绝对值不等式中的含参问题(原创)

绝对值不等式中的含参问题
在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。

绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。

一、绝对值的最值问题
1、当绝对值中x 的系数相同时。

运用三角不等式：||a |−|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |
例1：求函数f (x )=|x −3|+|x −4|的最值
解：|x −3|+|x −4|≥|(x −3)−(x −4)|=1，函数f (x )的最小值为1。

例2：求函数f (x )=|2x −1|−|2x −3|的最值
解：||2x −1|−|2x −3||≤|(2x −1)−(2x −3)|=2，即得到−2≤|2x −1|−|2x −3|≤2，函数f (x )的最小值为−2，最大值为2。

2、当绝对值中x 的系数不相同时。

①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。

例：求函数f (x )=|2x −2|+|x +2|的最值
解：当{x ≤−2−(x +2)−(2x −2) 即{x ≤−2−3x ， 当{−2<x <1(x +2)−(2x −2) 即{−2<x <1−x +4， 当{x ≥1(x +2)+(2x −2) 即{x ≥13x。

则有f(x)={−3x, x≤−2
−x+4, −2<x<1
3x, x≥1
画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在x=1处，函数取得最小值3。

二、求绝对值中的参数范围
1、恒成立问题
∀x∈D,a<f(x)恒成立，则a<f min(x)
∀x∈D,a>f(x)恒成立，则a>f max(x)
例1：|x−3|+|x−4|>a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。

析：先求函数f(x)=|x−3|+|x−4|的最小值，再a<f min(x)
解：由|x−3|+|x−4|≥|(x−3)−(x−4)|=1，得f min(x)= 1，则a<1。

例2：f(x)=|2x−1|−|x+2|，对于x∈[0,1]，有f(x)<t2−3t 恒成立，求t的取值范围。

析：先求函数f(x)=|2x−1|−|x+2|的最大值，再解t2−3t> f max(x)二次不等式。

解：由于x∈[0,1]，则f(x)=|2x−1|−x−2，
当{0≤x≤1
2
−(2x−1)−x−2即{
0≤x≤1
2
−3x−1
当{1
2
<x≤1
2x−1−x−2即{
1
2
<x≤1
x−3
则有f(x)={−3x−1, 0≤x≤1
2
x−3, 1
2
<x≤1
画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图
像在x∈[0,1]范围内，在x=0处，函数取得最大值−1，即f max(x)=−1。

则t2−3t>f max(x)=−1，解得t<3−√5
2或t>3+√5
2。

2、存在问题
∃x∈D,a<f(x)恒成立，则a<f max(x)
∃x∈D,a>f(x)恒成立，则a>f min(x)
例1：若存在实数x,使|2x−1|−|2x−3|≥a成立，求a的取值范围。

析：先求函数f(x)=|2x−1|−|2x−3|的最大值，再a≤f max(x)。

解：||2x−1|−|2x−3||≤|(2x−1)−(2x−3)|=2，即得到−2≤|2x−1|−|2x−3|≤2，函数f(x)的最大值为2，即f max(x)=2，则a≤2
例2：若存在实数x,使|x−a|+|x−1|≤3，求a的取值范围。

析：先求f(x)=|x−a|+|x−1|的最小值，再3≥f min(x)。

解：|x−a|+|x−1|≥|(x−a)−(x−1)|=|1−a|,即f min(x)= |1−a|。

则|1−a|≤3，得−2≤a≤4。

例3：设函数f(x)=|2x−1|+|ax−1|(a>0),a≠2，若存在x∈R，使f(x)≤1
2
成立，求实数a的取值范围。

析：先求f(x)=|2x−1|+|ax−1|(a>0),a≠2的最小值，再1
2
≥f min(x)。

解：①若0<a<2则1
a >1
2
，即f(x)=|2x−1|+|ax−1|
当{x≤1
2
−(2x−1)−(ax−1)即{
x≤1
2
−(a+2)x+2
当{12<x <1a (2x −1)−(ax −1) 即{12<x <1a (2−a )x
当{x ≥1a (2x −1)+(ax −1) 即{x ≥1a (a +2)x −2 则f (x )={
−(a +2)x +2, x ≤12(a −2)x, 1a <x <12(a +2)x −2, x ≥1a 得f min (x )=f (12)=1−a 2，则有12≥1−a 2
，得a ≥1。

②若a >2则1a <12，即f (x )=|ax −1|+|2x −1| 当{x <1a −(ax −1)−(2x −1) 即{x <1a −(a +2)x +2
当{1a ≤x ≤12(ax −1)−(2x −1) 即{1a ≤x ≤12(a −2)x
当{x ≥12(ax −1)+(2x −1) 即{x ≥12(a +2)x −2 则f (x )={ −(a +2)x +2, x <1a (a −2)x, 1a ≤x ≤12(a +2)x −2, x >12
得f min (x )=f (1a )=1−2a ，则有12≥1−2a
，得0<a ≤4。

综上所述，a 的取值范围为[1,+∞)∪(0,4]。