第六节曲线曲面投影方法
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曲线与曲面投影
X
例1 试在平行四边形ABCD 内，以点O 为圆心作出半径为15 圆的V、H 投影。 作图步骤： b‘ 1.过O 作平面内的正平线， g’ e‘ 并在正面投影上截取e’ f ’ c‘ f‘ =30 ； a‘ h’ 2.过O 作平面内对V 面的最 大斜度线； d‘ O b e a
h g
二、圆的投影椭圆的作图
– 母线作规则运动时所形成的曲面——规则曲面。 – 控制母线运动的点、线、面——定点、导线、导面。 – 母线在曲面上的任一位置——素线。
3.曲面形成举例：柱面
直导线 母 线
一、曲面的形成
素 线
曲导线
规则曲面的形成
一、曲面的形成
4.曲面形成的多种方法
如圆柱面
圆柱面的几种形成方法
一、曲面的形成
4.曲面形成的多种方法
c f
3.利用直角三角形法在最 大斜度线上求直径为30 的GH 的投影 ；
d
二、圆的投影椭圆的作图
例1 试在平行四边形ABCD 内，以点O 为圆心作出半径为15 圆的V、H 投影。 作图步骤： b‘ 1.过O 作平面内的正平线， g’ e‘ 并在正面投影上截取e’ f ’ c‘ f‘ =30 ； a‘ 2.过O 作平面内对V 面的最 h’ 大斜度线； d ‘ O X 3.利用直角三角形法在最 b c g 大斜度线上求直径30 的 f e 投影GH ； 4.由长短轴画V 面投影椭圆； 由共扼直径画H 面投影椭圆。 h a d
如圆锥面
L
圆锥面的2种形成方法
二、曲面的分类
根据母线的性质、形成方法等，曲面可分为： 可展 圆柱、圆锥。 回转面 不可展 单叶双曲回转面 直纹面 可展 椭圆锥、椭圆柱、盘旋面。 非回转面 不可展 柱状面、锥状面、 正螺旋面等。
113-教学课件-曲面体投影
③ 画出与各素线 V 投影相 切的包络线。这是一根抛物 线。
④ 判别曲面 V 投影的可见 性，即判别各素线 V 投影的 可见性。
双曲抛物面的应用
双曲抛物面
屋面
岸坡过渡
6 圆柱正螺旋面（简称：正螺旋面）
•圆 柱 正 螺 旋 面 ( 锥状）的 形成
当一直母线沿
一条圆柱螺旋线
及该螺旋线的轴
线滑动，并始终
9 8 7
形，即相应踏面在 H 面上的实形投影。至此，完 成螺旋楼梯的 H 投影。
6
在 V 面轴线上定导程 S ，且将 S 作 16 等分，
5
并将所得分点编号 0~16 。
4
2 、画各踢面的 V 投影。每一踢面均是垂直于 H
3
面的矩形，矩形下边线的序号与 V 面上中轴线上
2
的等分序号相同，根据其 H 投影可画出 V 投影。
1
1 0
9 轴线左侧的踢面可见 , 右侧踢面不可见，画成虚 线。轴线右侧的底面可见。
16
10
这里，每一矩形踢面的上边线位置即是同级踏 面的 V 投影积聚位置，踏面积聚投影长度由相应
15 14 13
11 12
踏面的 H 投影确定。 3 、在 V 投影中画可见的螺旋线。 4 、改正图线，完成全图。
可见性参考
直母线 SA 绕相交的轴线 S O 旋转形成圆锥
面S
AO
直母线 AB 绕交 叉的轴线 OO 旋 转形成单叶双曲 面O
A
O B
O
B
A
O
2 、单叶双曲回转面的投影作图
由于母线上每一点的
a′
回转的轨迹是纬圆，
母线的任一位置都称
为素线，所以回转面
e′
④ 判别曲面 V 投影的可见 性，即判别各素线 V 投影的 可见性。
双曲抛物面的应用
双曲抛物面
屋面
岸坡过渡
6 圆柱正螺旋面（简称：正螺旋面）
•圆 柱 正 螺 旋 面 ( 锥状）的 形成
当一直母线沿
一条圆柱螺旋线
及该螺旋线的轴
线滑动，并始终
9 8 7
形，即相应踏面在 H 面上的实形投影。至此，完 成螺旋楼梯的 H 投影。
6
在 V 面轴线上定导程 S ，且将 S 作 16 等分，
5
并将所得分点编号 0~16 。
4
2 、画各踢面的 V 投影。每一踢面均是垂直于 H
3
面的矩形，矩形下边线的序号与 V 面上中轴线上
2
的等分序号相同，根据其 H 投影可画出 V 投影。
1
1 0
9 轴线左侧的踢面可见 , 右侧踢面不可见，画成虚 线。轴线右侧的底面可见。
16
10
这里，每一矩形踢面的上边线位置即是同级踏 面的 V 投影积聚位置，踏面积聚投影长度由相应
15 14 13
11 12
踏面的 H 投影确定。 3 、在 V 投影中画可见的螺旋线。 4 、改正图线，完成全图。
可见性参考
直母线 SA 绕相交的轴线 S O 旋转形成圆锥
面S
AO
直母线 AB 绕交 叉的轴线 OO 旋 转形成单叶双曲 面O
A
O B
O
B
A
O
2 、单叶双曲回转面的投影作图
由于母线上每一点的
a′
回转的轨迹是纬圆，
母线的任一位置都称
为素线，所以回转面
e′
第六章 曲线曲面投影方法
控制母线运动的点、线 和面称为定点、导线和 导面它们统称为导元素
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。
圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍） 纬线圆法
s● (n)
n● s
纬线圆法
●s ●(n)
单叶双曲回转面
一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面
单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面
s
条素线。
k
正圆锥面
正圆锥面 斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线 相切而形成的曲面称为切线曲面
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首 先应画出其导线——圆 柱螺旋线的投影（画法 详见§７），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线， 即可求出H投影面迹线， 在V面投影上应保留轮廓 线的投影。
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。
圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍） 纬线圆法
s● (n)
n● s
纬线圆法
●s ●(n)
单叶双曲回转面
一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面
单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面
s
条素线。
k
正圆锥面
正圆锥面 斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线 相切而形成的曲面称为切线曲面
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首 先应画出其导线——圆 柱螺旋线的投影（画法 详见§７），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线， 即可求出H投影面迹线， 在V面投影上应保留轮廓 线的投影。
《曲线曲面投影方法》课件
曲面投影
将物体投影到一个曲面上，适合于展示汽车、船舶和飞 机等曲面物体。
投影方法
1
正交投影法
正交投影法是将物体沿着坐标轴作平移变换，将物体的每一个点投影到视平面上， 是应用最广泛的投影方法之一。
2
透视投影法
透视投影法是将物体的每个顶点连接到观察者位置，形成透视中心，然后将物体 投影到视平面上。这种方法能够产生逼真的效果。
机器人与工业
投影类型
平行投影
平行投影是将物体在平行于某个方向的平面上投影，它可以保持物体的形状和大小不变，适 合制作工程图和制图。
透视投影
透视投影是将物体按照透视原理在平面上投影，它能够更好地描述物体的空间关系和深度感， 适合动画、游戏和电影制作。
投影面
平面投影
将物体投影到一个平面上，适合于展示建筑、城市和地 图等场景。
曲线曲面投影方法
在计算机图形学中，曲线曲面投影是一种常用的技术。本PPT将介绍曲线曲面 投影方法的基本概念和应用，以及各种类型的投影方法和投影面。
曲线曲面投影方法简介
建模与展示
曲线曲面投影是3D建模和展示的重要技术，它可以将 三维图形投影影是电影和游戏制作的重要技术，它可以 把复杂的3D场景转化为2D画面，以便在电影或游戏中 显示。
3
球面投影法
球面投影法是将物体投影到一个球面上，以获得更自然和真实的效果。这种方法 适用于需要表现地球或其他球面物体的场景。
结论
投影方法选择
不同的投影方法适用于不同的场景和需求。选择恰当的投影方法，可以提高建模和展示的效 果，展现更加美观和逼真的效果。
投影方法创新
在曲线曲面投影领域，不断创新和改进投影方法，可以使计算机图形学向更深远的方向发展， 为人类带来更大的贡献。
曲面投影半径计算公式
曲面投影半径计算公式在几何学中，曲面投影是指将一个三维曲面投影到一个平面上，得到一个二维图形的过程。
曲面投影半径是指在这个过程中，曲面上的点到投影中心的距离。
计算曲面投影半径的公式可以帮助我们更好地理解曲面的形状和特性，同时也在工程和建筑设计中有着重要的应用。
曲面投影半径的计算公式取决于曲面的形状和投影方式。
在本文中，我们将讨论几种常见的曲面形状和它们的投影方式，并给出相应的计算公式。
1. 球体的曲面投影半径计算公式。
球体是一种常见的几何曲面，它的曲面投影半径可以通过以下公式计算得到：r' = r cos(θ)。
其中，r是球体的半径，θ是球心到投影平面的夹角，r'是球体在投影平面上的投影半径。
这个公式告诉我们，球体的投影半径随着投影角度的增大而减小，这也是我们在日常生活中观察到的现象。
2. 圆柱体的曲面投影半径计算公式。
圆柱体是另一种常见的几何曲面，它的曲面投影半径可以通过以下公式计算得到：r' = r。
其中，r是圆柱体的半径，r'是圆柱体在投影平面上的投影半径。
这个公式告诉我们，圆柱体的投影半径与投影角度无关，始终保持不变。
3. 锥体的曲面投影半径计算公式。
锥体是另一种常见的几何曲面，它的曲面投影半径可以通过以下公式计算得到：r' = r tan(θ)。
其中，r是锥体的半径，θ是锥顶到投影平面的夹角，r'是锥体在投影平面上的投影半径。
这个公式告诉我们，锥体的投影半径随着投影角度的增大而增大，这与球体的情况是相反的。
除了以上讨论的几种常见曲面形状外，还有许多其他曲面形状，它们的曲面投影半径的计算公式也各不相同。
在实际应用中，我们需要根据具体的曲面形状和投影方式来选择合适的计算公式。
曲面投影半径的计算公式不仅在理论研究中有着重要的意义，也在工程和建筑设计中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要计算建筑物在不同角度下的投影半径，以便更好地评估建筑物的外观和空间利用效率。
重要曲面与曲线的投影
第一节
曲面及其方程
定
(1)
义
设S是空间曲面，F ( x, y, z ) 0是一个三元代数方程， 如果它满足：M ( x, y, z ) S F ( x, y, z ) 0 则称(1)是曲面S的方程，而S叫做方程(1)的图形。
常见的空间曲面有：球面、旋转曲面和柱面，下面我们一 一对它们进行介绍。
| y 1 | MP
.
S
2
z
z1
C
x y
2
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0 .
x
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P
z
N (0, y1 , z1 )
M
.
M(x,y,z) S
f f (y11,, z11)=0 z )=0
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
机动
C
o x
1
y
目录
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返回
结束
空间曲线在坐标平面上的投影举例
同理可得如下两种投影方程：
2. 在YOZ平面上：
H ( y, z ) 0 — 消去x YZ： x0
2 2
S 2：z 25 x 2 y 2 — 半径为5，球心在O点的上半球面。
x 2 y 2 16 XY ： z0 P rj XY {( x, y ) | x 2 y 2 16}
H ( x, z ) 0 — 消去y ZX ： y0
曲面及其方程
定
(1)
义
设S是空间曲面，F ( x, y, z ) 0是一个三元代数方程， 如果它满足：M ( x, y, z ) S F ( x, y, z ) 0 则称(1)是曲面S的方程，而S叫做方程(1)的图形。
常见的空间曲面有：球面、旋转曲面和柱面，下面我们一 一对它们进行介绍。
| y 1 | MP
.
S
2
z
z1
C
x y
2
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0 .
x
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P
z
N (0, y1 , z1 )
M
.
M(x,y,z) S
f f (y11,, z11)=0 z )=0
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
机动
C
o x
1
y
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结束
空间曲线在坐标平面上的投影举例
同理可得如下两种投影方程：
2. 在YOZ平面上：
H ( y, z ) 0 — 消去x YZ： x0
2 2
S 2：z 25 x 2 y 2 — 半径为5，球心在O点的上半球面。
x 2 y 2 16 XY ： z0 P rj XY {( x, y ) | x 2 y 2 16}
H ( x, z ) 0 — 消去y ZX ： y0
空间曲线在一般平面上的投影[1]
![空间曲线在一般平面上的投影[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/935c444edcccda38376baf1ffc4ffe473368fdff.png)
空间曲线在一般平面上的投影[1]空间曲线在一般平面上的投影是指将空间曲线沿垂直于该平面的直线投影到该平面上所得到的图形。
在工程学和机械设计中，对空间曲线进行投影是十分重要的。
本文将介绍空间曲线在一般平面上的投影方法及应用。
1. 投影点法投影点法是一种常用的空间曲线投影方法。
该方法基于一个简单的原理，即直线上的所有点在同一平面上的投影相互平行。
如果我们为空间曲线上的每个点找到垂直于投影面的投影点，然后将这些投影点连接起来，就可以得到曲线在该平面上的投影了。
当然，这一过程需要进行详细的计算和绘图，但这种方法可以得到高精度的投影结果。
投影变换法是一种数学上较为高级的空间曲线投影方法。
该方法基于投影变换的概念，将空间曲线通过一个数学函数映射到投影面上。
这种方法具有优秀的精确度和计算效率，但需要一定的数学基础。
投影变换法在三维模型制作、计算机图形学等领域广泛应用。
除了以上三种方法，还有很多其他的空间曲线投影方法，如投影矩阵法、投影角度法等。
这些方法各有优缺点，应根据具体情况选择合适的投影方法。
空间曲线在一般平面上的投影在工程设计中的应用广泛。
例如，在机械设计中，需要对各种机械部件进行投影分析，以确定其尺寸和形状是否符合要求。
在建筑设计中，也需要对建筑物各个部分进行投影分析，以便准确计算建筑物的体积、面积等参数。
总之，空间曲线在一般平面上的投影是一项重要的技术，可以方便地将三维问题转化为二维问题进行分析和计算。
通过各种方法的比较和选择，我们可以得到准确的投影结果，提高工作效率和质量。
《曲线和曲面的投影》课件
3
斜投影
通过斜光线在投影平面上的投影，将曲线的形状展示在二维平面上。
曲面的投影
平面投影
将曲面投射到平面上，展示其在 不同角度下的形状。
柱体和圆锥的投影
掌握将柱体和圆锥在平面上的投 影技巧，准确表达其形态。
球体的投影
熟悉球体投影的方法，理解球体 在投影平面上的变化。
曲线和曲面投影的例题
练习题一
通过给定的曲线或曲面，求其在不同投影方法下的投影图。
深入探讨曲线和曲面投影在工程、建筑等领域的实际应用情况，拓宽视野。
参考文献
课本
论文
其他相关资料
练习题二
考察对投影方法的理解，通过给定的投影图恢复出原曲线或曲面的形状。
练习题三
应用所学的投影知识解决实际问题，探索曲线和曲面投影在现实中的应用价值。
总结
1
投影的概念
了解投影的基本概念，掌握投影的定义和作用。
2
曲线和曲面的投影方法
细致总结曲线和曲面的各种投影方法，理解它们之间的区别和特点。
3
实际应用场景
《曲线和曲面的投影》 PPT课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨曲线和曲面的投影。学习曲线的投影方法 以及不同曲面的投影技巧，并通过实例掌握这些概念。
曲线的投影
1
等轴测投影
通过等轴测图来表达曲线的投影，包括正等轴测投影和斜等轴测投影。
2投射到平面上，得到曲线的正射投影图。
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当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投 影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必 须分别求解。
椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影 短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影
圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法-最大斜度线法 当圆处于一般位置时，则在各投影面上的投影均为椭圆。
可以采用最大斜度线法或变换投影面法来作图。
曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知 曲面的投射柱面与曲面的切线
当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合 时，这些母线称为界限素线
曲面的轮廓线对不
同投影面各不相同。
如图所示，投射柱 面与曲面的切线T称为 曲面对H面的轮廓线， ｔ′为曲面轮廓线的H 投影。
6.5.1 曲面的分类
根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分 类方法。如：
6.2.1 曲线的投影 特性
1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射 线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投 影为直线
2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的从属关系 为曲线投影的不变性
3）代数曲线的投影，其次数不变。如二次曲线的投影仍为二次曲 线
最大斜度线法
圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法-变换投影面法
特别注意：水平投影的 短轴gh和正投影的短轴
g h 并不一一对应。
变换投影面法
方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
6.4 螺旋线
6.4.1 圆柱螺旋线 一点沿圆柱面直母线
作等速直线运动，同时该 母线又绕圆柱面轴线作等 速回转运动，则该点在空 间的运动轨迹即为圆柱螺 旋线
圆柱螺旋线的三要素 1：圆柱的直径ｄ
2：导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点 沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程
旋向：分为右旋、左旋两种
右螺旋线的动点运动 遵循右手定则，图上（a) 可见部分右边高；
左螺旋线的动点运动 遵循左手定则，图上(b) 可见部分左边高
作图步骤
6.1.2 圆锥螺旋线
一点沿圆锥面 直母线作等速直线 运动，同时该母线 又绕圆锥面轴线作 等速回转运动，则 该点在空间的运动 轨迹即为圆锥螺旋 线
当圆所在平面为投 影面平行面时，圆在所 平行的投影面上的投影 反映该圆的实形。在另 一投影面上的投影为直 线，线段的长度等于圆 的直径
6.3.2 圆所在平面为投影面垂直面
当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂 直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直 径。在另一投影面上的投影则为椭圆。
6.3.3 圆所在平面为一般位置平面
控制母线运动的点、线 和面称为定点、导线和 导面它们统称为导元素
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
几种柱面
曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合
如图所示曲面， 是 由AA１沿着曲线 ABC运动且在运动 中始终平行于直线 MN所形成的
AA１称为母线
母线形状可以是不变的， 也可以是不断变化的
母线在曲面上的任一位 置称为素线，无限接近 的相邻两素线称为连续 两素线
按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面； 按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回 转面； 按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母 线面和变母线面； 按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则 曲面和不规则曲面； 按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类， 则可分为可展曲面和不可展曲面。
Ａ、Ｃ、D、G均为特殊点 B和F为对H面重影点 E为一般点
6.3 圆的投影
圆是最简单的平面曲线 根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其 正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两面 投影）： 2.1 圆所在平面为投影面平行面 2.2 圆所在平面为投影面垂直面
2.3 圆所在平面为一般位置平面
6.3.1 圆所在平面为投影面平行面
6.1.2 曲线的分类
1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线 （如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。
2、按曲线上点的分布可分为两类： 1）平面曲线 曲线上所有点都在同一平面上， 如二次曲线、渐伸线等； 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同 一平面上，如螺旋线等。
6.2 曲线的投影 特性及其画法
斜椭圆柱面
4.1.2 锥面
一直母线沿曲导线 运动且始终通过一定点 （锥顶同一平面内，所以是可展 曲面。
作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓 线，必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线
4）曲线切线（割线）的投影仍为其投影的切线（割线）
6.2.2 曲线的投影画法
一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确 定出它在空间的形状和位置。
按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一 系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺 次光滑连接即得该曲线的投影。
为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上 特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最 好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来
第六章 曲线与曲面
6.1 曲线概述
6.1.1 曲线的形成 曲线的形成一般有下列三种方式： 1）点在空间作连续变换方向的 运动轨迹
2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线
3）平面与曲面或两曲面相交的交线
必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。 如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看 成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交 线。
椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影 短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影
圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法-最大斜度线法 当圆处于一般位置时，则在各投影面上的投影均为椭圆。
可以采用最大斜度线法或变换投影面法来作图。
曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知 曲面的投射柱面与曲面的切线
当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合 时，这些母线称为界限素线
曲面的轮廓线对不
同投影面各不相同。
如图所示，投射柱 面与曲面的切线T称为 曲面对H面的轮廓线， ｔ′为曲面轮廓线的H 投影。
6.5.1 曲面的分类
根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分 类方法。如：
6.2.1 曲线的投影 特性
1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射 线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投 影为直线
2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的从属关系 为曲线投影的不变性
3）代数曲线的投影，其次数不变。如二次曲线的投影仍为二次曲 线
最大斜度线法
圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法-变换投影面法
特别注意：水平投影的 短轴gh和正投影的短轴
g h 并不一一对应。
变换投影面法
方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
6.4 螺旋线
6.4.1 圆柱螺旋线 一点沿圆柱面直母线
作等速直线运动，同时该 母线又绕圆柱面轴线作等 速回转运动，则该点在空 间的运动轨迹即为圆柱螺 旋线
圆柱螺旋线的三要素 1：圆柱的直径ｄ
2：导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点 沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程
旋向：分为右旋、左旋两种
右螺旋线的动点运动 遵循右手定则，图上（a) 可见部分右边高；
左螺旋线的动点运动 遵循左手定则，图上(b) 可见部分左边高
作图步骤
6.1.2 圆锥螺旋线
一点沿圆锥面 直母线作等速直线 运动，同时该母线 又绕圆锥面轴线作 等速回转运动，则 该点在空间的运动 轨迹即为圆锥螺旋 线
当圆所在平面为投 影面平行面时，圆在所 平行的投影面上的投影 反映该圆的实形。在另 一投影面上的投影为直 线，线段的长度等于圆 的直径
6.3.2 圆所在平面为投影面垂直面
当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂 直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直 径。在另一投影面上的投影则为椭圆。
6.3.3 圆所在平面为一般位置平面
控制母线运动的点、线 和面称为定点、导线和 导面它们统称为导元素
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
几种柱面
曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合
如图所示曲面， 是 由AA１沿着曲线 ABC运动且在运动 中始终平行于直线 MN所形成的
AA１称为母线
母线形状可以是不变的， 也可以是不断变化的
母线在曲面上的任一位 置称为素线，无限接近 的相邻两素线称为连续 两素线
按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面； 按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回 转面； 按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母 线面和变母线面； 按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则 曲面和不规则曲面； 按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类， 则可分为可展曲面和不可展曲面。
Ａ、Ｃ、D、G均为特殊点 B和F为对H面重影点 E为一般点
6.3 圆的投影
圆是最简单的平面曲线 根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其 正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两面 投影）： 2.1 圆所在平面为投影面平行面 2.2 圆所在平面为投影面垂直面
2.3 圆所在平面为一般位置平面
6.3.1 圆所在平面为投影面平行面
6.1.2 曲线的分类
1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线 （如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。
2、按曲线上点的分布可分为两类： 1）平面曲线 曲线上所有点都在同一平面上， 如二次曲线、渐伸线等； 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同 一平面上，如螺旋线等。
6.2 曲线的投影 特性及其画法
斜椭圆柱面
4.1.2 锥面
一直母线沿曲导线 运动且始终通过一定点 （锥顶同一平面内，所以是可展 曲面。
作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓 线，必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线
4）曲线切线（割线）的投影仍为其投影的切线（割线）
6.2.2 曲线的投影画法
一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确 定出它在空间的形状和位置。
按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一 系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺 次光滑连接即得该曲线的投影。
为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上 特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最 好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来
第六章 曲线与曲面
6.1 曲线概述
6.1.1 曲线的形成 曲线的形成一般有下列三种方式： 1）点在空间作连续变换方向的 运动轨迹
2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线
3）平面与曲面或两曲面相交的交线
必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。 如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看 成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交 线。