平面曲线的方程
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
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大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
三点求曲线方程
三点求曲线方程
要在平面上三点求曲线方程，首先需要确定曲线是二次曲线、一次曲线还是其他类型的曲线。
以下是针对不同类型曲线求方程的方法：
1. 二次曲线（如抛物线、椭圆、双曲线等）：
假设曲线方程为：Ax² +By² +Cx + Dy + E = 0
已知三点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3），则可以列出以下方程组：
A(x1)² +B(y1)² +Cx1 + Dy1 + E = 0
A(x2)² +B(y2)² + Cx2 + Dy2 + E = 0
A(x3)² +B(y3)² +Cx3 + Dy3 + E = 0
解这个方程组，可以得到A、B、C、D 和 E 的值。
然后将这些值代入曲线
方程，即可得到所求曲线方程。
2. 一次曲线（如直线、圆等）：
如果两点坐标已知，可以先判断曲线是否为直线。
如果两点间的斜率存在，则直线方程为：y - y1 = k(x - x1)，其中k 为两点间的斜率，
(x1, y1) 为其中一个点的坐标。
如果两点坐标为（x1，y1）和（x2，y2），则直线方程为：
y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x -x1)
如果两点坐标相同，则直线与x 轴重合，方程为：y = y1。
如果三点共线，可以利用两点求斜率，然后用斜率公式求直线方程。
3. 其他类型曲线：
对于其他类型（如指数函数、对数函数等）的曲线，通常需要根据曲线的特点和已知条件建立方程。
2.1-2.2：平面曲线和曲面的方程
(x, y) 必是曲线上某一点的坐标; (2) 曲线上任何一点 的坐标(x, y)满足这个方程. 那么这个方程就叫做这条 曲线的方程, 而这条曲线叫做这个方程的图形.
以下只考虑直角坐标系 例1 求圆心在坐标原点,半径为R的圆的方程.
解: 设M(x,y)是圆上任意一点, 则特征条件为
i
当t变化时, 动点P在平面上画出一条曲线,显然, 这条曲线
也可以看作是由动径矢r (t )的终点P画出.也就是说, 一个
起点固定在坐标原点的矢量, 它若随着一个参数变化, 那么它的终点就描画出一条曲线.
r r (t ) 我们称动径矢 r (t ) 是变数t的矢性函数. 记为 at b
Ax By C 0
也叫做一般方程
例2
方程 r (a cos t )i (b sin t ) j ,(a, b 0),
在平面上表示什么曲线?
椭圆
例2 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上的一点 P的轨迹. y 解: 如图, 经过一段
时间的滚动, 圆与直 线的切点移到A点, 圆心移到C点.
配方得:
( x g ) ( y h) ( z k ) g h k l
2 2 2 2 2 2
所以 当 g 2 h2 k 2 l 0, 三元二次方程表示中心在
(-g, -h, -k), 半径为
g h k l
2 2 2
的球面.
当 g 2 h2 k 2 l 0,
上称为虚球面.
三元二次方程无实图形, 习惯
当 g 2 h2 k 2 l 0,
(-g, -h, -k), 例6
曲线在平面上的投影方程
曲线在平面上的投影方程
在平面上，曲线的投影方程可以通过求解投影问题来得到。
投影问题是指在平面上找到一
条曲线，使得该曲线在平面上的投影与实际曲线相对应。
一般来说，曲线在平面上的投影方程可以通过将曲线的参数方程或者隐式方程投影到平面上来
得到。
具体的方法取决于曲线的形式和方程类型。
参数方程的投影方程可以通过将参数方程的参数改为平面上的变量来得到。
例如，对于参数方
程x = f(t) 和 y = g(t)，将t替换为平面上的变量，如x = h(x',y') 和 y = k(x',y')，其中(x', y')为平
面上的变量，h和k是适当的函数，就可以得到曲线在平面上的投影方程。
对于隐式方程，投影方程可以通过将其转化为平面上的变量来得到。
例如，对于隐式方程F(x, y) = 0，将x和y替换为平面上的变量，如F(x', y') = 0，就可以得到曲线在平面上的投影方程。
需要注意的是，曲线在平面上的投影方程可能是一个显式方程，也可能是一个隐式方程，具体
取决于参数方程或隐式方程的形式和投影过程中的数学操作。
总结起来，曲线在平面上的投影方程可以通过将曲线的参数方程或者隐式方程投影到平面上来
获得，具体的方法取决于曲线的形式和方程类型。
平面曲线的切线与法线
由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为：
( 2 3 3 2 )( x 3 ) (1 3 )( y 3 2 ) 0, (1 3 )( x 3 )(23 3 2 )( y 3 2 ) 0.
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
一、平面曲线的切线与法线
曲线 L ：F( x, y) 0; 条件：P0( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:
y y(x) ( 或 x x( y) ) ;
L 在 P0 处的切线： y y0 Fx (P0 ) Fy (P0 ) ( x x0 )
论( 这里 a 3 2 ), F 在点 P0 近旁满足隐函数定理
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的条件. 容易算出 ( Fx (P0 ), Fy (P0) ) (15, 12 ),
于是所求的切线与法线分别为 15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4x 5 y 13 0 .
若 P0( x0, y0 ) ( x(t0 ), y(t0 )) 是其上一点, 则曲线
在点 P0 处的切线为
y y0
y(t0 ) x(t0 )
(
x
x0
),
或
x x0 y y0 . x(t0 ) y(t0 )
下面讨论空间曲线.
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(A) 用参数方程表示的空间曲线:
例2 用数学软件画出曲线 L : x2 y sin x y 0
平面光滑曲线方程推导
平面光滑曲线方程推导平面光滑曲线方程的推导是数学中非常重要的内容，它能够帮助我们描述和分析曲线的性质和特点。
在本文中，我将生动地、全面地和有指导意义地解释和推导平面光滑曲线方程的方法。
首先，我们来回顾一下曲线的定义。
在平面几何中，曲线是由一系列连续的点组成的集合。
这些点之间可能存在某种函数关系或者满足特定条件，导致它们呈现出某种特殊的形状。
而我们的目标就是找到一个方程，能够用数学语言描述这些点之间的关系。
假设我们有一个平面上的光滑曲线，我们可以假设在此曲线上任意一点的坐标分别为(x, y)，其中x和y都是实数。
我们的目标是找到一个方程f(x, y) = 0，使得所有满足此方程的点构成的集合就是我们所关注的曲线。
首先，我们需要思考一下什么是光滑曲线。
在数学中，光滑曲线的定义就是这个曲线上的每一点都存在一个切线。
简单来说，就是曲线上的每一个点的切线总是和曲线相切，并且没有突变或者尖点。
这意味着曲线在任意一点的切线斜率存在，并且是有限的。
根据上述定义，我们可以得到曲线上任意一点的切线斜率等于曲线在该点的导数。
因此，我们可以通过求取导数来找到曲线上每一点的切线斜率。
现在，我们来推导平面光滑曲线方程的一般方法。
假设我们有一个函数y = f(x)，描述的是曲线上的点(x, y)。
我们要求这个曲线是光滑的，也就是说它的导数存在。
首先，我们对函数f(x)求导，得到f'(x)，它代表了曲线上任意一点x处的切线斜率。
因为我们希望曲线光滑，所以f'(x)必须是一个有限的数。
接下来，我们可以使用导数的定义来寻找平面光滑曲线的方程。
我们可以通过导数的定义得到以下等式：f'(x) = lim((Δx→0) (Δy/Δx))其中，Δy表示在Δx的小范围内，y的变化量，也就是f(x+Δx) - f(x)。
我们可以进一步变形上述等式，得到：Δy = f'(x)Δx我们希望Δx趋近于0，即Δx -> dx，Δy -> dy。
曲面到平面的距离公式
曲面到平面的距离公式曲面到平面的距离公式是用来计算一个给定曲面与一个给定平面之间的最短距离的公式。
这个距离可以被称作曲面到平面的垂直距离，因为是沿着曲面和平面的法线方向测量的。
在本文中，我们将探讨两个常见的曲面到平面的距离公式：点到平面的距离公式和曲线到平面的距离公式。
1.点到平面的距离公式：点到平面的距离是指一个给定点与给定平面之间的最短距离。
这个距离可以使用以下公式计算：d = ，Ax + By + Cz + D， / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，点的坐标为(x,y,z)，平面的方程为Ax+By+Cz+D=0。
A、B、C和D是平面方程的系数。
这个公式基于以下原理：点到平面的最短距离是垂直于平面的直线与平面的交点到该点的欧几里得距离。
2.曲线到平面的距离公式：曲线到平面的距离是指一个给定曲线与给定平面之间的最短距离。
这个距离可以使用以下公式计算：d = ，Ax + By + Cz + D， / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，曲线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t)，平面的方程为Ax+By+Cz+D=0。
A、B、C和D是平面方程的系数。
这个公式基于以下原理：曲线到平面的最短距离是曲线上的点到平面的最短距离。
该公式的推导可以通过下面的步骤完成：1.假设曲线上的一点的参数为t，该点的坐标为(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t))。
2.使用点到平面的距离公式，计算点(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。
3.最小化这个距离，即求得曲线到平面的最短距离。
应用举例：1.假设平面为x+y+z=1，我们要计算点(3,4,5)到这个平面的距离。
将这些值代入点到平面的距离公式，我们可以得到：d = ，1*3 + 1*4 + 1*5 - 1， / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = 11 / sqrt(3)因此，点(3,4,5)到平面x+y+z=1的距离约为2.012.假设平面为x+y+z=1，曲线为x=t^2,y=t^3,z=t，并且我们要计算曲线到这个平面的距离。
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)
取0 时，消去参数，可得P点轨迹
在0 时的普通方程为
x=aarccos a y 2ay y2 . a
解析几何
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
特别地，当R=r时，得到心脏线
参数方程为：
x2Rcos(1cos) y2Rsin(1cos)
解析几何
（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上 解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆 的渐伸线或切展线（involute）
解析几何
取 直 角 坐 标 系 ， 设 半 径 为 a的 圆 在 x轴 上 滚 动 ，
开 始 时 点 P恰 好 在 原 点 O ， 设 P点 的 坐 标 为 （ x， y） ，
可得P点的坐标式参数方程为
x y
a a
sin ，（ 1 cos
概括言之，曲线上的点和方程之间存在这一一对应的关系
解析几何
例1 求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
解：由圆的定义，任意一点M（x，y）在圆上的充要条件是M到 圆心O的距离等于半径R，即OMR，由两点间的距离公式可得
x2y2 R，
(1)
两边平方可得x2y2 R2.(2.1.1) 方程（1）与（2.1.1）完全同解，所以（2.1.1)即为所求圆的方程.
第二种参数方程以斜率 t
为参数：x b2 a2t2
y
2ab2t b2 a2t2
,t
解析几何
b
b
ib cos a b jb sin a b ，
b
b
r
（ a
b）cos
b
cos
a
b
b
Hale Waihona Puke i（ a
b) sin
b sin
a
b
b
j.
此式即为内旋轮线的向量式参数方程，
（ )为参数.
圆的内摆线
圆中心为C，则C一定在半径OB上，显然有r OP OC CP，
设 = （i，OC）， （CP，CB），则OC （i a-b）cos +（j a b）sin ，
且有a AB PB b，所以 = a ， （i，CP）= - = b a ，
b
b
又 CP b，所以CP ib cos b a jb sin b a
（x 2）2 （y 2）2 （x 2）2 （y 2）2 4，（2） 移项得（x 2）2 （y 2）2 （x 2）2 （y 2）2 4， 两边平方整理得（x 2）2 （y 2）2 x y 2，（3） 再两边平方整理得xy=2，（4）
§2.1 平面曲线的方程
解析几何
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程 的图形。
解析几何
设P点的坐标为（x，y），可得内旋轮线 的坐标式参数方程为
x y
（a （a
b）cos bcos a b b ，（
b)sin bsin a b
b
)
圆的内摆线
解析几何
特殊地，当a4b时，应用公式cos34cos33cos， sin33sin4sin3， 内旋轮线的方程化为xyaascions33.，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为：
x y
xt ,a
yt
t
b
解析几何
例3 一个园在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
解析几何
解 ： 取 直 角 坐 标 系 ， 设 半 径 为 a的 圆 在 x轴 上 滚 动 ， 开 始 时 点 P恰 好 在 原 点 O， 经 过 一 段 时 间 的 滚 动 ， 圆 与 x轴 的 切 点 移 到 A点 ， 圆 心 移 到 C点 ， 这 时 有
解析几何
二、曲线的参数方程
定义2
若取 tat b 的一切可能取值
①由 r t x te 1 y te 2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值 t0at0 b 通过 r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定, 那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
类 似 可 得 圆 心 在 （ a ， b )半 径 为 R 的 圆 的 方 程 为 （ x -a )2 (y b )2 R 2 .
解析几何
例2 已知两点A2,2和 B 2, 2 ，求满足条件 MAMB4
的动点M 的轨迹方程
解：动点M（x，y）在轨迹上的充要条件是 MA MB 4，即
2
2
又 因 为 O A A P a ， 所 以 O A a i，A C a j，
故 r a sin i a 1 cos j
即 为 所 求 P点 轨 迹 的 向 量 式 参 数 方 程 ， 其 中 （ )为 参 数 .
这样的内旋轮线称为四尖点星形线.
四尖点星型线
解析几何
（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点P的
运动轨迹称为外摆线（epicycloid）
参数方程为： xyR RrrcsoinsrrscionsRRrrrr,
x Rcos sin
y
Rsin
cos
解析几何
（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
x2 y2 1 a2 b2
第一种参数方程以角度 为参数： xyabcsions,
a b2 a2t2
例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动， 而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定 点P 的轨迹方程
解析几何
解：设运动开始时动点P与大圆周上的点A重合，并取大圆中心O为原点，OA为x轴
过O点垂直于OA的直线为y轴，经过一段时间后，小圆与大圆的接触点为B，并设小
解析几何
方程（2）与（3）同解，而（4）与 （3）却不同解，但附加条件x y2 0 即x y 2后（4）与（3），（2）都是同
解的，所以方程xy=2（x y 2） 为所求动点M的轨迹方程.
r OP OA AC CP,
设 （ C P，C A） ， 于 是 （ i，C P） （ ） ， 2
则 C P ia c o（s ） ja sin（ ） = （ - a sin ）i （ - a c o s ）j.