第六章、曲线和曲面.
曲线积分和曲面积分
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。
最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。
该定义可以统一形式给出：从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。
以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。
因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。
表面积分的形式如下：\ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。
两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。
）。
最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。
求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。
因此，它也生动地称为通量。
在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。
然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
CATIAV5-6R2013中文版曲面设计教程第六章自由曲面编辑
第6章自由曲面编辑本章导读：自由曲面的编辑包括曲线曲面的编辑和外形的修改，在完成自由曲面设计之后，大多数情况下模型都不能满足需要，需要进行编辑修改。
本章将要介绍的就是曲面、曲线的编辑和修改命令。
1646.1 曲 面 编 辑曲面编辑是对曲面或曲线进行分割、连接分解、转换和复制的操作。
编辑曲面外形是通过控制点、匹配、填充、整体变形和延伸等操作对曲面外形进行修改。
通过修改曲面外形可以生成质量较高的曲面。
6.1.1 曲面分割曲面编辑是对曲面或曲线进行分割、连接分解、转换和复制的操作。
CATIA 提供了【操作】工具栏，该工具栏包括曲面分割、取消修剪、连接、分解、转换和复制几何参数等工具按钮，如图6-1所示。
图6-1 【操作】工具栏单击【操作】工具栏上的【中断曲面或曲线】按钮，系统弹出如图6-2所示的【断开】对话框。
在【中断类型】选项组中按下【中断曲线】开关按钮。
单击【选择】选项组中的【元素】文本框，从绘图区中选择修剪曲线。
单击【限制】文本框，从绘图区中选择中断曲面的限制元素。
如图6-3和图6-4所示。
图6-2 【断开】对话框从【选择】选项组中选择中断曲面和限制元素的操作，分别是【分解】、【交换选择】、【中断两者】。
在【修剪类型】选项组中设置修剪类型，分别是【修剪边线】、【修剪曲线】。
在【投影】选项组设置投影方式，分别是【沿指南针】、【沿法线】、【沿查看方向】。
在【外插延伸】选项组中设置延伸方式，分别是【切线外插延伸】、【曲率外插延伸】。
如果按下【偏差】选项组中【偏差模式】开关按钮，显示对话框中和几何图形上原始曲面和结果曲面之间的最大偏差，此设置仅适用于【中断曲面】选项下的【修剪曲面】选项。
第6章自由曲面编辑165图6-3 原曲线图6-4 断开曲线在【断开】对话框【中断类型】选项组中按下【中断曲面】开关按钮，【断开】对话框如图6-5所示。
单击【选择】选项组中的【元素】文本框，从绘图区中选择修剪曲面。
单击【限制】文本框，从绘图区中选择中断曲面的限制元素，如图6-6和图6-7所示。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
南开大学高等数学下册教材
南开大学高等数学下册教材南开大学高等数学下册教材是一本经典教材，为南开大学的学生提供了深入学习高等数学的机会。
本教材分为多个章节，涵盖了高等数学下册的重要内容。
下面将对本教材的主要章节进行简要介绍。
第一章：多元函数及其极限与连续本章主要介绍了多元函数的概念，以及多元函数的极限和连续。
其中，重点介绍了极限的定义及其相关性质，并讲解了多元函数的连续性及其应用。
第二章：偏导数与全微分该章节主要讨论了多元函数的偏导数及其计算方法，并引入了全微分的概念。
通过对偏导数与全微分的理解，学生可以进一步了解多元函数的变化规律与性质。
第三章：多元函数的一元极值与二元极值本章重点介绍了多元函数的一元极值和二元极值的概念及求解方法。
学生将学会如何通过导数和二阶偏导数来判断函数的极值，并应用到实际问题中。
第四章：多元函数的梯度与方向导数该章节深入讨论了多元函数的梯度和方向导数的概念。
学生将学会如何使用梯度和方向导数来描述函数在某一点上的变化规律，并掌握利用这些概念解决实际问题的方法。
第五章：重积分的概念与性质本章介绍了重积分的概念及其性质，包括累次积分、二重积分和三重积分的计算方法。
学生将学会如何使用重积分来计算曲面面积、体积等问题。
第六章：曲线与曲面积分该章节重点讲解了曲线积分和曲面积分的概念，并介绍了计算方法和应用场景。
学生将了解如何通过曲线积分和曲面积分来描述曲线和曲面上的物理量。
第七章：常微分方程本章主要介绍了常微分方程的基本概念、解法和应用。
学生将学习如何求解常微分方程，并理解常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用。
通过学习南开大学高等数学下册教材，学生将掌握高等数学下册的基本理论和方法，培养解决实际问题的能力。
本教材内容丰富、知识点全面，是学习高等数学的重要参考资料。
希望广大南开大学的学生能够充分利用这本教材，努力提高数学水平，为将来的学习和研究奠定坚实基础。
自由曲线和自由曲面
x x(t)
y
y(t)
(7.1)
z z(t)
为便于计算机处理，曲线上一点常用其位置向量表示，如下所示：
P(t) x(t) y(t) z(t)
(7.2)
通常，通过对参数变量的规格化，使参数 t 在闭区间[0，1]内变化（写成t 0 1），并对此区间内的
参数曲线进行研究。
用参数方程描述自由曲线具有以下优点： ● 所描述的曲线形状与坐标系的选取无关。例如，如果通过一系列型值点拟合一条曲线或由一系列控 制点（或特征点）定义一条曲线，曲线的形状仅取决于这些点本身之间的关系，而与这些点所在的坐标系无 关。
● 规格化的参数变量 t 0 1，使其相应的几何分量是有界的（即表示曲线是有界的），不需要另设
其他参数来定义其边界。
● 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为： y a0 a1x a2x2 a3x3
其中只有 4 个系数用来控制此曲线的形状。而该曲线的参数表示为：
1. 点 点是构造曲线和曲面的最基本的几何元素，在曲线和曲面构造中常用的点有型值点、控制点（特征点） 和插值点，如 6.1 节所述。
2. 插值 插值是函数逼近的重要方法。其原理是：
设函数 f (x) 在区间[ a, b ]上有互异的 n 个型值点 f (xi ) （ i 1, 2, 3, , n ），基于这个列表数据，寻求 某个函数(x) 去逼近 f (x) ，使 (xi ) f (xi )（ i 1, 2, 3, , n ），则称(x) 为 f (x) 的插值函数， xi 为插值 节点。
● 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，并且不限制变量的个数，便于用户把低 维空间中的曲线或曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得人们可以用数学公式去处理几何分量，如 本章随后使用到的调和函数就具有此特点。
建筑制图 名词解释
《建筑制图》第五版名词解释第二章制图基本知识1、比例：图中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。
2、尺寸标注：见P153、作平面图形的步骤：见P20第三章投影的基本知识1、斜投影：投射方向倾斜于投影面时所作出的平行投影。
2、正投影：投射方向垂直于投影面时所作出的平行有影。
见P263、平行投影的特性：度量性、相仿性、集聚性、平行性、定比性4、【例3-1】组合体投影图，见P39第四章点、直线、平面的投影1、点的三面投影，见P422、【例4-1】求一点的第三投影，见P433、【例4-2】根据坐标作三面投影，见P444、【例4-3】点的投影图读法，见P445、【例4-4】投影面上各点的投影，见P45第六章曲线和曲面1、曲线是由点运动而形成的。
曲线可分为平面曲线和空间曲线两大类。
凡曲线上所有点都在同一平面上的，称为平面曲线。
凡曲线上四个连续的点不在同一平面上的，称为空间曲线。
2、与曲线相交于两个点的直线，称为曲线的割线。
见P873、曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动而成的。
这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线。
母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。
见P89第七章截交线和相贯线1、假想用来截割形体的平面，称为截平面。
截平面与形体表面的交线称为截交线。
截交线围成的平面图形称为断面。
见P1132、有些建筑形体是有由两个相交的基本形体组成的。
两交线的形体称为相贯体，它们的表面交线称为相贯线。
3、棱柱体截交线画法，见P1154、圆柱上的截交线，见P1185、圆柱上截交线椭圆的作图步骤，见P1196、三棱柱与三棱锥相贯，见P1257、求直立圆柱与直立圆锥的相贯线，见P129第八章建筑形体的表达方法1、标注尺寸的步骤：见P1392、剖面图的产生，见P1413、剖面图的标注，见P1454、把断面投射到与它平行的投影面上，所得的投影，表示出断面的实形，称为断面图。
见P1465、剖面图与断面图的区别，见P146第九章轴侧投影1、根据平行投影的原理，把形体连同确定其空间位置的三根坐标轴一起，沿不平行于任一坐标的方向，投射到新投影面上，所得的投影称为轴测投影。
空间曲线与曲面的切线与法线
空间曲线与曲面的切线与法线空间曲线和曲面是三维几何中重要的概念，它们的性质和特点对于理解和应用空间几何学非常重要。
在本文中，我们将讨论空间曲线和曲面的切线与法线的概念及其相关性质。
一、空间曲线的切线与法线空间曲线是由一个或多个参数方程所确定的三维图形。
在空间曲线上的任意一点，都存在一个切线和一个法线。
切线是曲线在该点处的切线方向，而法线则垂直于切线，并指向该点的曲线内侧。
切线的表示方法有两种：一是使用曲线的参数方程，确定曲线上该点的切向量；二是使用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方向。
如果曲线的参数方程为x=f(t), y=g(t), z=h(t)，则曲线上点P(t)处的切向量为：T = （dx/dt, dy/dt, dz/dt）其中dx/dt, dy/dt, dz/dt分别表示函数f(t), g(t), h(t)对t的导数。
这个向量就是曲线在点P(t)处的切线方向。
对于曲线上的任意一点P(x0, y0, z0)，可以通过计算切线的斜率来确定切线的方向。
假设P处的切线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b 为截距。
可以使用以下公式计算切线斜率：k = dy/dx = dy/dt / dx/dt其中dy/dt和dx/dt可以通过曲线的参数方程计算得到。
通过计算切线的斜率和已知的点P(x0, y0, z0)，我们可以得到曲线在该点处的切线方向。
同样地，可以根据切线斜率求得切线的截距。
除了切线，每个点处还有一个法线。
空间曲线的法线垂直于曲线平面。
法线的计算方法和切向量类似，可以使用曲线的参数方程计算得到。
二、空间曲面的切线与法线空间曲面是由一个或多个方程所确定的三维图形。
在空间曲面上的任意一点，都存在一个切平面和一个法线。
切平面与切线类似，是曲面在该点处的切平面，法线则垂直于切平面。
切平面的计算方法与切线类似。
首先，我们需要求得曲面方程的偏导数，然后使用这些偏导数构成一个向量。
以曲面方程F(x, y, z) = 0为例，该曲面上点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为：dF/dx(x0, y0, z0)(x-x0) + dF/dy(x0, y0, z0)(y-y0) + dF/dz(x0, y0, z0)(z-z0) = 0其中dF/dx, dF/dy, dF/dz为曲面方程F(x, y, z)对应的偏导数。
道桥复习题
答：A点在B点的、、方。
第二章点（答案）
一、填空
1长对正高平齐宽相等
2 V面H面W面
3重影点
4空间两点有两个坐标相等
5正面可见水平可见
二、
三、左、后、上
第三章直线
一、填空：
1．直线在三面投影体系中的位置，可分为、、。
2．投影面垂直线的投影特征为;投影面平行线的投影特征为。
4中心单
二、选择
1 C 2 B 3 A
第二章点
一、填空：
1．三面投影体系中点的投影规律为长对正、高平齐、宽相等。
2．点的水平投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离;点的正面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离;点的侧面投影到OZ轴的距离与点的水平投影到OY轴的距离,都等于空间点到
W面的距离。
3．当空间的两点位于同一条投射线上时,它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点,称这样的两点为对该投影面的重影点。
5.正圆锥被一截平面截切，要求截交线是抛物线时，α角（α为截平面与水平线的夹角）与锥底角θ之间的关系是B
（A）α＜θ（B）α＝θ（C）α＞θ（D）θ＝90 L
6.用两个相交截平面切正圆锥，一个面过锥顶，一个面的θ＜α,截交线空间形状为B
（A）双曲线与椭圆（B）双曲线与直线（C）椭圆与直线（D）抛物线与直线
（A）圆台（B）圆柱（C）圆锥（D）圆球
14.四棱台的一个视图反映底面实形，另两视图的图形特征是B
（A）三角形（B）圆（C）矩形（D）梯形
第三单元点、直线、平面的投影（单项选择题）
1.空间点A的正面投影a′到OX轴的距离等于空间点A到B
（A）V面的距离（B）H面的距离（C）W面的距离（D）H面和V面的距离