专升本高等数学复习提纲

第一章 函数、极限与连续函数及其图形 函数的运算 初等函数 数学模型（建立函数关系） 函数极限 无穷大量与无穷小量 极限运算 函数的连续性 本章重点是：1.求函数的定义域或求初等函数的连续区间2.理解函数的四种特性3.能求复合函数的函数值4.熟练掌握极限的四则运算 牢记公式：0sin lim1,lim (1)x kx x x k e xx→→∞=+=牢记等价无穷小的几个公式：当0x →时，sin ~,tan ~,x x x x ,~arctan x x,~arcsin x x nx x xx x e x x nx~11,2~cos 1,~1,~)1ln(2-+--+, 并能灵活运用计算极限值。

5.理解连续函数的概念，掌握间断点的类型，记住连续函数在闭区间上的性质。

参考题型：1.求下列函数的定义域或连续区间： ① )9lg(4sin )(2x x x f -+= ② )45lg(34arccos2xx x y -+=2.判别下列函数的奇偶性： ① )0(ln )ln()(22>-++=a aa x x x f② ),()()],()([)(+∞-∞--=-定义在其中x f x f x f e x F x . 3.计算下列极限： ① 3)1(sin tan lim--→xx e x x② )11()2(tan lim43--→xx e x xx③ ==--+→a b x ax x x 则,15lim21，=b .④ =-+→2)2(sincos sin 1limx xx x x .⑤ ==--+→→)(lim ,211sin )(1limx f e x x f x xx 则 .⑥ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++→xx e e xxx 2sin 14lim 410 . ⑦ =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--→)41ln(1sin 2sin lim 220x e xx x x x .⑧ ,01lim 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+∞→b ax x x x 则=a , =b . 4.求下列函数间断点，并加以分类： ① x xx x f nn x 2211lim)(+-=∞→② 0,1212)(11=+-=x x f x x 在③ xx x f πsin )(=5.试证)1,0(0155在=+-x x 内至少有一个实根.第二章 导数与微分导数概念、导数基本公式与运算法则、特殊函数求导法与高阶导数、变化率问题实例、微分 本章重点是：1.导数的三种定义形式2.理解可导与连续的关系3.掌握导数的几何意义与力学意义4.熟练掌握导数的运算法则，并牢记导数公式5.会求高阶导数6.会求隐函数与参数方程的一、二阶导数7.理解微分概念与微分的计算 参考题型：1.由导数定义出发，计算：='---=)0(),()2)(1()(f n x x x x x f 则 .2.曲线?ln )(2===a x y ax x f 则相切，与曲线3.00,00,1)(2=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=x x x e x x f x在是否连续？是否可导？4.11,10,1,1ln )(=⎪⎩⎪⎨⎧=->≠--=x x x x xx x x f 在是否连续？是否可导？5.已知)()],sin(ln )[cos(ln )(x f x x x x f ''+=求.6. ).0(,11arctan)(22f x x x f '+-=求7.计算下列函数的n 阶导数： ① x y 10= ② x xe x f =)( ③ x e y -=4 ④ )1ln()(x x f += ⑤ x x f 2cos )(= ⑥ )0()(≠-++=bc ad dcx b ax x f⑦ xx x f +-=11)( ⑧ )2(2)(23>-+=n x x xx f8.计算下列隐函数和参数方程的一、二阶导数： ① 设由方程)(x y y = 0arctanln22=-+xy yx 确定，求dxdy .② 若由方程)(x y y =y x e x garctan sin 21arccos=++确定，求)0(y '.③ 已知⎩⎨⎧+=-=)cos sin ()sin cos (t t t a y t t t a x ，求22,dx yd dx dy . ④ 若)(x y y =由方程1=-y xe y 确定，求)0(),0(y y '''.⑤ ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x , 求dx dy.9.计算下列函数的微分dy . ① )ln(22a x x y ++=② 1ln 1arctan22---=x x x y③ 设)(u f y =可微且)(arctan x f y =.④ 设)(x y y =由方程为常数）a a axy y x (3333=-+确定. ⑥ 当x 很小时，试证nx x n +≈+11.10.试证曲线a y x =+上任一点),(000y x M 的切线距两坐标轴的截距之和为常数.第三章 导数的应用微分三个中值定理，只介绍定理的条件，结论，和几何意义。

函数的单调性 函数的极值 函数曲线的凹凸向与渐近线。

简单优化数学模型 用导数求极限——洛必达法则 本章重点是：1.掌握Rolle 定理和Lagrange 中值定理的条件和结论，并能运用它来证明不等式.2.掌握用导数求已知曲线的单调区间,极值、凹、凸区间和拐点,并能用单调性来证明不等式和论证零点的唯一性.3.掌握求解实际问题最值的思路.4.熟练计算七种未定式的极限. 参考题型:1.当0>>a b 时, 证明a ab a b ba b -<<-ln.2.试证r qx px x f ++=2)(，采用Lagrange 中值定理求得的ξ值在],[b a 的中点.3.证明不等式: ① 当0>x时, 试证 221)1ln(1xx x x +>+++.② 当0>x 时, 证明 xx x +>+1arctan )1ln(. ③ 当0>x 时, 试证 xx x x <<-arctan 313.4.计算21)(xx x f +=的极值, 拐点.5.计算322)2()(x x x f -=的极值.7.设2,121==x x 都是x bx x a x f 3ln )(2++=的极值点, 求b a ,. 6.计算下列未定式的极限:① xx x tan 0)(sin lim +→② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→11sin 1lim 0xx e x ③ x x x )arctan 2(lim π+∞→④ 1111123lim nxx x x x n x a a a a n→∞⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中0,,,,321>n a a a a .⑤ 2sin 3lim 02=-+⎰→xax bt dt t x x ,求,a b 的值第四章 即不定积分与定积分不定积分与定积分概念与性质、微积分基本定理、基本积分法、无穷区间上的广义积分。

本章重点:1.不定积分与定积分的换元法和分部积分法的计算. 牢记公式:① )()(x f x F 是的原函数, 则)()()()(a F b F x F dx x f ba ba-==⎰. ②⎰=x ax f dx x f dxd )()(, 推广为⎰-=)()()()]([)()]([)(x b x a dxx da x a F dxx db x b F dx x f dxd .③ 若],[)(a a x f -在上连续, 则⎰⎰-⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=a aax f x f dx x f x f x f dx x f )()(,)(2)()(,0)(0当当④ θθθθππd d n n ⎰⎰=2020cos sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅-⋅-=⋅-⋅--=12,13)12)(2(24)22(22),2(24)22)(2(13)32)(12(k n k k k k kn k k k k π.参考题型: 1. ⎰+31x dx 2. dx ex x⎰3. ⎰θθθd 32sin cos ⎰5. θθθπd ⎰-053sin sin 6. dxxx1cos12⎰7. ⎰-dx x321 8. dxx ⎰arctan9. dxx x32)(ln 1⎰10. ⎰-1cos x dx11. dxet x x--+⎰]sin [32212.⎰+40sin 1sin πdx xx 。

13.⎰--10221)2(xx xdx 。

14.⎰-+a dxxa x 022115. 设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x ex x x f x , 计算2(1)f x dx -⎰.16. 4)(tan )1(lim22x dtex tx ⎰-→-.17. ⎰⎰-+→x x x dtt t t dtt 03)sin (lim2.18.证明⎰⎰⎰=-x t x dtdu u f dt t x t f 0])([))((其中f (x )为连续函数。

19.证明：4arccosarcsin 22)(cos 0)(sin 0π=+⎰⎰x x dt t dt t20. 试证⎰+--=x tdt x x f 02113)(唯有一个小于1的正根.22. 求dttt x F x ⎰++=0211)(在]1,0[上的最大值与最小值.第五章 定积分的应用微元法的基本思想、平面图形的面积、空间立体的体积 (主要介绍旋转体的体积)补充: 平面曲线的弧长 (主要是直角坐标和参数方程)、其它应用实例, 物理上的应用举一、 二个例子. 本章重点是:1.计算平面图形的面积.2.计算平面图形绕坐标轴旋转一周的体积.3.能计算平面曲线的弧长. 参考题型:1.计算下列平面图形的面积A .① x y 22=与4=-y x 围成的A (即平面积简写). ② x y x y cos ,sin ==与A x x 的至20π==.③ 443=+=y x y 与.④ x y =与22-=x y ⑤ 322+-=x x y 与3+=x y .⑥ 抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-A 和点)0,3(B 处的切线围成图形的 面积.2.计算下列平面曲线围成的图形绕指定轴旋转一周的体积. ① 10,9=+=y x xy , 绕y 轴. ② 2101xy =与11012+=x y 和10=y , 绕y 轴.③ )20(,)cos 1()sin (π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x , 绕x 轴.④ )0()(222>>=+-a b a x b y , 绕x 轴.3.计算下列平面曲线的弧长. ① 332xy =，从10==x x 到.② dtt x y x ⎰--=323)(的全长.③ ⎪⎩⎪⎨⎧+==)1ln(21arctan 2t y t x 从10==t t 至的一段. ④ ).11()1()1(33≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧+=-=t t y t x⑤ πθθθθ20,)cos 1()sin (≤≤⎩⎨⎧-=-=a y a x .⑥ 210),1ln(2≤≤-=x x y .第六章 向量代数与空间解析几何 基本内容向量线性运算、向量点乘、向量叉乘、向量平行、垂直的判别。