函数的单调性学案+练习(精华)
函数的单调性学案
3.2函数的性质——单调性班级：姓名：观察天津市2008年11月29日的气温时段图，此图反映了0时至14时的气温T（ Ｃ）随时间t（h）变化的情况．回答下面的问题：（1）时，气温最低，最低气温为 Ｃ，时气温最高，最高气温为°Ｃ．（2）随着时间的增加，在时间段0时到6时的时间段内，气温不断地；6时到14时这个时间段内，气温不断地．下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.从上图可以看到，有些时候该股票的价格随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，即时间增加股票价格反而减小．类似地，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质就是函数的单调性．设函数()y f x=在区间(),a b内有意义．（1）如图（1）所示，在区间(),a b内，随着自变量的增加，函数值不断增大，图像呈上升趋势．即对于任意的()12,,x x a b∈，当12x x<时，都有()()12f x f x<成立．这时把函数()f x叫做区间(),a b内的__________，区间(),a b叫做函数()f x的__________．（2）如图（2）所示，在区间(),a b内，随着自变量的增加，函数值不断减小，图像呈下降趋势．即对于任意的()12,,x x a b∈，当12x x<时，都有()()12f x f x>成立．这时函数()f x叫做区间(),a b内的__________，区间(),a b叫做函数()f x的__________．图（1）图（2）如果函数()f x在区间(),a b内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x在区间(),a b内具有单调性，区间(),a b叫做函数()f x的__________．问题3：（如图）定义在区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，是单调增函数还是单调减函数。
函数的单调性 学案
1.2.6 函数的单调性（1）【学习目标】 １.能举例说明单调函数的意义；2.能运用函数图象观察出单调区间，会运用函数单调性的定义来判断和证明函数在区间上的单调性；３.能运用数形结合的思想来研究数学问题，激发学习数学的兴趣．【学习重点】函数单调性、单调区间的概念，探究函数的单调性及单调区间．【难点提示】理解单调性的本质、单调性的灵活运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1516P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备１、熟悉下列函数吗？请作出它们的图象．（1）1)(-=x x f （2）1)(+-=x x f （3）32)(2--=x x x f2、观察三个函数的图象，指出函数的图象上升与下降的特征以及函数值与自变量的大小变化的规律．（1）函数1)(-=x x f 的图象是 ，而且函数值y 随着x 的增大而 ；（2）函数1)(+-=x x f 的图象是 ，而且函数值随着x 的增大而 ；（3）函数()322--=x x x f 的图象是 ，而且在区间(]1,∞-上函数值随x 的 增大而 ，在区间)(1,+∞上函数值随x 的增大而 ． 二、探究新知 １、函数单调性的概念（1）观察思考 请阅读教材第27至29页的内容，仔细观察图13中的函数图象，找出图象上升与下降的区间，分析函数值随自变量增大有什么变化规律．你能结合学习准备探究的问题，把函数值与自变量之间的大小变化规律抽象出来吗？能用几种方式来描述呢？（2）归纳概括 ① 图形描述：在给定的区间上，函数)(x f y =的图象从左至右，如果是连续上升的，就称y=f （x ）是增函数，如果是 的，就称)(x f y =是减函数；图形描述也可以说是函数的 特征；②定性描述：对于给定区间上的函数)(x f y =，如果函数值随x 的增大而增大，就称函数)(x f 是增函数，如果函数值 ，就称函数)(x f 是减函数；如果函数y=f(x ）在某个区间是增函数或减函数。
函数的单调性学案
§1.3.1 函数的单调性与最值¤知识要点：1. 增函数2．减函数3.函数的单调区间4. 判断函数单调性的步骤问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：例题精讲： 例1．（1） 根据此函数图象，写出该函数的单调区间（2） 写出1(0)y x x=≠的单调区间（3）写出26y x x =-的单调递增区间思考：函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 在(,)a b 上是 . （填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）例2． 判断函数[]2()(2,6)1f x x x =∈-的单调性.小结： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：例3．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，求43x -≤≤时f (x )的最值。
※基础达标1．函数26y x x =-的减区间是（ ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.A. y =－x +1B. yC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3．函数()||()(2)f x x g x x x ==-和的递增区间依次是（ ）.A. (,0],(,1]-∞-∞B. (,0],[1,)-∞+∞C. [0,),(,1]+∞-∞D. [0,),[1,)+∞+∞4．二次函数2()2f x x ax b =++在区间(-∞，4)上是减函数，你能确定的是（ ）. A. 2a ≥ B. 2b ≥ C. 4a ≤- D. 4b ≤-5．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f之间的大小关系为 请将以下题目写在作业本上：1.证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 2. 求证：函数11y x=--在区间(),0-∞上是单调增函数.3.试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.。
高中数学函数的单调性练习题及其答案
函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
函数的单调性及其单调区间练习题含答案
函数的单调性及其单调区间练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，既是(0,+∞)上的增函数，又是偶函数的是( )A.y=1xB.y=2xC.y=1−|x|D.y=lg|x|2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=1x B.y=|x|−1 C.y=lg x D.y=(12)|x|3. 已知函数f(x)＝−x|x|+2x，则下列结论正确的是（）A.增区间是(0, +∞)B.减区间是(−∞, −1)C.增区间是(−∞, 1)D.增区间是(−1, 1)4. 已知函数f(x)=xx−m，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，则实数m的取值范围为（）A.(0, 2)B.(0, 2]C.[2, +∞)D.(2, +∞)5. 函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是（）A.[52,+∞) B.[52,4) C.[4, +∞) D.[1,52),[4,+∞)6. 若函数f(x)={3x,x<0,x2−4x+3,x≥0,则函数的单调递减区间为( )A.[0,2]B.(−∞, 0)C.(−∞,0)和[0,2]D.(−∞,2]7. 下列函数中，即是偶函数又在(0, +∞)单调递增的函数是( )A.y=−x2B.y=|x−1|C.y=2xD.y=|x|−18. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是()A.y=x2+e2B.y=cos x−e xC.y=1x−x D.y=x2−4x9. 题目不难，心中别慌，套路不深，不必当真.下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（ ） A.f(x)=−1x B.f(x)=x 3C.f(x)=|x|D.f(x)=3x +3−x210. 函数f(x)=|x −2|x 的单调减区间是（ ） A.[−1, 0] B.[1, 2] C.[0, 2] D.[2, +∞)11. 已知函数f(x)=xx−2，若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为( ) A.(0, 2) B.(0, 2] C.[2, +∞) D.(2, +∞)12. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2)=0，且f (x )在(0,+∞)上单调递减，则f (−52)，f (133)，f (0)的大小关系为( ) A.f (0)>f (133)>f (−52) B.f (133)>f (0)>f (−52) C.f (−52)>f (0)>f (133)D.f (0)>f (−52)>f (133)13. 下列四个函数中，在(0,+∞)上增函数的是( ) A.f (x )=3−x B.f (x )=(x −1)2 C.f (x )=−1x+1D.f (x )=−|x|14. 函数f(x)=(12)x 2−2x的单调递减区间为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,1)D.(−∞,−1)15. 任意t ∈R +时，f [f (t )−1t ]=2恒成立，函数y =f (t )单调，则f (12019)=( )A.2020B.2019C.12020D.1201916. 函数y =x−5x−a−2在(−1, +∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.a =−3B.a <3C.a ≤−3D.a ≥−317. 若函数f (x )={a x ,x <0,(2a −1)x +3a,x ≥0是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,12) B.(13,12)C.(0,13)D.(0,13]18. f(x)=1x+1的减区间为________．19. 函数f (x )=|x −3|的单调递增区间是________.20. 函数y =√x 2−2x −3的递减区间是________，递增区间是________．21. 已知函数g(x)=x 3+5x ，若g(2a −1)+g(a +4)<0，则实数a 的取值范围为________.22. 已知函数f (x )=−x 2+2ax +3在区间(−∞,4)上是增函数，则实数a 的取值范围是________.23. 函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则m 的范围是________．24. 已知函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），若对任意的x ∈[2, +∞)，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．25. 函数g (x )=ax 2−2ax +1+b (a >0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2，设f (x )=g (x )x(x ≠0).(1)求 a,b 的值；(2)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1,0]上恒成立，求实数k 的取值范围．26. 已知函数f(x)=ax 2+12x+b是奇函数，且f(1)=32． (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f(x)在(−∞, −1]上的单调性，并用定义加以证明；(3)若x∈[−2, −1]，求函数的值域.27. 求函数的单调区间.28. 已知为定义在上的奇函数，且是，.（1）求时，函数的解析式；（2）写出函数的单调区间（不需证明）.29. 已知函数f(x)=x2+ax−2.(1)若函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，求a的取值范围；(2)试判断函数f(x)的奇偶性．30. 若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=(x−1)2在定义域[m, n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m，n乘积mn的取值范围.31. 已知函数f(x)=ax+bx2+1是(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25.(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；(3)若实数t满足f(t+1)+f(t)>0，求t的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性及其单调区间练习题含答案一、 选择题 （本题共计 17 小题 ，每题 3 分 ，共计51分 ） 1.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的翻折变换法则逐一判断每个选项即可． 【解答】解：A .函数y =1x 在(0,+∞)上是减函数，且是奇函数，即A 不符合题意；B .函数y =2x 是非奇非偶函数，即B 不符合题意；C .函数y =1−|x|在(0,+∞)上是减函数，即C 不符合题意；D .对于函数y =lg |x|，当x >0时，有y =lg x ，单调递增；而f (−x )=lg |−x|=lg |x|=f (x ) ，所以f(x)是偶函数，即D 正确． 故选D ． 2.【答案】 B【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明 函数的单调性及单调区间【解析】根据函数单调性和奇偶性定义，逐一判断即可得出结论． 【解答】解：A ，函数y =1x 为奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，不符合题意； B ，函数y =|x|−1为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意； C ，函数y =lg x 不是偶函数，不符合题意；D ，函数y =(12)|x|为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意．故选B ． 3.【答案】 D【考点】分段函数的应用函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断函数的单调性及单调区间【解析】根据题意，函数的解析式变形可得f(x)=1+mx−m，由函数图象变换的规律可得{m>0m≤2，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=xx−m =x−m+mx−m=1+mx−m，由函数y=mx向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位，向上平移1个单位得到，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有{m>0m≤2，则0<m≤2，即m的取值范围为(0, 2]，5.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】解不等式，求出函数的定义域，再根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】令x2−5x+4≥0，解得：x≥4或x≤1，而函数y＝x2−5x+4的对称轴是：x=52，由复合函数同增异减的原则，故函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是[4, +∞)，6.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】首先根据分段函数的解析式画出函数的图象，进一步根据函数函数的图象确定函数的单调区间．【解答】解：函数f(x)的图像，如图所示，二次函数f(x)=x2−4x+3的对称轴为x=2，所以函数的单调递减区间为：(−∞,0)和[0,2] .故选C.7.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：A，令f(x)=−x2，f(−x)=−(−x)2=−x2=f(x)为偶函数，在(0, +∞)上单调递减，不符合题意；B，令f(x)=|x−1|，f(−x)=|−x−1|=|x+1|≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；C，令f(x)=2x，f(−x)=2−x≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；D，令f(x)=|x|−1，f(−x)=|−x|−1=|x|−1=f(x)，是偶函数，在(0, +∞)上单调递增，符合题意.故选D.8.【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】结合二次函数的性质可判断A正确．【解答】解：A，由二次函数的性质可知，y=x2+e2在(0, +∞)是增函数，故A符合题意；B，y′=−sin x−e x，在(0,+∞)上，−e x<−1，−sin x∈[−1,1]，故y′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故C不符合题意；C，y′=−1x2D，y′=2x−4，当x∈(0,2)时，y′<0，故D不符合题意.故选A.9.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数；B．函数是奇函数，在(−∞, +∞)上是增函数，满足条件；C．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件；D．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件．故选B.10.【答案】B【考点】带绝对值的函数函数的单调性及单调区间【解析】画出分段函数f(x)=|x−2|x的图象，数形结合，可得函数的单调减区间．x≤2【解答】解：函数f(x)=|x−2|x={−x2+2x，x<2，x2−2x2，x≥2，的图象如图所示：结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 故选B.11.【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断 函数的单调性及单调区间 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据题意，函数f(x)=xx−2=x−2+2x−2=1+2x−2，由函数y =2x 向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， 若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减， 必有{m >0,m ≥2,则m ≥2，即m 的取值范围为[2+∞)， 故选C . 12.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】【解答】解：∵ f (x )为R 上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减， ∴ f (0)=0.∵ f (−52)=−f (52)且f (2)=0， ∴ f (−52)>0，f (133)<0， ∴ f (−52)>f (0)>f (133)．故选C ．13.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可． 【解答】解：A ，f (x )=3−x 在(0,+∞)上为减函数，不满足条件； B ，f (x )=(x −1)2在(1,+∞)上为增函数，不满足条件； C ， f （x ）=−1x+1在(0,+∞)上为增函数，满足条件；D ，f (x )=−|x |={−x ，x ≥0,x ，x <0,在(0,+∞)上为减函数，不满足条件．故选C. 14. 【答案】 B【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】 无【解答】解：令t (x )=x 2−2x =(x −1)2−1， 则f (t )=(12)t，∵ t (x )在(−∞,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增， 而f (t )在R 上单调递减，∴ f (x )在(1,+∞)上单调递减. 故选B . 15.【答案】 A【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】设m =f(t)−1t，根据y =f (t )单调函数，以及f [f (t )−1t]=2可知，当f (m )=2时，m 的值是唯一的；又f (t )=m +1t ，所以f (m )=m +1m =2，求出m 的值．进而求出y =f(t)的解析式．即可求出结果 . 【解答】解：设m =f(t)−1t ，则f (m )=2. 因为y =f (t )是单调函数， 所以f (m )=2的解m 是唯一的. 又f(t)=m +1t ， 所以f (m )=m +1m =2，解得m =1， 所以f(t)=1+1t ， 所以f (12019)=2020. 故选A ． 16.C【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】由题意可得，当x>−1时，y′=3−a(x−a−2)2≥0，可得{3−a≥0a+2≤−1，由此求得a的范围．【解答】解：y=x−a−2+a−3x−a−2=1+a−3x−a−2∵ 当a<3时，函数y在(a+2，+∞)上单调递增，又函数y在(−1,+∞)上单调递增，∴a+2≤−1，即a≤−3，∴a的取值范围是：(−∞,−3].故选C.17.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间分段函数的应用已知函数的单调性求参数问题【解析】令各段均为减函数，再比较端点值即可求解.【解答】解：由题意得{0<a<1, 2a−1<0, 3a≤1,解得0<a≤13.故选D.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）18.【答案】(−∞, −1)，(−1, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】根据分式函数的性质进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, +∞)，则函数的单调递减区间为(−∞, −1)，(−1, +∞).故答案为：(−∞, −1)，(−1, +∞).19.【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).20.【答案】(−∞, −1],[3, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】先求出该函数定义域为{x|x≤−1, 或x≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y= x2−2x−3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：∵x2−2x−3≥0得x≤−1，或x≥3.∴函数y=x2−2x−3在(−∞, −1]上单调递减，在[3, +∞)上单调递增.∴该函数的递减区间为(−∞, −1]，递增区间为[3, +∞)．故答案为：(−∞, −1]；[3, +∞)．21.【答案】a<−1【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.22.【答案】函数的单调性及单调区间【解析】根据二次函数f (x ) 的对称轴两侧单调性相反，列不等式求出a 的取值范围．【解答】解：函数f (x )=−x 2+2ax +3的对称轴为x =a又f (x )在(−∞,4)上是增函数，所以a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4,+∞)．故答案为：[4,+∞)．23.【答案】[13, +∞) 【考点】函数的单调性及单调区间利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，y ′=3x 2+2x +m ．若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则y ′=3x 2+2x +m ≥0恒成立，则对于方程3x 2+2x +m =0，有Δ=4−12m ≤0，解得m ≥13，则m 的取值范围是[13, +∞)．故答案为：[13, +∞)． 24.【答案】a ≤32 【考点】导数求函数的最值函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】判断函数f(x)是R 上的奇函数，且是增函数；把f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立化为x 2+2≥2ax 恒成立，设g(x)=x 2−2ax +2，利用二次函数的图象与性质，即可求出实数a 的取值范围．解：函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），x ∈R ；且f(−x)=e −x −e x +ln (−x +√x 2+1)=−(e x −e −x )−ln (x +√x 2+1)=−f(x)， ∴ f(x)是上的奇函数.又f′(x)=e x +e −x +1+x √x 2+1x+√x 2+1>0恒成立，∴ f(x)是定义在R 上的单调增函数；若对任意的，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，∴ f (x 2+2)≥−f(−2ax)恒成立，∴ f (x 2+2)≥f(2ax)恒成立，∴ x 2+2≥2ax 恒成立，即x 2−2ax +2≥0在x ∈[2, +∞)上恒成立；设g(x)=x 2−2ax +2，其对称轴为x =a ，且开口向上；应满足{a <2,g(2)=4−4a +2≥0,解得a ≤32.故答案为：a ≤32．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）25.【答案】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2， 不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k . 令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2].记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．【考点】函数的单调性及单调区间二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】无无【解答】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2， 不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k .令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2]. 记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．26.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数， 则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0； 又由f(1)=32，即a+12=32， 即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]．【考点】函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法【解析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，分析可得b 的值，由于f(1)的值求出a 的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得答案；（3）根据题意，由（2）可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数；据此分析可得答案．【解答】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数， 则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0；又由f(1)=32，即a+12=32， 即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]． 27.【答案】单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】根据二次函数对称轴确定单调性．【解答】因为y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4所以函数y =−x 2+2x +3的单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)28.【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【考点】二次函数的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】（1）任取x<0，则−x>0f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x即得解，（2）分析单调性可得f(x)的单调递增区间是[−1,1];单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【解答】（1）任取x<0，则−x>0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x，所以x<0时，函数f(x)=x2+2x（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)29.【答案】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a,+∞)，2又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a,+∞)，2，即−1≥−a2解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】无无【解答】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a2,+∞)，又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a2,+∞)，即−1≥−a2，解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.30.【答案】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).【考点】函数新定义问题函数的单调性及单调区间【解析】【解答】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).31.【答案】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25． 所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b 14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=x x 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．【考点】奇函数函数的单调性及单调区间其他不等式的解法奇偶性与单调性的综合【解析】无无无【解答】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25． 所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=xx 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．。
函数单调性教案练习题
函数单调性教案练习题第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调递增和单调递减的定义。
通过具体例子，让学生理解函数单调性在函数图像上的表现。
1.2 函数单调性的性质讲解函数单调性的几个重要性质，如传递性、同增异减等。
通过例题，让学生掌握如何判断函数的单调性。
第二章：一次函数和二次函数的单调性2.1 一次函数的单调性讲解一次函数的单调性，包括斜率对单调性的影响。
通过例题，让学生理解一次函数单调性的应用。
2.2 二次函数的单调性讲解二次函数的单调性，包括开口方向和顶点对单调性的影响。
通过例题，让学生掌握二次函数单调性的应用。
第三章：复合函数的单调性3.1 复合函数单调性的定义引入复合函数单调性的概念，让学生理解复合函数单调性的定义。
通过具体例子，让学生理解复合函数单调性在函数图像上的表现。
3.2 复合函数单调性的判断方法讲解复合函数单调性的判断方法，如链式法则、乘积法则等。
通过例题，让学生掌握如何判断复合函数的单调性。
第四章：函数单调性与导数的关系4.1 导数与函数单调性的关系讲解导数与函数单调性的关系，如导数为正表示函数单调递增，导数为负表示函数单调递减等。
通过例题，让学生理解导数在判断函数单调性中的应用。
4.2 利用导数研究函数单调性讲解如何利用导数研究函数的单调区间、极值等。
通过例题，让学生掌握如何利用导数研究函数单调性。
第五章：函数单调性的应用5.1 函数单调性在实际问题中的应用通过实际问题，让学生理解函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。
通过例题，让学生掌握如何利用函数单调性解决实际问题。
5.2 函数单调性在证明中的应用讲解函数单调性在证明中的应用，如利用函数单调性证明不等式、证明函数的性质等。
通过例题，让学生理解如何利用函数单调性进行证明。
第六章：函数单调性与图像的关系6.1 函数单调性与图像的走势讲解函数单调性与图像走势的关系，如单调递增的图像呈上升趋势，单调递减的图像呈下降趋势。
函数的单调性第一课时学案-高一上学期数学人教A版
3.2.1 单调性与最大（小）值 第一课时 函数的单调性【学习目标】1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义．2. 会用定义法证明（或判断）函数的单调性。
【重难点】重点：函数单调性的定义难点：增（减）函数的定义，利用增（减）函数的定义判断函数的单调性 【学习过程】导：初中利用图象，研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。
如何用符号语言描述这一性质？思：认真阅读课本7677页内容，思考并回答下列问题： 1. 增、减函数的概念 前提条件设函数()x f 的定义域为I ，区间I D ⊆条件2121,,x x D x x <∈∀都有()1x f ()2x f都有()1x f ()2x f图示结论()x f 在区间D 上单调递增()x f 在区间D 上单调递减特殊情况当函数()x f 在它的定义域上单调递增时，我们就称它为 函数当函数()x f 在它的定义域上单调递减时，我们就称它为 函数【问题1】（1）若I x x ∈21,,当21x x <时，()()21x f x f <，可以说()x f y =在I 上是增函数吗？这反应了21,x x 的什么特征？（2）21,x x 可以在不同区间上取值吗？（3）若()f x 在区间D 上是增函数，且()()12f x f x >,1x 与2x 的大小关系是否确定？若确定，请说出12,x x 的大小关系。
例1、若函数()f x 在R 上为增函数，且()(3)f a f <，求实数a 的取值范围. 一题多变：（1）若本例中条件不变，把“()(3)f a f <”改为“()(23)f a f a >+”求实数a 的取值范围.（2）若把本例中条件“R ”改为“[]1,5-”，其余不变，求实数a 的取值范围 . 认真阅读课本7879页内容，思考并回答下列问题如果函数()x f y =在区间D 上 或 ，那么就说函数()x f 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的 .【问题2】：设A 是区间D 上某些自变量值组成的集合，而且,,21A x x ∈∀当21x x <时，都有()()21x f x f <，我们能说函数()x f 在区间D 上单调递增吗？你能举个例子吗？例2.用定义法证明函数()()kf x k x=为正常数在），（∞+0上单调递减。
苏教版必修一2.4函数的单调性(学案含答案)(完整资料).doc
当0<x1<x2< 时，0<x1x2<a，又x1－x2<0，
∴ ，即 ，
∴函数 在（0， ）上是减函数。
当 <x1<x2时，x1x2>a，又x1－x2<0，
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），
∴函数f（x）在（ ，＋∞）上是增函数。
例题1若函数f（x）＝ 在（－∞，－1）上是减函数，求实数a的取值范围。
二、解答题
9. 设 是定义在R上的函数，对 、 恒有 ，且当 时， 。
（1）求证： ；
（2）证明： 时恒有 ；
（3）求证： 在R上是减函数；
（4）若 ，求 的取值范围。
1. 2 解析：画出 的图象如下：
由图可知， 的最小值是2。
2.
解析：画出分段函数 的图象如下：
而 ，观察图象可知满足 的解集。
3. （1） ；（2）
，即 ，
∴ 在 上是增函数。
技巧点拨：对于抽象函数（未给出具体解析式的函数）的求值问题，需要根据题目给出的已知条件进行灵活赋值，求出需要求的函数值；抽象函数单调性的证明仍然采用单调性的定义以及结合题目已知来进行。
【综合拓展】
巧用函数单调性解不等式
◆解函数不等式问题的一般步骤：
①确定函数f（x）在给定区间上的单调性；
由图可知： ，∴ 。
7. （1） ；（2）
解析：（1）画出符合题意的 的图象如下图：
由图可知：二次函数 的对称轴直线方程为 ，
∴ ， 。
又∵ ，
∴ 。
（2）
画出 的图象如下图：
∵ ，又∵ ，
∴ ，
解得： 。
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第四讲：函数的单调性【学习要求1.从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.自学评价观察函数x x f =)(，2)(x x f =的图象从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的，2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，f (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2)(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2)(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________.讲授新课 函数的单调性※ 增函数、减函数的定义【经典范例】例1 下图是定义在区间[-5，5]上的函数(x f y =根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？ 思维点拔: x)()(21x f x < )()21x f x >例2 证明:函数xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数. 证明:例3 物理学中的玻意耳定律Vkp =（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积 V 减小时，压强p 将增大，试用函数的单调性证明之. 思维点拔: 只需证明函数Vkp =在区间()+∞,0上是减函数即可.归纳:用定义法证明函数单调性的一般步骤:( ) ( ) ( ) ( ) ( )【拓展训练】1.下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )A.y=3xB.y=-x 2C.y=︱x ︱D.y=2x+1 2.函数3)1()(-+=x k x f 在),(+∞-∞上单调递减，则k 的取值范围是（ ） A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1 3.函数1062+-=x x y 在区间（1，4）上为（ ）函数.A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增 4．已知函数)(x f 在（－2，3）上是减函数，则有（ ）A.f(-1)<f(0)B.f(0)<f(2)C.f(1)<f(0)D.f(-1)<f(1) 5．证明函数xx x f 23)(-=在区间)0,(-∞上是增函数.函数单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ）A ．－7B ．1C ．17D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3)二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1． f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。