方差分析
方差分析
方差分析方差分析是比较多个总体的均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系。
在研究一个（或多个）分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时，方差分析就是其中的只要方法之一。
一、方差分析引论假设需要检验4个总体的均值分别为4321,,,μμμμ，如果用一般假设检验方法，如t 检验，一次只能研究两个样本，要检验4个总体的均值是否相等，需要做6次检验，如果在0.05的置信水平下检验，每次检验犯第Ⅰ类错误的概率都是0.05，检验完成时，犯第Ⅰ类错误的概率会大于0.05，即连续作6次检验第Ⅰ类错误的概率为6)1(1α--=0.265,而置信水平则会降低到0.735（即695.0）。
随着增加个体显著性检验的次数，偶然因素导致差别的可能性也会增加（并非均值真的存在差别）。
而方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累计的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设。
1、方差分析及其有关术语方差分析：就是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
例1：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。
其中零售业7家，旅游业抽取6家，航空公司抽取5家，家电制造业抽取5家。
最后统计出最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数。
如下表所示。
消费者对四个行业的投诉次数行业零售业 旅游业 航空业 家电制造业57 68 31 44 66 39 49 51 49 29 21 65 40 45 34 77 34 56 40 58 53 51 44要分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，实际上就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响，做出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。
在方差分析中，要检验的对象称为因素或因子。
因素不同的表现称为水平或处理。
每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。
在例1中，“行业”是要检验的对象，称为“因素”或“因子”；零售业，旅游业，航空公司，家电制造业是行业这一因素的具体表现，称为“水平”或“处理”；在每个行业下得到的样本数据（被投诉次数）称为观测值。
方差分析
Minimum Maximum 125.30 143.10 143.80 162.70 182.80 198.60 212.30 225.80 125.30 225.80
给出了四种饲料分组的样本含量N、平均数Mean、标准差 Std Deviation、
标准误 Std Error、95％的置信区间、最小值和最大值 ；
对照组 10.28 31.35 31.23
去卵巢组 10.01 8.28 6.12
雌激素组 28.88 12.77 27.56
随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组 内差异。用变量在各组的均值与该组内变量值 之偏(离均)差平方和的总和表示。记作SS组内。 实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组 间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏 (离均)差平方和的总和表示。记作SS组间。 SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方 值即组间均方和组内均方。
3.1 因素与处理
因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影 响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也 可以称为因素。如研究不同肥料对不同种系农作物产 量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料 可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作 相同理解。在要求进行方差分析的数据文件中均作为 分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是 气温、降雨量等平常看作是连续变量的，在方差分析 中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数 值用分组定义水平的方法事先变为具有有限个取值的 离散变量
N A B C D Total 5 5 5 4 19
第九章 方差分析
第九章方差分析前面介绍了两个样本均数比较的t检验，那么多个样本均数的比较应该采用什么方法？方差分析(analysis of variance, ANOV A)是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，由英国著名统计学家R.A.Fisher提出，又称F检验，是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法。
本章首先介绍方差分析的基本思想和应用条件，然后结合研究设计类型分别介绍各类方差分析方法。
第一节方差分析的基本思想和应用条件一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义。
例9.1 为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。
喂养一周后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是否不同？表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数(×1012/L)普通饲料10%大豆饲料15%大豆饲料合计X 4.78 4.65 6.80 4.65 6.92 5.913.984.447.284.04 6.167.51 3.445.997.51 3.776.677.743.65 5.298.194.91 4.707.154.795.058.185.316.01 5.534.055.677.795.16 4.688.03in12 12 12 36 (n)i X ∑ 52.53 66.23 87.62 206.38(X ∑)i X4.385.52 7.30 5.73 (X ) 2i X ∑ 234.2783373.2851647.73121255.2946(2X ∑)表9.1按完全随机设计获得的36个数据(X )中包含以下三种变异： 1. 总变异 36只大鼠喂养一周后测定红细胞数X 各不相同，即X 与总均数X 不同，这种变异称为总变异(total variation)。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在显著差异的一种方法。
方差分析广泛应用于实验设计、社会科学、医学研究等领域。
单因素方差分析单因素方差分析是最简单的一种方差分析方法，适用于只有一个自变量（因素）的情况。
在单因素方差分析中，我们将样本数据按照因素的不同水平进行分类，然后比较各个水平之间的均值是否存在显著差异。
假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要建立以下假设： - 零假设（H0）：各个水平之间的均值没有显著差异。
- 备择假设（H1）：各个水平之间的均值存在显著差异。
方差分解方差分析的核心思想是将总体方差分解为组内方差和组间方差。
组内方差反映了同一水平内个体之间的差异，而组间方差则反映了不同水平之间的差异。
通过比较组内方差和组间方差的大小，我们可以判断均值是否存在显著差异。
统计检验在单因素方差分析中，我们使用F检验来判断均值是否存在显著差异。
F检验是通过计算组间均方与组内均方的比值来进行的。
如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝零假设，认为各个水平之间的均值存在显著差异。
多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上引入了多个自变量（因素）的一种方法。
它可以同时考虑多个因素对样本均值的影响，并判断这些因素是否存在交互作用。
交互作用交互作用是指两个或多个因素同时对样本均值产生影响时所产生的效应。
在多因素方差分析中，我们需要考虑各个因素之间是否存在交互作用，以更准确地判断均值之间的差异。
二元因子设计二元因子设计是多因素方差分析中常用的一种设计方法。
它将两个因素进行组合，得到不同水平的组合，然后比较各个组合之间的均值是否存在显著差异。
统计检验在多因素方差分析中，我们同样使用F检验来判断均值是否存在显著差异。
不同的是，多因素方差分析需要考虑组间方差的来源，包括主效应和交互效应。
方差分析
p p q 1 1 q 1 . j i 1 ij , i . j 1 ij , i 1 j 1 ij p q pq
因子A的水平效应: i i . , i 1, , p 因子B的水平效应:
j . j , j 1, , q
p r 2 p r j 1 i 1 p j 1 i 1 2
S A r X j X r j j
2 p j 1 j 1 p
2
r p 2 并且有：ES E E ij j r 1 2 n p 2 j 1 i 1 j 1 E S A p 1 r j
SE
2
~ n p ,
2
SA
2
~
2
p 1, 并且
SE
2
和
SA
2
相互独立。
当H0成立时，
SA F p 1 2
方差分析
SA SE ~ F p 1, n p 2 n p S E
14
3、方差分析表
方差来源 因子A的影响 误差 总和 平方和S SA SE ST 自由度f fA=p-1 fE=n-p fT=n-1 均方S SA=SA/(p-1) SE=SE/(n-p) F值 F=SA/SE 显著性
A1 B1 B2 平均 αi 100 130 115 -10 A2 120 150 135 10 平均 110 140 125 βj -15 15
μij=μ+αi+βj, α1+α2=0, β1+β2=0 Xij=μij+εij=μ+αi+βj+ εij
方差分析结果解读
方差分析结果解读方差分析是一种统计分析方法，它能够用来分析两个及以上样本集中变量之间的差异。
在实际应用中，这种差异通常用来衡量各个样本之间的统计极端性和显著性，并且可以用来确定是否存在特定因素对样本之间的分布有重大影响。
本文将从以下几个方面讨论方差分析的含义，原理，实施流程，结果有效性以及如何进行结果解读，以便使读者可以更好地理解方差分析及其结果。
一、什么是方差分析？方差分析是一种统计分析方法，它能够用来比较两个及以上样本之间的差异情况。
它的目的是通过计算一个F值(F statistic)，来确定是否存在这些样本之间的某种差异，从而分析其中是否存在一个显著的因素，可能是一个待测量的维度，一个指标或一个事件对样本之间的分布有重大影响。
二、方差分析的原理方差分析的原理是，检验不同样本之间的均值是否有统计学上的显著差异，并且通过检验可以判断是否存在某种因素对样本之间的分布有重大影响。
具体而言，方差分析可以通过检验F值来判断不同样本之间的均值差异是否有统计学上的显著性，这个F值是通过比较两个不同的方差来计算的，前者是样本之间的总体方差，后者是总体方差的均方差。
如果F值大于某个临界值，就说明不同样本之间的均值存在显著的差异，从而提出这些样本之间的差异可能由某个待测量的维度、指标或事件而引起。
三、方差分析的实施流程方差分析的实施步骤包括对研究对象、变量类型、样本大小、样本分布等一系列基本要求的确定，从而满足方差分析的基本条件；接着是水平设计的制定，包括实验的变量划分，实验的水平数量的设定，实验的抽取方式的定义；之后是统计分析方法的选择，根据实验设计的要求归纳出方差分析所需要的假设条件，进而根据假设条件确定所需要的统计分析方法；最后是统计分析：根据前述步骤归纳出的统计分析方法，按照规定的步骤进行统计分析，并获得最终的F值结果。
四、方差分析结果的有效性根据前面提出的F值，可以判断不同样本之间的均值是否有统计学上的显著性。
什么是方差分析
什么是方差分析关键信息项：1、方差分析的定义2、方差分析的目的3、方差分析的应用场景4、方差分析的类型5、方差分析的步骤6、方差分析的结果解读7、方差分析的局限性8、方差分析与其他统计方法的比较11 方差分析的定义方差分析（Analysis of Variance，简称 ANOVA）是一种用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异的统计方法。
它通过分析数据的变异来源，来判断不同因素对观测变量的影响程度。
111 基本原理方差分析基于总体方差可以分解为各个因素所引起的方差之和的原理。
通过比较不同因素水平下的组间方差和组内方差，来确定因素对观测变量的影响是否显著。
112 数学模型一般来说，方差分析的数学模型可以表示为：观测值＝总体均值＋因素效应＋随机误差。
12 方差分析的目的其主要目的是检验不同水平的因素对因变量的均值是否有显著影响。
121 探究因素的作用确定哪些因素对观测结果有重要影响，哪些因素的影响可以忽略不计。
122 比较不同处理的效果例如在实验研究中，比较不同实验处理条件下的结果是否存在显著差异。
13 方差分析的应用场景131 农业科学用于比较不同种植方法、施肥量、品种等对农作物产量的影响。
132 医学研究分析不同药物剂量、治疗方案对患者康复效果的差异。
133 工业生产研究不同生产工艺、原材料对产品质量的作用。
134 社会科学例如在心理学、教育学中，比较不同教学方法、教育环境对学生成绩或心理状态的影响。
14 方差分析的类型141 单因素方差分析只考虑一个因素对观测变量的影响。
142 双因素方差分析同时考虑两个因素的交互作用对观测变量的影响。
143 多因素方差分析涉及多个因素及其交互作用对观测变量的综合影响。
15 方差分析的步骤151 提出假设包括零假设（各总体均值相等）和备择假设（至少有两个总体均值不相等）。
152 计算统计量根据数据计算组间平方和、组内平方和等，进而得到 F 统计量。
153 确定显著性水平通常设定为 005 或 001 等。
方差分析
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
方差分析
k
nkΒιβλιοθήκη 2总平方和：SST
实验中产生的总变异
组内平方和：SSW
实验误差（包括个体差异）由于不同的实验处理而造 造成的变异 成的变异
组间平方和：SSB
三者之间的关系如下：
SS 总 SS 组间 SS 组内
组间自由度： 组内自由度: 总体自由度： 书266：这样
df B = k-1
df W = k(n-1)
df T = nk-1
在方差分析中，比较组间变异与组内变异时，不 能直接比较各自的平方和。因为平方和的大小与 项数有关，应该将项数的影响去掉。因此用平方 和除以各自自由度得到均方，再进行比较。
SS B MS B df B
书266
MSW
SSW df W
方差分析就是通过比较组内均方MS组内 和组间均方 MS组间 的大小关系来判断处 理因素有无效应。
变异分解
SS 总(T) SS 组间(B) SS 区组(R) SS 误差(E)
SS R
1 n
( R ) 2 k
( R ) 2 nk
总自由度也被分为三部分： dfT = nk-1
df B k 1
dfE=(k-1)(n-1)
dfR=n-1
例4：5名被试在四种不同的环境条件下参加某一心理测验， 结果如下。问不同的测验环境是否对这一测验成绩有显著影 响。
SSB n ( X j X t ) 2
j 1 k
SSw ( X ij X j ) n s j
2 j 1
k
2
1、求平方和
Xt
X1 X 2 X 3 X 4 6.4 4
k
SSB n ( X j X t ) 2 30.08
方差分析 (共72张PPT)
2.总体变异的构成
总体变异 组间变异： 组内变异：组内变异理论上要求齐性，实际计算取其 均值
3.方差的基本公式
一般总体方差称方差，样本方差称均方 能使变量发生变异的原因很多，这些原因我们都将其称为变异
因素或变异来源。
方差分析就是发现各类变异因素相对重要性的一种方法
方差分析的思路就是：把整个试验（设有 k 个总体）的样本资料作 为一个整体来考虑。
原理是变异的可加性。
即每一个数据与数据的总体平均数差的平方和，可以分解为每一组数 据各自的离差平方和与由各组数据的平均数组成的一组数据的
离差平方和两部分。前者表达的是组内差异，即每组数据中 各个数据之间的差异，也就是个体差异，表达的是抽样误差或 随机误差程度；后者表达的是组间差异，即各组平均数之间的差 异，表达的是实验操纵的差异程度，实验操纵即指自变量的操 纵，这两部分差异之间相互独立。
3、这种两两比较会随着样本组数的增加而加大犯Ⅰ型错的差异显著性检验，若两两比较推 断正确的概率为95%,则所有比较都正确的概率为6=0.74,则降低
了推断的可靠性。
• 几个常用术语:
1、试验指标(experimental index) 为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低 ，在试验中具体测
(1).计算平方和：
组间平方和
SB SX n2X n2 71 .5 6 65 8 .1 7 8 20 8 .47
¨ 组内平方和
SW SX 2X n2 7 6 7 41 4 .5 6 4 45 7 .5 7 8
¨ 总平方和
SS T X 2X n2
764414252 876.396
23
(2)．计算自由度
因此，方差分析可以帮助我们抓住试验的主要矛盾和技术关键，发 现主要的变异来源，从而抓住主要的、实质性的东西。
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二期矽肺 100.67 93.47 74.97 88.06 113.52 101.14 95.10 118.98
三期矽肺 97.58 83.58 103.81 107.10 108.42 82.58 89.01 77.11
方差分析的基本思想
总变异：从例中看出，32个观察值大小参差不 齐，这种个体值与总均数之间的差异称为总变 异。
多个样本均数间的多重比较
多个样本均数间的多重比较：也称为两两 比较，主要用于探索与证实多组均数中， 哪两个总体均数间有差别，哪两个均数间 没有差别。 如果多组均数的比较采用两样本均数比较 的t检验，会加大I型错误。
多个样本均数间的多重比较
LSD-t检验：最小显著差法
容易获得P<0.05，但是假阳性率较高；
完全随机设计资料的方差分析
方差分析结果表 变异来源 总 组间 组内 SS 86.740 45.091 41.649 ν 39 3 36 MS F P <0.05
15.030 12.990 1.157
3.确定P值和作出推断结论：以ν组间=3，ν组内=36， 查F界值表得P<0.05， 按α=0.05水准拒绝H0 ，接受 H1，故可以认为给予不同剂量的三菱莪术液，小鼠瘤 重间差别有统计学意义。
方差分析
主要内容
方差分析的基本思想 完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设 计、交叉设计和析因设计资料方差分析的 基本过程
多个样本均数的比较
两个样本均数的比较：
1次t-test，α=0.05；
三个样本均数的比较：
3次t-test，α=1-（1-0.05）3=0.14；
四个样本均数的比较：
6次t-test，α=1-（1-0.05）6=0.26；
方差分析的目的
方差分析是一种特殊的假设检验，是判断 多组数据之间均数差异是否显著的。 一次比较就能做出判断：
方差分析是把所有数据都放在一起，通过一次 比较就对所有各组间是否有差异做出判断，如 果没有显著差异，则认为他们都是相同的；如 差异有统计学意义，再进一步比较哪些数据之 间有差异，以避免使第一类错误α大大增加。
合计
n
12 40.08
36 55.74
xi
完全随机设计资料的方差分析
建立检Байду номын сангаас假设和确定检验水准
H0 ：不同剂量的郁金对小鼠的存活时间无影 响，μ1=μ2=μ3 H1 ：不同剂量的郁金对小鼠的存活时间有影 响，三组总体均数不全相等 α=0.05
完全随机设计资料的方差分析
选择完全随机设计的方差分析方法计算检验统计 量 方差分析结果表
S x A −xB =
MS误差 1 1 33.281 1 1 （ + ） = （ + ） 1.6654 = n A nB 2 2 12 12
样本均数的差异，可能有两种原因所致。
首先可能由随机误差所致，随机误差包括个体间的变 异和测量误差两部分，一般来说，个体之间各不相 同，是繁杂的生物界的特点；测量误差也是不可避免 的，因此随机误差肯定存在。 其次可能是由于各组所接受的处理不同，不同的处理 引起不同的作用和效果，导致各处理组之间均数不 同。
MS = 组间 SS组间 K −1
方差分析的基本思想
方差分析的基本思想是将所有观察值之间的变异 （称总变异）按设计分解成几部分，每一部分变 异都反映了研究工作中某种特定的内容，自由度 也相应地分为几部分。 如完全随机设计资料的方差分析，将总变异分解 为组间变异和组内变异两部分，将各部分变异均 以离均差平方和除以相应的自由度所得的均方表 示，组间均方与组内均方相比得F值。
完全随机设计（completely random design）属 单因素研究设计，它是将随机抽取的受试对象， 随机地分配到两个或多个水平（处理）组中，观 察和比较不同处理所产生的效应，亦称单因素实 验设计。 分组时可采用简单随机化来实现，即将随机抽取 的足够量的受试对象，按某种标识进行编号，如 就诊日期、出生时间或体重大小等，采用随机数 字表或随机函数法等，将受试对象分配到各组 中。
它反映了个体值的随机误差，包括矿工血清粘蛋白 含量的个体差异、测量误差和抽样误差，其大小可 用样本内部每个观察值与组均数的离均差平方和来 表示。
SS = ∑∑(xij − xi ) 组内
i j 2
SS组内的大小除了与随机误差有关外，还与各样本例 数的多少有关，其自由度ν组内=N-K（K为组数）。
MS组内 = SS组内 N−K
2.计算检验统计量F值
C=（ΣX）2/N=(114.9)2/40=330.050
SS总 =
∑
（xij − x) =
2
∑
x 2 − C = 416.79 − 330.050 = 86.740
ν总 = N-1 = 40-1=39
完全随机设计资料的方差分析
SS组间
∑ = ∑n (x − x) =∑
i i 2
Ⅳ组 3.3 1.2 0.0 2.7 3.0 3.2 0.6 1.4 1.2 2.1 18.7 1.87 47.03
∑x
j
ij
46.6 4.66
xi
∑x
j
2 ij
226.32
完全随机设计资料的方差分析
1.建立假设和确定检验水准
H0 ：四组小鼠瘤重的总体均数相等，μ1=μ2=μ3=μ4 H1 ：四组小鼠瘤重总体均数不全相等 α=0.05
完全随机设计资料的方差分析
例：为研究郁金对低张性缺氧小鼠存活时 间的影响，将36只小鼠随机分为A、B、C 三组，每组12只，分别以10g/kg、20g/kg 和40g/kg三种不同剂量的郁金灌胃，各组 小鼠均同时置于放有钠石灰的250ml密闭广 口瓶中，观察并记录小鼠存活时间。数据 如下表所示，问不同剂量的郁金下小鼠的 存活时间是否不同？
MS组间 F= MS组内
方差分析的基本思想
F统计量服从ν组间=k-1，ν组内=n-k 的F分布。
若矽肺对血清粘蛋白无影响，可以认为导致组间变化 的原因主要是随机误差，MS组间和MS组内理论上应相 等，故F值理论上应等于1。 当F< Fα ,(ν ,ν ）时，则P>α，不拒绝H0，尚不能认为处 理因素效应间差别有统计学意义。
方差分析的基本思想
组间变异：在方差分析中，把不同处理组间均数 与总均数之间的差异称为组间变异。
各组间的样本均数也大小不等，除与随机误差有关 外，可能与矽肺对血清粘蛋白含量的影响有关（处理 因素的作用）。 其大小可用各组均数与总均数的离均差平方和来表 示。
SS = ∑ni (xi − x)2 组间
组间变异还与组间自由度ν组间=K-1有关。
SNK法
接上面的例题进行三个均数的多重比较。 建立假设检验、确定检验水准
H0 ：A与B两个对比组的总体均数相等， μA=μB H1 ： A与B两个对比组的总体均数不等， μA≠μB α=0.05
SNK法
计算检验统计量q值
已知：nA=nB=12 MS误差= MS组内=33.281 本例各组例数相等，故任意两组均数差值的误差均 方相等，即差值的标准误为：
(
xij)2
n
46.62 25.02 24.62 18.72 −C = + + + − 330.05 = 45.091 10 10 10 10
ν组间 = k-1 =4-1 =3 SS 组内=SS 总- SS 组间 =86.740-45.091=41.649 ν组内= N-k =40-4=36 MS 组间 = SS 组间/ν组间 =45.091/3=15.030 MS 组内 = SS 组内/ν组内=41.649/36=1.157 F= MS 组间/MS 组内=15.030/1.157=12.990
组间 组内
若矽肺对血清粘蛋白有影响，MS组间将明显大于MS组 Fα 内，F值将明显大于1。当F≥ ,(ν ,ν ） 时，则P≤α， 拒绝H0，接受H1，可以认为处理因素效应间差别有统 计学意义。
组间 组内
方差分析的基本思想
总变异=随机变异+处理因素导致的变异 总变异=组内变异 + 组间变异
完全随机设计
处理因素导致的变异是否存在，这正是假设检验 要回答的问题，只要能证明它不等于0，就等同 于证明了处理因素的确存在影响。
方差分析的基本思想
总变异=随机变异+处理因素导致的变异 方差分析是将所有观察值之间的变异（称 总变异）按设计和需要分解成几部分，每 一部分变异都反映了研究工作中某种特定 的内容，通过对平均变异的比较，做出相 应的统计判断。
Ⅰ组 3.6 4.5 4.2 4.4 3.7 5.6 7.0 4.1 5.0 4.5
Ⅱ组 3.0 2.3 2.4 1.1 4.0 3.7 2.7 1.9 2.6 1.3 25.0 2.50 70.30
Ⅲ组 0.4 1.7 2.3 4.5 3.6 1.3 3.2 3.0 2.1 2.5 24.6 2.46 73.14
方差分析的用途
方差分析可用于：
方差齐性检验； 两个或多个样本均数间的比较； 分析两个或多个因素的交互作用； 回归方程的假设检验。
多个样本均数间比较的方差分析应用条件
独立性：各样本必须是相互独立的随机样本； 正态性：各样本均来自正态总体； 方差齐性：相互比较的各样本的总体方差相 等。
方差分析的基本思想
完全随机设计
该设计常用于将受试对象按随机化原则分配到处 理组和对照组中，各组样本例数可以相等，也可 以不等，但相等时效率高。 优点是设计和统计分析方法简单易行。 缺点是只分析一个因素，没有考虑个体间的差 异，因而要求各观察单位要有较好的同质性，否 则，需扩大样本含量。
完全随机设计资料的方差分析
将建模成功的某恶性肿瘤小白鼠40只，随机分为 4个处理组，对照组注射蒸馏水1.0ml，另3组分 别注射不同剂量的三菱莪术注射液，半月后处死 小白鼠称瘤重（g），结果如表。表中Ⅰ组为对 照组，Ⅱ组、Ⅲ组和Ⅳ组分别给予0.5ml，1.0ml 和1.5ml三菱莪术注射液。试比较不同处理组间 瘤重有无差别？