两个曲面的交线． 设两个曲面的方程分别为(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =，它们的交线为C ．因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ （2.1）反过来，如果点M 不在曲线C 上，那么它不可能同时在这两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（2.1）．因此，曲线C 可以用方程组1（）来表示，方程组1（）叫做空间曲线C 的一般方程. 例2.1 方程组22216,2,x y z z ⎧++=⎨=⎩表示什么曲线？ 解 此方程组是以原点为球心，以4为半径的一个球面被平面2z =所截后得到的截口曲线，这一曲线表示的是圆2212,2.x y z ⎧+=⎨=⎩ 也可以理解为中心轴是z 轴的圆柱面2212x y +=被平面2z =所截后得到的截口曲线．2.2 空间曲线的参数方程空间曲线参数方程的定义[3] 空间曲线C 的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C 上动点的坐标,,x y z 表示为参数t 的函数(),(),().x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩（2.2） 当1t t =时，就得到C 上的一个点111(,,)x y z ；随着t 的变动便可得曲线C 上的全部点．方程组（2.2）叫做空间曲线的参数方程.例2.2 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，这个动点的轨迹叫圆柱螺旋，试建立圆柱螺旋线的方程．解 设动点M 在半径为R 的圆柱面222x y R +=上以角速度ω做圆周运动．同时又以线速度μ沿圆柱面轴线方向做等速度直线运动，则点M 的运动轨迹就是圆柱螺旋线．先建立空间直角坐标系．设动点由0M 出发经时间t 运动到点(,,)M x y z ．记M 在xOy 面上的投影为'M ，它的坐标为(,,0)x y ，由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，所以经过了时间t 后，0'M OM t ω∠=，从而，0'cos 'cos ,x OM M OM R t ω=∠=0'sin 'sin y OM M OM R t ω=∠=．又由于动点同时沿平行与z 轴的正方向匀速上升，线速度为μ，所以'.z M M t μ==因此，圆柱螺旋线的参数方程为cos ,sin ,,x R t y R t z t ωωμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0t ≤≤+∞．令t θω=，而t θω=，则圆柱螺旋线可用θ作参数方程表示，即 cos ,sin ,,x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0θ≤≤+∞． 这里 b μω=． 3 空间曲线方程不同形式的互化空间曲线的参数方程与一般方程是建立在平面曲线方程的基础之上的．因此，我们类比平面曲线方程两种形式间的转化方法得出空间曲线不同形式间的转化方法．3.1 空间曲线的参数方程转化为一般方程将空间曲线的参数方程化为一般方程应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．下面重点介绍空间曲线的参数方程化为一般方程的代入消元法和三角公式消元法．3.1.1 代入消元法将空间曲线的参数方程转化为一般方程时，代入消元法是最常用的一种方法，同时也是最基本的一种方法．例3.1 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，试建立这个动点轨迹的一般方程．解 由例2．2可知动点轨迹的参数方程为cos ,sin ,,x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0θ≤≤+∞．接下来，我们将此参数方程转化为一般方程．我们运用代入消元法消去参数θ，由z b θ=得出z b θ=，然后代入cos x R θ=或sin y R θ=，可得cos z x R b =或sin z y R b=． 又由cos x R θ=和sin y R θ=得到222x y R +=．因此，动点运动轨迹的一般方程 为222,sin ,x y R z y R b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩或222,cos .x y R z x R b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩例3.2 化空间曲线的参数方程()()()261,1(1),22,3x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩为一般方程．解 由()3可知2z t =，将2z t =代入1（）和(2)得空间曲线的一般方程为 231,1.2x z z y =+⎧⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩由例3.1，3.2可以看出对于某些形式的参数方程用代入消去法化为一般方程非常方便．3.1.2 三角公式消元法三角公式消元法的运用也非常广泛．例3.3 化下列空间曲线的参数方程（1） ()()()3sin ,5sin ,4cos ;x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ⅰⅱⅲ (02)θπ≤≤（2） ()()()sec ,,2sec .x y tg z ααα=⎧⎪=⎨⎪=⎩ⅳⅴⅵ (02)απ≤≤为一般方程．解由()()(),,ⅰⅱⅲ可知：sin 35x y θ==，cos 4z θ=，又因为22cos sin 1θθ+=, 因此曲线的一般方程为22,35 1.2516x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ （2）由()()(),,ⅳⅴⅵ得：sec 2z x α==，tg y α=，因为22sec 1tg αα-=，所以曲线 的一般方程为22,21.z x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩综上所述，将空间曲线的参数方程化为一般方程的方法很多，应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．3.2 空间曲线的一般方程转化为参数方程将空间曲线的一般式方程12(,,)0,(,,)0,F x y z F x y z =⎧⎨=⎩化为参数方程(),(),(),x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩是一个难点．将空间曲线的普通方程转化为参数方程时，选取参数对我们来说是十分重要的．当我们选取不同的参数时，同一曲线的参数方程就可以有不同的形式．选取恰当的参数，方程将会有比较简单的形式．我们采取的方法一般是先根据实际情况，给出其中一个或两个变量关于参数t 的方程，然后再代入空间曲线的一般方程，从而得到曲线的参数方程．将空间曲线的一般方程转化为参数方程的方法有很多，包括代入法、有理因式法、三角法、斜率法，此外还可采用把曲线投影到坐标面上的方法，利用对称式方程等方法.[5]3.2.1 三角公式法若方程经过恒等变形可出现22sin cos 1a a +=，22sec 1a tg a -=，1tga ctga ⋅=，则可用三角公式法．例3.4已知半径为R 的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，那么这时球面与圆柱面的交线叫做维维安尼曲线，求维维安尼曲线的参数方程式．解 由已知条件，我们得到曲线的一般方程相对来说比较简单，再将一般方程化为参数方程．我们取球心为坐标原点，过球心的圆柱面的一条直径为x 轴，通过球心的圆柱面的一条母线为z 轴，建立直角坐标系．得到的球面的方程为2222x y z R ++=，圆柱面的方程为220x y Rx +-=．因此，维维安尼曲线的一般方程为222222,0.x y z R x y Rx ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩我们再将上述方程转化为参数方程．首先，结合我们之前所学的平面曲线的知识，圆柱面方程220x y Rx +-=的参数方程为2cos ,cos sin .x R y R θθθ⎧=⎨=⎩我们再将其代入球面方程2222x y z R ++=得到sin z R θ=±．因此，我们得出曲线的参数方程为2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 0θπ≤< 与2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩0θπ≤<．如果我们令t θπ=+，即t θπ=-，代入公式后，上式就变成了2cos ,cos ,sin ,x R t y R t z R t θ⎧=⎪=⎨⎪=⎩2t ππ≤≤．因此，维维安尼曲线的参数方程为2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩02θπ≤≤．例3.5 把 ()()2222216,140,2x y z x y x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩ 化为参数方程． 解 由2240x y x +-=得22(2)4x y -+=．令22cos ,2sin ,x y θθ-=⎧⎨=⎩可得222cos 2(1cos )4cos 2x θθθ=+=+=， 22sin cos 4sin cos 2222y θθθθ==．设2t θ=， 则24cos x t =，4sin cos y t t =，代入1（）得422216cos 16sin cos 16t t t z ++=． 所以，2216sin z t =，4sin z t =±．曲线的参数方程为24cos ,4sin cos ,4sin ,x t y t t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩t ππ-≤≤．3.2.2 代入法对于空间曲线的一般方程，方程组中一个方程的形式非常简单，例如y x =,z a = (a 为常数)等，可以直接将形式简单方程带入另一个方程，再利用三角法求得参数方程．例3.6 化下列一般方程为参数方程．（1）2229,;x y z y x ⎧++=⎨=⎩ （2）222(1)(1)4,0.x y z z ⎧-+++=⎨=⎩ 解（1）将y x =代入2229x y z ++=，得222213x z +=，令x t =，则3sin z t =，因此，所求的参数方程为,,3sin ,x t y t z t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩02t π≤≤． （2）将0z =代入222(1)(1)4x y z -+++=，得22(1)3x y -+=，令1x t -=，则y t =，则所求的参数方程为1,,0,x t y t z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩02t π≤≤．3.2.3 投影法利用曲线投影到坐标面上的方法，通过投影曲线标准方程的参数方程达到化空间曲线的一般式方程为参数方程的目的． 例3.7 将曲线L 的一般式方程222340,2210,x y z x y z x y z ⎧++-+--=⎨--+=⎩化为参数方程.[6]解 在方程中消去z ，得到曲线L 在xoy 平面上的投影曲线为22'58540,:0.x xy y x y L z ⎧-+++-=⎨=⎩ 配方后，得22'(1)9()9,:0.x y x y L z ⎧+++-=⎨=⎩ 在xoy 平面上作坐标变换111,,x x y y x y =++⎧⎨=-⎩得到'L 的标准方程2211'1,:910,x y L z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩此为椭圆方程，其参数方程为'11:3cos ,sin ,0L x t y t z ===，代回原变量，得 '3cos sin 13cos sin 1:,,022t t t t L x y z +---===．将,x y 代入L 的方程，得2sin 1z t =+从而得L 的参数方程3cos sin 1,23cos sin 1,22sin 1.t t x t t y z t +-⎧=⎪⎪--⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩3.2.4 利用对称式方程法当空间曲线为直线时，可以先求出直线的对称式方程，再利用直线的对称式方程求直线的参数方程变很容易了．例3.8 求直线1,24,x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的参数方程．解 令1x =，则0,2,y z y z -+=⎧⎨+=⎩，得1,1.y z =⎧⎨=⎩从而得直线上的一点(1,1,1)．我们取直线的方向向量为1211123211ij k s n n i j k =⨯=-=-++，于是对称式方程为111213x y z ---==-，令111213x y z t ---===-，则参数方程为12,1,13.x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩综上所述，将空间曲线的一般方程化为参数方程是一个难点也是一个关键点，我们必须根据空间曲线一般方程的特点，选取恰当的参数．4 结束语本篇论文主要介绍了空间曲线方程的两种形式，即一般方程和参数方程，以及它们之间的相互转化方法．参数方程转化为一般方程时，主要介绍了代入消元法，应用三角公式消元法等方法．对于一般方程转化为参数方程，介绍了代入法，三角公式法，投影法等．我们应根据方程的具体形式选取恰当的方法．此外，空间曲线的一般方程和参数方程的互化有两点注意事项，即等价性和同解性.这是因为参数方程中参数的不同取值确定着不同的曲线．在空间曲线方程的系数参数问题中，突出的反映了解析几何数和形的对立统一思想，要特别注意变量的取值围在互化前后要保持一致．将空间曲线的参数方程化为一般方程时，如果仅仅从空间曲线的一般方程(),(),(),x x ty y tz z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩消去参数t得到12(,,)0,(,,)0,F x y zF x y z=⎧⎨=⎩并不一定是曲线对应的一般方程，它有可能具有不能从的某值通过得出的解，从而给原曲线增加了新的点．将曲线的一般方程化为参数方程时要注意标明参数的取值围．把参数方程化成一般方程时，要注意方程的同解性是否被破坏．有时参数方程中的参数取值有围的限制，图像只表示曲线的一部分，然而在消去参数后，得到一般方程的图像却是曲线的整体．这样，一般方程与原来的参数方程表示的曲线就不完全相同了．因此，在转化过程中，要注意参数方程中参数所受的限制在所化的一般方程中的图像予以反映出来.[1]总之，在空间曲线的参数方程和一般方程相互转化时要保持方程的等价性和同解性，使结果完整准确．参考文献[1]荣锋．空间曲线参数方程与一般方程互化[N]．师学院学报，2010-2．[2]吕林根，许子道．解析几何[M]．：高等教育，2006:96-99．[3]邢佳,郭金萍．高等应用数学[M]．天津：天津大学，2013：236-237．[4]王祥林．化普通方程为参数方程[J]．黄淮学刊，1989（2）：93-94．[5]宋研．曲线参数方程和直角坐标方程的互化[J]．中国校外教育（下旬刊），2013（z1）:595．[6]冷劲松．建立空间曲线的参数方程的方法及应用[D]．：电子科技大学，1998-6．。
7-3曲面方程、曲线方程
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
y
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿圆C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
•
表示抛物柱面,
z
y2 1) 2
z2 1 (z 1)2
1
在xoy 面上的投影曲线方程为
x
2
2
y z
2 2 0
y
0
z
C
o
1y
x
又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
在 xoy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
• x y 0 表示母线平行于
§2.1 平面曲线的方程
§2.1 平面曲线的方程一. 平面曲线的普通方程平面上的曲线都是看作适合于某种条件的点的轨迹,用点的坐标,x y 之间的关系式来表示. 平面曲线的一般方程为(),0F x y =,或()y f x =.1.定义:如果一个方程(),0F x y =或()y f x =与一条曲线有关系: (1).满足方程(),0F x y =或()y f x =的(),x y 是曲线上的点的坐标; (2).曲线上的任何一点的坐标(),x y 满足方程(),0F x y =或()y f x =,则(),0F x y =或()y f x =叫做曲线的方程,而曲线叫做方程(),0F x y =或()y f x =的图形. 2.求曲线的方程基本方法: 条件等式转化法.一般步骤: ①选标, ②列式, ③化简, ④证明.例1.已知两点A(-2,-2)和B(2,2),求满足条件4MA MB −=JJJ G JJJ G的动点M 的轨迹方程. 解:动点(),M x y 在轨迹上的充要条件是4MA MB −=JJJ G JJJ G4=4=+化简得 2,(2)xy x y =+≥ 所求轨迹方程为2,(2)xy x y =+≥.二.曲面的参数方程平面曲线的参数方程:()()()12r r t x t e y t e ==+G G J G J J G 或 ()()x x t y y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ []12,t t t ∈(单参数)定义: 如果取()t a t b ≤≤的一切可能取的值,由上式表示的径矢()r t G的终点M总在一条曲线上;反过来,在这条曲线上的任意点M 总对应着以它为终点的径矢,而这个径矢可由t 的某一个值0t ()0a t b ≤≤完全决定,那么上式叫做曲面的矢量式参数方程,其中t 为参数.因为径矢()r t G 的分量为()(){},x t y t 所以曲线的参数方程也可写成()()x x t y y t =⎧⎪⎨=⎪⎩,叫做曲线的坐标式参数方程.例2. 已知直线l 通过定点()000,M x y ,并且它与非零矢量{},v X Y =G共线,求直线l 的方程.解: 设(),M x y 是直线上的任意一点,并设OM r =JJJJ G G ,00OM r =JJJJJ G J G.则M 在直线l 上的充要条件是 0M M tv =JJJJJ J G G.00M M r r =−JJJJJ J G G J G 所以 0r r tv −=G J G G即 ()0r r tv t =+−∞<<+∞G J G G----------------矢量式参数方程00x x Xty y Yt =+⎧⎨=+⎩()t −∞<<+∞---------------坐标式参数方程 例3. 已知大圆半径为a ,小圆半径为b ,设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,动圆周上某一定点P 的轨迹叫做内旋轮线(或称内摆线),求内旋轮线的方程.解: 设运动开始时动点P 与大圆周上的点A 重合,并取大圆的中心O 为原点, OA 为x 轴,则r OP OC CP ==+G JJJ G JJJ G JJJ G ,设 ()(),,,i OC CP CB θϕ==G JJJ G JJJ G JJJ G((,()()cos sin OC i a b j a b θθ=−+−JJJ G G G且 p p a AB PBb θϕ=== 所以 abϕθ=又 (),b ai OP bθϕθ−=−=G JJJ G (所以 cos sin cos sin b a b a a b a bCP ib jb ib jb b b b b θθθθ−−−−=+=−JJJ G G G G G 所求内旋轮线的矢量式参数方程为:()()cos cos sin sin a b a b r a b b i a b b j b b θθθθ−−⎡⎤⎡⎤=−++−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦G G G其中()θ−∞<<+∞M坐标式参数方程为: ()()cos cos sin sin a b x a b b ba b y a b b b θθθθ−⎧=−+⎪⎪⎨−⎪=−−⎪⎩其中()θ−∞<<+∞.。
第五节 平面及其方程
G ( x, y , z ) 0
F ( x, y , z ) 0
z
S O y
x
S2
C F ( x, y , z ) 0
S1
则方程组(1)叫做空间曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程组(1) 的图形.
目录 上页 下页 返回 结束
两个基本问题 : (1) 已知一曲面(曲线)作为点的几何轨迹时, 求曲面(曲线)方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
1
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C2
目录
2
2
2
上页
下页
返回
结束
1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
故
O
M0
y
因此所求球面方程为
x
目录
上页
下页
返回
结束
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2