动态规划第4讲

扩展01背包问题
穷举所有阶段I {物品编号} 穷举状态j {当前背包被占用} 穷举决策k {k:=0 to w/v[i]} 根据决策转移状态到上个可以的子状
态，比较各个状态转移后的最优解f[I,j]； end; end; End;
扩展01背包问题
1、k=0时表示物品i不取，则对应的 f[I,j]=f[i-1,j]
另一种形式的程序
For i:=1 to n do for j:=1 to v[i]-1 do f[I,j]:=f[i-1,j]; for j:=v[i] to w do if f[i-1,j]>f[I,j-v[i]]+a[i] then f[I,j]:=f[i-1,j] else f[I,j]:=f[I,j-v[i]]+a[i]；
2、可能出现的情况是某些性价比较高的 物品装入后导致其他性价比较低物品不能 装入，导致背包体积被浪费。所以不能再 用贪心了
3、只能用DP解决
01背包问题
For i:=1 to n do for j:=0 to w do
枚举阶段（所有物品）
枚举状态（当前背包被 占用体积）
begin
当前物品不装入背包的最大总价值就是
Begin j:=i+len-1;F[i,j]:=maxlongint; For k:=i to j-1 do If F[i,j]>F[i,k]+F[k+1,j]+a[i].x*a[k].y*a[j].y Then Begin F[i,j]:=F[i,k]+F[k+1,j]+a[i].x*a[k].y*a[j].y; End; End ；
部分背包问题算法
为了让每份背包单位体积价值最大，只要 对所有物品按照性价比从大到小排序，依 次装入物品即可，直到背包满或者没有物 品可取
01背包问题
N个物品每个有价值a[i]和体积v[i]，但每 个物品不能分割（要么全部取，要么不 取），求最大的背包所含的价值。
01背包问题
1、如果不管哪个物品装入，都能恰好装 满背包，那么问题就是“背包单位体积所 含价值最大”
3、转ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程： F[I,j]=min{F[I,k]+f[k+1,j]+ai.x*ai.y*aj.y}
首先是两两相乘
For i:=1 to n-1 do
F[i,i+1]:=a[i].x*a[i].y*a[i+1].y;
然后是更大规模的连乘
For len:=3 to n do For i:=1 to n-len+1 do
2、k>0时，表示物品i装入了被占用j体积 的背包中有k个，这个决策对应的上个可 能的子状态是：背包被占用体积是j-v[i] （可以不管当前装入的物品i已经装入几个 了）。对应的最优解就是：f[I,j]:=f[I,jv[i]]+a[i]
初步的程序结构
For i:=1 to n do for j:=1 to w do begin f[I,j]:=f[i-1,j]; {不取当前物品i} for k:=1 to j/v[i] do if (j>=k*v[i]) and (f[I,j]<=f[I,j-v[i]]+a[i]) then f[I,j]:=f[I,j-v[i]]+a[i]； end; end;
动态规划（提高组）
绍兴柯桥中学 吴建锋
部分背包问题
N个物品，每个物品有总价值a[i]和体积 v[i]，背包的总体积是W，每个物品可以部 分拿取，问最大可以获得价值。
部分背包问题
1、获取价值最大，就是在装满背包的前 提下获得总价值最大
2、要使总价值最大，显然要使单位体积 的价值含有量最大
3、因为物品可以一份份取，导致每个物 品装入时的性价比是固定的（就是a[i]/v[i]）
彩石运输
阿强是一个汽车运输工，他正在给一项装饰工程运输所需 的彩色石头。这些石头的颜色各异，价格也各不相同。有 一天阿强突发奇想，他想在一堆彩石中有选择地把彩石装 上他的卡车，使得卡车上装载的石头总价值是所有装载方 案中最大的。现在有一堆彩石堆放在阿强面前，他知道任 何两块石头的颜色都是不同的，但两块颜色不同的石头的 重量和价格可能相同。
完善程序
1、初始化？ Fillchar(f,sizeof(F),0)
2、最终解在哪里？ F[n,w]中。因为每个阶段的f[I,j]表示的是
前i个物品装入j体积的背包中的最大值， 而不是第i个物品装入j中的最大值。
扩展01背包问题
N种物品，每种有无穷多个，价值为a[i]， 单个体积为v[i]，装入总体积为W的背包， 求最大价值和。
f[I,j]:=f[i-1,j]; 前i-1个物品装入背包的最大值。
if (j>=v[i]) and (f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j])
then f[I,j]:= f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j]
end;
把当前背包不装入和装入进行比较，哪个更大， 难度是子状态的转移，上一个子状态就是j-v[i]， 因为v[i]装入前，背包被占用体积就是j-v[i]。
可以和tom问题中的状态转移联系起来，当前任务完成 的前一个子状态就是当前时刻减去当前任务占用时间
01背包的又一个程序
For i:=1 to n do Begin for j:=0 to v[i]-1 do f[I,j]:=f[i-1],j]; for j:=v[i] to w do begin if f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j] then f[I,j]:= f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j] end; End;
经典问题：矩阵连乘
有n个矩阵，计算他们连乘的最少乘法次 数。
输入第一行为一个整数n，表示参加连乘 的矩阵的个数，下面n行，依次给出各个 矩阵的行数和列数规模。
输出最少的乘法次数（连乘目标是只有一 个矩阵）。
输入和输出
输入： 3 1 5 5 20 20 1 输出： 105
前期分析
1、什么是矩阵乘法 2、乘法次数的统计原理
算法分析
1、阶段。分相邻二个矩阵相乘、相邻三 个相乘、……n个矩阵相乘来划分阶段。
2、状态。连乘矩阵的起始和终止编号。
3、决策。在i和j矩阵之间如何组合。
状态转移方程
1、f[I,j]表示第i个矩阵到第j个矩阵连乘的 最少次数。
2、a[i].x a[i].y表示第i个矩阵的行号和列 号