2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——5.平面向量
一、选择题
【2018,6】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31
44AB AC - B ．13
44AB AC - C ．
31
44
AB AC +
D ．
13
44
AB AC + 【2015，7】设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则（ ）
A ．1433AD A
B A
C =-
+ B ．14
33AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．41
33
AD AB AC =-
【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:10,3P a b π
θ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ??
+>?∈
???
3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ??
->?∈ ???
其中的真命题是（ ）
A ．14,P P
B ．13,P P
C ．23,P P
D ．24,P P 二、填空题
【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．
【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2
|，则=m ．
【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1
()2
AO AB AC =
+，则AB 与AC 的夹角为 ． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝__________． 【2012，13】已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________．
一、选择题
【2018,6】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31
44AB AC - B ．13
44AB AC - C ．
31
44
AB AC +
D ．
13
44
AB AC + 解：2
1
21+=
+= )(21)(2121-++??=4
1
43-= 故选A 【2015，7】设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则（ ）
A ．1433AD A
B A
C =-
+ B ．14
33AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．41
33
AD AB AC =-
解析：11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=14
33
AB AC -+，选A ．.
【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:10,3P a b π
θ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ??
+>?∈
???
3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ??
->?∈ ???
其中的真命题是（ ）
A ．14,P P
B ．13,P P
C ．23,P P
D ．24,P P
解析：1a b +=
=>得， 1cos 2θ>-
，20,3
π
θ??
?∈????
．由
1a b -==>得1cos 2θ<
，,3πθπ??
?∈ ???
． 选A ． 二、填空题
【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．
【解析】()
2
2
2
2
2(2)22cos602a b a b a a b b
+=+=+????+221
222222
=+???+444=++12=，
∴212a b +=
【法二】令2,c b =由题意得，2a c ==，且夹角为60，所以2a b a c +=+的几何意义为以,a c 夹角为60的平行四边形的对角线所在的向量，易得223a b a c +=+=；
【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2
|，则=m ．
【解析】由已知得：()
1,3a b m +=+，
∴()222
2
2222213112a b a b m m +=+?++=+++，解得2m =-． 【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1
()2
AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . 【解析】∵1
()2
AO AB AC =
+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O 的直径，∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为090．
【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.
解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2，又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝
1
2
t ＋1－t ，∴ t ＝2. 【2012，13】已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________． 【解析】由已知||2
2
45cos ||||=
???=?，因为|2|10a b -=，所以10||4||422=+?-， 即06||22||2
=--b b ， 解得23||=b ．