2.1.2对数函数及其性质
对数函数与指数函数
对数函数与指数函数对数函数与指数函数是高中数学中的两个重要概念，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将对对数函数与指数函数的定义、性质以及它们之间的关系进行探讨。
一、对数函数的定义与性质对数函数是指以某个正数为底数，使指数为某一给定数的幂等于一个给定数的函数。
通常表示为“log”。
1.1 对数函数的定义以正数a(a≠1)为底数，正数x为真数，表示为logₐ(x)。
其中，a为底数，x为真数，log为对数。
1.2 对数函数的基本性质（1）logₐ(xy) = logₐx + logₐy（2）logₐ(x/y) = logₐx - logₐy（3）logₐ(x^p) = p·logₐx（4）logₐa = 1（5）logₐ1 = 0以上是对数函数的一些基本性质，对数函数还具有域、值域以及单调性等性质，但由于篇幅限制无法一一讨论。
二、指数函数的定义与性质指数函数是以某个正数为底数，幂为自变量，函数值为因变量的函数。
通常表示为“a^x”。
2.1 指数函数的定义以正数a(a≠1)为底数，实数x为幂，表示为a^x。
其中，a为底数，x为幂。
2.2 指数函数的基本性质（1）a^x · a^y = a^(x+y)（2）a^x / a^y = a^(x-y)（3）(a^x)^y = a^(xy)（4）a^0 = 1（5）a^1 = a以上是指数函数的一些基本性质，指数函数还具有增减性、奇偶性以及图像特点等性质，但同样由于篇幅限制无法一一展开。
三、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数是互为反函数的关系，可以相互转化。
3.1 对数函数与指数函数的转化关系设y = logₐx，则x = a^y。
对数函数与指数函数之间的转化关系可以通过这个等式得到。
3.2 对数函数与指数函数的图像关系由于对数函数与指数函数之间是互为反函数的关系，它们在直角坐标系中的图像关系也是互为镜像。
对数函数的图像是指数函数图像关于直线y = x的镜像。
对数总结知识点
对数总结知识点一、对数的定义1.1 对数的基本概念对数是指数的倒数，它描述了某个数在底数为固定值时的指数。
设a和b是两个实数，并且a>0且a≠1，若a的x次幂等于b，即a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。
其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为指数。
对数的底数a通常取2、e或者10。
1.2 对数的特性对数有几个重要的特性：（1）当b=a^1时，对数的值为1，即loga(a)=1；（2）当b=1时，对数的值为0，即loga(1)=0；（3）当b=a^0时，对数的值不存在，即loga(0)是无意义的，因为0没有对数；（4）当b=a^(-1)时，对数的值等于-1，即loga(a^(-1))=-1；（5）当a=1时，对数不存在，因为1的任何次幂都是1，没有唯一的对数。
以上就是对数的基本概念和特性，通过这些概念，我们可以初步了解对数的意义和性质。
接下来，我们将介绍对数的性质和运算规则。
二、对数的性质和运算规则2.1 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质在对数的运算中起着重要的作用。
下面我们来介绍对数的性质：（1）对数的反函数性质：指数函数和对数函数是互为反函数的，即a^loga(x)=x，loga(a^x)=x；（2）对数的除法性质：loga(x/y)=loga(x)-loga(y)，即对数的商等于对数的差；（3）对数的乘法性质：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，即对数的积等于对数的和；（4）对数的幂性质：loga(x^k)=k*loga(x)，即对数的幂等于指数与对数的乘积。
通过以上性质，我们可以在对数的运算中简化表达式，更方便地进行计算和推导。
接下来，我们来介绍对数的运算规则。
2.2 对数的运算规则对数的运算规则主要包括：换底公式、对数的乘除法、对数的幂运算等。
（1）换底公式：当底数相同时，不同的对数可以相互转化，即loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数，且a≠1，c≠1。
2.2.2.1 对数函数的图象及性质
比较下列各组数中两个值的大小： 例2 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4,log28.5 (2) log0.31.8,log0.32.7 a＞0,且 (3) loga5.1,loga5.9 ( a＞0,且a≠1 ) 解:⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,所以它 因为它的底数2 1,所以它 考察对数函数y=log x,因为它的底数 在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4＜log28.5 (0,+∞)上是增函数,于是log 3.4＜ 上是增函数 因为它的底数0 0.3＜1,所 ⑵考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0＜0.3＜1,所 考察对数函数y=log x,因为它的底数 以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 1.8＞ 以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8＞log0.32.7 (0,+∞)上是减函数
2
lg x lg x y = log 1 x = =− = − log 2 x 1 lg 2 2 lg 2
的图象. 因此我们还可以利用对称得到 y = log 1 x 的图象.
2
y
y = log2 x
O
x
1
y = log1 x
2
思考 （1）在同一坐标系中画出下列函数的图象
y = log 2 x, y = log 1 x,
在 ( 0 , +∞ ) 上是减函数
例1：求下列函数的定义域： 求下列函数的定义域： （1）y=logax2 (9（3）y=loga(9-x) 分析：主要利用对数函数y=log 分析：主要利用对数函数y=logax的定义域为 （0，+∞）求解。 +∞）求解。 (4（2）y=loga(4-x)
对数函数及其性质PPT课件(1)
a ＝ log3π>1 ， b ＝ log2
1 3＝2
故有 a>b>c.故选 A. 【答案】 A
1 (1)已知 loga3>1，求 a 的取值范围； 1 1 (2)已知 log32a<log3(a－1)， 求 a 的取值范围．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①(1)中底数含有参数； ②(2)中底数相同． 解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
2a>a－1 即 ，解得 a>1.即实数 a 的取值范围是 a－1>0
a>1.
1 求函数 y＝log (3＋2x－x2)的单调区间和值域． 2 【思路点拨】 由题目可以获取以下主要信息： 1 ①函数由 y＝log2u 与 u＝3＋2x－x2 复合． ②要注意在函数定义域内讨论单调性．
1 【解析】 由 3＋2x－x2>0 解得函数 y＝log2 (3＋2x－x2)的定义域是{x|－1<x<3}． 设 u ＝ 3 ＋ 2x － x2( － 1<x<3) ， 又 设 － 1<x1<x2≤1， 1 1 则 u1<u2.从而 log2u1>log2u2，即 y1>y2. 故函数 y 1 ＝log2(3＋2x－x2)在区间(－1,1]上单调递减． 同理可得函数在区间(1,3)上单调递增． 函数 u＝3＋2x－x2(－1<x<3]的值域是(0,4]， 1 1 2 故函数 y＝log (3＋2x－x )的值域是 y≥log 4. 2 2 即{y|y≥－2}．
Байду номын сангаас
(1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对 数函数的单调性． (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则． (3)若含有字母，应考虑分类讨论．
对数函数及其性质
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
解析 a＝log3π＞1，b＝12log23，则12＜b＜1，
c＝12log32＜12，
∴a＞b＞c.
跟踪训练 1 求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)；(2)y＝log12x；(3)y＝log71－13x；
(4)y＝ log3x.
解 (1)由 1－x>0 得 x<1，∴所求函数定义域为{x|x<1}； (2)由 log2x≠0，得 x≠1，又 x>0， ∴所求函数定义域为{x|x>0 且 x≠1}；
730 1
P
，都
有唯一确定的年代 t 与它对应，
2
所以，t 是 P 的函数.
问题 2
在问题
1
中，t＝ log 5
730 1
P就是一个对数函数，据此，
2
你能归纳出这类函数的定义吗？
答 一般地，我们把函数 y＝loga x(a>0，且 a≠1)叫做对数 函数，其中 x 是自变量，定义域为 x∈(0，＋∞)．
3
说明前者在(0，＋∞)上是增函数，后者在(0，＋∞)上是
减函数．
问题 3 你能根据函数 y＝log3x 及 y＝log1x 的性质，归纳出 3 函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的性质吗？
答 函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值 域为 R，过定点(1,0)，当 a＞1 时，在(0，＋∞)上是增函数， 当 0＜a＜1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
问题 3 判断一个函数是不是对数函数的依据是什么？ 答 对数函数的定义与指数函数类似，只有满足函数解析 式右边的系数为 1，底数为大于 0 且不等于 1 的常数，真数 仅有自变量 x 这三个条件，才是对数函数．如：y＝logax2； y＝loga(4－x) ；y＝2logax 都不是对数函数．
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。
常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。
常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。
2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。
（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。
•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。
•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。
•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。
（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。
•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。
•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。
•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。
•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。
•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。
对数函数的图像和性质
(3) log a 5.1, log a 5.9(a 0, a 1)
归纳总结
问题. 两个同底数的对数比较大小的 一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的
增减性判断两对数值的大小．
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
２、 log1.51.6______log1.51４.
3、 若 log3m log3n
，则m___n;
4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
式胃，酸说中明氢溶离液子酸的碱浓度度与溶是液2.中5×氢1离0子-2 摩的浓尔度/升， 之胃间酸的的变p化H是关多系；少？
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH．
回顾小结
通过本节的学习，大家对对数函数有哪些认 识？能概括一下吗？
习题２.２ P７４ ７，８ ．１０（做书上）
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
值域 : R
性
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y>0
质 当x=1时，y=0
当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
对数所有公式大全
对数所有公式大全对数是高等数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在学习和应用对数的过程中，我们需要掌握一些重要的公式。
在本文中，将为你介绍一些常见的对数公式，以帮助你更好地理解和应用对数。
1. 对数的定义公式：对数的定义公式表达了对数和幂的关系：若a>0且a≠1，那么对任意的正数x，b>0以及b≠1，有如下等式成立：loga(x)=b ⟺ x = a^b2. 对数的基本性质：对数具有一些重要的基本性质，可以帮助我们简化对数的运算。
2.1 对数的基本性质1：对数的幂等式loga(a) = 1这个公式表示对数底与求对数运算互为逆运算，即一个数和它的对数底数的对数等于1。
2.2 对数的基本性质2：对数的相等性质若loga(x) = loga(y)，那么x = y。
这个公式表示如果两个数的对数的底数相同，并且对数相等，那么这两个数本身也是相等的。
2.3 对数的基本性质3：对数的乘法公式loga(x * y) = loga(x) + loga(y)这个公式表示对数的乘法可以转化为对数的加法。
2.4 对数的基本性质4：对数的除法公式loga(x / y) = loga(x) - loga(y)这个公式表示对数的除法可以转化为对数的减法。
2.5 对数的基本性质5：对数的幂公式loga(x^k) = k * loga(x)这个公式表示对数的幂可以转化为对数的乘法。
3. 常用对数公式：除了对数的基本性质，还有一些特殊的对数公式在实际问题中非常常见。
3.1 自然对数的公式自然对数（以e为底的对数）在科学和工程领域中广泛使用。
自然对数的定义公式为：ln(x) = loge(x)，其中e ≈ 2.71828是自然对数的底数。
3.2 对数的积分公式对数函数的积分公式是数学中一种重要的积分公式。
∫(1/x)dx = ln|x| + C其中C是常数。
3.3 对数的换底公式对数的换底公式用于将一个对数转换为另一个底数的对数。
对数函数及其性质
04
对数函数的应用
对数函数在数学中的应用
01
02
03
解决方程问题
对数函数在解高次方程或 者复数方程时，可以用来 简化运算过程，提高解题 效率。
数值计算
对于一些需要大量计算的 数学问题，如求指数、阶 乘等，对数函数可以有效 地减少计算量。
统计学
在统计学中，对数函数被 广泛应用于正态分布、泊 松分布等统计模型的计算 和分析中。
函数形式
指数函数一般形如$y=a^x$，对数函数一般形如$y=log_a(x)$。
变化趋势
指数函数当底数大于1时，函数值随着自变量的增加而增加，当底数小于1时，函数值随 着自变量的增加而减少；对数函数当底数大于1时，函数值随着自变量的增加而增加，当 底数小于1时，函数值随着自变量的增加而减少。
对数函数与指数函数的转化关系
对数函数与指数函数的应用场景比较
指数函数
对数函数
描述增长或衰减现象，如人口增长、存款复 利计算等。
在物理学、生物学、化学等自然科学中，描 述物质的扩散、放射性衰变等过程；在社会 科学领域，用于描述人口增长、经济发展等
。
06
对数函数的学习方法与 建议
掌握对数函数的基本概念与性质
总结：对数函数是一种常见的数学函数，具有独特的 性质和重要的应用价值。学习对数函数首先需要掌握 其基本概念和性质，包括对数的定义、对数函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性等。
伸缩
对数函数图像也可以沿着x轴和y轴进行伸缩。例如，将函数$y = \log_{a}x$的x 轴伸缩$\lambda$倍得到$y = \log_{a}(\lambda x)$；将函数$y = \log_{a}x$ 的y轴伸缩$\mu$倍得到$y = \log_{a}x\mu$。
对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解
精心整理2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ?x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N .这种(3)①②1③2(1)①②③数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)．②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a ＝，log a M n ＝(log a M )n .3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N＝(b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0)．证明设log b N＝x，则b x＝N.两边取以c为底的对数，得x log c b＝log c N.所以x＝，即log b N＝.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N＝或log b N·log N b＝1(N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；.正确理解对数运算性质，下列说法中，正确的是()①若②若③若④若A．解析在②在③＝N.例如，M＝2，N在④所以，只有②成立．答案 C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3).分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵点评分析解＝＝＝＝＝＝13.点评方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．(x2＋3x)＝1，求实数x的值．已知log(x＋3)错解由对数的性质可得x2＋3x＝x＋3.解得x＝1或x＝－3.错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解由对数的性质知解得x＝1，故实数x的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．1．(上海高考)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．解析∵9x－6·3x－7＝0，即32x－6·3x－7＝0∴(3x－7)(3x＋1)＝0∴3x＝7或3x＝－1(舍去)∴x答案2．(解析∴g答案1A．(C．答案解析2A．aC．5答案解析∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.3．log56·log67·log78·log89·log910的值为()A．1B．lg5C.D．1＋lg2答案 C解析原式＝····＝＝.4．已知log a(a2＋1)<log a2a<0，则a的取值范围是()A．(0,1)B.C.D．(1，＋∞)答案 C解析由题意，得∵a>0，a≠1，log a(a2＋1)<log a2a，∴0<a<1.∴<a<1.5．已知函数f(x)＝a x－1＋log a x(a>0，a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，则a的值为() A．4B.C．3D.答案 D6．若方程(lg x)2＋(lg7＋lg5)lg x＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于()A．lg7·lg5B．lg35C．35D.答案解析∴α7答案解析8．答案解析＝9答案解析而即lg∴lg x＝lg(6×10)，即x＝6×10＝0.06.10．(1)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求log的值；(2)已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log365.解(1)lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，又∵∴x>2y>0，∴x＝y，应舍去，取x＝4y.则log＝log＝log4＝＝4.(2)∵18b＝5，∴log185＝b,又∵log189＝a，∴log365＝＝＝＝＝＝.11．设a，b，c均为不等于1的正数，且a x＝b y＝c z，＋＋＝0，求abc的值．解令a x＝b y＝c z＝t(t>0且t≠1)，则有＝log t a，＝log t b，＝log t c，又＋＋＝0，∴log t abc＝0，∴abc＝1.12试判定△解∴Δ即∴a22．2.11231b＝log a N，其中2(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lg N，log e N简记为ln N.4．若a>0，且a≠1，则a b＝N等价于log a N＝b.5．对数恒等式：a log a N＝N(a>0且a≠1).一、对数式有意义的条件例1求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组)，解之即可．解(1)由题意有x－10>0，∴x>10，即为所求．(2)由题意有即∴x>1且x≠2.(3)由题意有解得x>－1且x≠0，x≠1.点评于1.A．aC．答案解析∴2<例2(1)54(3)－2分析解(2)∵(3)∵＝16，∴log16＝－2.(4)∵log101000＝3，∴103＝1000.点评指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x＝N?x＝log a N进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2将下列对数式化为指数式求x值：(1)log x27＝；(2)log2x＝－；(3)log5(log2x)＝0;(4)x＝log27；(5)x＝log16.解(1)由log x27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9.(2)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝＝.(3)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，∴x＝21＝2.(4)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，∴x＝－.(5)由x＝log16，得x＝16，即2－x＝24，∴x＝－4.三、对数恒等式的应用例3(1)a log a b·log b c·log c N的值(a，b，c∈R＋，且不等于1，N>0)；解＝c(2)点评(3)解1N的对数，记作log a231A．10＝1与lg1＝0B．27－＝与log27＝－C．log3＝9与9＝3D．log55＝1与51＝5答案 C2．指数式b6＝a(b>0，b≠1)所对应的对数式是()A．log6a＝a B．log6b＝aC．log a b＝6D．log b a＝6答案 D3．若log x(－2)＝－1，则x的值为() A.－2B.＋2C.－2或＋2D．2－答案 B4．如果f(10x)＝x，则f(3)等于() A．log310B．lg3C．103D．310答案 B解析方法一令10x＝t，则x＝lg t，∴f(t)5．A．2C．2答案解析＝6答案解析7答案解析∴a2＝a·a＝(a)·a＝2×3＝12. 8．已知lg6≈0.7782，则102.7782≈________.答案600解析102.7782≈102×10lg6＝600.三、解答题9．求下列各式中x的值(1)若log3＝1，则求x值；(2)若log2003(x2－1)＝0，则求x值．解(1)∵log3＝1，∴＝3∴1－2x＝27，即x＝－13(2)∵log2003(x2－1)＝0∴x2－1＝1，即x2＝2∴x＝±10．求x的值：(1)x＝log4；(2)x＝log9；(3)x＝71－log75；(4)log x8＝－3；(5)log x＝4.解(1)由已知得：x＝4，∴2－x＝22，－＝2，x＝－4.(2)∴2x(3)x(4)即3(5)1212一、正确理解对数运算性质例1若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数有()①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log a＝log a x÷log a y；④log a(xy)＝log a x·log a y.A．0个B．1个C．2个D．3个答案 A解析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x≠log a·x，log a x是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁移1若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是()A．log a x＝－log a B．(log a x)n＝n log a xC．(log a x)n＝log a x n D．log a x＝log a答案 A二、对数运算性质的应用例2(3)；分析解＝＝(2)＝(3)(4)＝点评变式迁移2求下列各式的值：(1)log535＋2log－log5－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.解(1)原式＝log5(5×7)－2log22＋log5(52×2)－log5(2×7)＝1＋log57－1＋2＋log52－log52－log57＝2.(2)原式＝[log2＋log62·log6(3×6)]÷log622＝log62(log62＋log63＋1)÷(2log62)＝1.三、换底公式的应用例3(1)设3x＝4y＝36，求＋的值；(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.解(1)由已知分别求出x和y.∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝＝，y＝＝，∴＝log363，＝log364，∴＝(2)∵∴点评(2)解∴lg(2)由∴∴＝.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为()A．－3B．－1C．1D．3答案 D解析lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1000＝3.2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36等于()A.B.C.D.答案 B解析log36＝＝＝.3．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于()A．2B.C．4D.答案解析∴2＝(lg＝224A.B答案解析x＝5．() A．答案解析所以＝log a x＋log a x＋…＋log a x＝2log a|x1|＋2log a|x2|＋…＋2log a|x2005|＝2log a|x1x2…x2005|＝2f(x1x2…x2005)＝2×8＝16.二、填空题6．设lg2＝a，lg3＝b，那么lg＝__________.答案解析lg＝lg1.8＝lg＝lg＝(lg2＋lg9－1)＝(a＋2b－1)．7．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x的值为____．答案 1解析log abc x＝＝∵log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6∴log x a＝，log x b＝，log x c＝，∴log abc x＝＝＝1.8．已知log63＝0.6131，log6x＝0.3869，则x＝________.答案解析得9(1)lg解＋＝＝＝＝lg＝(2)方法一原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg＋lg4＝lg＝lg10＝1.方法二原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg22＝1－2lg2＋lg22＋2lg2－lg22＝1.10．若26a＝33b＝62c，求证：＋＝.证明设26a＝33b＝62c＝k(k>0)，那么∴∴＋＝6·log k2＋2×3log k3＝log k(26×36)＝6log k6＝3×2log k6＝，即＋＝.2．2.2对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y＝log a x(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数．对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y＝log a x中，log a x前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a必须满足a23.(1)－1)<0，即m 、n了，如 (1)y (2)y 解 ∴(2)即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}； 当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二 对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 的大小顺序为( )A．log34<log43<logB．log34>log43>logC．log34>log>log43D．log>log34>log43(2)若a2>b>a>1，试比较log a，log b，log b a，log a b的大小．(1)解析∵log34>1,0<log43<1，log＝log－1＝－1，∴log34>log43>log.答案(2)解∴又a故有点评①②③2>0，a2≠1)．当a10<x<1时，y1>y2当；当0<x<1时，y1>y2已知分析解析a a<，∴0<a<.故a>1或0<a<.答案a>1或0<a<点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a>1时，log a x>0?x>1，log a x<0?0<x<1；(2)当0<a<1时，log a x>0?0<x<1，log a x<0?x>1.题型三函数图象的应用若不等式2x－log a x<0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围．解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫⎝⎛21,0内恒在函数y=2x图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减． 又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.点评a 的大小时，y2错解∴ax 即??正解?当a ＝0时，只要x >－，即可使真数t 取到所有的正数，符合要求； 当a ≠0时，必须有??0<a ≤1.∴f (x )的值域为R 时，实数a 的取值范围为[0,1]．本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(广东高考)已知函数f (x )＝的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <1} C ．{x |－1<x <1}D ．?解析由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}．故M∩N＝{x|－1<x<1}．答案 C2．(湖南高考)下列不等式成立的是()A．log32<log23<log25B．log32<log25<log23C．log23<log32<log25D．log23<log25<log32解析∴又y∴答案3．(A．aC．b解析令t∴ac－a又∵∴0<∴c>答案1．已知函数f(x)＝的定义域为集合M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为集合N，则M∩N等于() A．{x|x>－1}B．{x|x<1}C.D．?答案 C2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)等于()A.B．－C．－2D．2答案 B解析f(－a)＝lg＝－lg－1＝－lg＝－f(a)＝－.3．已知a＝log23，b＝log32，c＝log42，则a，b，c的大小关系是()A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案 A解析因为a＝log23>1，b＝log32<1，所以a>b；又因为2>，则log32>log3＝，而log42＝log2＝，所以4ABCD答案解析x|＝lg|x|＝f(x)又当又f(5答案解析(1,0)；若a>1方法二注意到y＝－log a x的图象关于x轴对称的图象的表达式为y＝log a x，又y＝log a x与y ＝a x互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f(x)＝log2a(x＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为()A．(0，＋∞)B.C.D.答案 D解析已知－1<x<0，则0<x＋1<1，又当－1<x<0时，都有f(x)>0，即0<x＋1<1时都有f(x)>0，所以0<2a<1，即0<a<.7．若指数函数f(x)＝a x(x∈R)的部分对应值如下表：则不等式log a(x－1)<0答案{x|1<x<2}解析由题可知a＝1.2，∴log1.2(x－1)<0，∴log1.2(x－1)<log1.21，解得x<2，又∵x－1>0，即x>1，∴1<x<2.8答案解析故即9答案解析10解∴g(∵g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(1＋log2x)2＋(1＋log2x2)＝(log2x＋2)2－2，又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1.∴当x＝1时，g(x)min＝2；当x＝2时，g(x)max=7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质3.对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数y＝a x_(a>0且a≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1下图是对数函数y＝log a x的图象，已知a值取，，，，则图象C1，C2，C3，C4相应的a 值依次是()A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34D 解析 ，C3，C4的a 过，(a4,1)，其中a10且小于 (1)(2)若logm0.5>logn0.5，则m n. 答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝； (2)y ＝；(3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．解(1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可，∴定义域是{x|x>0}．(2)要使函数y＝有意义，必须log0.5(4x－3)≥0＝log0.51，∴0<4x－3≤1.解得<x≤1.∴定义域是.(3)由，得即0<x<2或－1<x<0，点评还解当a∴4x当log a∴当例3(1)log0.81.5与log0.82；(2)log35与log64.分析从比较底数、真数是否相同入手．解(1)考查对数函数y＝log0.8x在(0，＋∞)内是减函数，∵1.5<2，∴log0.81.5>log0.82.(2)log35和log64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log35>log33＝1＝log66>log64，∴log35>log64.点评比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3比较下列各组中两个值的大小：(1)log0.52.7，log0.52.8；(2)log34，log65；(3)log aπ，log a e(a>0且a≠1)．解(1)∵0<0.5<1，∴对数函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数．又∵(2)∵∴∵y∴∴(3)当∵π当∵π当例4分析解a a a a当a>1时，<<a，∴a>.当0<a<1时，>>a，∴0<a<.∴a的取值范围是∪.点评(1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4已知log a(2a＋1)<log a3a<0，求a的取值范围．解log a(2a＋1)<log a3a<0(*)当a>1时，(*)可化为，解得，∴此时a无解．当0<a<1时，(*)可化为，解得，∴<a<1.综上所述，a的取值范围为.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a>1还是0<a<1。
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且 1 . 8 ＜2 . 7
∴ log 0 . 3 1 . 8 ＞ log 0 . 3 2 . 7
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.8
0.5 1 1.5 2
2.7
2.5 3 3.5
-0.5 -0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直 接进行判断.
问题 引入
问题 引入
细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式
对调字母x, y
y 2
x
x = log2 y x = loga y
y = log2 x
y = loga x
ya
x
(a＞0,且a≠ 1)
§2.2.2
对数函数及其性质
新课探究
一般地，我们把函数y = loga x (a＞0,且a≠ 1)
0<a<1
y=ax y
(0,1) 1
a>1
y y=1 y=1 x R （0，+∞） 定点（0，1）
(0,1) 1
y=ax
图 象
0
定义域 值域
0
x
性 过定点 质
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值 与1的大 小关系
当x 0时，y 1 当x 0时， 0 y 1 当x 0时， y 1
叫做对数函数. 其中 x是自变量, 函数的定义域是 （ 0 , +∞）
在直角坐标系中画出函数 y log2 x 的图象。
列表
新课探究
x
y log2 x
…
0.5 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
…
…
…
应用
例 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解： ∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
叫做对数函数. 其中 x是自变量, 函数的定义域是（ 0 , +∞）
判断：以下函数是对数函数的是 （ D ）
A y=log2(3x-2)
C y=2log1/3x
B y=log(x-1)x
D y=lnx
例2：比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log 6 7 与 log 7 6 解：∵ log 6 7 ＞ log 6 6 = 1 且 log 7 6 ＜ log 7 7 = 1 ∴ log 6 7 ＞ log 7 6 （2） log 3 π 与 log 2 0 . 8 解：∵ log 3 π ＞ log 3 1 = 0 且 log 2 0 . 8 ＜ log 2 1 = 0 ∴ log 3 π ＞ log 2 0 . 8
y=log0.3x
应用
例 比较下列各组数中两个数的大小： （3）log 2 0 . 6与 log 0 . 3 0 . 7 log 2 0 . 6< log 0 . 3 0 . 7
变式训练
比较下列各题中两个值的大小
(1) lg 6 < lg 8
(2) log0.1 0.5 > log0.1 0.6
（2） 函数 y
log
2
x 的定义域是
1，
1 （3） 已知对数函数 y log x在 ， 2上的 a 2 2 最大值是2，则a的值为 或 2
2
谢谢！
再见！
一、通过本节课的学习，你有什么收获？
二、在本节课的学习中，我们都用到了 哪些数学思想？
应用
例3 解不等式
例2 比较下列各组数中两个数的大小： （4）log 6 5 与 log 5 6
探究 对数函数
图 象
定义域 值域
y loga x (a 0，且a 1) 的图象和性质：
0<a<1
a>1
（0，+∞） R 定点（1，0）
在（0，+∞）上是减函数 在（0，+∞）上是增函数
性 过定点 质 单调性
函数值 与0的大 小关系
0 a 1, 0 x 1 y 0
0 a 1, x 1 y 0 a 1, 0 x 1 y 0
a 1,
x 1 y 0
0 a 1, x =1
a 1,
x =1
0<a<1
a>1Leabharlann 0 系探究x y a (a 0且a 1) 的图象和性质： 指数函数
4 4
且 3 . 4 ＜8 . 5
∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5
3 3
2 2
1 1
2 2
3.4
4 4
6 6
8 8
8.5
10 10
-1 -1
-2 -2
y=log2x
-3 -3
应用
例 比较下列各组数中两个数的大小： （2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7 解： ∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数
若底数、真数都不相同,则常借助1、0、－1等中间 量进行比较
例2 比较下列各组数中两个数的大小： （3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9
( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 )
若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进 行分类讨论.
当x 0时， y 1
当x 0时， 0 y 1
当x 0时， y 1
y=logax
定义域 值域 过定点
0<a<1
a>1
性 单调性 质
比较底 的大小
函数值 的符号
y=logax
定义域 值域 过定点 单调性
0<a<1
a>1
函数值 的符号 比较底 的大小
性 质
新课探究
一般地，我们把函数y = loga x (a＞0,且a≠ 1)
(3) log 6 > log 6 5
5
(4)若 log0.5 m log0.5 n , 则 m < n .
通过这堂课的研究，我明确了 我的收获与感受有
， ，
我还有疑惑之处是
。
作
P74A组 第7、8题
业
自我检测
1 0,1 1， (1) 函数 y 的定义域是 log2 x
log
x
(2 x 1) log 2 .
x
一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质;
三、比较两个对数值的大小.
课堂练习
应用
例1 求下列函数的定义域：
(1) y loga x
2
(2) y loga (4 x)
(3) y log( x1) (3 x)
旋转轴
课堂练习
1 、比较下列各题中两个值的大小
(1) lg 6 < lg 8
a 0,1, x 0,1 y 0
(2) log0.1 0.5
>
log0.1 0.6
(3)若 log m log n , 则m > n . 2 2
则m < n .
思考题
对数函数y=logax (x∈(0,+∞)，a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 与指数函数y=ax(x ∈R， a ＞ 0 且 a ≠ 1 )之间存 在着什么关系？