Markov链
马氏链方程 markov
马尔可夫链（Markov Chain）是一种数学模型，用来描述一系列事件，其中每个事件的发生只与前一个事件有关，而与之前的事件无关。
这种特性被称为“无后效性”或“马尔可夫性质”。
马尔可夫链常用于统计学、经济学、计算机科学和物理学等领域。
在统计学中，马尔可夫链被用来建模时间序列，如股票价格或天气模式。
在经济学中，马尔可夫链被用于预测经济趋势。
在计算机科学中，马尔可夫链被用于自然语言处理、图像处理和机器学习等领域。
在物理学中，马尔可夫链被用于描述粒子系统的行为。
马尔可夫链的数学表示通常是一个转移概率矩阵，该矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
对于给定的状态，转移概率矩阵提供了到达所有可能后续状态的概率分布。
马尔可夫链的一个关键特性是它是“齐次的”，这意味着转移概率不随时间变化。
也就是说，无论链在何时处于特定状态，从该状态转移到任何其他状态的概率都是相同的。
马尔可夫链的方程通常表示为：P(X(t+1) = j | X(t) = i) = p_ij其中，X(t)表示在时间t的链的状态，p_ij表示从状态i转移到状态j的概率。
这个方程描述了马尔可夫链的核心特性，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。
马尔可夫链的一个重要应用是在蒙特卡罗方法中，特别是在马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法中。
MCMC 方法通过构造一个满足特定条件的马尔可夫链来生成样本，从而估计难以直接计算的统计量。
这些样本可以用于估计函数的期望值、计算积分或进行模型选择等任务。
总之，马尔可夫链是一种强大的工具，用于建模和预测一系列相互关联的事件。
通过转移概率矩阵和马尔可夫链方程，可以描述和分析这些事件的行为和趋势。
第6讲 第4章马尔科夫链
P=
2 1/3 1/3 1/3 0 0
3
0
1/3 1/3 1/3
0
1
2
345源自4 0 0 1/3 1/3 1/3
5 0 0 0 0 1
.
称状态 5 为吸收态。 吸收态是位于对角线上的概率1所对应的状态。 吸收态也是马尔科夫链研究的一个问题。 ---- 但是本教材对此不作过多讨论
.
例4.3 无限制随机游动
质点在数轴的整点上做随机游动，每次移动一格，向 右移动概率为p，向左移动概率为q（p+q=1）， X n 表 示质点在n时所处的位置，则 Xn 是一齐次马尔科夫链， 写出一步和k步转移概率。
解 状态空间I={0,±1,±2,…}
pi,i1 p,
pi,i1 q,
M M M M L
L
0
p
L
P L q 0 p
L
q
0
p
L
MMMM
.
例4. 生灭链
某种生物群体在n时刻的数量为 X n ，n时刻有 量时，到n+1时刻增加到 i 1 个数量的概率为
i 个数
bi ，
减少到 i 1 个数量的概率为 ai ，保持数量不变的概
率为 ri 1 ai bi 。 a0 0
则 Xn ,n 0 是齐次马尔科夫链。
状态空间I={0, 1，2,…}
P X 0 i0 P X n1 i1 | X 0 i0 L P X nm im | X 0 i0 ,L X nm1 im1
在甲获得1分的情况下, 再赛2局比赛结束的概率： p(1 r) .
.
注1：为方便，我们也可把这5个状态依次用序号表示。
比如 p23表示：甲现处于第二个状态，一步后变为第3
markov链法 -回复
markov链法-回复什么是Markov链法？Markov链法是一种用于模拟和预测随机过程的数学工具。
它基于马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，而不依赖于过去的状态。
Markov 链法可以通过转移矩阵、状态概率分布和状态转移图等方式来描述和分析状态之间的转移关系。
它在许多领域中得到广泛应用，如金融市场预测、自然语言处理、天气预报等。
Markov链法的基本概念是状态和状态转移。
一个系统可以被划分为不同的状态，每个状态有一定的概率转移到其他状态。
这种状态转移的规律可以用转移矩阵表示，即一个N×N的矩阵，其中N是状态的数量。
矩阵中的每个元素代表从一个状态转移到另一个状态的概率。
在每个时间步骤中，系统会根据当前状态和转移矩阵的概率分布，随机决定下一个状态。
在使用Markov链法建模时，首先需要定义系统的状态集合和初始状态分布。
状态集合表示系统可能出现的所有状态，初始状态分布表示系统在初始时刻各个状态的概率分布。
然后，需要定义状态转移矩阵，该矩阵描述了从一个状态到另一个状态的概率。
通过多次状态转移，可以模拟系统的演化过程。
Markov链法有许多应用。
在金融市场预测中，可以使用Markov链法建立模型来预测股票价格的未来走势。
通过观察历史市场数据，可以估计状态转移矩阵，并用此矩阵来预测未来的市场状态。
在自然语言处理中，Markov链法可以用于生成文本。
通过观察大量文本的词语出现概率，可以建立状态集合和状态转移矩阵，从而模拟生成具有相似语言风格的新文本。
然而，Markov链法也有一些局限性。
它假设未来状态只受当前状态影响，而不受过去状态的影响。
这种假设在某些情况下可能不成立，尤其是在存在长期依赖关系或非马尔可夫性质的系统中。
此外，Markov链法通常需要大量的观测数据来估计状态转移矩阵，而且在状态转移概率变化较快的情况下，模型可能无法准确预测未来状态。
在应用Markov链法时，需要谨慎处理模型选择和参数估计。
Markov链
只要知道初始概率和一步转移概率就可以描述 马尔可夫链的统计特性
例4.1：无限制随机游动。 设质点在数轴上移动，每次移动一格，向右 移动的概率为p,向左移动的概率为q 1- p，这种 运动称为无限制随机游动，以X n 表示时刻n质点 所处的位置，则{ X n , n T }是一个齐次马尔可夫 链，试写出它的一步和k步转移概率。
定义4.8：若i , 则称常返状态i 为正常返的。 若i＝, 则称常返状态i 为零常返的。非周期的 正常返态称为遍历状态。
( f ij( n )与pijn )关系如下： ( 定理4.4： pijn )＝ fij( k ) p (jjn k )＝ f ij( n k ) p (jjk ) k 1 k 0 n n
i常返的等价定义： 定义4.7：i常返 fii 1 定理4.6：i常返 gii 1; i 非常返则gii 0 定理4.5：i常返 n 0 pii
(n)
定理4.7 设 i 常返且有周期d，则 lim pii
n
( nd )
d
i
推论 设i常返，则
( (1) i 零常返 lim piin ) 0 n
bi , pij ri a i
j i 1 j i j i 1
4.2 状态的分类
一、状态的分类
依概率性质对状态进行分类。 自状态1出发再返回状态1的可能步数（时 刻）为T＝{4, 6, 8, 10.……}，最大公约数 为2.但2不属于T，好由1出发经两步不能返 回1.把2定义为状态1的周期。
x y k 从而， x y j i k ( j i) k ( j i) x , y 2 2 由于x, y都只能取整数，所以k ( j i ) 必须是偶数。又在k步中哪x步向右，哪y步 向左是任意的，选取的方法有ckx 种。于是 P
连续时间Markov链
02
03
特性
转移密度函数具有非负性、积分归一 化、连续性。
03
连续时间Markov链的特 性
无记忆性
定义
连续时间Markov链的无记忆性是指，给定当前状态，过去的状态 对未来的状态没有影响。
数学表达
如果一个连续时间Markov链满足无记忆性，则未来状态的条件概 率分布只依赖于当前状态，与过去状态无关。
公式
$P_{ij}(t) = P(X(t)=j|X(0)=i)$，表示从状态i在时 间t转移到状态j的概率。
3
特性
转移概率具有时齐性、可加性、非负性。
转移密度函数
定义
转移密度函数描述了Markov链从一个状态转移到其他所 有状态的概率分布。
01
公式
$f_{ij}(t) = frac{d}{dt}P_{ij}(t)$，表示 从状态i到状态j的转移概率密度。
应用领域的拓展
生物信息学
将连续时间Markov链应用于基因表达、蛋白质相互作用等生物 信息学领域，以揭示生物过程的动态机制。
金融市场分析
利用连续时间Markov链对金融市场的复杂动态进行建模，以预 测市场趋势和风险评估。
社交网络分析
研究社交网络中用户行为的连续时间Markov链模型，以揭示用 户行为的动态模式和社区结构的演化。
直接模拟
通过直接模拟系统状态转移过程，适用于状态空间较 小且转移速率已知的情况。
计算转移概率
转移速率矩阵
01
根据已知的转移速率计算转移速率矩阵，用于描述状态之间的
转移关系。
稳态转移概率
02
在长期观察下，通过转移速率矩阵计算稳态转移概率，用于描
述系统在长期运行下的状态转移规律。
马尔可夫链
Pij n = fij lPjjn-l l =1
其中Pjj0 = 1
4.2 马尔科夫链的状态分类
2、首达时刻
定义2 设i I,称 Ti minn : Xn i,n 1
为首次进入i的时刻,称Ti为状态 i的首达时刻。
约定当右边的集合为空集（即对任意n 1,
Xn i)时，Ti .
由于Ti可取为,因此它不是通常意义下的 随机变量，称其为广义实值随机变量。易见
定义1 首达概率设PX0 i 0,对j I,称
fijn Xn j, Xk j, k 1, 2,L , n 1 X0 i , n 1
为Markov链Xn ,n 0自状态i出发，经n步首次到达
状态j的概率，简称首达概率。
4.2 马尔科夫链的状态分类
U 记fij
P
Xn
j, Xk
iE
它表示Markov链中质点自状态i出发，首次返回i所需要的平均
转移步数（或平均返回时间）。称i为状态i的平均返回时间。
例1 Markov链的状态空间为E=1,2,L 9,
一步转移概率矩阵为
4.2 马尔科夫链的状态分类0 1 30
0
2 3
0
0 1
0
0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
kn1 j
k1I kn1I
(3) 由n步转移概率的定义可得
Pijn P Xn j X0 i
n
P U Xl j, X k j, k 1, 2,L ,l 1, X n j X 0 i l 1
4.2 马尔科夫链的状态分类
n
P Xl j, X k j, k 1, 2,L ,l 1 X 0 iPX n j Xl j
第5章 Markov链
������, ������ ∈ ������; ∀������ ∈ ������ 为随机矩阵 ，若 ������������������ ≥ 0(������, ������ ∈ ������) ，且对
定义 5.1.4 称矩阵 ������ = ������������������ ∀ ������ ∈ ������，有
0 0 0 0
11
5.1 基本概念
例 5.1.8 （Wright-Fisher 遗传模型）基因控制着生物的特征，它们是成 对出现的．控制同一特征的不同基因称为等位基因，记这对等位基因为 ������和������ ， 分别称为显性的与隐性的．在一个总体中基因������和������ 出现的频率称为基因频率， 分别记为������和1 − ������． 设总体中的个体数为2������，每个个体的基因按基因������的基因频率的大小，在下 一代中转移成为基因 ������．即如果在第 ������ 代母体中基因������出现了 ������ 次，基因 ������ 出现了
6
5.1 基本概念
例 5.1.3 在任意给定的一天，加里的心情或者是快乐的(cheerful，C)，或 者是一般的(so-so，S)，或者是忧郁的(glum，G). 如果今天他是快乐的，则明天 他分别以概率 0.5，0.4，0.1 是 C，S，G．如果今天他感觉一般，则明天他分别 以概率 0.3，0.4，0.3 为 C，S，G．如果今天他是忧郁的，则明天他分别以概率 0.2，0.3，0.5 为 C，S，G． 以 ������������ 记加里在第 ������ 天的心情， 则 ������������ , ������ ≥ 0 是一个三个状态的马尔可夫链 (状态 0=C，状态 1=S，状态 2=G)，具有转移概率矩阵 0.5 ������ = 0.3 0.2 0.4 0.4 0.3 0.1 0.3 0.5
马尔科夫链
4.隐含状态转移概率矩阵A。 描述了HMM模型中各个状态之间的转移概率。 其中Aij=P(Sj|Si),1≤i,,j≤N. 表示在t时刻、状态为Si的条件下，在t+1时刻状态是 Sj的概率。 5.观测状态转移概率矩阵B（ConfusionMatrix） 令N代表隐含状态数目，M代表可观测状态数目，则： Bij=P(Oi|Sj),1≤i≤M,1≤j≤N.表示在t时刻、隐含状态是 Sj条件下，观察状态为Oi的概率。
隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model， HMM）是统计模型，它用来描述一个含有隐含 未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的 参数中确定该过程的隐含参数。然后利用这些参 数来作进一步的分析，例如模式识别。 在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说 是直接可见的。这样状态的转换概率便是全部的 参数。而在隐马尔可夫模型中,状态并不是直接可 见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每 一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布。 因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些 信息。
隐马尔可夫模型状态变迁图 x — 隐含状态 y — 可观察的输出 a — 转换概率（transition probabilities） b — 输出概率（output probabilities）
1.隐含状态S 这些状态之间满足马尔可夫性质，是马尔可夫模型中实际所 隐含的状态。这些状态通常无法通过直接观测而得到。（例 如S1、S2、S3等等) 2.可观测状态O 在模型中与隐含状态相关联，可通过直接观测而得到。(例 如O1、O2、O3等等，可观测状态的数目不一定要和隐含 状态的数目一致。） 3.初始状态概率矩阵π 表示隐含状态在初始时刻t=1的概率矩阵，(例如t=1时， P(S1)=p1、P(S2)=P2、P(S3)=p3，则初始状态概率矩阵 π=[p1p2p3].
马尔可夫链算法总结
马尔可夫链算法总结马尔可夫链算法（Markov Chain）是一种基于概率的算法，用于描述具有随机性的过程，如自然语言处理、图像处理和机器学习等领域。
本文将对马尔可夫链算法进行一些总结和介绍。
一、什么是马尔可夫链马尔可夫链是一种数学模型，可以在离散时间内表示随机事件的演化过程。
其特点是未来状态只与当前状态相关，而与过去状态无关。
因此，马尔可夫链可以用一个状态转移矩阵来描述状态之间的转移。
具体来说，设状态集合为S={S1，S2，...，Sn}，转移概率矩阵为P={p(i,j)，i,j=1,2,...,n}，其中p(i,j)表示从状态Si到状态Sj的概率。
二、马尔可夫链的应用马尔可夫链广泛应用于自然语言处理和机器学习等领域。
例如，文本生成可以使用马尔可夫链来预测下一个单词可能出现的概率，从而生成一篇新的文章；图像处理可以使用马尔可夫链来处理分割和分析，提高图像处理的精度；机器学习可以使用马尔可夫链来进行决策，从而提高计算机自动化决策的能力。
三、马尔可夫链算法的工作原理马尔可夫链算法的工作原理是通过给定的状态集合和转移概率矩阵，计算从起始状态到结束状态的概率。
具体来说，假设给定状态序列S={S1，S2，...，Sn}，则S的概率为P(S)=p(1,2)p(2,3)...p(n-1,n)，即从S1到Sn的转移概率。
从而，马尔可夫链算法可以用于计算任意状态的概率，并进一步预测未来状态。
四、马尔可夫链算法的优势马尔可夫链算法具有很多优势。
首先，它可以处理大规模、复杂的随机事件，如文字、数字或图像。
其次，它可以根据已知的状态序列预测未来状态。
最后，它可以处理概率模型，并进行精确的计算。
因此，马尔可夫链算法在自然语言处理、机器学习和图像处理等领域具有广泛应用前景。
总之，马尔可夫链算法是一种基于概率的重要算法，广泛应用于自然语言处理、机器学习和图像处理等领域。
本文对其进行了一些总结和介绍，希望能够对读者了解马尔可夫链算法有所帮助。
连续时间Markov链
q11 q12 ... q1i ...
q21
q22 ... q2i ...
Q ...
... ... ... ...
qi1 ...
Hale Waihona Puke qi2 ... qii ...
称为连续时间Markov链的Q-矩阵. 当矩阵元素满足
qii ｊi qij 时，称该矩阵为保守的.
补充说明: Q-矩阵就是转移矩阵的密度矩阵.
P(X st j, X0 i) P(X0 i)
P( X 0 i, X t k, X st j)
kS
P(X0 i)
P( X 0 i, X t k) P( X 0 i, X t k, X st j)
kS P( X 0 i)
P(X0 i, Xt k)
ｊＳ pik (t) pkj (s).
定理:
(1) lim 1 t 0
pii (t) t
qii
;
(２) lim t 0
pij (t) t
qij＜
．
注: (1) 由定理易知：(ａ) qii pii(0); (b)qij pij(0)
(2) qij 称作从状态i转移到j的转移概率.
推论: 对有限状态的时齐连续时间的Markov链，有
上面的定理给出 pij (t) 的概率性质, 接下来我们讨论它的
分析性质，即把 pij (t)看作是t的函数，再考虑这个函数 的性质.
Go on
定理: 对给定的i, jS, pij(t)是关于t ( 0)的一致连续函数.
证明：由上定理中的(3), 知
pij (t h) pij (t) kＳ pik (h) pkj (t) pij (t) ki pik (h) pkj (t) pij (t)(1 pii (h)),
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4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义 称条件概率 p P{Xm+n=j|Xm=i} 为马尔可夫链{Xn，nT }的n步转移概 率(i,jI, m0, n1)。 ( n) • n步转移矩阵 P( n) pij 其中 p
( n) ij
( n) ij =
0, p
jI
(1)
( n) ij
1, i , j I
P(n)也为随机矩阵
当n 1时, p
(1) ij
pij , P
(0) ij
P
当n 0时，规定p
0 , i j 1 , i j
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定理4.1 设{Xn，nT }为马尔可夫链， 则对任意整数n0,0l<n和i,jI，n步转 ( n) 移概率 pij 具有性质 (1) p (2) p
n n p1· (n) pi pin p p p p 1 1 11 2 21 iI
n n p 2 (n) pi pin2 p1 p12 p2 p22 iI
PT(n)=PT(0)P(n)
n n p11 p12 （p1 (n)，p2 (n)） （p1，p2） n n p p 21 22
若星期一、星期二均下雨，求星期四下雨 的概率
4.1
马尔可夫链与转移概率
•定理4.3 设{Xn，nT }为马尔可夫链， 则对任意整数i1, i2,,inI和n1 ，有性质 P{X1 i1 ,, X n in } pi pii1 pi1i2 pin1in 证 P{ X i ,, X i } iI
P{ X 0 i , X 1 i1 ,, X n in } P{ X 0 i}P{ X 1 i1 | X 0 i}
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 转移概率性质
(1) pij 0, i , j I P称为随机矩阵 (2)
p11 p21 P pm 1
p12 p22
p1n p2 n pmn
ij
pm 2
p
jI
1, i I
例 具有吸收壁和反射壁的随机游动 状态空间{1,2,3,4}，1为吸收壁，4为反射壁 状态转移图 状态转移矩阵
1
1
1 3 1 3
1 3
2
1 3
1
4
1 3
3
1 3
1 0 0 0 1 1 1 3 3 3 0 P 1 1 0 1 3 3 3 0 0 1 0
iI iI 1 1 n n
pi pii1 pi1i2 pin1in
iI
P{ X 2 i2 | X 1 i1} P{ X n in | X n1 in1}
4.1 马尔可夫链与转移概率
例4.3 天气预报问题 RR表示连续两天有雨，记为状态0 NR表示第1天无雨第2天有雨，记为状态1 RN表示第1天有雨第2天无雨，记为状态2 NN表示连续两天无雨，记为状态3 p00=P{R今R明| R昨R今}=P{R明| R昨R今}=0.7 p01=P{N今R明| R昨R今}=0 p02=P{R今N明| R昨R今}= P{N明| R昨R今}=0.3 p03=P{N今N明| R昨R今}=0
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为 马尔可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步转移 概率，简称转移概率，其中i,jI。 • 定义 若对任意的i,jI，马尔可夫链 {Xn,nT }的转移概率pij(n)与n无关，则称 马尔可夫链是齐次的，并记pij(n)为pij。 • 齐次马尔可夫链具有平稳转移概率， 状态空间I={1, 2, 3, }，一步转移概率为
( n) ij
p p
(3)
k1I kn1I P(n)=PP(n-1)
( n) ij
kI
(l ) ik
( n l ) kj
p
ik1
pk1k2 pkn1 j
(4) P(n)=Pn
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义
• 初始概率 p j P{X 0 j}
• 绝对概率 p j (n) P{X n j}
4.1 马尔可夫链与转移概率
随机过程{Xn，nT }， 参数T={0, 1, 2, },状态空间I={i0, i1, i2, } 定义 若随机过程{Xn，nT }，对任意nT和 i0,i1,,in+1 I，条件概率 P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,,Xn=in} = P{Xn+1=in+1|Xn=in}， 则称{Xn，nT }为马尔可夫链，简称马氏链。
p ( n ) p p j i (1)
iI
( n) ij
(2) p j (n)
(3)
iI PT(n)=PT(0)P(n)
p (n 1) p
i
ij
(4) PT(n)= PT(n-1)P
例如，设马氏链的状态空间I={1,2}，那么时刻n的绝 对概率分布 PT (n)=(p1(n), p2(n)) 应满足
4.1 马尔可夫链与转移概率
类似地得到其他转移概率， 于是转移概率矩阵为
p00 p10 P p20 p 30 p01 p11 p21 p31 p02 p12 p22 p32 p03 0.7 0 0.3 0 p13 0.5 0 0.5 0 p23 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 p33
• 初始分布
• 绝对分布
• 初始概率向量 p (0) ( p1 , p2 ,)
T
p , j I p (n) , j I
j j
T
• 绝对概率向量 p (n) ( p1 (n), p2 (n),)
4.1 马尔可夫链与转移概率
定理4.2
•设{Xn，nT }为马尔可夫链，则对任意 整数jI和n1 ，绝对概率pj(n)具有性质