曲线在点处的法平面方程为
空间曲线的切线与法平面
1. 曲线的参数方程可视为: xx y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x)) 2. 两方程可确定两个隐函数: y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x)) 而(x) (x)要通过解方程 组得到.
山东农业大学
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高等数学
主讲人： 苏本堂
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面和法线
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主讲人： 苏本堂
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.
M
T
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Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
法线方程 x x0
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
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2 2 2 例2. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解. 方程组两边对 x 求导, 得
x z 1 1 z x dz dy , 解得 y z y z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: dy dz 切向量 T , 1, dx M dx M
n (2,1,4) (2 x, 2 y, 1) (2,1,4) (4, 2, 1),
数学分析题库填空题
一填空题〔每题4分〕第十章多元函数微分学1、函数arcsin()x y 22+的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
2、函数z xy =arcsin 在点〔1，13〕沿x 轴正向的方向导数是———。
3、设f x y x y (,)sin cos =2，则f x (,)ππ2= ———。
4、设函数z z x y =(,)由方程232614640222x y z xy x y z -++--++=确定，则函数z 的驻点是______。
5、函数z x y xy=+-arctan1在点〔－1，2〕沿{}a =-13,方向的方向导数是——。
6、设u xy yx=+，则∂∂u y = ———。
7、函数y y x =()由12+=x y e y所确定，则d d yx= ———。
8、设u xy x y =--ln()tanh()，则d u = ———。
9、设函数z z x y =(,)由方程x y z e x y z ++=-++()222所确定，则∂∂zx= ———。
10、设函数F u v w (,,)具有一阶连续偏导数，且F F F u v w (,,),(,,),(,,)336333623361--=--=---=，曲面F x xy xyz (,,)=0过点P (,,)312-，则曲面过点P 的法线与yz 平面的交角为_______。
11、函数z x y =+ln()的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
12、设u x y z=⎛⎝ ⎫⎭⎪1/，则∂∂u z(,,)111= ———。
13、曲线x y z x 22202-+==⎧⎨⎩在点〔2，3，5〕处的切线与z 轴正向所成的倾角为———。
14、设z xyex y=+，则d z = ———。
15、设f x y x y (,)=+22，则d f = ———。
16、函数u zx y =+arcsin22的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
17、设曲线x t y t z t =+=-=+2131223,,在t =-1对应点处的法平面为S ，则点(,,)-241到S 的距离d =______。
平面曲线的切线和法线
平面曲线的切线和法线在平面直角坐标系内，平面曲线是由$(x,y)$组成的点集。
每一个点都有一个切线和法线。
本文将详细介绍平面曲线的切线和法线，以及相关的知识点。
一、切线的定义及性质切线是通过曲线某个点的直线，且与曲线在该点处相切。
在平面直角坐标系内，曲线可以被表示为$y=f(x)$的形式。
假设曲线上有一个点$(x_0,y_0)$，那么它的切线斜率可以被表示为$$m=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$假设曲线的导数存在，那么切线的斜率可以表示为$f'(x_0)$。
切线的方程可以被表示为$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$。
切线的几何意义是曲线在某个点处的局部趋势。
如果切线斜率是正的，那么曲线在该点处向上凸；如果切线斜率是负的，那么曲线在该点处向下凸。
在解决许多数理问题中，切线是非常有用的工具。
例如，在求解函数的最大值和最小值时，我们使用了导数以找到函数的临界点。
临界点是函数的导数为零或不存在的点，这些点被称为“潜在的”最值点。
二、法线的定义及性质我们可以通过曲线某个点的切线来定义法线。
曲线在该点处的法线是与切线垂直的直线。
法线的斜率可以被表示为$$m=-\frac{1}{f'(x_0)}$$其中$f'(x_0)$是曲线在该点处的导数。
因为曲线的导数是切线的斜率，所以法线的斜率是切线斜率的相反数的倒数。
法线的方程可以被表示为$y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$。
法线的几何意义是切线的垂线。
这个垂线将切线分成两部分，在曲线上方和下方形成两个角度（我们可以称之为$\theta_1$和$\theta_2$）。
曲线在该点处的法线形成的角度为$\theta_1+\theta_2=90^{\circ}$。
三、曲率的定义及性质曲率是描述曲线的弯曲程度或平滑程度的测量标准。
数学分析习题及答案 (50)
习 题 12.5 偏导数在几何中的应用1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+==.1,2x x z x y 在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.2sin 4,cos 1,sin tz t y t t x 在2π=t 的点；（3）⎩⎨⎧=++=++.6,0222z y x z y x 在)1,2,1(-点；（4）⎩⎨⎧=+=+.,222222R z x R y x 在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点。
解 （1）曲线的切向量函数为21(1,2,)(1)x x +，在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。
于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切线方程为)12(41)1(2-=-=-z y x ，法平面方程为252168=++z y x 。
（2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2tt t -，在2π=t 对应点的切向量为。
于是曲线在2π=t 对应点的切线方程为222112-=-=+-z y x π， 法平面方程为(1)(1)2x y z π-++-+-=402x y π++--=。
（3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为(6,0,6)-。
于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为⎩⎨⎧-==+22y z x ， 法平面方程为z x =。
（4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。
于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R点的切线方程为222R z R y R x +-=+-=-，法平面方程为022=+--R z y x 。
2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。
解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设，22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ⋅=++=，由此解出1t =-或13-，于是)1,1,1(-- 和 )271,91,31(--为满足题目要求的点。
微分几何期末复习题
微分几何复习题一、填空题1. 向量()(,3,)r t t t a =具有固定方向，则a = 。
2. 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是 。
3. 若向量函数()r t 满足()()0r t r t '⨯=，则()r t 具有固定 。
4. 曲线()r r t =的正常点是指满足 的点.5. 曲线3()(2,,)t r t t t e =在任意点的切向量为 。
6. 曲线()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =在0t =点的切向量为 。
7. 曲线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =在0t =点的切向量为 。
8. 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面 是曲线在P 点的 。
9. 若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平面方程是 。
10. 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是 。
11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。
12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ= 。
13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线方程是 。
14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。
15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。
16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是t = 。
17. 曲线()r r t =的曲率是 。
18. 曲线()r r t =的挠率是 。
19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。
20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。
21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 。
空间曲线的参数方程与切线法平面的计算
空间曲线的参数方程与切线法平面的计算空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以通过参数方程的方式来表示。
利用参数方程，我们能够确定曲线上的每一个点的坐标，并且通过曲线在某一点的切线来了解曲线在该点的局部性质。
本文将介绍空间曲线的参数方程的基本原理，并详细讲解如何计算切线法平面。
1. 空间曲线的参数方程空间曲线可以通过参数方程的形式来表示，其一般形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的三维坐标，t为参数，f(t)、g(t)和h(t)为定义在参数域上的函数。
通过给定不同的参数值t，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
举例来说，我们来考虑一个螺旋线，其参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)z = t在该参数方程中，通过改变参数t的值，我们可以确定螺旋线上不同点的坐标。
2. 切线法平面的计算切线是曲线在某一点处的线性近似，切线法平面则是通过该切线来定义的平面。
计算切线法平面的一般步骤如下：1) 首先，我们需要确定曲线上某一点的参数值t0。
2) 然后，我们计算该点的切向量，即曲线在该点处的切线方向。
切向量的计算可以通过求导来进行：切向量 = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)其中，dx/dt、dy/dt和dz/dt分别表示x、y和z对参数t的导数。
3) 接下来，我们将切向量归一化，得到单位切向量。
单位切向量的计算公式为：单位切向量 = 切向量 / |切向量|其中，|切向量|表示切向量的模长。
4) 最后，我们可以根据单位切向量和曲线上某一点的坐标来确定切线法平面的方程。
设曲线上某点的坐标为(x0, y0, z0)，切线法平面的方程可以表示为：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0其中，A、B、C分别为单位切向量的坐标。
通过以上步骤，我们可以计算出曲线上任意一点的切线法平面。
综上所述，空间曲线的参数方程能够准确地表示曲线上各点的坐标，而切线法平面通过计算切向量来定义切线的近似平面。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在特定点的几何性质。
在三维空间中，曲线的切线方程是曲线在某一点处的瞬时方向，而法平面方程则描述了曲线在该点处的法向量所确定的平面。
首先，我们来讨论空间曲线的切线方程。
对于参数方程形式的曲线，我们可以通过求导来获得曲线在某一点处的切向量（或切线方向）。
对于曲线的参数方程：\[x = f(t)\]\[y = g(t)\]\[z = h(t)\]其中，x、y、z分别是曲线上一点P的坐标，而t是曲线的参数。
在给定参数值t0的情况下，P在曲线上的坐标为：\[x_0 = f(t_0)\]\[y_0 = g(t_0)\]\[z_0 = h(t_0)\]我们可以通过求导来计算参数方程关于t的导数。
导数表示了曲线的切线在每个点上的瞬时方向。
对于曲线的参数方程，它的切向量可以表示为：\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}}\]其中，\(\vec{r}\)是曲线上任意一点P的位置矢量（\(\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)）。
即使我们不知道\(\vec{r}\)的具体表达式，我们仍然可以使用参数方程计算切向量。
根据链式法则，我们有：\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}} = \frac{{dx}}{{dt}}\vec{i}+ \frac{{dy}}{{dt}}\vec{j} + \frac{{dz}}{{dt}}\vec{k}\]根据上述求导结果，我们可以得到切向量在参数值t0时的具体值。
切向量\(\vec{T}\)是曲线在参数为t0的点P处的切线方向。
通过归一化切向量，我们可以得到单位切向量\(\vec{N}\)：\[\vec{N} = \frac{{\vec{T}}}{{\|\vec{T}\|}}\]得到切向量后，我们可以通过曲线上点P的坐标和切向量来建立切线方程。
平面曲线的切线与法线
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0 . (3)
(B) 用直角坐标方程表示的空间曲线：
F(x, y, z) 0,
L:
G(
x,
y,
z)
0
.
(4)
设 P0( x0, y0, z0 ) L; F ,G 在点 P0 近旁具有连续的
一阶偏导数, 且
( 2 3 3 2 )( x 3 ) (1 3 )( y 3 2 ) 0, (1 3 )( x 3 )(23 3 2 )( y 3 2 ) 0.
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
y0 ) 0;
(1)
法线方程 : Fy (P0 )( x x0 ) Fx (P0 )( y y0 ) 0 .
例1 求笛卡儿叶形线
2(x3 y3) 9xy 0
在点 P0(2,1) 处的切线与法线. 解 设 F ( x, y) 2( x3 y3 ) 9x y. 由§1 例 2 的讨
例2 用数学软件画出曲线 L : x2 y sin x y 0
的图象；并求该曲线在点 P0 ( 3 , 3 2 ) 处的
切线与法线.
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解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);
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B020005
一、1、曲线x y R y z R
222222+=+=⎧⎨⎩在点R R R 222,,⎛⎝ ⎫⎭⎪处的法平面方程为 （A ）-+-=x y z R 2 （B ）x y z R -+=32
（C ）x y z R -+=2 （D ）x y z R ++=32
答：（ ） 三、1、 若u =f (t )是(－∞,+∞)上严格单调的奇函数，Ω是球体(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2≤R 2 (R >0),若，试问a ,b ,c ,d 应满足什么条件。
2、设f x ()是以3为周期的周期函数，又设f x ()在任意有限闭区间[,]a b 内可积。
试写出f x ()的傅立叶系数的计算公式。
四、1、z xy =ln()2，求z z x y ,。
2、设z ax bxy cy dx ey f =+++++22222，求
∂∂∂∂z x z y
,。
3、设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。
4、设曲线C 的方程为x 6+y 6=1.求曲线积分
5、求微分方程''-=y a y x 2sin 的一个特解，其中a 为非零实常数。
6、求微分方程tx x ''-'=0的通解。
7、求极限lim x y x
xye xy →→-+00
416 。
8、 设Ω是由及z =1所围的有界闭区域，试计算.
五、1、设L 为在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明曲线积分
2、如果幂级数∑∞=0n n n x a
在2-=x 处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少? 试证之.
3、验证：y x y x 12==cos ,sin ωω都是微分方程''+=y y ω20的解，并写出该方程的通解。
4、求证函数系{}sin ,sin ,,sin ,x x nx 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅是[]0,π上的正交函数系。
5、 试证对于空间任意一条简单闭曲线C ，恒有∮c (2x +y )d x +(4y +x +2z )d y +(2y －6z )d z =0.
六、1、 利用二重积分计算由直线y =x ,y =5x 及x =1所围成区域的面积。
2、在空间找一点P x y z (,,)，使它到三个平面x y z x y z y z ++=-+=-=111,,的距离平方和为最小。
3、求微分方程''+'-=y y y 230的一条积分曲线，使其在原点处与直线y x =4相切。
4、求曲线族y Cx =3的正交轨线族（即与曲线y Cx =3
互相正交的曲线族）所满足的微分方程。
5、设有空间流速场
求v 通过曲面z =x 2+y 2位于平面z =1以下部分的∑下侧的通量(流量)。
七、1、判别级数n n n sin 11=∞∑的敛散性。
2、判别级数31n n n n n
!=∞∑的敛散性。