高中数学：2.1.3函数的单调性学案新人教B必修
人教B版高中数学必修一2.1.3函数的单调性教学设计.doc
高中数学学习材料唐玲出品2.1.3函数的单调性教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。
二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点三、教学目标1．知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；2.过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感、态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．四、教学重点、难点教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性教学难点：归纳并抽象函数单调性定义；用定义判断单调性的基本步骤五、学法与教法学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如例题的处理）。
教学用具：电脑、多媒体。
教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。
（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。
（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得函数单调性的定义。
高中数学人教B版必修一学案：2.1.3 单调性
2.13函数的单调性（2）高一数学必修1第二章2.1.3第2课时学案一．学习目标：1.进一步理解函数单调性及其几何意义，掌握用图像和定义判断证明函数单调性的方法步骤，通过实例体会用定义证明函数单调性的严谨性，提高应用知识解决问题的能力。
2.理解简单复合函数单调性的判断方法。
3.通过实例，体会函数单调性的一些简单应用。
二．自主学习1.关于单调性有下列说法：2(1)()2221+ B.C .f x x x x=∞∞-+∞∞函数在（-,+)上是增函数；（2）函数f(x)=x 在（-,1）上是减函数，在（1，）上是增函数；（3）函数f(x)=在其定义域上是减函数；（4）函数y=5不具有单调性.其中，正确的说法是( )A.（1）（2）（3）（4） （1）（2）（3）（1）（2）（4） D.（1）（2）2.判断下列函数的单调性：21;21x x --+（1）y=（2）y=x三．合作探究（典例分析）型一.由单调性判断函数值的大小21.()82,(1),(0),(4)____________.f x x x f f f =+---例已知函数则的大小关系是 751()(1),()()22f x f f f 练习（）是（0,2）上的增函数，函数图象关于直线x=2对称，则与按大小顺序排列为_____________.（2）设函数)(x f 在),(+∞-∞上为减函数，则 ( ))2()(.a f a f A > )()(.2a f a f B < )()(.2a f a a f C <+ )()1(.2a f a f D <+型二.利用函数单调性由函数值递推自变量的大小2()-f x m 例已知在定义域（2,2）上是减函数，且f(m-1)-f(1-2m)>0,求的取值范围.()f x 练习：函数在R 上为增函数，且f(2m)>f(-m+9),则实数m 的取值范围是________.型三.利用函数单调性解不等式求参数范围23()2(1)2-4]f x x a x a =+-+∞例已知函数在区间（，上是减函数，求实数的取值范围。
人教新课标高中数学B版必修1《2.1.3 函数的单调性》教学设计(表格式)
§2.1.3函数的单调性
一、教学目标
1.知识与技能目标
使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法;
2.过程与方法目标
引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
3.情感态度与价值观目标
在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.
二、教学重点与难点
重点：函数单调性的概念形成和初步运用．
难点：函数单调性的概念形成．
三、教法与学法
（一）教法
在教学中以问题为核心，采取“导引体验式”教学方法，通过“提出问题、思考问题、解决问题”的教学过程，借助实物试验、多媒体课件引导学生进行试验探究、观察类比、概括归纳出增函数和减函数的定义,再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。
（二）学法
学生通过“试验观察、思考探究、归纳总结”的自主学习解惑过程，体验从特殊到一般的数学思维过程，体会学以致用和数学的严谨之美，增强学习的兴趣和信心。
四、教学教具
多媒体课件
五、教学过程设计。
高中数学 2.1.3 函数的单调性教案2 新人教B版必修1
学科：数学课题：2.1.3函数的单调性2教学目标（三维融通表述）：通过实例，学生巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；通过讲解学生初步了解复合函数单调性的判断方法.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.教学难点：复合函数单调性的判定教学过程教学环节问题与任务时间教师活动学生活动复习新课讲解典型例题分析巩固提高复习单调性及判定引导学生理解复合函数单调性的判定会用定义证明单调性，会判定复合函数的单调性熟练运用定义证明单调性，强化对复合函数单调性的理解3分钟8分钟18分钟14分钟引导学生复习1.什么是增函数；减函数.2.什么是单调性，单调区间.3.如何证明函数单调性5．复合函数单调性的判断：对于函数)(ufy=和)(xgu=，如果)(xgu=在区间),(ba上是具有单调性，当),(bax∈时，),(nmu∈，且)(ufy=在区间),(nm上也具有单调性，则复合函数))((xgfy=在区间),(ba具有单调性的规律见下表：规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.例1、判断并证明函数3)(xxf=的单调性.例2、已知函数582++=axxy在),1[+∞上递增，那么a的取值范围是.例3、求函数322-+=xxy的单调区间。
任务三：闯关训练1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A.13+-=xy B.3xy=复习回顾学生共同理解复合函数单调性的判定与老师共同探讨解题学生尝试解决问题，或讨论完成题目C.342+-=x x yD.xy 4=2．函数322+--=x x y 的单调减区间是3．函数163)(2+-=x x x f ，)4,3(∈x 上的单调性是4．已知函数582++-=ax x y 在),1[+∞上递减，那么a 的取值范围是____小结2分 用定义判断单调性的步骤，复合函数单调性的判定个别回答板书设计 课题1.复合函数单调性判定 例题作业训练作业训练： 1.求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3| （2）1122---=x x x y2．函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围． 3．已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：4．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．反思。
人教B版高中数学必修一2.1.3函数的单调性教学设计.doc
2.1.3函数的单调性教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。
二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点三、教学目标1．知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；2.过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感、态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．四、教学重点、难点教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性教学难点：归纳并抽象函数单调性定义；用定义判断单调性的基本步骤五、学法与教法学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如例题的处理）。
教学用具：电脑、多媒体。
教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。
（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。
（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得函数单调性的定义。
高中数学 2.1.3 函数的单调性导学案新人教B版必修1
辽宁省葫芦岛市第八高级中学高中数学 2.1.3 函数的单调性导学案（无答案）新人教B版必修1【学习目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。
学习重点：函数的单调性及其几何意义。
学习难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。
预习案 一．预习内容1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （2）f(x) = -x+2○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x ________ ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间M A.如果取区间M 中的任意两个自变量x 1，x 2，（1）当x 1<x 2时，都有f(x 1) f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是 函数 （2）当x 1<x 2时，都有f(x 1) f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是 函数二．预习自测以下是NBA 球星姚明四个赛季的平均分，篮板数据表：表中数据和图中连线是为了体现什么？探究案一．仔细阅读教材，回答下面的问题1：增函数、减函数是如何定义的？2：增函数和减函数的图象有什么特征？3：什么是函数的单调性？什么是单调函数？4：函数的单调性是对整个定义域而言的吗？二．例题讲解例1.证明函数f(x)=2x+1在（—∞，+∞）上是增函数例2.证明函数f(x)=x1在区间（—∞，0）和（0，+∞）上是减函数？例3.已知函数f(x)=x 2+2(m —1)x+2在(]4,∞-上单调递减，则m 的取值范围是？三．拓展问题1．如图，定义在区间[—5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数 的单调区间，以及在每单调区间上，它是增函数还是减函数？ [方法指导]利用单调性定义判断。
高中数学 2.1.3函数的单调性教案 新人教B版必修1
高中数学 2.1.3函数的单调性教案新人教B版必修1 1.教学基本流程2、教学设计创设情境引入新课6分钟初呢？怎么更有效地分配我们的时间呢？多媒体：记忆规律（艾宾浩斯曲线）。
（利用Flash进行演示）多媒体：展示与我们息息相关的天气问题问题一：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律？描述完前两个图象后，明确这两种变化规律在定义域内y随x变化情况二次函数的增减性要分段说明提出问题：二次函数是增函数还是减函数？观察艾宾浩斯曲线，学生会很惊讶，看到那些数据也很震撼，从而也认识到了日清的重要性，那与本节课的内容有什么关系呢？利用两个图象更直观的看到了图像的上升和下降趋势观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述大学生可能回答：既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数讨论得出：单调性是函数的在某一区间上的性质结合单调性是局部性质，用直观描述回答：在一个区生存在的实际问题入手，更能抓住学生的注意力，激起学生的学习热情。
抓住这一点，我设计了这节课的引例，切合实际，让学生有种亲切感，第二，再给出一个天气变化问题，图象有上升有下降，从两个实际问题入手，再过渡到数学问题中的一次函数二次函数问题，从而引出课题，函数的单调性。
数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，概念深化延伸拓展7分钟进一步提问:如何判断f(x1)<f(x2)得到求差法后提出记△x= x2-x1△y= f(x2)-f(x1)= y2-y1进而得到增（减）函数的定义从而得到单调性的定义：如果一个函数在某个区间M上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性.（区间M称为单调区间）思考1：二次函数y=x2+1在(-∞,0)上是____函数在(0,+∞)上是____函数思考2:对于函数f(x)=取自变量－1< 1，而f(－1) < f(1)能得到函数在定义域上的单调性吗？定义中12,x x具有哪些特征？例1.证明函数f(x)=在区间区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。
高一数学2.1.3《函数的单调性》学案(新人教B)
2.1.3 函数的单调性 学案【预习要点及要求】1.函数单调性的概念；2.由函数图象写出函数单调区间；3.函数单调性的证明4.能运用函数的图象理解函数单调性和最值5.理解函数的单调性6.会证明函数的单调性【知识再现】1.22a b -=_____________2.=-33b a _____________3.=+33b a _____________【概念探究】阅读课本44页到例1的上方，完成下列问题1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________-2不看课本，能否写出函数单调性的定义？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3对区间的开闭有何要求？4如何理解定义中任意两个字？5一个函数不存在单调性，如何说明？6完成课后练习A 第1，2题【例题解析】阅读课本例1与例2，完成下列问题不看课本你能否独立完成两个例题的证明证明函数()21f x x =+在R 上是增函数证明函数1()f x x =，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最关键的地方是什么？3有的同学证明1()f x x =在(0,)+∞上是减函数时是这样证的，你是否认可其作法，为什么？ 证明：设120x x <<，则1211x x >，即12()()f x f x >，根据定义可得1()f x x =在(0,)+∞上是减函数4完成课后练习A 第3，4题，习题2-1A 第5题5证明：x x f 1)(=在),0(+∞和)0,(-∞上均为减函数，并说明)(x f 在整个定义域上是否为减函数？【典例讲解】例1．求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+||例2．已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与例3．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．参考答案：例1.解 (1)令f(x)＝x2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x2＋2x －3|的图像由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ．当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2．</PGN0071B.TXT/PGN> ∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．令u ＝＝g(x)＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x ∈[－1，1]上是． 而＝在≥上是增函数．y u 0u∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．例2．解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15时为减函数．∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)例3．证明：取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 02112221212121212221221212121222证法一又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 012122212222122122112121222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．12341212得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22121212121212221222121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，＋∞上是减函数．)【达标练习】1若函数b mx y +=在),(+∞-∞上是增函数，那么 （ ）A.b>0B. b<0C.m>0D.m<02函数32)(2+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于 （ ）A.-3B.13C.7D.由m 而定的常数3设函数)(x f 在),(+∞-∞上为减函数，则 ( ))2()(.a f a f A > )()(.2a f a f B < )()(.2a f a a f C <+)()1(.2a f a f D <+ 4如果函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f 的取值范围是__________________.5已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的取值范围是_____________6证明函数x x x f 1)(+=在)1,0(上是减函数【达标练习答案】1、C2、B3、D4、7)2(-≥f 5．210<<a6．证明：任取)1,0(,21∈x x 且21x x <，则12x x x -=∆，)1)(()(11)()(212112************x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f y --=-+-=--+=-=∆)1,0(,21∈x x ∴0<∆y ∴x x x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。
新人教B版必修一2.1.3《函数的单调性》word学案
2.1.3函数的单调性一、学习目标：1、理解函数的单调性2、学会运用单调性的定义来判断函数的单调性二、重难点：1、掌握函数的单调性的概念和判断函数单调性的方法。
2、证明单调性的过程中知识的综合运用（如不等式、因式分解等）。
三、自学导引：1、一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆。
如果取区间M 中的任意两个值1x ，2x ，改变量210x x x =->，则当()()21y f x f x ∆=- 0时，就称函数()y f x =在区间M 上是增函数，当()()21y f x f x ∆=- 0时，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数。
2、如果一个函数在某个区间M 上是 ，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为 。
3、函数y kx b =+的单调性的情况为：当k 时，为增函数；当k 时，为减函数；当k 时，为常值函数。
4、二次函数()20y ax bx c a =++≠的单调性情况为：当0a >时，在区间 上为减函数，在区间 上为增函数；当0a <时，在区间 上为增函数，在区间 上为减函数5、反比例函数()0k y k x=≠的单调性的情况为：当0k >时，在区间 上为减函数；当0k <时，在区间 上为增函数。
四、典型例题例1、证明：函数2()f x x=在(,0)-∞和(0)+∞，上分别是减函数。
总结：反比例函数的单调区间应写为：班级： 姓名： 学号：例2、证明函数2()21f x x x =++在(],1-∞-上是减函数，在[)1,-+∞上是增函数。
例3、已知定义域为（-1,1）的函数()y f x =是减函数，且(3)(1)f a f a -<-，求实数a 的取值范围。
五、随堂训练()32-+11(2)(,0)(3)(4)5y xy x y x ∞∞=--∞==+在，上1、给出下列命题:(1)y=在其定义域内为减函数；在x 区间上为增函数；是增函数；是增函数。
高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性学案 新人教B版必修1
2.1.3 函数的单调性[学习目标] 1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点.[知识链接]1.x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0；2.当x ＞2时，x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)＞0； 3.函数y ＝ x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32.[预习导引] 1.增函数与减函数一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A .如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量 Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数，当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数. 2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为单调区间.要点一 函数单调性的判定与证明例1 求证：函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数.证明 对于任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2， Δx ＝x 2－x 1>0，有Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝1x 22－1x 21＝x 21－x 22x 21x 22＝x 1－x 2x 1＋x 2x 21x 22. ∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0. ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)>0.∴函数f (x )＝1x2在(－∞，0)上是增函数.对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 有f (x 1)－f (x 2)＝x 2－x 1x 2＋x 1x 21x22.∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 22>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). ∴函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数.规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号；(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.跟踪演练1 已知函数f (x )＝2－x x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.证明 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝x 2－x 1x 1＋x 2＋.∵x 2＞x 1＞－1，∴x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0， 因此f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数. 要点二 求函数的单调区间例2 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间.解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2＋2，x ≥0，－x ＋2＋2，x ＜0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞).规律方法 1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确.2.函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.跟踪演练2 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2＋3，x ＞1 的图象，并指出函数的单调区间.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2＋3，x ＞1 的图象如图所示.由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞). 要点三 函数单调性的简单应用 例3 已知函数f (x )＝xx －1，x ∈[2,5].(1)判断该函数在区间[2,5]上的单调性，并给予证明； (2)求该函数在区间[2,5]上的最大值与最小值. 解 (1)f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是减函数.证明如下：任意取x 1，x 2∈[2,5]且x 1＜x 2， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1. f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2x 2－x 1－.∵2≤x 1＜x 2≤5，∴x 1－x 2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1). ∴f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是减函数.(2)由(1)可知f (x )＝x x －1在区间[2,5]上是递减的，故任意的x ∈[2,5]均有f (5)≤f (x )≤f (2)，∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 规律方法 (1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法.(2)函数的最值与单调性的关系①若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b ). ②若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a ). 跟踪演练3 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则实数a 的取值范围为________. 答案 (0，23)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数， 且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，即a <23.②由①②可知，0<a <23，即所求a 的取值范围是(0，23).1.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f a －f ba －b>0，则必有( )A.函数f (x )先增后减B.f (x )是R 上的增函数C.函数f (x )先减后增D.函数f (x )是R 上的减函数 答案 B 解析 由f a －f ba －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数.2.函数y ＝x 2－6x 的减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[3，＋∞) D.(－∞，3]答案 D解析y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3].3.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则( )A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a＋3)>f(a－2)D.f(6)>f(a)答案 C解析因为函数f(x)是增函数，且a＋3>a－2，所以f(a＋3)>f(a－2).4.函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )A.(－∞，－3)B.(0，＋∞)C.(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案 C解析因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.5.如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________.答案[－1.5,3]和[5,6]解析由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6].1.对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一个单调区间.(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2).(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.2.单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2∈D且x1<x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论.其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号.3.单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断.(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间.(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”.。
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2.1.3 函数的单调性 学案
【预习要点及要求】
1.函数单调性的概念；
2.由函数图象写出函数单调区间；
3.函数单调性的证明
4.能运用函数的图象理解函数单调性和最值
5.理解函数的单调性
6.会证明函数的单调性
【知识再现】
1.22a b -=_____________
2.=-33b a _____________
3.=+33b a _____________
【概念探究】
阅读课本44页到例1的上方，完成下列问题
1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________-
2不看课本，能否写出函数单调性的定义？
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3对区间的开闭有何要求？
4如何理解定义中任意两个字？
5一个函数不存在单调性，如何说明？
6完成课后练习A 第1，2题
【例题解析】
阅读课本例1与例2，完成下列问题
1． 不看课本你能否独立完成两个例题的证明
（1） 证明函数()21f x x =+在R 上是增函数
（2） 证明函数1()f x x
=，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数 2． 根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最
关键的地方是什么？
3有的同学证明1()f x x =
在(0,)+∞上是减函数时是这样证的，你是否认可其作法，为什么？
证明：设120x x <<，则1211x x >，即12()()f x f x >，根据定义可得1()f x x
=在(0,)+∞上是减函数
4完成课后练习A 第3，4题，习题2-1A 第5题
5证明：x
x f 1)(=在),0(+∞和)0,(-∞上均为减函数，并说明)(x f 在整个定义域上是否为减函数？
【典例讲解】
例1．求下列函数的增区间与减区间
(1)y ＝|x 2＋2x －3|
例2．已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：
(1)f(6)与f(4)
例3．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 参考答案：
例1.解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．
先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像
翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像
由图像易得：
递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)
递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]
(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．
当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ．
当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2．
∴增区间是(－∞，0)和(0，1)
减区间是[1，2)和(2，＋∞)
(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．
令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是
在x
∈[－1，1]上是． ∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．
例2．解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为
减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)
时为减函数．
例3．证明：取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．
又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1)
故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
【达标练习】
1若函数b mx y +=在),(+∞-∞上是增函数，那么 （ ）
A.b>0
B. b<0
C.m>0
D.m<0
2函数32)(2
+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于 （ ）
A.-3
B.13
C.7
D.由m 而定的常数
3设函数)(x f 在),(+∞-∞上为减函数，则 ( )
4如果函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f 的取值范围是__________________.
5已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的取值范围是_____________
6证明函数x x x f 1)(+
=在)1,0(上是减函数 【达标练习答案】
1、C
2、B
3、D
4、7)2(-≥f
5．2
10<<a 6．证明：任取)1,0(,21∈x x 且21x x <，
则12x x x -=∆，
)1,0(,21∈x x ∴0<∆y ∴x
x x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。