1、求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程(精)
1、求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程(精)
1、求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程（1）通过点)1,1,3(1M 和)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面； （3）已知四点A （5，1，3），B （1，6，2），C （5，0，4），D （4，0，6），求通过直线AB 且平行直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与△ABC 所在平面垂直的平面 2、求下列平面的一般方程（1）过点M （3，2，-4）且在X 轴和Y 轴上截距分另为-2和-3的平面（2）已知两点M 1（3，-1，2），M 2（4，-2，-1），通过M 1且垂直于M 1M 2的平面 （3）过点M 1（3，-5，1）和M 2（4，1，2）且垂直于平面x-8y+3z-1=0的平面 3、将下列平面的一般方程化为法式方程 (1)x-2y+5z-3=0(2) x+2=04、求自坐标原点向平面2x+3y+6z-35=0所引垂线的长和批向平面的单位法矢量的方向余弦5、已知三角形顶点为A(0,-7,0),B(2,-1,1),C(2,2,2),求平面于△ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程6、求在X 轴上且到平面12x-16y+15z+1=0和2x+2y-z-1=0距离相等的点7、已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(-2,11,-5),C(1,-1,4),计算从顶点S 向底面ABC所引的高8、求中心在C3，-5，-2）且与平面2x-y-3z+11=0相切的球面方程。
9、求与9x-y+2z-14=0和9x-y+2z+6=0平面距离相等的点的轨迹10、判别点M(2,-1,1)和N(1,2,-3)在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是分别在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？（1）0323:1=-+-z y x π与042:2=+--z y x π（2）0152:1=-+-z y x π与01623:2=-+-z y x π11、分别在下列条件下确定l,m,n 的值使lx+y-3z+1=0与7x-2y-z=0表示二平行平面 12、求下列两平行平面19x-4y+8z+21=0和19x-4y+8z+42=0间的距离 13、求两平面2x-3y+6z-12=0和x+2y+2z-7=0所成的角14、求过Z 轴且与平面0752=--+z y x 成 60角的平面15、 求下列各直线的方程（1）通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面0:1=+++i i i i D z C y B x A π)2,1(=i 的直线（2）通过点M （1,0,-2）且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线 16、求下列各平面的方程：（1） （1） 通过点P （2，0，1），且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面 （2） （2） 通过直线113312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=--+=-+-052032z y x z y x 平行的平面（3） （3） 通过直线223221-=-+=-z y x 且与平面3x+2y-z-5=0垂直的平面 （4） （4） 通过直线⎩⎨⎧=-+-=+-+014209385z y x z y x 向三坐标面引的三个射影平面17、化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦（1）⎩⎨⎧=---=+-+0323012z y x z y x18、判别直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与平面010743=-+-z y x 的相关位置19、确定l,m 的值使直线13241zy x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行20、求与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且与其中之一相切于点M(5,-1,-1)的球面 21、判别直线131833-=--=-z y x 与462733-=+=-+z y x 的相互位置，如果是相交的或平行的两直线它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离22、给定两异面直线01123-==-z y x 与10211zy x =-=+试求它们的公垂线的方程23、求直线⎩⎨⎧=-+=--0220243z y x z y x 与⎩⎨⎧=+-=--+0230264z y z y x 间的角24、求通过点P （1，0，-2）而与平面0123=-+-z y x 平行且与直线12341zy x =--=-相交的直线方程25、求与直线1371821-=-=+z y x 平行且和下列给定两直线相交的直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=tz t y t x 5332与⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=t z t y t x 74105 26、求点P （2，3，-1）到直线⎩⎨⎧=++-=++-017223032z y x z y x 的距离27、求平面束0)42()53(=+--+-+z y x y x λ中在x,y 两轴上截距相等的平面 28、求与平面0432=-+-z y x 平行，且满足下列条件之一的平面： （1）通过点(1,-2,3) (2)在y 轴上截距离等于-3 (3)与原点距离等于129、设一平面与平面023=++z y x 平行，且与三坐标平面围成的四面体体积为6，求这平面的方程。
3.1平面方程
即
y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0. z3 z1
(3)
O
M1 M3
M2
M
y
平面的三点式方程.
x
例1: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的 平面的方程.
解:
根据平面的截距式方程(4), 可设平面方程为:
x y z 1 2 3 c
又平面过点M(3, 1, 2)，则有
3 2 4 1 2 3 c
即:
12x +8y + 19z +24 = 0
(三) 平面的点法式方程
z n
1. 法向量:
O
y
x
若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n为 平面 的法向量. 注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.
设平面 过定点 M0(x0, y0, z0), 且有方位向量 a , b
z
2. 向量式参数方程:
对于平面上任一点 M (x , y , z),
M 0 M, a , b
M0
b
M
r0
共面
M0M u a v b
O
r
a
y
x
又因为
M 0 M r r0 ，则上式可写为
3 B C = 0
C = 3B
所求平面方程为 By 3Bz = 0
即:
y 3z = 0
平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; (即y = k) 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即x = k)
空间平面方程的求法_论文
空间平面方程的求法1、 用参数方程题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程.①矢量式参数方程 错误!=错误! + t 1错误!+t 2错误!其中错误!=｛X 1,Y 1，Z 1｝， 错误!={X 2，Y 2，Z 2｝②坐标式参数方程⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=221102*********Zt Z t z z Y t Y t y y X t X t x x例1、 写出下面的参数方程:通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v解：所求的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧vu z u y vu x -+=-=++=313322例2、证明矢量},,{Z Y X v =平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX证明:不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ,把这平面的方程化为参数式:,,,v z u y v A C u A B A D x ==---=所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0,{A C-,从而知},,{Z Y X v =与已知平面共面的充要条件为v与}0,1,{A B -，}1,0,{A C-共面,或 01001=--AC A BZYX ,即0=++CZ BY AX 。
如果在直角坐标系下,那么由于平面的法矢量为},,{C B A n =,所以v平行于平面的充要条件为0=⋅v n，即0=++CZ BY AX 。
2、 用点位式方程题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。
222111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=03、用三点式方程题目的条件是平面上的三个已知点。
131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------=0 例3、已知三角形顶点为),2,2,2(),1,1,2(),0,7,0(C B A --求平行于三角形ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.解：由已知，得02921627=+z y x， 所以三角形ABC 所在的平面方程为014623=-+-z y x 。
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章名师制作优质教学资料
第三章平面与空间直线§ 3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。
求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ∆平面垂直的平面。
解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为：⎪⎩⎪⎨⎧++-=-=--=v u z u y vu x 212123一般方程为：07234=-+-z y x（2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。
（3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ，}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=--=v u z uy vu x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ∆所在的平面}1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-⨯--=⨯均与π'平行，所以π'的参数式方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=+-=v u z v u y vu x 35145 一般方程为：0232=--+z y x .2.化一般方程为截距式与参数式： 042:=+-+z y x π.解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为：1424=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， 所求平面的参数式方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=v z uy v u x 24 3.证明矢量},,{Z Y X v =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ，则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==---=v z uy v A C u A B A D x 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{ACA B --，从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：，}1,0,{},0,1,{ACA B --共面⇔01001=--AC A B Z Y X ⇔ 0=++CZ BY AX .4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标.解： }5,2,3{z +-= 而AB 平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-⨯+⨯-z 从而18=z .5. 求下列平面的一般方程.⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面; ⑶与平面0325=+-+z y x 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点()()1,2,4,2,1,321--M -M ,求通过1M 且垂直于21,M M 的平面; ⑸原点O 在所求平面上的正射影为()6,9,2-P ;⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面.解:平行于x 轴的平面方程为001011112=--+-z y x .即01=-z .同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得1924-=c 故一般方程为02419812=+++z y x .⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点,{}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量,∴点法式方程为001215000=----z y x ∴一般方程为02=+z y .同理经过y 轴,z 轴的平面的一般方程分别为05,052=-=+y x z x . ⑷{}2121.3,1,1M M --=M M →垂直于平面π,∴该平面的法向量{}3,1,1--=→n ,平面∂通过点()2,1,31-M , 因此平面π的点位式方程为()()()02313=--+--z y x . 化简得023=+--z y x . (5) {}.6,9,2-=→op .1136814=++==→op p()().6,9,2cos ,cos ,cos 110-=∂=⋅=→γβn p op∴ .116cos ,119cos ,112cos -===∂γβ 则该平面的法式方程为:.011116119112=--+z y x既 .0121692=--+z y x（6）平面0138=-+-z y x 的法向量为{}3,8,1-=→n ，{}1,6,121=M M ，点从()2,1,4写出平面的点位式方程为0161381214=----z y x ，则,261638-=-=A74282426,141131,21113-=++⨯-=====D C B ，则一般方程,0=+++D Cz By Ax 即：.037713=---z y x 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1，1])．3．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝14．(1)若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为____________． (2)若y ＝2t (t 为参数)，则抛物线y 2＝4x 的参数方程为____________． 解析：(1)把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1， 于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ， 即y ＝－1±sin θ， 由于参数θ的任意性， 可取y ＝－1＋sin θ， 因此，曲线x2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，(θ为参数)．(2)把y ＝2t 代入y 2＝4x ， 解得x ＝t 2， 所以抛物线y2＝4x 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (t 为参数)．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)参数方程化普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t，(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t，(t 为参数)； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ① ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝32t y －2＝－12t ， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，所以y －2＝－33(x －1)(x ≠1)， 所以3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2(1＋t 2)2y 2＝1＋t 4－2t 2(1＋t 2)2，① ② ①＋②得x 2＋y 2＝1.(1)消参的三种方法①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数； ②利用三角恒等式借助sin 2θ＋cos 2θ＝1等消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等)从整体上消去参数． (2)化参数方程为普通方程应注意的问题将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．2．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，(a ，b 为大于0的常数，t 为参数)为普通方程．解：因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，当t >0时，x ∈[a ，＋∞)，当t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．普通方程化参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得y ＝2＋5sin θ.所以⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．化普通方程为参数方程的方法及注意事项(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．根据所给条件，求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2 θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，所以x ＝±2cos θ.所以4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，则x 2＝16－t24.所以x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22y ＝t，(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝41－t 2，或⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)．参数方程与普通方程互化的应用已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点的坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0.则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 其中cos φ＝45，sin φ＝35，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值855.此时cos θ＝45，sin θ＝－35，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫325，－95.(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x ，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B.因为t >0时x ≥2，t <0时x ≤－2. 所以普通方程为y ＝2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 它表示的图形是两条射线．3．若y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝8t 1＋t2(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝4t 1＋t2(t 为参数)解析：选A.因为y ＝tx ，代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋(tx )2－4tx ＝0. 当t ＝0时，x ＝0，且y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.当t ≠0时，x ＝4t1＋t2.而y ＝tx ，即y ＝4t21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝4t21＋t2(t 为参数)．综上知，所求圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．[A 基础达标]1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t，(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D.方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t ，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y 2＝1－t ，两式平方相加，得x 2＋y 24＝1，由式子t ，21－t 有意义，得0≤t ≤1，所以0≤x ≤1，0≤y ≤2，故选D.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y ＝－2x 上，故选B.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A.π4，(1，0) B ．π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0)．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解：选D.x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又因为x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0)．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ).(0≤θ<2π)表示的是( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12解析：选B.因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，故x ∈[0，2]，又y ＝12(1＋sin θ)，故y ∈[0，1]．因为x 2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x 2－1， 代入y ＝12(1＋sin θ)中得y ＝12x 2，即x 2＝2y ，(0≤x ≤2，0≤y ≤1)表示抛物线的一部分， 又2×12＝1，故过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 6．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θy ＝4sin θ－3cos θ，(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：两式平方相加，得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＋24sin θcos θ＋16sin 2θ＋9cos 2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.所以圆的半径r ＝5. 答案：57．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________．解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或5π6.答案：π6或5π68．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：329．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．[B 能力提升]11．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选D.圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.12．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________．解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2| ＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.答案：±2或±5 213．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t (t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x ＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t ＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，因为－t －3t≥23，所以t ＋3t＋1≤－23＋1.所以|t ＋3t ＋1|≥23－1，所以d ≥23－15.因为23＋15>23－15，所以d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．14．(选做题)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2的公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。
参数方程新版
突破点一
突破点二
课时达标检测
参数方程
结束
4．[考点二]设直线
l
的参数方程为xy＝＝43＋＋ttscions
α， α
(t 为参数，α
为倾斜角)，圆 C 的参数方程为xy＝＝－1＋1＋2co2ssiθn，θ (θ 为参数)．
(1)若直线 l 经过圆 C 的圆心，求直线 l 的斜率；
(2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点，求直线 l 的斜率的取
突破点一
突破点二
课时达标检测
参数方程
结束
[易错提醒] (1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意 x，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围 对普通方程中 x，y 的取值范围的影响．
突破点一
突破点二
课时达标检测
参数方程
结束
直线与圆锥曲线的参数方程及应用
突破点一
突破点二
课时达标检测
参数方程
结束
x＝1－sin 2θ， (2)y＝sin θ＋cos θ
(θ 为参数)．
解：由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)
得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]，
得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]．
突破点一
值范围． 解：(1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4)，而圆 C 的圆心
是 C(1，－1)，所以，当直线 l 经过圆 C 的圆心时，直线 l 的
斜率为 k＝52.
突破点一
突破点二
课时达标检测
参数方程
结束
(2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点，求直线 l 的斜率的取
解析几何教程习题答案
第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于ABCabcABCDabca b +b c +0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。
3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。
4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,AB a FA b ==，则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且A BabcE FD C111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
平面的方程
平面平行于z 平面平行于 轴 平面通过z 平面通过 轴 平面平行于x 平面平行于 轴 平面通过x 平面通过 轴 平面平行于y轴 平面平行于 轴 平面通过y 平面通过 轴
平面平行于 yOz 平面 即为 yOz 平面 平面平行于 xOz 平面 即为 xOz 平面 平面平行于 xOy平面 平面 即为xOy平面 即为 平面
(
)
平面的坐标式方程，简称法式方程为 平面的坐标式方程，简称法式方程为 法式方程 x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0
平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程： 平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程： 一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1 ①一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1； 因为p是原点 是原点O 的距离， ②因为 是原点 到平面 π 的距离，所以常数 − p ≤ 0
3. 平面的点位式方程
r ur r r 平面的点位式方程为 r − r0 , a, b
(
பைடு நூலகம்
)
或
x − x0 X1 X2
y − y0 Y1 Y2
z − z0 Z1 = 0 Z2
4. 平面的三点式方程 .
例1 已知不共线三点 M1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z3 )，求通过三 的方程。 点 M1 , M 2 , M 3 的平面 π 的方程。 其向量式参数方程
2 2 2
=0
在取定符号后叫做法式化因子 λ 在取定符号后叫做法式化因子
λ 选取的符号通常与常数项 D 相反的符号
例3 已知两点 M 1 (1, −2,3) , M 2 ( 3, 0, −1) ，求线段 M 1M 2 的 垂直平分面 π 的方程
解析几何答案-第三章
解析几何答案-第三章§ 3.1平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（1）通过点
和点
且平行于矢量
的平面（2）通过点
和
且垂直于
坐标面的平面；
（3）已知四点
，
，。
求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与
平面垂直的平面。
解：（1）
，又矢量
平行于所求平面，
故所求的平面方程为：
一般方程为：
（2）由于平面垂直于
面，所以它平行于
轴，即
与所求的平面平行，又
，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：
一般方程为：
，即。
（3）（ⅰ）设平面
通过直线AB，且平行于直线CD：
，。
曲线的参数方程和与普通方程的互化
C 、 xt yt
D 、 x y tt2
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t
且以
y
t
2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数。
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程x2+y2=1中，令x = cos,可以化为参数方程
x cos ,
y
sin
.
（为参数）
例4 求 椭 圆 x2y21的 参 数 方 程 。 94
( 1 ) 设 x = 3 c o s ， 为 参 数 ；
探求：圆的参数方程
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交
点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置 所形成的角∠P0 OP =θ,求P点的坐标。
解: 设P（x,y）, ∵点P在∠P0OP的终边上,
根据三角函数的定义得 sin y,cosx.
r
r
x rcos, y rsin. (1)
可得普通方程y=2x-4 （x≥0）。
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范 围保持一致。否则，互化就是不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
(1)x= t1 (t为参数) y12 t
(2)参数方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程（1）通过点)1,1,3(1M 和)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面； （3）已知四点A （5，1，3），B （1，6，2），C （5，0，4），D （4，0，6），求通过直线AB 且平行直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与△ABC 所在平面垂直的平面 2、求下列平面的一般方程（1）过点M （3，2，-4）且在X 轴和Y 轴上截距分另为-2和-3的平面（2）已知两点M 1（3，-1，2），M 2（4，-2，-1），通过M 1且垂直于M 1M 2的平面 （3）过点M 1（3，-5，1）和M 2（4，1，2）且垂直于平面x-8y+3z-1=0的平面 3、将下列平面的一般方程化为法式方程 (1)x-2y+5z-3=0(2) x+2=04、求自坐标原点向平面2x+3y+6z-35=0所引垂线的长和批向平面的单位法矢量的方向余弦5、已知三角形顶点为A(0,-7,0),B(2,-1,1),C(2,2,2),求平面于△ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程6、求在X 轴上且到平面12x-16y+15z+1=0和2x+2y-z-1=0距离相等的点7、已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(-2,11,-5),C(1,-1,4),计算从顶点S 向底面ABC所引的高8、求中心在C3，-5，-2）且与平面2x-y-3z+11=0相切的球面方程。
9、求与9x-y+2z-14=0和9x-y+2z+6=0平面距离相等的点的轨迹10、判别点M(2,-1,1)和N(1,2,-3)在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是分别在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？（1）0323:1=-+-z y x π与042:2=+--z y x π（2）0152:1=-+-z y x π与01623:2=-+-z y x π11、分别在下列条件下确定l,m,n 的值使lx+y-3z+1=0与7x-2y-z=0表示二平行平面 12、求下列两平行平面19x-4y+8z+21=0和19x-4y+8z+42=0间的距离 13、求两平面2x-3y+6z-12=0和x+2y+2z-7=0所成的角14、求过Z 轴且与平面0752=--+z y x 成 60角的平面15、 求下列各直线的方程（1）通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面0:1=+++i i i i D z C y B x A π)2,1(=i 的直线（2）通过点M （1,0,-2）且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线 16、求下列各平面的方程：（1） （1） 通过点P （2，0，1），且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面 （2） （2） 通过直线113312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=--+=-+-052032z y x z y x 平行的平面（3） （3） 通过直线223221-=-+=-z y x 且与平面3x+2y-z-5=0垂直的平面 （4） （4） 通过直线⎩⎨⎧=-+-=+-+014209385z y x z y x 向三坐标面引的三个射影平面17、化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦（1）⎩⎨⎧=---=+-+0323012z y x z y x18、判别直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与平面010743=-+-z y x 的相关位置19、确定l,m 的值使直线13241zy x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行20、求与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且与其中之一相切于点M(5,-1,-1)的球面 21、判别直线131833-=--=-z y x 与462733-=+=-+z y x 的相互位置，如果是相交的或平行的两直线它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离22、给定两异面直线01123-==-z y x 与10211zy x =-=+试求它们的公垂线的方程23、求直线⎩⎨⎧=-+=--0220243z y x z y x 与⎩⎨⎧=+-=--+0230264z y z y x 间的角24、求通过点P （1，0，-2）而与平面0123=-+-z y x 平行且与直线12341zy x =--=-相交的直线方程25、求与直线1371821-=-=+z y x 平行且和下列给定两直线相交的直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=tz t y t x 5332与⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=t z t y t x 74105 26、求点P （2，3，-1）到直线⎩⎨⎧=++-=++-017223032z y x z y x 的距离27、求平面束0)42()53(=+--+-+z y x y x λ中在x,y 两轴上截距相等的平面 28、求与平面0432=-+-z y x 平行，且满足下列条件之一的平面： （1）通过点(1,-2,3) (2)在y 轴上截距离等于-3 (3)与原点距离等于129、设一平面与平面023=++z y x 平行，且与三坐标平面围成的四面体体积为6，求这平面的方程。
30． 已知柱面的准线为⎩⎨⎧=++=-+++-025)2()3()1(222z y x z y x ，且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
31． 求过三条平行直线11,-==+==z y x z y x 与211-=+=-z y x 的圆柱面的方程。
32． 已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
33．求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。
34． 求下列旋转曲面的方程：（1）1112--==z y x 绕2111-=-=z y x 旋转。
（2）3311z y x =-=-绕z 轴旋转。
35．将直线10zy x =-=βα绕z 轴旋转，求这旋转曲面的方程，并就βα,可能的值讨论这是什么曲面？36． 设动点与点)0,0,1(的距离等于从这点到平面4=x 的距离的一半，试求此动点的轨迹。
37． 已知椭球面)(1222222b a c cz b y a x <<=++，试求过x 轴并与曲面的交线是圆的平面。
38． 已知单叶双曲面1494222=-+z y x ，试求平面的方程，使这平面平行于yOz 面且与曲面的交线是一对相交直线。
39． 设动点与)0,0,4(的距离等于这点到平面1=z 的距离的两倍，试求这动点的轨迹。
40． 试求单叶双曲面15416222=-+z y x 与平面032=+-z x 的交线对xOy 平面的射影柱面。
41． 已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xOz 面与yOz 面，且过点)6,2,1(和)1,1,31(-，求这个椭圆抛物面的方程。
42． 求直线01=--y x 与二次曲线012222=-----y x y xy x 的交点 43． 试决定k 的值，使得：i. （1） 直线05=+-y x 与二次曲线032=++-k y x x 交于两不同的实点 ii. （2） 直线01=--ky x 与二次曲线01)1(22=----y k xy y 交于两个相互重合的定点44． 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程 （1） （1） 曲线027522=+-++y x y xy x 在原点（2） （2） 曲线03422=+++++y x y xy x ，经过点（-2，-1） 45 求以下曲线的切线方程，并求出切点的坐标（1） （1） 曲线03653422=+--++y x y xy x 的切线平行于直线04=+y x46．试求经过原点且切直线0234=++y x 于点（1，-2）及切直线01=--y x 于点（0，-1）的二次曲线方程47． 求下列二次曲线的渐近方向，并指出曲线是属于何种类型的。
（1）052624322=+--++y x y xy x （2）03242=+--y x xy48．判断下列二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线 （1）01224422=--++-y x y xy x （2）0312822=-++y x y 49．求下列二次曲线的中心（1）053625222=+--++y x y xy x （2）01582530922=-++-y x y xy x50．当a,b 满足什么条件时，二次曲线043622=-++++by x ay xy x （1）有唯一的中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线51． 求二次曲线0432322=+-++-y x y xy x 的渐近线 52．求以点（0，1）为中心，且通过点（2，3），（4，2<span style='font-family:宋体;mso-ascii-font-family:"Times New Roma53． 已知二次曲线015457322=+++++y x y xy x ，求它的（1） （1） 与x 轴平行的弦中点轨迹 （2） （2） 与y 轴平行的弦中点轨迹（3） （3） 与直线01=++y x 平行的弦中点轨迹54．两条二次曲线014432322=-+++-y x y xy x 与0233222=++--y x y xy x 的公共直径55．已知二次曲线通过原点，并且以下列两对直线⎭⎬⎫=--=--0455023y x y x 与⎭⎬⎫=--=+012035y x y 为它的两对共轭直径，求这二次曲线的方程。
56．求下列二次曲线的主方向与主直径 （1）09181858522=+--++y x y xy x（2）019101182624922=+--+-y x y xy x57．直线01=++y x 是二次曲线的主直径（即对称轴），点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求这曲线的方程。
58． 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形（1）018122424522=+--++y x y xy x（2）022222=++++y x y xy x59．以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，并写出相应的坐标变换公式与作出它们的图形（1）04102422=++--y x y xy x （2）0244422=-++-y x y xy x60．试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式223213223213a a a a +'='+'61． 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的简化方程与标准方程（1）0126622=-++++y x y xy x （2）01224422=--++-y x y xy x62．当λ取何值时，方程0324422=---++y x y xy x λ表示两条直线？63．设022********2212211=+++++a y a x a y a xy a x a 表示两条平行直线，证明这两条直线之间的距离是2114I K d -= 64．试证方程022********2212211=+++++a y a x a y a xy a x a 确定一个实圆必须且只须0,431221<=I I I I。