【专家答疑】如何选择模态激励方式：力锤和激振器
【专家答疑】如何选择模态激励方式：力锤和激振器
问题：结构激励可以通过使用力锤和激振器两种方式来实现。
哪种方式是最好的选择？回答：结构激励以及如何最好地实现是许多行业技术论文的主题。
为了获得最好的效果，用户最好先查阅相关文献。
本文仅仅是一些基本介绍：模态力锤（如Endevco? 2302系列力锤）也许是获得结构性激励最常见的仪器。
模态力锤是最方便的工具，需要极少的设置时间。
尽管对于许多结构也可以实现高测量精度，力锤主要是用于获得粗略数据。
模态力锤对某些参数如频率响应和输入力的控制还有一定的局限性。
例如，力太大会使结构位于非线性区域。
Endevco2302
系列模态力锤符合人体工程学设计，允许用户更好地控制力锤并减少“双击”的次数，并且具有加速度补偿以提高数据准确性。
使用激振器提供结构激励，设置更复杂，然而也有额外的优点，如图1所示。
激振器提供一个可控力，并且可以在非常高的频率下操作。
通过扫频同时监测其响应，用户使用激振器可以准确方便地确定结构的固有谐振频率。
此外，更高频率激振器允许用户评估设计的测试结构的更小尺寸模型。
模态力锤的上限频率约为8kHz，而压电激振器，如Wilcoxon公司的F7-1型激振器，可提供高达80kHz频率。
较大的结构表现出局部模态，因此需要
在几个部位施加力以充分地激发所有模态。
由加速度传感器和力传感器组成的阻抗头，可以观察与结构接触点的力和响应。
这个接触点被称为驱动点阻抗，并通过上述两个信号取得的传递函数导出。
通常复杂的结构在同一频率下表现出双重模态，这种现象通常称为“重根”。
可以通过使用多个激振器这些模态进行分离，因为每个模态将显示出其固有的不同的相角。
对于某些结构，如塑料和复合材料，力锤敲击更容易对其造成损坏，从而优先选择激振器作为激励源。
图1一种结构激励系统，包括Wilcoxon公司的F10型激振器与阻抗头。
该激振器需要功率放大器和信号源方可正常工作。
5.3 振动的激励和激振器
从波形图和频谱图可以看出： 锤帽材料越硬，其敲击力波形图的峰值越高，持 续时间越短，越接近于理想的脉冲函数；而且， 锤帽材料越硬，其敲击力的谱特性图中平坦段的 频率范围越宽。 试验时，应当根据试验对象的特点选择不同的锤 帽，使试验对象的响应有效频率范围处于测力锤 频谱特性的平坦段之内。 脉冲激振测试系统的设备和试验方法都比较简单， 在试验设备上也没有任何附加质量。 这种试验方法结果比较分散，通常进行多次试验， 取试验结果的平均值，并应尽量使每次敲击力近 于不变。
当激振器悬挂于空中作水平方向激振时， 应倾斜角悬挂，如图5.8c所示。 这样一方面可对试验对象2施加固定的预 加载荷，也可使激振器的弹簧工作于水平 段。 在进行低频激振时，应将激振器刚性地安 装在地面或刚性很好的支架上，如图 5.8b所示，并让安装支架的固有频率比激 振频率高3倍以上。
②电磁式激振器——相对式
则动线圈上就感生一个交变电磁力
F = BLi = BLI m cos ωt
式中，L为在气隙中，动线圈被磁场作用的导线的长度； B为气隙中的磁感应强度。 此力通过顶杆1作用于激振对象之上，顶杆和动线圈通 过特制的平板弹簧固定到壳体上。 顶杆加到试件上的激振力，并不等于线圈所产生的电动 力，而是等于电动力和激振器运动部件的弹簧力、阻尼 力、惯性力的矢量差。 在重要的测试中，不能忽略这些力的影响，也不能认为 激振力和线圈电流i成正比。
②脉冲激振 脉冲激振又称锤击法。通常，用一个带有力传感器的 脉冲锤敲击被激对象，同时测量激励和响应。这种方 法具有试验时间短，现场使用的设备简单，在试验对 象上没有附加质量等优点。其主要缺点是：力的大小 不易控制，过小会降低信噪比，过大会引起非线性； 试验结果误差较大，准确度差。 ③阶跃激振 阶跃激振是指被测对象突然受到或消除一恒作用力而 产生自由振动的激振方法。例如，在被测对象选定点 处，用一重量轻、受拉方向刚度大的钢索对被测对象 施加一恒张力，然后突然切断或松脱钢索，就相当于 对被测对象施加一负的阶跃激振力，激起被测对象的 宽带自由振动。对于大型结构件，如建筑物、桥梁等 的激振，就可采用类似的办法。
模态分析方法分类
模态分析⽅法分类模态分析⽅法主要分三类，分别是试验模态分析EMA、⼯作模态分析OMA和⼯作变形分析ODS。
试验模态分析（Experimental Modal Analysis，EMA），也称为传统模态分析或经典模态分析，是指通过输⼊装置对结构进⾏激励，在激励的同时测量结构的响应的⼀种测试分析⽅法。
输⼊装置主要有⼒锤和激振器，因此，试验模态分析⼜分为⼒锤激励EMA技术和激振器激励EMA技术。
激振器激励EMA技术根据激振器的数量⼜分为单点激励多点响应测量技术（SIMO）和多点激励多点响应测量技术（MIMO）。
单点激励多点响应测量技术是指仅使⽤⼀个激振器固定在某测点位置激励结构，测量所有测量⾃由度的响应，经过FFT变换计算频响函数（FRF）。
多点激励多点响应测量技术是指使⽤多个激振器激励结构，测量所有测量⾃由度的响应，经FFT变换计算多输⼊多输出下的频响函数（MIMO-FRF）。
多点激励多点响应测量技术具有输⼊能量更均匀、数据⼀致性更好、能分离出密集模态和重根模态等优点，⼀般在⼤型复杂或轴对称结构模态试验中采⽤该⽅法，效果更理想。
⼒锤激励测量技术分为单参考点锤击技术（SMRT）和多参考点锤击技术（MRIT）。
单参考点锤击技术⼜分为⼒锤固定和⼒锤移动两种⽅式，⼒锤固定时是指⼒锤固定在⼀个位置进⾏锤击，多个响应传感器⼀次或分批次测量结构的响应。
该⽅法同时也属于单输⼊多输出测量技术（SIMO）。
当⼒锤移动时，根据传感器的数⽬，⼜分为单输⼊单输出和单输⼊多输出。
固定的响应传感器为1个时，此时⼒锤移动遍历所有测点，那么时此，对应的是单输⼊单输出⽅式（SISO）。
当固定的传感器数⼤于1时，⼒锤移动遍历锤击所有测点，此时对应的是单输⼊多输出⽅式（SIMO），该⽅式可⽤多输⼊多输出模态识别技术进⾏模态参数识别，能分离出密集模态和重根模态。
⼯作模态分析（Operational Modal Analysis，OMA），也称为只有输出的模态分析，⽽在⼟⽊桥梁⾏业，⼯作模态分析⼜称为环境激励模态分析。
张令弥老师2008年报告 模态试验分析技术
模态试验分析技术的最新发展与应用张令弥教授南京航空航天大学振动工程研究所..江苏联能电子《动态测试技术交流会》江苏扬州，2008年5月24日模态分析技术最新进展与应用现代模态试验与分析的三类技术试验模态分析(Experimental Modal Analysis, EMA)•激振器激励EMA技术•力锤激励EMA技术运行模态分析（Operational Modal Analysis, OMA) 运行响应模态(Operational Deflexion Shape，ODS）试验模态分析(EMA)单点激励多点测量技术(SIMO)。
多点激励多点测量技术（MIMO）验中尤为重要单参考点锤击技术（SRIT）多参考点锤击技术（MRIT）–可用MIMO模态识别技术，能够分离密集模态和重频模态运行模态分析(OMA)••进行模态分析一种新颖模态试验方法:力锤人工随机激励仅用输出测量的模态分析（OMA）模态识别的主要方法现代模态识别三种方法振动测试技术的三个层次振动信号分析振动测量振动模态分析N-Modal EMAN-Modal OMAN-Modal ODSN-Modal软件加速度传感器力传感器N-Update振动模态试验与分析系统数据采集器(YE 6267)力锤激振器是么是满足要求的好模态试验分析系统？•••模态试验与分析技术的应用•机械、结构动态分析与设计•机械、结构振动与噪声控制•机械故障诊断•结构健康监测•航空航天：飞机，火箭，卫星与航天器•旋转机械：发动机，电动机，汽轮机，压缩机，鼓风机…•工程机械：汽车,(整车、零部件)，工程机械•土木工程：桥梁，建筑，水坝，高塔•家用电器：空调，洗衣机，冰箱…….模态试验与分析的主要应用•••••模态分析的现状和未来•现状（好消息！）：•未来（有待努力）：模态试验与分析的应用••Details of the Frame FE Model with JointFE Model of Frame Structure withThin-Wall Component in Front••Modal Testing of Chassis Structure:2-Shaker Excitation & MIMO Modal Analysis振动激励与响应: 瞬态随机(Burst Random)原点与跨点频率响应函数(FRF)FRF曲线拟合FRF曲线拟合:密集模态Modal Testing of Chassis Structure: Identified Modal Frequency & DampingFEM: 12 Modes with Y-direction ExcitationModel Validation via Assembled Structure: Impact Response Time Historyof the Computer Simulation based onUpdated&Test ResultComparison of Deformation from Impact: Computer Simulation& Test ResultComparison of Deformation from Impact: Computer Simulation& Test Result“沿海高速”项目：不中断交通桥梁运行模态分析在桥梁状态评估中的应用沿海高速丁堰桥沿海高速丁堰桥南京和燕路立交桥O M ATime Domain Response实测PSD结果识别结果：模态频率与阻尼比识别结果：振型丁堰桥OMA 试验11227#墩8#墩9#墩试验MAC 计算MAC0.815.716.35116.7360.645.455.8596.1950.740.134.7184.7240.895.443.1543.3330.982.122.1722.2220.900.681.3611.371MAC 值频率误差(%)有限元频率值有限元频率阶数实验频率值实验频率阶数实验振型与有限元模型振型的匹配结果FEM与OMA振型相关（MAC）结果成飞项目：环境振动试验夹具动态优化设计夹具动态优化设计一体化软件系统框图计算机辅助设计与接口夹具动态分析试验与优化设计一体化软件系统运行模态分析(OMA)有限元分析(Nastran) 与接口试验/计算相关分析(COR)计算模型修正(UPD)夹具优化设计(OPT)板梁结构模型计算振型1-6。
锤击法在模态分析技术中的研究
锤击法在模态分析技术中的研究摘要：本文重点介绍了试验模态分析的基本理论和试验建模的基本方法。
并通过一个具体的实例说明了锤击法在结构试验模态分析中的具体应用及其特点。
主题词：力锤，试验建模，模态分析1.引言振动测试与分析的是研究结构振动的一种重要的实验方法。
模态分析是振动测试与分析的一种，它主要是通过某种激励方法，使试验对象产生一定的振动响应，继而通过测振仪器直接测量出激励与系统振动的响应特性或直接测量被测对象运转时的振动特性；然后通过一定的信号处理方法，如统计分析、谱分析、相关分析、频响函数分析等，进而确定被测对象的模态参数，如固有频率、阻尼比、振型等。
模态参数为结构物的固有参数，通过它就可能预言结构在某个频段内，在内部或外部各种振源作用下的实际振动响应，从而为结构的动态设计及故障诊断提供重要依据。
结构动力学研究中实验模态分析是一个重要的方面，而实验模态分析技术的基本过程为频率响应函数的测量和参数识别。
必须同时测出使结构产生振动的激励信号和结构的响应信号，才能得到频率响应函数。
激励的方法通常采用激振器和用锤头敲击。
锤击法相对来说设备简单，使用操作方便，特别适用于现场实验，因而应用范围越来越广泛。
1.锤击法的介绍2.1锤击法的基本原理对结构输入一个脉冲的力信号，激起结构微幅振动，同时测出力信号和响应（f），响应信号的自功信号(位移、速度、加速度）。
求出力信号的直功率谱Svv率谱Sxx （f），和力与响应信号的互功率谱Sv x（f）。
即可得出频率响应函数H（f）和相关函数rFx（f）。
（1）（2）单位理想脉冲，冲击持续时间为无穷小，用数学中的狄拉克函数表示为（3）它的傅里叶变换为（4）在锤击过程中由于材料的弹性，冲击持续时间不可能为无穷小，而是有限时间 ,因为脉冲力也不可能为无限大。
假定冲击过程中相互撞击的材料力为理想弹性体，其数学表达式可近似写作（5）它的傅里叶变换为（6）自功率谱函数（7）总能量W（8）2.2锤击法的注意事项2.2.1传感器的选择和安装由于传感器应用十分广泛，类型多种多样，在各行各业都有应用。
实验技术-汽车驱动电机模态实验
【实验技术】汽车驱动电机模态实验引言随着纯电动汽车的快速发展，驱动电机得到了越来越广泛的应用，电机结构如图1所示。
对于驱动电机而言，它带来便利的同时，也恶化了汽车的驾乘体验，其电磁噪声一直是各大车企和科研院所攻坚克难的对象。
电机气隙中的电磁力首先作用在定子齿表面，经过定子传递至机壳，引起机壳产生振动并向外辐射噪声。
模态分析是研究机械结构固有特性的一种常用方法，根据电机结构模态可以预测和控制电机的振动噪声。
本实验对一电机外壳、定子（铁芯+绕组）和定子进行自由模态实验分析。
图1 汽车驱动电机结构1 实验目的通过激振器激励电机部件，加速度计拾取振动响应，利用软件计算分析，获得汽车驱动电机模态结果。
2 参考标准执行行业或企业标准。
3 实验场地模态实验室，如图2所示，具备有叉式举升机、空气弹簧、弹力绳等辅助设备。
图2 模态实验室4 数据采集系统（1）西门子TestLab数据采集分析系统：最大采样率为204.8KHz；总体动态范围≥150dB，任意通道间干扰≥-120dB；每通道最大分析带宽不低于90kHz；输入幅值精度优于0.2%@1kHz，相位匹配：优于0.2°@1kHz。
（2）PCB三向振动传感器：HT356B21，灵敏度10mV/g，量程±500g pk，频响范围2to10000Hz，温度范围-54 to 141℃，质量4g。
（3）MB激振器：MODAL 50，强制风冷时额定正弦推力：≥220N；自然冷却时额定正弦推力：≥110N，激振器的最大行程：≥25mm；激振器运动部件重量：≤0.25Kg；激振器的工作频率范围：DC-5000Hz；激振器自身的一阶共振频率：＞6000Hz。
（4）其它设备：胶水、胶带、扳手等辅材。
5 实验布置模态实验中的激励方式有两种，力锤和激振器，测试过程示意图如图3所示。
图3试验模态测试示意图本实验选择激振器激励的方式，利用弹力绳对汽车驱动电机部件进行悬吊，以此来模拟自由状态。
锤击法操作指南
锤击法试验操作指南本指南由德国m+p国际公司北京代表处制作。
在SmartOffice中，锤击法试验的基本过程分为如下几个步骤：几何建模、试验设置、锤击操作过程、模态分析和模态模型校验。
目录1. 新建工程 (1)2. 几何模型建立 (1)3 试验参数设置 (3)4 试验操作 (6)5 模态分析部分 (7)6. 模态模型校验 (10)1.新建工程。
2.几何模型建立。
2.1 点击菜单栏上的Analysis，打开下拉菜单，选择Geometry Wizard。
2.2 点击Next，在出现的部件定义页面中输入部件名称，例如beam。
2.3 点击Next，在出现的节点定义页面中定义节点。
2.4 点击Next，在线定义页面中定义线。
方法：使用鼠标左键拾取节点。
提醒：请逐点连接各个节点。
Tips：可按住鼠标左键进行旋转视角；按住Ctrl和左键拖动，平移视角；按住Shift和左键拖动，缩放视角。
2.5 点击Next，在面定义页面中定义面（如有需要）。
2.6 点击Next，进入下一页面。
点击Finish，完成模型。
3试验参数设置3.1选择左侧工具栏上的Configuration，，勾选Impact（锤击法）。
3.2点击Next，输入本次试验设置的名称（任意）。
点击OK3.3Meta data 设置。
点击Next。
3.4 传感器参数设置，定义传感器的类型和技术指标。
其中，对于移动力锤方法， Response 通道的Name定义为模型名字.传感器所在节点编号.方向，例如beam.3.Z；试验开始后，SmartOffice会自动将Excitation的Name从模型名字.起始节点.方向逐次增加到模型名字.最终节点.方向，例如从beam.1.Z到beam.11.Z。
3.5 通道定义。
3.6 采样设置和触发方式选择。
3.7 操作设置，平均次数定义、连击的检测和自动剔除的设定。
3.8 锤击法试验模式选择，移动力锤或移动传感器。
添加需要测量的信号，选中左侧的项目，点击Add（+）->。
模态试验力锤与激振器相关的型号
PCB传感器包括：动态力、动/静态压力、加速度/速度、应变载荷力、扭矩、转速、声学等传感器及压力、振动校准系统。
PCB 加速度传感器352A25,353B16,352A73,353B17压电陶瓷剪切ICP 加速度计具有体积小、重量轻(最小0.2克)、附加质量影响小的特点。
应用于高灵敏度振动测量、高频振动测试、NVH 研究等量程有50g 500g 1000g 2500g 5000g。
PCB 加速度传感器352C33，352C04，353B15，352C67 精密石英剪切ICP加速度计应用于：振动测量、产品测试、结构测试、恶劣环境中的测试、脉冲测量、振动控制等量程50g 100g 250g 500g 1000g。
PCB 加速度传感器356A16，356A01，356B11，356A71 三轴加速度传感器三轴加速度计可同时进行X、Y、Z 轴测量，应用于发动机振动测量、NVH 研究、模态分析、路况测试、飞行测试、包装测试等。
量程5g 、10g 、50g 、100g 、200g 、500g 、1000g、5000g。
冲击PCB加速度传感器350A14，355B12，320C15，357B22电荷型输出加速度计主要应用于高温振动试验、冲击测试、环境实验箱、飞机发动机振动测试、热动力和热传递设备测试、电机、泵和压缩机等振动检测。
电荷式加速度计可兼容电荷放大器和在线放大器，适应482℃的高温环境。
测量范围150g 500g 1000g 1500g 2000g 2300g。
PCB 356B41 三轴坐垫加速度传感器陶瓷剪切结构电压输出型；测量范围±10 g pk 灵敏度100 mV/g 分辨率(1 to 10000 Hz) 0.0002 g rms 频率范围0.5 to 1000 Hz 接头形式1/4-28 4-Pin 重量180 gmPCB130E20传声器，ICP集成放大器麦克风传感器, 45mV/Pa, BNC 连接。
振动的激励与激振设备-西安交通大学
电动式振动台
组成：运动系统---线圈骨架、线圈、连杆、支撑弹簧和台面 磁路系统---励磁线圈（永久磁铁）、环形空气隙和外壳
台面
动圈 路磁
励 磁 线 圈
a
台面
芯杆
励 磁 线 圈
磁路
动圈
b
台面
动圈 路磁
励 磁 线 圈
c
电动式振动台
工作原理：利用带电导体在磁场中受到磁场力的 作用而产生运动。当由励磁电源供以直流电流后， 就在磁路的环形气隙中形成一个强大的恒定磁场， 信号发生器产生交变信号，经功率放大器放大后， 输入到动圈，它与磁场作用即产生一个交变的力， 推动可动系统运动。若输入电流呈简谐变化时， 则力的大小为：
瞬态激振
（3）阶跃（张弛）激 振 阶跃激振的激振力来自一根刚度大、重量轻的弦。试验时，在激振点处，由
力传感器将弦的张力施加于 被测对象上，使之产生初始变形，然后突然切断 张力弦，这相当于对被测对象施加一个负的阶跃激振力。阶跃激振属于宽带 激振， 在建筑结构的振动测试中被普遍应用。
随机激振
随机激振是一种宽带激振，一般用纯随机、伪随 机或猝发随机信号为激励信号。
随机激振
2、在工程上，为了能够重复试验，常采用伪随机信号作为 测试信号，把它作为测试的输入激励信号。伪随机信号是 一种有周期性的随机信号，将白噪声在时间T（单位为s） 内截断，然后按周期T重复，即形成伪随机信号。伪随机 信号的自相关函数与白噪声的自相关函数相似，但是它有 一个重复周期T，即伪随机信号的自相关函数 Rx(t)在τ =0,
绝对式电动激振器的安装一
电动激振器主要用于对被激对象作绝对激振，因而在激振 时最好让激振器壳体在空间保持基本静止，使激振器的能 量尽量用于 对被激对象的激励上。为此，激振器的安装要 能满足这一要求。当要求作较高频率的激振时，激振器用 软弹簧悬挂起来，并加上必要的配重，以尽量降低悬挂系 统的固有频率，使它低于激振频率1/3以上。低频激振时则 将激振器刚性地安装在地面或刚性很好的架子上。在很多 无法找到安装激振器的参考物场合，可将激振器用弹簧支 撑在被激对象上。此方法仅适合用于被测对象的质量远远 超过激振器质量，且激振频率大于激振器安装固有频率的 振动试验。
基于切削激励的数控机床模态分析方法研究综述——蔡辉
（2）使用范围更广
OMA方法不受结构尺寸影响，对于，如飞机、楼房、大坝和机床等大型结构 和硬盘、光纤等极微小的结构均有效。
（3）识别方法丰富
OMA既可以在时域进行，亦可以在频域进行。 ITD
时域 LSCE NExT
识别方法
频域 峰值提取 FDD
时频
小波分析科 恩类变换
数控机床模态分析方法研究关键问题和方向
3）当量静刚度k P / Amax 1/ 2
—P 为激振力，Amax为共振振幅。
4）动刚度kd P / A k 1 2 2 2
—λ=ω/ωn为频率比, ω为激振频率。 5）动态柔度W = 1/kd。 从动态特性的主要指标可以看出, 系统的动刚度取决于系统 的静刚度、激振力的大小、频率、系统本身固有的质量、阻尼比、 固有是以一定假设条件 （如线性、定常、稳定性等）为前提， 以一定理论（如线性振动理论）为基础， 通过振动实验激励被测结构或样机，并 同时测试结构或样机的输入输出信号 （或只测试输出响应信号），采用参数 识别方法建立结构的模态参数模型，研 究结构的动态特性。这些模态参数包括 固有频率、模态阻尼比和模态振型等。 模态分析实验概貌如右图。
行数据采集并常常要估计频响函数。 载—释放激励、环境激励等。
步骤三是系统识别，即根据测量出 来的输人输出数据确定系统的振动 特性。步骤四是对所获得的识别结 果进行验证。
单模态识别 ➢ 识别方法 多模态识别
分区模态识别
传统激励方法比较
激振器
电动式
电液式
力锤
预载—释放
适 用
常规结构
大型和超大型结 构
特别适用于质量较轻、 比较刚硬的结构（如压 缩机叶片、钣金部件，
③非参数模型
基于激振器激励形式的模态分析
基于激振器激励形式的模态分析我的看法：以激振器作为激励形式对机床进行模态分析，查找出机床部件中容易激发模态的位置和方向。
首先位置本身是未知的，需要采取手段来查找，先明确查找手段（即激振器、传感器的布置方式），然后才能确定容易激发模态的位置。
您说的先明确容易激发模态的位置和方向，然后再考虑激振器、传感器的布置是否具有可操作性，方便安装与否。
是不是说容易激发模态的位置和方向是直接引用前人的结论成果即可。
然后再考虑这个测试手段如何实现的问题。
但是前人针对机床的模态分析给出的结论性成果一般是原则性的，并不具体。
以下是我的调研：使用激振器的优缺点：优点：相对力锤，激振器可以施加不同形式的激励，包括：随机、猝发随机、正弦扫频和数字步进正弦。
缺点：相对力锤，激振器与施加激励对象直接接触，附加的质量、刚度会对激励对象造成影响；激振器测试过程中，移动加速度计亦会引起明显差异，加速度计的质量相对于结构的总质量可能非常小，但是它的质量相对于结构不同部分的有效质量可能又非常大。
实验模态分析的理论基础：经过拉普拉斯变换后，力的平衡方程为：0,M-s2+,C-s+,K-1*X(s)+=*F(s)+=>,B(s)-*X(s)+=*F(s)+(1) [M]，[C]和[K]分别表示质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，并且这些矩阵都是对称阵。
因此，系统矩阵[B(s)]也是对称阵。
[B(s)]的逆矩阵是系统的传递函数。
,B(s)-−1=,H(s)-=adj,B(s)-det,B(S)-=,A(s)-det,B(s)-(2)令s=jw则有：,H(s)-s=jw=,H(jw)-=∑(,A k-(jw−P k)+[A k∗](jw−P k∗))mk=1(3)频响函数矩阵中的单个元素可以写成：ℎij(jw)=∑(a ijk(jw−P k)+a ijk∗(jw−P k∗))mk=1(4)因为[M]，[C]和[K]是对称阵，所以[B(s)]和[H(s)]也是对称阵。