参数方程的概念、圆的参数方程
参数方程的概念圆的参数方程
[再练一题] 2．若本例中的等边三角形变为等腰直角三角形，AC为斜边，腰为a，其余 条件不变，如何求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程？
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【解】 如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段 CM，垂足为M.
则∠CBM＝π2－θ，
∴yx＝＝aascionsπ2θ－＋θac，osπ2－θ，
(2)对于曲线C的参数方程
x＝ft y＝gt
(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则
x1＝ft y1＝gt
对应的参数t有解，否则参数t不存在．
[再练一题]
1．已知曲线C的参数方程为yx＝＝32scions
θ θ
(θ为参数，0≤θ<2π)．
判断点A(2,0)，B －
3，32 是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参
θ＋6， θ，
因此点M的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．
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1．引入参数，把圆的普通方程化为参数方程yx＝＝44scions
θ， θ，
，其实质就是
三角换元，利用了三角恒等式sin2 θ＋cos2 θ＝1.
2．圆的参数方程
x＝x0＋rcos θ y＝y0＋rsin θ
(θ为参数)表示圆心为(x0，y0)，半径为r的
[基础·初探]
教材整理1 参数方程的概念
阅读教材P21～P23“圆的参数方程”以上部分，完成下列问题．
一般地参，数在方平程面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个 变数t的函数普通方xy＝＝程fgtt，①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点
M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的
19-20 第2讲 1 第1课时 参数方程的概念 圆的参数方程
一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念圆的参数方程学习目标：1.了解曲线的参数方程的概念与特点.2.理解圆的参数方程的形式和特点．(重点)3.运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题．(难点、易错点)教材整理1参数方程的概念阅读教材P21～P23“圆的参数方程”以上部分，完成下列问题．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．方程⎩⎨⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12 [解析] 将点的坐标代入方程：⎩⎨⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．[答案] C教材整理2 圆的参数方程阅读教材P 23～P 24“思考”及以上部分，完成下列问题．1．如图，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎨⎧x ＝r ·cos θy ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程：圆的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)[解析] 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 故圆心坐标为(2,0)． [答案] D【例1】 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3,4)在曲线C 上．(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1,0)，Q (3，－1)是否在曲线C 上？[思路探究] (1)将点M 的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x ，y ，消去参数t ，求a 即可；(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．[自主解答] (1)将M (－3,4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎨⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1. (2)由上述可得，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，把点P 的坐标(1,0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎨⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上．点与曲线的位置关系：满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0.(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎨⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[解] 把点A (2,0)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，得cos θ＝1且sin θ＝0， 由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0. 同理，把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.【例2】移动，顶点B 在x 轴的非负半轴上移动，求顶点C 在第一象限内的轨迹的参数方程．[思路探究] 先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可． [自主解答] 如图，设C 点坐标为(x ，y )，∠ABO ＝θ，过点C 作x 轴的垂线段CM ，垂足为M .则∠CBM ＝23π－θ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－θ，y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2为所求．求曲线的参数方程的方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M 的坐标； (2)写出适合条件的点M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．2．若本例中的等边三角形变为等腰直角三角形，AC为斜边，腰为a，其余条件不变，如何求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程？[解]如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.则∠CBM ＝π2－θ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即⎩⎨⎧x ＝a cos θ＋a sin θ，y ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2为所求．[探究问题]1．当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(如图)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？[提示] 如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω.以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数．2．如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是M (x ，y )，那么θ＝ωt .设|OM |＝r ，如何用r 和θ表示x ，y 呢？[提示] 由三角函数定义，有 cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝y r ， 即⎩⎨⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt .(t 为参数)考虑到θ＝ωt ，也可以取θ为参数，于是有 ⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.(θ为参数) 【例3】 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹．[思路探究] 引入参数→化为参数方程→设动点M (x ，y )――→代入法求动点的参数方程→确定轨迹 [自主解答] 设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)， 由线段的中点坐标公式，得 x ＝4cos θ＋122， 且y ＝4sin θ2，∴点M 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ，因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．1．引入参数，把圆的普通方程化为参数方程⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，，其实质就是三角换元，利用了三角恒等式sin 2 θ＋cos 2 θ＝1.2．圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θy ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)表示圆心为(x 0，y 0)，半径为r 的圆．3．已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围．[解]由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上，∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ，因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝43确定)∴4x＋3y的最大值为1.若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．1．下列方程：(1)⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝m .(m 为参数)(2)⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝n .(m ，n 为参数)(3)⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由参数方程的概念知⎩⎨⎧x ＝my ＝m 是参数方程，故选A.[答案] A2．曲线⎩⎨⎧x ＝1＋t 2y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,0)D ．(±2,0)[解析] 设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2，∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)． [答案] C3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A ．两条直线B ．一条射线C ．两条射线D ．双曲线[解析] 当t >0时⎩⎨⎧ x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t <0时，⎩⎨⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C.[答案] C4．已知⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. [解析] 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1， 当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0. ∴x 的值为2或0. [答案] 2或05．在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2＋y 2－8x cos θ－6y sin θ＋7cos 2θ＋8＝0(θ∈R )的圆心为P (x ，y )，求2x －y 的取值范围．[解] 由题设得⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数，θ∈R )．于是2x －y ＝8cos θ－3sin θ＝73sin(θ＋φ)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ由tan φ＝－83确定所以－73≤2x －y ≤73. 所以2x －y 的取值范围是[－73，73]．课时分层作业(五)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝t 2＋2t (t 为参数)的曲线必过点( ) A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(2,3)D ．(0,1)[解析] 代入检验知曲线经过点(2,3)． [答案] C2．已知O 为原点，参数方程⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则OA ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] OA ＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. [答案] A3．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋ty ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )A ．|t 1|B ．2|t 1| C.2|t 1|D.22|t 1|[解析] ∵P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )，∴|P 1P |＝(a ＋t 1－a )2＋(b ＋t 1－b )2＝t 21＋t 21＝2|t 1|. [答案] C4．圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0，－2)D ．(－2,0)[解析] ∵x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ， ∴x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆心坐标是(0,2)，故选A. [答案] A5．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝5－cos θy ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎨⎧ x ＝2＋5cos θy ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎨⎧ x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) [解析] 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．[答案] D 二、填空题6．若点(－3，－33)在参数方程⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.[解析] 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程 ⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . [答案] 4π3＋2k π，k ∈Z7．参数方程⎩⎨⎧ x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．[解析] ∵⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1，∴该参数方程表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆． [答案] 圆8．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上，则实数a ＝________.[解析] ∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩⎨⎧ 5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎨⎧t ＝2，a ＝1，∴a 的值为1. [答案] 1 三、解答题9．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θy ＝2－cos θ(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A (1,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52是否在曲线C 上． [解] 将A (1,3)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎨⎧ 1＝1＋2sin θ3＝2－cos θ，即⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，由0≤θ<2π得θ＝π. 将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋2sin θ52＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－12，cos θ＝－12，这样的角θ不存在．所以点A 在曲线C 上，点B 不在曲线C 上．10．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由(1)知，x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.[能力提升练]1．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25 [解析] 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(a －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝34，φ为锐角，∴最大值为36. [答案] A2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．[解析] 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)． [答案] ⎩⎨⎧ x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数) 3．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧ x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．[解析] 由P 在曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)， 由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋62，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时， d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2.[答案] －1＋3 24．已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a >0且为已知常数，φ为参数)，(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．[解] (1)由已知圆的标准方程为：(x －a cos φ)2＋(y －a sin φ)2＝a 2(a >0)．设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝a cos φy ＝a sin φ(φ为参数)， 消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0，x 2＋y 2＝a 2，得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a 2＝0，圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a 2为定值，∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值)．。
参数方程的概念及圆的参数方程
x a r cos 所以 y b r sin
-5
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
x r cos y r sin
(x a)2 ( y b)2 r 2
x a r cos
y
b
r
sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系。
小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
x 100 t 1、{y h 1 gt2 (t为参数，表示时间 )
2
2、设经过时间t，动点的位置是M (x, y),则
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以
看作由圆心为原点O、半径为r的圆 5
平移得到,设圆O1上任意一点P(x, y)
(a,b)
O1
P(x,y)
是圆O上的点P1 (x1, y1)平移得到的, 由平移公式, 有
v(a,b)
r P1(x1, y1)
x x1又
xy11
r r
cos sin
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
已知曲线C的参数方程是
x
y
3t 2t
2
1
(1)判断点（0，1）,(5,4)是否在Ｃ上.
(2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求a.
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
圆的参数方程全面版
(2)把圆x 方 2y程 22x4y10化为参数方程为
x 12cos y 22sin
例
解1 法 (参数 ):设 法点 M的坐标 (x,y)为 因 , 为 x2圆 y216
的参数方 xy 程 4 4csio为 n s
所以可P的 设坐 点标 (4co 为 s,4sin)
圆的参数方程
x arcos y brsin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
3．例题讲解
4．练习及小结
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
练习3
小结: 1、参数方程的概念 2、圆的参数方程 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴参数法⑵ 动点转移法（代入法）⑶定义法
作业：教材82页9、10、11题
再见
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程是用一个或多个参数来表示一个几何图形的方程。
通过参数
方程，可以对曲线、曲面以及其他复杂的图形进行描述和分析。
圆的参数方程是用参数t来表示圆上的点的方程。
对于一个圆心为
(x0,y0)，半径为r的圆，参数方程可以表示为：
x = x0 + r * cos(t)
y = y0 + r * sin(t)
其中t的范围是[0,2π)，也可以是其他范围。
这个参数方程描述了
t对应的点在圆上的位置。
在圆的参数方程中，参数t表示从圆心到圆上点的位置，可以是弧度、角度或其他度量方式。
通过不同的参数取值，可以得到圆上的所有点。
圆的参数方程可以用来计算圆的弧长，并且可以通过调整参数的范围
来改变绘制圆的起点和终点位置。
此外，参数方程还可以用来描述其他不
同形状的圆，比如椭圆或抛物线。
除了圆的参数方程，还有许多其他图形的参数方程，比如直线、椭圆、抛物线等。
每个图形的参数方程具有不同的形式和性质，但它们都共同使
用参数来表示图形的位置和形状。
总结来说，参数方程是一种用参数表示几何图形的方程。
圆的参数方
程是一种常见的参数方程形式，可以用参数t描述圆上的点的位置。
参数
方程具有描述复杂图形、计算几何属性和进行进一步分析的优势，广泛应
用于各个学科领域。
圆的方程参数方程
xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点 是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别 表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数 方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的 参数方程是怎样的？ 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。
参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠）， 这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围 与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性． 例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参 数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=， 即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=， （1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<）， （1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=． （2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。
高二 数学 选修 参数方程 第一讲：参数方程的概念及圆的参数方程
陷阱规避
陷阱一： 不理解参数方程中的参数的几何意义（当然有时候参数只是一个过渡量，没有实际的几
何意义），导致忽视参数的范围出错．
陷阱二： 求轨迹方程和求轨迹是不一样的，求轨迹方程需要写出轨迹的代数表达式，求轨迹需要
说出是一个什么轨迹，譬如圆，需要说出圆心和半径等等．
x1 y1
r r
cos sin
，∴
x
y
a b
r cos r sin
．
结论：
圆心
O1 (a ,
b)
、半径为
r
的圆的参数方程为
x y
a b
r r
cos sin
，（其中
为参数）．
典题剖析
【解析】（1）把点 M1 的坐标 (0,1) 代入方程组，解得 t 0 ，因点此拨M1：在同曲学线们C能上看．出曲线C是什么
把点
M
2
的坐标
(1,
3)
代入方程组，得到
5 4
3t 2t
2
曲，线这吗个？方其程实组它无是解一， 个抛物线．参 数1 方程中的t可以有实际意义，也可
因此点 M 2 不在曲线 C 上．
（2）因为点
M3 (6,
a)
在曲线
C
上，所以
6 a
3t 2t 2
1
，
解得 t 2 ， a 9，因此 a 9．
以没有实际意义，只是一个过渡的 量．此题我们只要把点代入，若是 能解出参数t，点就在曲线上，若是 t无解，点就不在线上．
y
P
θ
M
O
Q(6,0) x
图3
【分析】取 xOP
课件1：1.参数方程的概念~2.圆的参数方程
为参数)
名师点睛
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x、 y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意 义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常 是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲 线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着 其中的参数的相应的允许取值．
(1)求常数a； (2)求曲线C的普通方程． 【思维启迪】本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知 点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程，从 而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程．
解 (1)由题意可知有1at＋2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
∴x2＋y2 的最大值为 11＋6 2，最小值为 11－6 2.
题型三 参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为H＝ 2 000 m,水平飞行速度为v1＝100 m/s,如图所示．
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车， 欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处 投弹？(g＝10 m/s2)
点击1 考查圆的参数方程的应用 1.已知圆 C 的参数方程为xy＝＝1c＋ os sαin，α(α 为参数)，以原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________．
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之间的间接联系.
特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同 表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.
类型一
参数方程的表示与应用
x 1 2t， 【典例】已知曲线C的参数方程是 (t为参 2 y at ，
数,a∈R)点M(-3,4)在曲线C上. (1)求常数a的值. (2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.
【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲
线的位置关系?
提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分 别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断
点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数
方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,
否则,点不在曲线上.
【解析】(1)将点M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意 义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一 点)位置时转过的角度.
【归纳总结】 1.曲线的参数方程的理解与认识 (1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变 量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因 而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系 并不一定是函数关系.
(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指 明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线 也会有所不同.
2.参数方程与普通方程的统一性
(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间
的关系的中间变量,起到了桥梁的作用. (2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相
对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间
x 1 2t, 2 y at , 3 1 2t, 得 2 4 at ,
消去参数t,解得a=1.
x 1 2t, (2)由上述可得,曲线C的参数方程是 2 y t , 1 1 2t, 将点(1,0)的坐标代入参数方程得 得t=0, 2 0 t ,
第二讲 参数方程
一 曲线的参数方程 第1课时 参数方程的概念、圆的参数
方程
【自主预习】 1.曲线的参数方程的定义 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x,y都是某个变数t的函数________①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这
x f t , y g(t)
条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程.变 参数 数t叫做参变数,简称_____.
2.圆的参数方程 圆心和半径 圆心O(0,0), 圆的坐标方程 x2+y2=r2 圆的参数方程
x rcos, y n
因此点(1,0)在曲线C上.
3 1 2t， 将点(3,-1)的坐标代入参数方程得 2 1 t ，
方程组无解,因此点(3,-1)不在曲线C上.
【方法技巧】点与曲线的位置关系 (1)动点的轨迹:满足某种约束条件的动点的轨迹形成 曲线,点与曲线的位置关系有两种:点在曲线上,点不在 曲线上.
y1 g(t)
x f t ,
x1 f t , y1)在曲线上,则 对应的参数t有解,否则无解,
y g t ,
(t为参数)若点M(x1,
即参数t不存在.
2 x t 1, (t为 【变式训练】已知曲线C的参数方程为 y 2t
(2)对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲 线上,则点M(x1,y1)的坐标是方程f(x,y)=0的解,即有 f(x1,y1)=0.若点N(x2,y2)不在曲线上,则点N(x2,y2)的 坐标不是方程f(x,y)=0的解,即有f(x2,y2)≠0.
(3)对于曲线C的参数方程
参数).
(1)判断点A(1,0),B(3,2)与曲线C的位置关系. (2)若点M(10,a)在曲线C上,求实数a的值.
【解析】(1)把点A(1,0)的坐标代入方程组,解得t=0, 所以点A(1,0)在曲线上.
3 t 2 1, 把点B(3,2)的坐标代入方程组,得 2 2t t 2, 即 故方程组无解,所以点B不在曲线上. t 1,
半径r
圆心C(a,b),
半径r
(x-a)2+(y-b)2=r2
【即时小测】
x 1 2cos， 1.曲线 (θ 为参数)围成图形的面积等 y 3 2sin
于(
A.π
)
B.2π C.3π D.4π
x 1 2cos， 【解析】选D.曲线 y 3 2sin， x 1 2cos， 即 (θ为参数)表示圆心为(-1,3),半径 y 3 2sin，
2.圆的参数方程中参数的几何意义是什么?
x rcos， 提示:(1)圆的参数方程 中参数θ的几何意 y rsin
义: 射线Ox绕点O逆时针旋转到OM(M(x,y) 是圆上的任意一点)位置时转过的角度. 如图所示.
x a rcos， (2)圆的参数方程 中参数θ的几何意义: y b rsin
10 t 2 1, (2)因为点M(10,a)在曲线C上,所以 解得 a 2t, t 3, t 3, 所以a=〒6. 或 a 6 a 6.
为2的圆,所以面积等于4π.
x t 1， 2.已知 (t为参数),若y=1,则x=________. 2 y t
【解析】若y=1,则t2=1,则t=〒1,x=0或2. 答案:0或2
【知识探究】 探究点 参数方程的概念、圆的参数方程
1.曲线的参数方程中参数的实际意义是什么? 提示:在曲线的参数方程中,参数可以有明确的几何意 义,也可以有明确的物理意义,如时间、旋转角等.当然 也可以是没有实际意义的变数.