含绝对值不等式的解法含答案
01绝对值不等式(含经典例题+答案)
绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
含绝对值不等式的解法(1)
题型四 | f (x) | g(x) , | f (x) | g(x)
不等式两边平方法化为 | f (x) |2 g(x) 2 , | f (x) |2 g(x) 2
作业：解下列不等式。
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|<4 3、| x-1 | > 2( x-3) 4、2x 1 x 2 5. x＋|2x＋3|＞2.
数 都 不 是 原 不 等 式 的 解。 将 点A向 左 移 动1个 单 位 到 点A1， 这 时 有A1 A A1B 5； 同 理， 将 点B向 右 移 动 一 个 单 位 到 点B1， 这 时 也 有B1 A B1B 5， 从 数 轴 上 可 以 看 到 点A1与B1之 间 的 任 何 点 到 点A， B的 距 离 之 和 都 小 于5； 点A1的 左 边 或 点B1的 右 边 的 任 何 点 到 点A，， 的 距 离 之 和 都 大 于。 故 原 不 等
是
.
2 x 0,x 2, x ,2
【做一做】 （3）若不等式|2-x|>2-x成立，则实数x的取值范围
是
.
解析:依题意 x-2<0,解得 x<2.
答案: -∞,2
变式例题：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是 | 3x-1 | >2如何解？
绝对值不等式的解法（一） 郑慧
复习绝对值的意义：
代数的意义
x X>0 |x|= 0 X=0
- x X<0 一个数的绝对值表示：
几何意义
数轴上与这个数对应的 点到原点的距离,|x|≥0
x2
含绝对值不等式的解法(含答案)
含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。
答案为{}51<<-x x 。
(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。
例2。
解不等式22x xx x >++。
分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。
解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.设函数（1）解不等式；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号，其方法有三种：①定义法；②平方法；③分区间讨论法，这里用的是分区间讨论法，遇到多个绝对值时常用此方法；（2）求绝对值函数的值域，通常是通过分区间讨论，去掉绝对值符号，将绝对值函数改写成分段函数，然后就每段求的范围，最后再将每段求得的范围求并集，注意不是求交集，从而得到绝对值函数的值域.试题解析：（1）不等式等价于：①；②；③，综合①②③得不等式的解集为：（2）①当时，；②当时，③当时，综合①②③得函数的值域为，因此求函数的最小值为.【考点】1.含绝对值的不等式的解法；2.绝对值函数的值域的求法；3.分类讨论思想.2.已知定义在R上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用求得的最小值；（2）利用证明即可.规律总结：不等式选讲内容，一般难度不大，主要涉及绝对值不等式和不等式的证明，证明或求最值，要灵活选用有关定理或公式.试题解析：（1）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（2）由（1）知,又因为是正数,所以,即.【考点】1.绝对值不等式；2.重要不等式.3.设函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式（，，）恒成立，求实数的范围．【答案】（1）;(2).【解析】(1)欲解不等式，需去掉绝对值，考虑到含有两个绝对值，因此分三段去，然后解.（2）要使不等式恒成立，则,考虑到不等式性质,不等式右侧可化简.试题解析：去绝对值，函数可化为,分三段解不等式，可得解集为：.由, 可得, 由（1）可解得：【考点】（1）含绝对不等会的解法；（2）恒成立问题（一般采用分离常数）.4.已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）先去掉绝对值得到，然后遂个求解不等式最终可得解集；（2）利用含参不等式的求解方法先确定因为所以则．试题解析：（1）原不等式等价于①： 1分或②： 2分或③： 3分解不等式组①无解； 4分解不等式组②得： 5分解不等式组③得： 6分所以原不等式的解集为 7分；（2）依题意 9分因为，所以 11分所以， 12分所以实数的取值范围为 13分．【考点】1，分段函数2，含参函数不等式的求解．5.对于实数，若，则的最大值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为又因为，可得，故选B.【考点】绝对值不等式.6.不等式的解集为A．[-5.7]B．[-4,6]C．D．【答案】C【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。
绝对值不等式
绝对值不等式重点：形如|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)的不等式.难点:应用数形结合的思想解不等式,在解决含有字母系数的不等式时,如何进行分类讨论.例1.解下列关于x的不等式:<1>|x|<2<2>|x|<a<3>|x-3|<2<4>|2-3x|>4分析:解含有绝对值号的不等式关键问题是如何去掉绝对值号,从代数形式考虑可利用绝对值的定义,从几何意义入手可利用数轴上点的距离,如果再深入考虑还可利用函数图象去解决问题.解:<1>|x|<2可化为下面两个不等式组:①或②①的解为0≤x<2 ②的解为-2<x<0∴|x|<2的解为-2<x<2.或从绝对值的几何意义去考虑:|x|<2,即到原点距离小于2的所有点, ∴|x|<2的解为:-2<x<2.<2>当a>0时,|x|<a的解为:-a<x<a.当a=0时,|x|<a无解. 当a<0时,|x|<a无解. ∴原不等式的解当a>0时,为-a<x<a. 当a≤0时,为空集.<3>由原不等式可得:-2<x-3<2 同加3得:1<x<5.<4>由原不等式可得:2-3x>4或2-3x<-4. 解得原不等式的解为:x<-或x>2.小结:例1中从|x|<2到|x|<a,应注意|x|<2中2所能代表的一类数,将2换成a以后,右边变成了一个代数式,可代表任意实数,这时由|x|<2所得结论能否推广到|x|<a,是必须考虑的问题.有些学生认为a≤0时无解就只写a>0时的情况即可,应该认识到无解也是不等式的解的一种情况.另外由|x|<a到|x-3|<2,必须树立换元的思想,通过换元将复杂形式化为简单的形式,通过换元又可将未知的问题转化为已知问题去解决.例1中的几个问题若换个角度从函数图象去考虑也可得到如下解法.解:<1>欲解|x|<2. 作出y=|x|的图象,再作出直线y=2交y=|x|图象于点A,B.此时|x|<2的解即y=|x|的纵坐标小于2时的横坐标的取值范围.将y=2代入y=|x|可求出A(-2,2)B(2,2). ∴|x|<2的解为-2<x<2.<2><3>略. <4>欲解|2-3x|>4. 作出y=|2-3x|图象, 作出y=4交y=|2-3x|图象于A,B两点.要求|2-3x|>4的解即y=|2-3x|图象的纵坐标大于4时的横坐标的取值.将y=4代入y=|2-3x|求出A(-,4)B(2,4). ∴原不等式的解为:x<-或x>2.注:虽然初三学过一些函数及其图象的知识,但在解决新问题时能够应用这些函数及图象知识,对刚入高一的学生而言比较困难,但数形结合的思想,函数的思想是非常重要的数学思想方法,应逐步渗透.例2.解下列关于x的不等式:<1>|2x-1|<a<2>|ax-2|≤1解:<1>①当a>0时,原不等式化为：-a<2x-1<a 解得:<x<②当a=0时,无解. ③当a<0时,无解. ∴当a>0时,原不等式的解<x<. a≤0时,原不等式无解.<2>原不等式化为：-1≤ax-2≤1, 同加2得:1≤ax≤3. ①当a>0时,≤x≤②当a=0时,无解.③当a<0时, ≤x≤.小结:解含有字母系数的不等式需要分情况讨论,尤其要注意最后分情况表示解时,有些可以合并成一个形式表达,并且讨论时不要有遗漏,也不要有重复现象出现.思考:对于例2中两个问题应用数形结合的方法应如何解决.例3.解不等式:|x-3|+|x+2|>6.分析:<1>解绝对值不等式关键问题是去绝对值号,基本方法之一是应用定义化为同解的不等式组.<2>要去掉两个绝对值号,应分别考虑两个绝对值内式子的符号,其关键是两个绝对值号内式子取零时x的值,这两个值是两个分界点.<3>两个不同的分界点的x值,将实数轴上的点分为三段,在每一段上都可以去掉两个绝对值号.解:原不等式可化为下面三个不等式组: s①或②③不等式组①的解为:x<-. 不等式组②的解为:无解. 不等式组③的解为:x>.注:<1>原不等式的解是不等式组①②③三个解的并,即三个不等式组的解之间用“或”联系.<2>有时学生在分情况去绝对值号时常写成以下形式: 当x<-2时,-(x-3)-(x+2)>6,∴x<-.容易忽略x<-2这个条件,即两不等式之间用“且”来联系.<3>此不等式也可用数轴上的点的距离即绝对值几何意义去解.只需将|x-3|和|x+2|分别看到数轴上点到3和到-2两点的距离,所求|x-3|+|x+2|>6的解即到3和到-2两点距离之和大于6的点的x值范围.例4.如果关于x的不等式|ax+1|≤b的解是-≤x≤,求a,b的取值.解:当b≤0时,|ax+1|≤b无解. 当b>0时, |ax+1|≤b化为-b≤ax+1≤b. 则有:-1-b≤ax≤b-1.<1>当a>0时,≤x≤. ∵原不等式解为-≤x≤.则有: 解得: 与b>0,a>0不符,舍去.<2>当a<0时, ≤x≤. 由已知则有: 解得:<3>当a=0时,|ax+1|≤b,只需b≥1时,x为任意实数与已知-≤x≤不符.∴a=-2,b=2.本周小结:本周主要内容是含绝对值的不等式,应掌握基本方法,注重数形结合.本周参考练习:解下列关于x的不等式:<1>3|2x-1|<|2x-1|+<2>(1+|x|)(|2x+1|-4)>0<3>≤0<4>≥8<5>|x-2|+|x+2|<10.本周练习参考答案:<1>分析：首先移项合并，然后求解。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的
【做一做3】 解不等式|2x-5|-|x+1|<2.
分析:利用零点分区间法解题.
解:令 2x-5=0,得 x= 5 . 令x+1=0,得 x=-1.
2
(1)当 x≤-1 时,原不等式等价于-(2x-5)+(x+1)<2,
即-x+6<2,即 x>4,无解.
(2)当-1<x<
5 2
时,原不等式等价于-(2x-5)-(x+1)<2,
题型一 题型二 题型三
解法一:(几何法)如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则A,B 两点的距离是3,因此区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求 出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点. 将点A向左移动1个单位到点A1,这时有|A1A|+|A1B|=5;
同理,将点B向右移动1个单位到点B1,这时也有|B1A|+|B1B|=5. 从数轴上可以看到,点A1与B1之间的任何点到点A,B的距离之和 都小于5;点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都 大于5. 所以,原不等式的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞).
2.2 绝对值不等式的解法
1.会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围. 2.会解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c四种类 型的绝对值不等式.
1.(1)解绝对值不等式的主要依据 解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几 何意义及不等式的性质. (2)绝对值不等式的解法
【做一做1】 解下列绝对值不等式: (1)|x|<3;(2)|x|>4.
含绝对值的不等式解法(总结归纳).doc
含绝对值的不等式解法(总结归纳)
含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法[教材分析]|x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是{x|-a0)的解集是{x|x>a或x0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。
一元二次不等式ax2+bx+c>0(或0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c,当a=0时，不等式化为20时不等式解集是{x|-0，即x2-x-20，其中a∈R。
[分析与解答]a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。
因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。
当a=0时，不等式化为8x+1>0。
不等式的解为{x|x>-,x∈R}。
当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。
(1)若00，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为，。
不等式的解为{x|x}。
(2)若40的解为xβ，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围。
[参考答案]：1．解：由|ax+1|≤b,∴-b≤ax+1≤b，∴-b-1≤ax≤b-1。
当a>0时，≤x≤。
∴,不满足a>0,舍去。
当a0两边同除以a(a∴β-α=，∴a2+24a≤25,-25≤a。
含绝对值不等式
典型例题
例３、解不等法： （１）零点分段法；（通性通法） （２）几何意义法； （３）函数图象法．
典型例题
xa 例４、已知不等式 x 3 的解集为Ａ． 2 （１）若Ａ＝ 求实数a 的取值范围；
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
f ( x ) g( x ) f 2 ( x ) g 2 ( x )
3、零点分段法：如 ax b cx d k
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
二、含绝对值不等式的解法： 1、等价转化法： 2、平方法：
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
【思维点拨】 １、需分别证明充分性和心要性； ２、通过分类讨论利用结论：
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
典型例题
例２、解不等式：
1 x 2x 2
2
【思维点拨】 本题有多种解法： （１）定义法； （２）等价转化法； （３）函数图象法. 注意： f ( x) g( x) g( x) f ( x) g( x);
高中数学第六章《不等式》 第 5 课
含绝对值不等式
问题:
a>b是a2>b2的什么条件？ 答案：既非充分又非必要条件.
知识梳理:
一、含绝对值不等式的证明：
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含绝对值的不等式的解法
一、 基本解法与思想
解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）公式法：即利用
a x >与a x <的解集求解。
主要知识：
1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;
当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是∅;
3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式
c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;
当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是∅;
[例1] 解不等式32<-x
分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。
答案为
{}51<<-x x 。
[例2] 不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．
分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式． 由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅
答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．
［例3］解不等式2＜｜2x －5｜≤7．
解法1：原不等式等价于⎩
⎨⎧≤->-7|52|2|52|x x ∴⎩⎨⎧≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<>6
12327x x x 或
∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜
23或2
7＜x ≤6｝ 解法2：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．
(Ⅰ)2＜2x －5≤7
(Ⅱ)2＜5－2x ≤7
不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜27＜x ≤6｝，不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜2
3｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝． [例4] 解关于x 的不等式10832<-+x x
解：原不等式等价于1083102<-+<
-x x ， 即⎩
⎨⎧<-+->-+1083108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---
练习：
（1）
4321x x ->+； （2）4|23|7x <-≤ ；
（3）3529x ≤-<； （4）1|1|3x <+< （5）x x 3102≤- （6） 241<--x 。
解答：（1） ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧><231x x x 或 （2）⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-527212x x x 或 （3）(][)2,14,7- （4）(4,2)(0,2)--（5）{}|25x x ≤≤
（6）{}7315<<-<<-x x x 或
（二）定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
去掉绝对值再解。
[例] 解不等式22
x x x x >++. 分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。
解:原不等式等价于
2
x x +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。
练习: （1）|x ＋2|＞x ＋2的解集是 ； ｛x ｜x ＜－2｝ （2）不等式
x
x x x ->-22的解集是 。
{}02<>x x x 或
（三）平方法:解()()f x g x >型不等式。
[例]、解不等式123x x ->-.
解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22
(23)(1)0x x ---< ⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔
423
x <<。
练习：解关于x 的不等式 (1)x x ->+512； (2)212+<-x x ； （3）|2||1|x x -<+
答案：（1） ；（2）)3,31(-
；（3） ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧>21x x 。
（四）分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。
[例1] 解不等式125x x -++<. 分析:由
01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。
2-和1把实数集合分成三个区间，即
2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。
解:当x ＜-2时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，
解得：23-<<-x
当-2≤x ≤1时，得21,(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨
--++<⎩， 解得：12≤≤-x 当1>x 时，得1,(1)(2) 5.
x x x >⎧⎨-++<⎩ 解得：21<<x 综上，原不等式的解集为
{}23<<-x x 。
[例2] 解关于x 的不等式1312++<--x x x .
解：当3-<x 时，得⎩
⎨⎧++-<----<1)3()12(3x x x x ，无解 当213≤≤-x ，得⎪⎩
⎪⎨⎧++<---≤≤-13)12(213x x x x ，解得：2143≤<-x 当21>x 时，得⎪⎩
⎪⎨⎧++<-->131221x x x x ，解得：21>x 综上所述，原不等式的解集为43(-，)2
1
练习：1.解不等式：221>-+-x x （答案： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><
2521x a x x 或 ） 2.解不等式：521≥++-x x （答案：),2[]3,(+∞--∞ ）
3. 解不等式：|21||
2|4x x ++-> （答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<121x x x 或
（五）几何法：即转化为几何知识求解。
[例] 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 (
)
(A)k<3 (B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-3 分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。
解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。
练习:
()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ； ()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ； ()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ；
⑴ 3<a ； ⑵ 4>a ； ⑶ 7>a ；
2
x。