江苏省常州市部分四星级高中2014-2015学年度高二下学期期中考试数学文试卷
2014-2015年江苏省常州市部分四星级高中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年江苏省常州市部分四星级高中高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．（5分）计算i+i2+…+i2015的值为．2．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是．3．（5分）设复数z满足：i（z+1）＝3+2i，则z的虚部是．4．（5分）设全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a﹣5|，9}，∁U A＝{5，7}，则a的值为．5．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．6．（5分）设x是纯虚数，y是实数，且2x﹣1+i＝y﹣（3﹣y）i，则|x+y|＝．7．（5分）已知关于实数x的两个命题：p：＜0，q：x+a＜0，且命题p是q 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．8．（5分）若函数为奇函数，则a＝．9．（5分）将正奇数按如图所示的规律排列：则第n（n≥4）行从左向右的第3个数为．10．（5分）二维空间中，正方形的一维测度（周长）l＝4a（其中a为正方形的边长），二维测度（面积）S＝a2；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S＝6a2（其中a为正方形的边长），三维测度（体积）V＝a3；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度V＝4a3，则其四维测度W＝．11．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（﹣∞，0）上是减函数，则使f（lnx）＜f（1）的x的取值范围为．12．（5分）直线y＝t与函数f（x）＝的图象分别交于A，B两点，则线段AB的长度的最小值为．13．（5分）如果函数y＝a2x+2a x﹣1（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值是14，则实数a的值为．14．（5分）已知函数y＝f（x）是定义域为R偶函数，当x≥0时，f（x）＝，若函数f（x）在（t，t+2）上的值域是，则实数t的值的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1＝0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．16．（14分）已知z是复数，均为实数，（1）求复数z（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．17．（14分）已知集合A＝，C＝{x∈R|x2+bx+c ≥0}．（1）求A∪B；（2）若（A∪B）∩C为空集，（A∪B）∪C＝R，求b，c的值．18．（16分）将一个长宽分别为2米和2k米（0＜k＜1）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，记切去的正方形边长为x（0＜x＜k），（1）若，求这个长方体盒子的容积的最大时的x的值；（2）若该长方体的盒子的对角线长有最小值，求k的范围．19．（16分）已知函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1，x∈R，（1）当a＝0时，判断函数f（x）的奇偶性；（2）当时，求函数f（x）的单调区间；（3）当时，求函数f（x）的最小值．20．（16分）已知函数，g（x）＝ax．（1）若直线y＝g（x）是函数的图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）2014-2015学年江苏省常州市部分四星级高中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．（5分）计算i+i2+…+i2015的值为﹣1．【解答】解：∵i2015＝（i4）503•i3＝﹣i．∴i+i2+…+i2015＝＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．2．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是（0，﹣1）．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面上对应的点的坐标是（0，﹣1）故答案为（0，﹣1）3．（5分）设复数z满足：i（z+1）＝3+2i，则z的虚部是﹣3．【解答】解：∵复数z满足：i（z+1）＝3+2i，∴z＝﹣1＝﹣1＝﹣1＝2﹣3i﹣1＝1﹣3i，∴复数的虚部为：﹣3，故答案为：﹣3．4．（5分）设全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a﹣5|，9}，∁U A＝{5，7}，则a的值为2或8．【解答】解：由于全集U＝{1，3，5，7，9}，∁U A＝{5，7}，依据补集的性质∁U （∁U A）＝A则有{1，3，9}＝{1，|a﹣5|，9}，即|a﹣5|＝3，解得：a＝2或8．故答案为：2或8．5．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”∵“任意”的否定为“存在”∴命题的否定为：，故答案为：6．（5分）设x是纯虚数，y是实数，且2x﹣1+i＝y﹣（3﹣y）i，则|x+y|＝．【解答】解：设x＝ai（a∈R，且a≠0）．∵2x﹣1+i＝y﹣（3﹣y）i，∴2ai﹣1+i＝y﹣（3﹣y）i，∴﹣1＝y，2a+1＝﹣（3﹣y），解得y＝﹣1，a＝﹣．x+y＝﹣i＝﹣．则|x+y|＝．故答案为：．7．（5分）已知关于实数x的两个命题：p：＜0，q：x+a＜0，且命题p是q 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是a≥1．【解答】解：p：＜0⇔（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣1，或x＞2，q：x+a＜0，解得x＜﹣a，∵命题p是q的必要不充分条件，∴﹣a≤﹣1，即a≥1故答案为：a≥1．8．（5分）若函数为奇函数，则a＝．【解答】解：∵函数为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）即＝﹣，即（3x﹣1）（x+a）＝（3x+1）（x﹣a）则3x2+（3a﹣1）x﹣a＝3x2+（1﹣3a）x﹣a，则3a﹣1＝1﹣3a，即3a﹣1＝0，解得a＝；故答案为：；9．（5分）将正奇数按如图所示的规律排列：则第n（n≥4）行从左向右的第3个数为n2﹣n+5．【解答】解：观察三角形数阵，知第n行（n≥3）前共有1+2+3+…+（n﹣1）＝个连续奇数，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为2[+3]﹣1＝n2﹣n+5；故答案为：n2﹣n+5．10．（5分）二维空间中，正方形的一维测度（周长）l＝4a（其中a为正方形的边长），二维测度（面积）S＝a2；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S＝6a2（其中a为正方形的边长），三维测度（体积）V＝a3；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度V＝4a3，则其四维测度W＝．【解答】解：二维空间中，正方形的一维测度（周长）l＝4a（其中a为正方形的边长），二维测度（面积）S＝a2；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S＝6a2（其中a为正方形的边长），三维测度（体积）V＝a3；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度V＝4a3，则其四维测度W ＝，故答案为：．11．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（﹣∞，0）上是减函数，则使f（lnx）＜f（1）的x的取值范围为（，e）．【解答】解：∵函数f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，∴函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，∵f（lnx）＜f（1），即f（|lnx|）＜f（1），∴|lnx|＜1，∴﹣1＜lnx＜1，解得：＜x＜e∴实数a的取值范围是（，e），故答案为：．12．（5分）直线y＝t与函数f（x）＝的图象分别交于A，B两点，则线段AB的长度的最小值为．【解答】解：∵直线y＝t与函数f（x）＝的图象分别交于A，B两点，∴A（t2，t），B（lnt，t），其中t2＞lnt，且t＞0，∴|AB|＝t2﹣lnt设函数f（t）＝t2﹣lnt，f′（t）＝t﹣，t＞0，令f′（t）＝0，解得t＝1，当f′（t）＞0，即t＞1时，函数在（1，+∞）单调递增，当f′（t）＜0，即0＜t＜1时，函数在（0，1）单调递减，故t＝1时，函数有最小值，最小值为f（1）＝，故线段AB的长度的最小值为．故答案为：．13．（5分）如果函数y＝a2x+2a x﹣1（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值是14，则实数a的值为3或．【解答】解：设t＝a x，则函数等价为y＝f（t）＝t2+2t﹣1＝（t+1）2﹣2，对称轴为t＝﹣1，若a＞1，则0＜≤t≤a，此时函数的最大值为f（a）＝（a+1）2﹣2＝14，即（a+1）2＝16，即a+1＝4或a+1＝﹣4，即a＝3或a＝﹣5（舍），若0＜a＜1，则0＜a≤t≤，此时函数的最大值为f（）＝（+1）2﹣2＝14，即（+1）2＝16，即+1＝4或+1＝﹣4，即＝3或＝﹣5（舍），解得a＝，综上3或；故答案为：3或；14．（5分）已知函数y＝f（x）是定义域为R偶函数，当x≥0时，f（x）＝，若函数f（x）在（t，t+2）上的值域是，则实数t的值的集合为{﹣，﹣2}．【解答】解：∵函数y＝f（x）是定义域为R偶函数，∴若﹣2≤x≤0，则0≤﹣x≤2，则f（﹣x）＝＝f（x），即当﹣2≤x≤0，f（x）＝，若x＜﹣2，则﹣x＞2，则f（﹣x）＝＝f（x），即当x＜﹣2，f（x）＝，作出函数f（x）的图象如图：当x＝0时，f（x）＝0，当x＝2时，f（2）＝﹣2，由＝﹣得x2＝3，x＝±，由＝﹣得x＝3，由＝﹣得x＝﹣3，若函数的值域为，则t＜0＜t+2即﹣2＜t＜0，当t＝﹣时，f（t）＝﹣，此时t+2＝2﹣，∵0＜2﹣＜，∴满足函数的值域为，若t+2＝时，即f（t+2）＝﹣，此时t＝﹣2，∵﹣＜﹣2＜0，∴满足函数的值域为，综上t＝﹣或﹣2，故答案为：{﹣，﹣2}二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1＝0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．【解答】解：若方程x2+mx+1＝0有两不等的负根，则，解得m＞2即命题p：m＞2，…（4分）若方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，则△＝16（m﹣2）2﹣16＝16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．…（8分）由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．…（10分）∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．…（14分）16．（14分）已知z是复数，均为实数，（1）求复数z（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z（1+2i）＝（x+yi）（1+2i）＝x﹣2y+（2x+y）i∈R，则2x+y＝0，①，则x+2y+2＝0，②由①②解得：，∴．（2），在复平面上对应的点在第一象限，当且仅当：，解得：．∴实数a的取值范围是．17．（14分）已知集合A＝，C＝{x∈R|x2+bx+c ≥0}．（1）求A∪B；（2）若（A∪B）∩C为空集，（A∪B）∪C＝R，求b，c的值．【解答】解：（1）∵A＝（﹣2，1），B＝[2﹣4，3），∵2﹣1＜1，∴A∪B＝（﹣2，3）；（2）由题意知，方程x2+bx+c＝0必有两个不等实根，记为x1，x2（x1＜x2），C ＝（﹣∞，x1]∪[x2，+∞），由（A∪B）∩C为空集，得到x1≤﹣2，x2≥3，由（A∪B）∪C＝R，得到x1≥﹣2，x2≤3，∴x1＝﹣2，x2＝3，解得：b＝﹣1，c＝﹣6．18．（16分）将一个长宽分别为2米和2k米（0＜k＜1）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，记切去的正方形边长为x（0＜x＜k），（1）若，求这个长方体盒子的容积的最大时的x的值；（2）若该长方体的盒子的对角线长有最小值，求k的范围．【解答】解：（1）V＝4（1﹣x）（k﹣x）x＝4[x3﹣（1+k）x2+kx]，x∈（0，k），，；解得（舍去），；故函数V在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减；故这个长方体盒子的容积的最大时的x的值为．（2）记长方体的盒子的对角线长度为l米，则，∵l有最小值，∴，解得．故k的范围为（，1）．19．（16分）已知函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1，x∈R，（1）当a＝0时，判断函数f（x）的奇偶性；（2）当时，求函数f（x）的单调区间；（3）当时，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2+|x|+1，定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）2+|﹣x|+1＝x2+|x|+1＝f（x），则f（x）为偶函数；（2）当a＝时，f（x）＝，当x时，f（x）＝（x+）2+递增；当x＜时，f（x）＝（x﹣）2+，递减．则f（x）的单调减区间为，增区间为；（3）f（x）＝，（ⅰ）当时，f（x）在上递减，在上递增，；（ⅱ）当时，f（x）在（﹣∞，a）上递减，在（a，+∞）上递增，．20．（16分）已知函数，g（x）＝ax．（1）若直线y＝g（x）是函数的图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【解答】（1）解：设切点（x0，lnx0），则切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），即y ＝+lnx0﹣1，∴＝a，lnx0﹣1＝0，∴a＝；（2）解：h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣﹣ax﹣b，则h′（x）＝﹣a，∵函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x＞0时，h′（x）≥0，∴a≤，设＝t（t≥1），则u（t）＝t+t2，在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）min＝u（1）＝2，∴a≤2；（3）证明：由题意知＝ax1，lnx2﹣＝ax2，两式相加得lnx1x2﹣＝a（x1+x2），两式相减得﹣＝a（x2﹣x1），即＝a，∴lnx1x2﹣＝（）（x1+x2），即lnx1x2﹣＝，不妨令0＜x1＜x2，记t＝＞1，令F（t）＝lnt﹣（t＞1），则F′（t）＝＞0，∴F（t）＝lnt﹣在（1，+∞）上单调递增，则F（t）＝lnt﹣＞F（1）＝0，∴lnt＞，则＞，∴lnx1x2﹣＝＞2，又lnx 1x2﹣＜lnx1x2﹣＝2ln﹣∴2ln﹣＞2，即ln﹣＞1令G（x）＝lnx﹣，则x＞0时，G′（x）＝+＞0，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又ln e﹣＝ln2+1﹣≈0.85＜1，∴G（）＝ln﹣＞1＞ln e﹣，则＞e，即x 1x2＞2e2．。
2023-2024学年江苏省常州市高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市高二下学期期中数学模拟试题一、单选题1．已知2C 15n =（N n ∈，且2n ≥），则2A n 的值为（）A ．25B ．30C ．42D ．56【正确答案】B【分析】根据排列数组合式公式求解即可.【详解】()21C 152n n n -==，解得6n =或5n =-（舍去）.26A 6530=⨯=.故选：B2．邮递员把两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种【正确答案】C【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】第一步先投一封信有3种不同的投法，第二步投剩余的一封信也有3种不同的投法，根据分步乘法计数原理可知，共有339⨯=种不同的投法.故选：C3．已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】A【分析】根据//m AB求解即可.【详解】由题知：()1,2,3AB y z =---，因为//m AB ，所以213123y z -==---，解得33,22y z ==，所以0y z -=.故选：A4．学校安排元旦晩会的4个舞蹈节目和2个音乐节目的演出顺序，要求2个音乐节目要连排，且都不能在第一个演出，则不同的排法种数是（）A ．96B ．144C ．192D ．240【正确答案】C【分析】按照捆绑法，结合排列数公式，即可求解.【详解】将2个音乐节目看成1个元素，有22A 2=种方法，和4个舞蹈节目共看成5个元素，其中2个音乐节目不排在首位，有4种方法，再全排列4个舞蹈节目，有44A 24=种方法，所以共有2424A 4A 192⨯⨯=种方法.故选：C5．下列说法正确的是（）A ．若向量a 、b 共线，则向量a 、b所在的直线平行；B ．若向量a 、b 所在的直线是异面直线，则向量a 、b一定不共线；C ．若直线l 的方向向量为()1,0,1e =，平面α的法向量()1,0,1n =- ，则l //α；D ．若a 、b 、c是空间三个向量，则对空间任一向量p ，总存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++ .【正确答案】B【分析】根据空间直线与直线和直线与平面的位置关系和空间向量基本定理依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若向量a 、b 共线，则向量a 、b所在的直线平行或重合，故A 错误.对选项B ，因为向量a 、b 所在的直线是异面直线，所以向量a 、b一定不共线，故B 正确.对选项C ，因为无法判断直线l 是否在平面α内，故C 错误.对选项D ，只有a 、b、c 三个向量不共面时，才有p xa yb zc =++ ，故D 错误.故选：B6．已知空间中三点()()()1,0,0,0,1,1,1,1,2A B C ----，则点C 到直线AB 的距离为（）AB ．2C D 【正确答案】C【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．【详解】因为()()()1,0,0,0,1,1,1,1,2A B C ----，所以()()0,1,2,1,1,1AC AB =-=- ，则点C 到直线AB.故选：C.7．已知两个随机变量X ，Y ，其中1~5,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()2~,Y N μσ（σ>0），若E (X )=E (Y )，且()10.3P Y <=，则()1P Y <-=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.1【正确答案】A【分析】由二项分布期望公式求得()()1E X E Y μ===，再根据正态分布的对称性及已知求()1P Y <-.【详解】由题设1()()515E X E Y ==⨯=，即1μ=，又()1(11)0.3P Y P Y <=-<<=，故()10.50.30.2P Y <-=-=.故选：A8．在空间直角坐标系O xyz -中，()()()8,0,0,0,8,0,0,0,8A B C ，则三棱锥O ABC -内部整点(所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点)的个数为（）A ．35B ．36C ．84D ．21【正确答案】A【分析】首先求平面ABC 的一个法向量，并根据法向量确定三棱锥内部的点满足的条件，并结合隔板法，求方法种数.【详解】由条件可知，()8,8,0AB =- ，()8,0,8AC =- ，设平面ABC 的一个法向量(),,n x y z =r，则880880AB n x y AC n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则1y z ==，故()1,1,1n = ，设(),,P a b c 是平面ABC 上的点，则()8,,AP a b c =-，故80AP n a b c ⋅=-++=，则8a b c ++=，不妨设三棱锥O ABC -内部整数点为(),,Q r s t ，则*,,N r s t ∈，且1r ≥，1s ≥，1t ≥，则3r s t ++≥若8r s t ++=时，则Q 在平面ABC 上，若8r s t ++>，则Q 在三棱锥O ABC -的外部，所以37r s t ≤++≤，当*,N r s t n n ++=∈，且37n ≤≤时，将n 写成n 个1排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为,,r s t 的取值的方法个数，显然有21C n -个方法，所有整数点(),,Q r s t 的个数为2222223456C C C C C 35++++=.故选：A 二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和0.85-，则乙组数据的线性相关性更强；B ．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好；C ．对变量x 与y 的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“x 与y 有关系”的把握性越大；D ．对具有线性相关关系的变量x 、y ，有一组观测数据()1,(1,2,,10)i x y i = ，其线性回归方程是ˆ1y bx=+，且()123101231039x x x x y y y y ++++=++++= ，则实数ˆb 的值是79-.【正确答案】ABD【分析】A.通过比较两数据的相关系数的绝对值可得该选项正确；B.残差平方和越小，拟合效果越好，所以该选项正确；C.2χ值越小，判断“x 与y 有关系”的把握性越小，所以该选项错误；D.求出样本中心点(0.9,0.3)，再求出7ˆ9b=-，得该选项正确.【详解】A.因为乙数据的相关系数的绝对值为0.85，比甲数据的相关系数的绝对值0.66大，所以乙组数据的线性相关性更强，所以该选项正确；B.回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，所以该选项正确；C.对变量x 与y 的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“x 与y 有关系”的把握性越小，所以该选项错误；D.由题得0.90.3x y ==，，所以样本中心点(0.9,0.3)满足方程 ˆ1y bx=+，所以7ˆˆ0.30.91,9bb =⨯+∴=-，所以该选项正确.故选：ABD10．已知8280128()(2)f x x a a x a x a x =-=++++ ，则（）A ．01281a a a a +++⋅+=B ．812383a a a a +++⋯+=C ．(1)f -除以5所得的余数是1D ．12382388a a a a ++++=- 【正确答案】ACD【分析】对于选项A ，通过赋值1x =即可判断出结果的正误；对于选项B ，通过展开式的通项公式，得到12381283a a a a a a a a -+++⋯-=++++ ，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C ，通过84(1)3(101)f -==-，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D ，通过对等式两边同时求导，再进行赋值即可得出结果的正误.【详解】选项A ，因为8280128(2)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得到01281a a a a +++⋅+=，所以选项A 正确；选项B ，因为8(2)x -二项展开式的通项公式为()()()88188C 21C 208,N rrr r r r r r T x x r r --+=-=-≤≤∈，由通项公式知，8(2)x -二项展开式中偶数项的系数为负数，所以12381283a a a a a a a a -+++⋯-=++++ ，由8280128(2)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得到802a =，令=1x -，得到8012833a a a a a ++--+= ，所以88123823a a a a +++=-⋯+，所以选项B 错误；选项C ，因为844413223312213444444(1)39(101)10C 10C 10C 10110(10C 10C 10C )1f -===-=-+-+=⨯-+-+，所以(1)f -除以5所得的余数是1，选项C 正确；对于选项D ，因为8280128(2)x a a x a x a x -=++++ ，两边同时对x 求导，得到77212388(2)238x a a x a x a x -⨯-=++++ ，令1x =，得到12382388a a a a ++++=- ，所以选项D 正确.故选：ACD.11．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A =“两次掷出的点数之和是6”，事件B =“第一次掷出的点数是奇数”，事件C =“两次掷出的点数相同”，则（）A ．A 与B 互斥B ．B 与C 相互独立C ．1()6P A B =D ．A 与C 相互独立【正确答案】BC【分析】由互斥事件的定义判断A ；由相互独立事件的定义判断B ，D ；由条件概率的计算公式判断C.【详解】解：对于A ，当事件A 为：“第一次出现1，第二次出现5”或“第一次出现3，第二次出现3”或“第一次出现5，第二次出1时”，与事件B 同时发生了，故,A B 不互斥，故错误；对于B ，因为31()62P B ==，61()666P C ==⨯，31()()()6612P BC P B P C ===⋅⨯，所以B 与C 相互独立，故正确；对于C ，因为事件,A B 同时发生即为“第一次出现1，第二次出现5”或“第一次出现3，第二次出现3”或“第一次出现5，第二次出1时”，所以31()3612P AB ==，又因为1()2P B =，所以1()112()1()62P AB P A B P B ===，故正确；对于D ，因为5()36P A =，1()6P C =，1()36P AC =，()()()P AC P A P C ≠⋅，所以A 与C 不相互独立，故错误.故选：BC ．12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，下列选项正确的是（）A ．若M ，N 分别为1BB ，CD 的中点，直线//MN 平面11A DC ；B ．若[]()10,1BP BC BB λλ=+∈，三棱锥1P A BC -的体积为定值；C ．若E ､F ､G 分别为BC ､1CC ､1BB 的中点，则存在实数λ､μ使得1λμ=+A G AF AE 成立；D ．若[]()10,1AP AD λλ=∈ ，则异面直线BP 和1C D 所成角取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦.【正确答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法即可判断A 、C 、D ，变换三棱锥1P A BC -的顶点和底面，用等积法可判断B.【详解】以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,0)A ，(2,0,1)M ，(1,2,0)N ，(2,0,0)B ，1(0,2,2)D ，(1,2,1)MN =--，1(2,2,2)BD =- 是平面11A DC 的一个法向量，因为140MN BD ⋅=≠，所以A 错误；若[]()10,1BP BC BB λλ=+∈，则点P 在线段11B C 上，如图：则三棱锥1P A BC -的体积111111142223323P A BC A BC PB P C V V S A B --==⋅=⨯⨯⨯⨯= 为一定值，故B 正确；以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,0)A ，(2,1,0)E ，(2,2,1)F ，(2,0,1)G ，1(0,0,2)A ，(2,2,1)AF = ，(2,1,0)AE =，1(2,0,1)A G =- ，若存在实数λ､μ使得1λμ=+ AG AF AE 成立，则有(2,0,1)(2,2,1)(2,1,0)(22,2,)λμλμλμλ-=+=++，所以有222201λμλμλ+=⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得12λμ=-⎧⎨=⎩，所以C 正确；以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系：则(2,0,0)A ，1(0,0,2)D ，(0,0,0)D ，1(0,2,2)C ，(2,2,0)B ，1(2,0,2)AD =-，1(0,2,2)DC = ，若[]()10,1AP AD λλ=∈ ，得22,0(,2)P λλ-，则(2,2,2)BP λλ=--，设异面直线BP 和1C D 所成角为θ，则π(0,2θ∈，所以有11cos 2BP DC BP DC θ⋅== 当1λ=时，cos 0θ=，此时异面直线BP 和1C D 所成角为π2；当1λ≠时，令1x λ-=，则(0,1]x ∈，cos 22θ=⋅令1t x=，则1t ≥，cos 22θ=⋅因1t ≥，所以当1t =即0λ=时，cos θ取得最大值为2，此时此时异面直线BP 和1C D 所成角为π4，故D 正确.故选：BCD.三、双空题13．随机变量X 的分布列如下表，则(21)E X -=________；(21)D X -=__________.X012P0.3p0.3【正确答案】12.4【分析】首先根据题意得到0.4p =，从而得到()1E X =，()0.6D X =，再根据数学期望和方差的性质求解即可.【详解】由题知：10.30.30.4p =--=，()00.310.420.31E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()222010.3110.4210.30.6D X =-⨯+-⨯+-⨯=.()()21211E X E X -=-=，()()214 2.4D X D X -==.故1，2.4四、填空题14．()521x y -+展开式中含2x y 项的系数为______．【正确答案】－60【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】()()552112x y x y -+=+-⎡⎤⎣⎦，设该二项式的通项公式为()()5155C 12C 2rrr r rr T x y x y -+=⋅⋅-=⋅-，因为2x y 的次数为3，所以令3r =，二项式()32x y -的通项公式为()313C 2r r r r T x y '''-'+'=⋅⋅-，令1r '=，所以2x y 项的系数为()3153C C 260⋅⋅-=-，故60-15．如图所示，某人从A 按最短路径走到B ，其中PQ 段道路施工，不能通行，问共有_____种不同的行走路线.【正确答案】52【分析】按照间接法，结合组合数公式，列式求解.【详解】从A 按最短路径走到B ，共有48C 70=种方法，其中从A 按最短路径走到P ，有24C 6=种方法，从Q 按最短路径走到B ，有13C 3=种方法，所以走PQ 段，从A 按最短路径走到B ，有6318⨯=种方法，所以不走PQ ，共有701852-=种不同的走法.故5216．一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD ，BC 将2个三角形折起到与平面ABCD 垂直（如图2），连接EF ，AE ，CF ，AC ，若点P 满足DP xDA yDC zDF =++且1x y z ++=，则EP 的最小值为___________.【正确答案】43【分析】由向量DP满足条件可知P 是平面ACF 上的动点，转化为求E 到平面ACF 的距离，利用补形及等体积法求解即可.【详解】因为点P 满足DP xDA yDC zDF =++且1x y z ++=，所以,,,A C F P 四点共面，即P 是平面ACF 上的动点，所以EP的最小值即为E 到平面ACF 的距离.由题意，几何体可补成边长为6的正方体，如图，则可知62AF AC CF AE FE CE ======设E 到平面ACF 的距离为h ，则143E ACF ACF E ABC V S h V V --=⋅⋅=-△正方体,即231311(62)646663432h ⋅=-⨯⨯⨯⨯⨯，解得43h =，所以EP的最小值为43故43五、解答题17．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知()*2nx x n N ⎛+∈ ⎝⎭，___________.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中所有的有理项.【正确答案】(1)4352T x =和74254T x =(2)51T x =，4352T x =，35516T x=【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.【详解】（1）二项展开式的通项公式为：211C C ,0,1,2,,22rr r rr n n n r r n x T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，∴()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-(舍去)，∴5n =.若选②，则由题得()221111C 22141C 22n n nn n n n n n n ----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5n =，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,522rr r rr r r T x x r --+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当52rZ -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭.18．有甲、乙两只不透明的袋子，其中甲袋放有2个红球，3个白球，乙袋放有3个红球，2个白球，且所有球的大小和质地均相同.(1)从这10个球中随机取4个球，设事件A 为“取出的4个球中恰有2个红球，且这2个红球来自同一个袋子”，求事件A 发生的概率；(2)先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，求从乙袋中取出的2个球均为红球的的概率.【正确答案】(1)421；(2)1142.【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）记“从甲袋中取出2个红球”为事件1C ，“从甲袋中取出2个白球”为事件2C ，“从甲袋中取出1个红球和1个白球”为事件3C ，记“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件B ，再利用全概率公式求解.【详解】（1）由题意可知，从这10个球中随机取4个球共有410C 210=种选法，事件A 的选法共有22222535C C C C 40+=种，故()40421021P A ==.所以事件A 发生的概率为421.（2）记“从甲袋中取出2个红球”为事件1C ，“从甲袋中取出2个白球”为事件2C ，“从甲袋中取出1个红球和1个白球”为事件3C ，记“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件B ，显然，事件1C ，2C ，3C 两两互斥，且1C +2C +3C 为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，由全概率公式得：13()()()i i i P B P C P B C ==∑=22211225333224222222575757C C C C C C C 5511C C C C C C 21042⨯+⨯+⨯==.所以先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的2个球均为红球的的概率为1142.19．如图所示的几何体ABCDE 中，平面DAB ⊥平面EAB ，AB AD AE ==22BC ==，BE BD CB ==//,DA 若M 为CE 的中点，N 为BE 的中点，3AF FD =.(1)求证：FN //平面MBD ；(2)求点F 到平面MBD 的距离；(3)求平面MBD 与平面ABD 所成角（锐角）的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析；(2)13；(3)13.【分析】（1）证明AD ⊥平面EAB ，以点A 为原点，射线AE ，AB ，AD 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明FN //平面MBD ；（2）利用向量法求点F 到平面MBD 的距离；（3）利用向量法求平面MBD 与平面ABD 所成角（锐角）的余弦值.【详解】（1）因为2AB AD AE ===，BE BD ==2228AB AD BD +==，即有AD AB ⊥，同理，AE AB ⊥，因为平面DAB ⊥平面EAB ，平面DAB ⋂平面EAB AB =，又AD ⊂平面DAB ，因此，AD ⊥平面EAB ，即AE ，AB ，AD 两两垂直，以点A 为原点，射线AE ，AB ，AD 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,2,1),(1,1,0)A E B D C N，CE 的中点1(1,1,)2M ，又3AF FD =，即3(0,0,)2F ，于是得3(1,1,)2FN =- ，1(1,1,)2BM =- ，(0,2,2)BD =- ，设平面MBD 的法向量(,,)n x y z = ，则102220n BM x y z n BD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令2z =，得(1,2,2)n =，因此，31112202FN n ⋅=⨯+⨯-⨯= ，即FN n ⊥ ，//FN 平面MBD ，而FN ⊄平面MBD ，所以FN //平面MBD .（2）由（1）知，1(0,0,)2DF =- ，则点F 到平面MBD的距离||13||DF n n ⋅==，所以点F 到平面MBD 的距离是13.（3）由（1）知，平面MBD 的法向量(1,2,2)n = ，平面ABD 的一个法向量为(2,0,0)AE =，依题意，||1|cos ,|3||||m AE m AE m AE ⋅〈〉==，所以，平面MBD 与平面ABD 所成角（锐角）的余弦值为13.20．某实验中学的暑期数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了100位同学8月份玩手机的时间（单位：小时），并将这100个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表：玩手机时间[015，）[1530，）[3045，）[4560，）[6075，）[7590，）[90+∞，）人数112282415137将8月份玩手机时间为75小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，75小时以下者视为“手机自我管理到位”.(1)请根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”；手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生女生1240合计(2)学校体育老师从手机自我管理不到位的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮训练，已知男生投篮进球的概率为23，女生投篮进球的概率为12，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投篮进球总次数的分布列和数学期望.附录：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.2χ独立性检验临界值表：20P χχ≥（）0.100.050.0100.001χ 2.706 3.841 6.63510.828【正确答案】(1)列联表见解析，没有(2)分布列见解析，116【分析】（1）根据已知条件完成列联表，利用表中数据求出观测值与临界值表进行比较即可求解；（2）根据已知条件求出随机变量X 的取值，利用概率的加法公式和乘法公式求出对应的概率，进而求出随机变量X 的分布列，结合随机变量X 的期望公式即可求解.【详解】（1）列联表如下：手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生52860女生281240合计80201002χ的观测值222()100(5212828) 4.167 6.635()()()()60408020n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”.（2）设3人投篮进球总次数为X ，由题意知随机变量X 的可能取值分别为0，1，2，3；故()211103218P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2121111C (1)13232182253P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⨯⨯⎪⎝⎭⎝⎭，()221222122142C 1C (1)323329P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22223C 32129P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⨯⎭，所以分布列如下表，X123P1185184929所以15421101231818996EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.21．如图，圆锥SO ，S 为顶点，O 是底面的圆心，AE 为底面直径，AE AS =，圆锥高SO =6，点P 在高SO 上，ABC 是圆锥SO 底面的内接正三角形.(1)若PO，判断PA 和平面PBC 是否垂直，并证明；(2)点P 在高SO 上的动点，当PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大时，求三棱锥P-ABC 的体积.【正确答案】(1)PA ⊥平面PBC ，证明见解析(2)【分析】（1）根据题意易证AP BP ⊥，AP CP ⊥，再根据线面垂直的判定即可证明PA ⊥平面PBC .（2）首先点O 为原点，平行于CB 方向为x 轴，以OE 方向为y 轴，以OS 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法和基本不等式得到当PO =PE 与平面PBC 所成角的正弦值最大，再求三棱锥-P ABC 的体积即可.【详解】（1）因为AE AS =，AS SE =，所以ASE △是正三角形，则π3SAO ∠=，易知SO ⊥底面圆O ，而AE ⊂底面圆O ，所以SO AE ⊥，又在Rt AOS 中，6SO =，所以AO ==，因为ABC是正三角形，所以26AB AO =⨯==，且AP =，BP AP =，所以222AP BP AB +=，AP BP ⊥，同理可证AP CP ⊥，又BP PC P = ，,BP PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ；（2）如图，因为AE BC ⊥，所以以点O 为原点，平行于CB 方向为x 轴，以OE 方向为y 轴，以OS 方向为z 轴，建立以O 为原点的空间直角坐标系O xyz -，设||,(06)PO m m =≤≤，则(0,0,),(P m E B C -.所以0,),),(),PE m PB m PC m =-=-=--设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则·3z 0·30n PB x m n PC x mz ⎧=+-=⎪⎨=-+-=⎪⎩，令0x =，则,y m z ==，故(0,n m →=，设直线PE 和平面PBC 所成的角为θ，则sin θ=13≤=，当且仅当2236m m =，即PO m ==时，PE 与平面PBC 所成角的正弦值最大，故2111sin 60332ABC V S PO AB ∆=⋅=⨯⨯⨯=.22．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X ，求X 的分布列；(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n 次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,n p n = ，①直接写出123p p p ，，的值；②求1n p +与n p 的关系式*()n N ∈，并求n p *()n N ∈.【正确答案】(1)分布列见解析(2)①10p =，212p =，314p =；②111,1,2,322n n p p n +=-+=；11(1)132n n -⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由离散型随机变量的分布列可解；（2）记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求111,22n n p p +=-+再由数列知识，由递推公式求得通项公式.【详解】（1）X 可能取值为1,2,3，()1232353110C C p X C ===；()213235325C C p X C ===；()3032351310C C p X C ===所以随机变量X 的分布列为X123P31035110（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且n 次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,n p n = ，则有10,p =2221,22p ==3321,24p ==记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，111n n n n n A A A A A +++=⋅+⋅所以()()()11111n n n n n n n n n p P A A A A P A A PA A +++++=⋅+⋅=⋅+⋅()()()()()()111110122n n n n n n n n n P A P A A P A P A A p p p ++=⋅+⋅=-⋅+⋅=-∣∣即111,1,2,322n n p p n +=-+=，所以1111323n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且11133p -=-所以数列13n p ⎧⎫-⎨⎩⎭表示以13-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n p -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭所以1111111132332n n n p --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+=--⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即n 次传球后球在甲手中的概率是11(1)132n n -⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.。
江苏省常州市部分四星级高中联考数学试卷苏教版[试题]
![江苏省常州市部分四星级高中联考数学试卷苏教版[试题]](https://img.taocdn.com/s3/m/f52e26600b4c2e3f57276382.png)
江苏省常州市部分四星级高中联考数学试卷苏教版[试题]1．对于两个集合1S 、2S 我们把一切有序对),(y x 所组成的集合（其中21,S y S x ∈∈），叫做1S 和2S 的笛卡尔积，记作21S S ⨯.如果{}2,11=S ，{}1,0,12-=S 则21S S ⨯的真子集的个数为 个． 2．已知xy y x y x 则,log log )(log 222+=+的取值范围是 ．3. 观察下列各式9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ． 4．第一次抛掷骰子得到的点数为a ，第二次点数为b ，则关于,x y 的方程组3,22ax by x y +=⎧⎨+=⎩唯一一组解的概率 ．5．为了计算13599⨯⨯⨯⨯的值，请你把右边框图中空缺的部分补完整，正确的为 ．6. 银行计划将某客户的资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M ，60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润。
年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户。
为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率最大值为 ． 7．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如2]08.1[,3][-=-=π，定义函数],[][x x x -=那么下列命题：①函数{x }的定义域为R ，值域为[0，1]；②方程{x }=21，有无数解；③函数{x }是周期函数；④函数{x }是增函数.正确的序号是 ．8．椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的两焦点分别为1F 、2F ，以1F 2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ．9. 在平面直角坐标系xoy 中已知△ABC 的顶点A(－6，0)和C(6，0)，顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，sin sin sin A C B-=则 ．10. 定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1,f -=(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃?的值为 ．11.函数sin()(0,0,)2y A x A p w j w j =+>>浇<部分的图象如图所示，则该函数的表达式为 ．12．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆O 外的一定点，点A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平，折痕CD 与直线OA 交于P 点，当点A 运动时点P 的轨迹是 ．（从“圆”，“椭圆”，“双曲线”，“抛物线”中选取） 13．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数,a b ∈R满足：(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n n n n f f f a b af b bf a f a n N b n N n =+==∈=∈，考察下列结论： ． ①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{n a )为等比数列； ④数列{n b )为等差数列.14．三个同学对问题“关于x 的不等式232164xx x ax ++-≥在[]1,8上恒成立，求实数a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”； 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．15、已知函数()1,f x a b =⋅-r r其中)()2,cos ,1,2cos ()a x x b x x R ==∈r r.⑴求()f x 的最小正周期和单调递增区间；⑵在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为(),,,2,3a b c f A a b ==，求边长c 的值。
常州市2014—2015学年第二学期期中质量调研八年级数学试题2015年4月(含评分标准)
22．（6 分）如图，△ABC 中，AD 是角平分线，过点 D 作 DE∥AC，DF∥AB，分别交 AB、AC 于点 E、F． ⑴ 求证：四边形 AEDF 是菱形． ⑵ 当△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 是正方形？请说明理由．
A
E F
B
D
C
八年级数学 第 4页 （共 11页）
23. （6 分）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
A
E
DA
E
DA
E
D
O
P
Q
P
Q
B
F
CB
F
图1
图2
CB
F
C
备用图
八年级数学 第 6页 （共 11页）
八年级数学参考答案及评分意见
一．填空题 1．x≠1，2 6．20
2．a-2
5
3．
6
7．答案不唯一 8．3
4．红球
4
9．
3
5．65°
10． 2 2 2
二．选择题 11．D 12．B
13．A
14．C 15．C
1 ----------------------------------------------------------------------------- 4 分 ab
⑵
x
1 xBiblioteka 1 xx2 x2 x
解：原式 x 2 x(x 1) ----------------------------------------------------------------- 3 分 x x2
⑴
2a 1 a2 b2 a b
⑵
x
【数学】2014-2015年江苏省常州市武进区高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2014-2015学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于．2．（5分）命题“∃x∈[0，π]，sinx﹣cosx＞2”的否定是．3．（5分）若a，b∈R，则“|a|＞|b|成立”是“a2＞b2成立”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．4．（5分）△ABC中，A=，AB=3，AC=8，则BC=．5．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S99的值是．6．（5分）已知，，若，，且，则x=．7．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为．8．（5分）函数ax2+ax+1＞0在x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是．9．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为．10．（5分）如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C 的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线DD1异面；③直线AM与直线BN平行；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为（填入所有正确结论的序号）．11．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣2）=0，且x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，则不等式xf（x）＞0的解集是．12．（5分）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．13．（5分）设0＜m＜，若≥k恒成立，则实数k的最大值是．14．（5分）已知：数列{a n}中，a1=9，a n=，n≥2，则a100的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g （x）在区间上的最大值和最小值．16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若M为PC的中点，求证：PA∥平面BDM．17．（14分）为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2﹣40x+900，（1）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？（2）若每处理一吨废弃物可得价值为20万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．当x∈[20，25]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？18．（16分）已知函数f（x）=在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，求实数m的取值范围；（3）若直线l与f（x）的图象相切，求直线l的斜率k的取值范围．19．（16分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+12=4S n+4n﹣3，且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），有2f（x）＜﹣x+2恒成立，求实数k的最小值；（3）设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．2014-2015学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于{1，3，4} ．【解答】解：由已知，A∩B={2}，所以∁U（A∩B）={1，3，4}；故答案为：{1，3，4}．2．（5分）命题“∃x∈[0，π]，sinx﹣cosx＞2”的否定是∀x∈[0，π]，sinx﹣cosx ≤2．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，则为∀x∈[0，π]，sinx﹣cosx≤2，故答案为：∀x∈[0，π]，sinx﹣cosx≤23．（5分）若a，b∈R，则“|a|＞|b|成立”是“a2＞b2成立”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．【解答】解：∵若a，b∈R，则“|a|＞|b|成立”∴|a|2＞|b|2，即a2＞b2，反之，由a2=b2，则|a|2＞|b|2，即|a|＞|b|成立．∴根据充分必要条件的定义可判断：“|a|＞|b|成立”是“a2＞b2成立”的充要条件．故答案为：充要4．（5分）△ABC中，A=，AB=3，AC=8，则BC=7．【解答】解：由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=9+64+9﹣2×3×8cos60°=49，∴BC=7，故答案为：7．5．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S99的值是9．【解答】解：∵a n==，∴前n项和为S n=+…+=．则S99=﹣1=9．故答案为：9．6．（5分）已知，，若，，且，则x=﹣4．【解答】解：=（2，1）+2（1，﹣3）=（4，﹣5），=2（2，1）﹣x（1，﹣3）=（4﹣x，2+3x），∵，∴﹣5（4﹣x）﹣4（2+3x）=0，解得x=﹣4．故答案为：﹣4．7．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为3π．【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB ⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，∴球的半径R==．球的表面积为：4πR2=4π•（）2=3π．故答案为：3π．8．（5分）函数ax2+ax+1＞0在x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是（，+∞）．【解答】解：①a=0时，1＞0，满足在x∈[1，2]上恒成立；②a＞0时，函数ax2+ax+1的对称轴是x=；∴该函数在[1，2]上单调递增；∴x=1时，该函数取最小值2a+1，则：2a+1＞0，a；∴a＞0；③a＜0时，函数ax2+ax+1在[1，2]上单调递减；∴x=2时，该函数取最小值6a+1，则：6a+1＞0，；∴；综上得a的取值范围为．故答案为：．9．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为8．【解答】解：∵等比数列{a n}，a4与a14的等比中项为，∴a4a14=8，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴2a 7+a11≥2=2=8，当且仅当2a7=a11时，取等号，∴2a7+a11的最小值为8．故答案为：810．（5分）如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C 的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线DD1异面；③直线AM与直线BN平行；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为②④（填入所有正确结论的序号）．【解答】解：∵直线CC1在平面CC1D1D上，而M∈平面CC1D1D，A∉平面CC1D1D，∴直线AM与直线CC1异面，故①不正确；∵直线AM与直线DD1既不相交又不平行，∴直线AM与直线DD1异面，故②正确；∵直线AM与直线BN异面，故③不正确；利用①的方法验证直线BN与直线MB1异面，故④正确．总上可知有两个命题是正确的，故答案为：②④11．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣2）=0，且x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，则不等式xf（x）＞0的解集是{x|﹣2＜x＜0，或x＞2}．．【解答】解：∵x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，即[xf（x）]′＞0，∴函数y=xf（x）在（0，+∞）上是增函数，又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣2）=0，∴函数y=xf（x）是奇函数，且在（﹣∞，0）上也是增函数，且f（2）=f（﹣2）=0，故不等式xf（x）＞0的解集为{x|﹣2＜x＜0，或x＞2}，故答案为：{x|﹣2＜x＜0，或x＞2}．12．（5分）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．【解答】解：分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所实施平面直角坐标系；则：，设P（x，y），；∴（x，y）=α（0，1）+β（2，0）=（2β，α）；∴；∴；设z=，则：y=，所以z是直线y=在y轴上的截距；由图形可以看出，当该直线经过B（1，1）点时，它在y轴的截距z最大，最大为；∴α+β的最大值是．故答案为：．13．（5分）设0＜m＜，若≥k恒成立，则实数k的最大值是18．【解答】解：令f（m）=，0＜m＜，f′（m）=﹣=，令f′（m）=0，解得m=．令f′（m）＜0，解得0＜m＜，此时函数f（m）单调递减；令f′（m）＞0，解得，此时函数f（m）单调递增．∴当m=时，函数f（m）取得极小值即最小值18．∴k的最大值为18．故答案为：18．14．（5分）已知：数列{a n}中，a1=9，a n=，n≥2，则a100的值为．【解答】解：a2=6，∵a n=，n≥2，a n﹣1=，n≥3，=，∴a n﹣a n﹣1∴a n=，∴=，n≥3∴a n=a2××…×，n≥3==×（2n+1），n≥2∴a100=故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g （x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=2==2sin（2x+）所以：T=（2）由（1）得：函数f（x）=2sin（2x+）向右平移个单位得到：g（x）=2sin（2x﹣）由于所以：函数g（x）=2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]当x=0时函数的最小值为﹣1．当x=时，函数取得最大值为2．16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若M为PC的中点，求证：PA∥平面BDM．【解答】证明：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD；（2）AC与BD的交点E，连结ME，∵底面ABCD为矩形，∴E为AC的中点，又M是AC的中点，∴ME∥PA，又PA⊄平面BDM，ME⊂平面BDM，∴PA∥平面BDM．17．（14分）为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2﹣40x+900，（1）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？（2）若每处理一吨废弃物可得价值为20万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．当x∈[20，25]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？【解答】解：（1）∵处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2﹣40x+900，∴每吨的平均处理成本P==x+﹣40=60﹣40=20，当且仅当x=，即x=30吨时，取等号，此时平均处理成本最少．（2）根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：P=（20+10）x﹣y=30x﹣y=30x﹣（x2﹣40x+900）=﹣x2+70x﹣900=﹣（x﹣35）2+325，x∈[20，25]．∵x=35∉[20，25]，P=﹣（x﹣35）2+325在[20，25]上为增函数，可求得P∈[100，225]．则最大获利225万元．∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．18．（16分）已知函数f（x）=在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，求实数m的取值范围；（3）若直线l与f（x）的图象相切，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）求导，f′（x）=，又f（x）在x=1处取得极值2，所以，解得a=4，b=1所以f（x）=．（2）因为，又f（x）的定义域是R，所以由f'（x）＞0，得﹣1＜x＜1．所以f（x）在[﹣1，1]上单调递增，在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上单调递减．①当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，则，解得﹣1＜m≤0；②当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递减，则或，解得m≥1．综上，实数m的取值范围是﹣1＜m≤0或m≥1．（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P（x0，y0）的切线l的斜率k为：k=4[﹣]令t=，则t∈（0，1]此时，k=8根据二次函数的图象性质知：当t=时，k min=﹣，当t=1时，k max=4．所以，直线l的斜率k的取值范围是[﹣，4]．19．（16分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+12=4S n+4n﹣3，且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，a n+12=4Sn+4n﹣3，当n≥2时，a n2=4S n﹣1+4（n﹣1）﹣3，两个式子相减得，a n+12﹣an2=4an+4，即a n+12=（an+2）2，又a n＞0，∴a n+1=a n+2，当n≥2时，{a n}是公差为2的等差数列，因为a2，a5，a14构成等比数列，所以，即，解得a2=3，把n=1代入a n+12=4Sn+4n﹣3得，，解得a1=2，又a2﹣a1=3﹣2≠2，则数列{a n}是从第二项起以2为公差的等差数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=，由题意知，b1=a2=3，b2=a5=9，b3=a14=27，且{b n}是等比数列，所以{b n}的通项公式b n=3n；（2）由（1）得，b n=3n，所以数列{b n}的前n项和为T n==，因为对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，所以（+）k≥3n﹣6对任意的n∈N*恒成立，即对任意的n∈N*恒成立，令，则==，当n≤2时，c n+1＞c n，当n≥3时，c n+1＜c n，所以的最大项是c3==，所以．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），有2f（x）＜﹣x+2恒成立，求实数k的最小值；（3）设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣1．由f'（x）=0，得x=1．∵当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（﹣a，1]上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数，∴f（x）在x=1处取得最大值．由题意知f（1）=﹣1+a=0，解得a=1．（2）由（1）知f（x）=lnx﹣x+1，对任意的x∈（1，+∞），有2f（x）＜﹣x+2恒成立，即k＞2xlnx﹣x2，令g （x ）=2xlnx ﹣x 2，则g′（x ）=2（lnx ﹣x +1） 由（1）知，lnx ﹣x +1≤f （1）=0，∴g （x ）=2xlnx ﹣x 2在（1，+∞）上单调递减， ∴k ≥g （1）=﹣1， ∴实数k 的最小值是﹣1；（3）由h （x ）=f （x ）+x ﹣1=lnx ． 不妨设x 1＞x 2＞0，则要证明不等式恒成立，只需证明＞ln ，设t=（t ＞1），则只需证明﹣＞lnt （t ＞1）．设φ（t ）=﹣﹣lnt （t ＞1），则φ′（t ）=＞0，∴φ（t ）在（1，+∞）上单调递增， ∴φ（t ）＞φ（1）=0． 即﹣＞lnt ，得证．故原不等式恒成立．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。
2014-2015学年度高二第二学期期中考试（文科）数学试题（带答案）
2014-2015学年度⾼⼆第⼆学期期中考试（⽂科）数学试题（带答案）2014-2015学年⾼⼆第⼆学期期中考试数学试卷（⽂）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。
第Ⅰ卷1⾄2页，第Ⅱ卷3⾄4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。
第Ⅰ卷1⾄2页，第Ⅱ卷3⾄4页。
2. 答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效。
第Ⅰ卷⼀、选择题：该题共12个⼩题，每个⼩题有且只有⼀个选项是正确的，每题5分，共60分。
1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于（）A.1213B.513 C ．－513 D ．－12132．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的部分图象如图所⽰，则函数表达式为 ( )A ．y ＝－4sin π8x ＋π4B ．y ＝4sin π8x －π4C ．y ＝－4sin π8x －π4D ．y ＝4sin π8x ＋π43．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最⼤值和最⼩值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－54、已知某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）( )A.8π3 B ．3π C.10π3 D ．6π5.P 为ABC ?所在平⾯外⼀点，PB PC =,P 在平⾯ABC 上的射影必在ABC ?的（）A ．BC 边的垂直平分线上B ．BC 边的⾼线上 C ．BC 边的中线上D ．BAC ∠的⾓平分线上6．有⼀块多边形的菜地它的⽔平放置的平⾯图形的斜⼆测直观图是直⾓梯形，如图所⽰45ABC ∠=2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的⾯积为.（）A ．2+B ．C ．22+D ． 21+7. 下列条件中,能判断两个平⾯平⾏的是（）A ．⼀个平⾯内的⼀条直线平⾏于另⼀个平⾯;B ．⼀个平⾯内的两条直线平⾏于另⼀个平⾯C ．⼀个平⾯内有⽆数条直线平⾏于另⼀个平⾯D ．⼀个平⾯内任何⼀条直线都平⾏于另⼀个平⾯8.正四棱锥(顶点在底⾯的射影是底⾯正⽅形的中⼼)的体积为12，底⾯对⾓线的长为26，则侧⾯与底⾯所成的⼆⾯⾓为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9．已知函数sin()y A x m ω?=++的最⼤值为4，最⼩值为0，最⼩正周期为2π，直线3x π=是其图象的⼀条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（）A ．4sin(4)3y x π=+B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（）A ．5[,],1212k k k Z ππππ-+∈B ．511[,],1212k k k Z ππππ++∈C ．[,],36k k k Z ππππ-+∈D ．2[,],63k k k Z ππππ++∈11．实数x 、y 满⾜3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最⼤值为（）A 、27 B 、4 C 、29D 、512.极坐标⽅程52sin42=θρ表⽰的曲线是( )A 、圆B 、椭圆C 、双曲线的⼀⽀D 、抛物线第Ⅱ卷⼆、填空题：该题共4个⼩题，每题5分，共20分，请将答案规范书写在答题卡的相应位置。
江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试 数学文
江苏省扬州中学2014—2015学年度第二学期期中考试高 二 数 学 试 卷（文） 2015年4月（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1.若全集,U R =集合{}20M x x x =-≥，则U C M = .2.已知幂函数()f x 过点(2,2，则(4)f 的值为 . 3. 若函数2(1)21f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式为 .4.已知函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若((0))4f f a =，则实数a = .5.函数221xx y =+的值域为 .6.观察下列等式：11111131111,11,1...,1...2,. (22323722315)>++>++++>++++>由此猜测第n 个等式为 ..7. 设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数是 .8.函数22log 6y x x =+-的零点所在的区间是1(,)22k k +，则正整数k 的值为 .9.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当3-1x -≤≤时，2()(2)f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)...(2014)f f f f ++++= .10.已知537log 10,log 6,log 14a b c ===，则,,a b c 按照由小到大的顺序排列为 . 11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且2()4(0)f x x x x =->，则不等式()f x x >的解集是 .12.下列命题正确的序号是 ①命题“若a b >，则22a b >”的否命题是真命题； ②若命题1:01p x >-“”，则；1:01p x ⌝≤-“”； ③若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件； ④方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±.13.已知函数43201234012340()(,,,,,0)f x a x a x a x a x a a a a a a R a =++++∈≠且的四个零点构成公差为d 的等差数列，则()f x '的所有零点中最大值与最小值之差为 .14.已知32()(0)x ax x ax a λ=+-≠，若存在实数1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，使得函数()()()x x x μλλ'=+,[1,]x b ∈-在1x =-处取得最小值，则实数b 的最大值为 .二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（本小题14分）记函数()f x =的定义域为A ，函数[]()lg (1)(2)g x x a a x =---(1)a <的定义域为B(1)求A 、B ； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围.16．(本小题14分)设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ，命题q ：不等式 39x x a -<对一切实数均成立.(1)如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.17.(本小题14分)如图，在ABC ∆的区域内割出一块四边形绿化区域BCED ，其中090=∠=∠D C ，3==BD BC ，1CE DE ==，现准备经过DB 上一点P 和EC 上一点Q 铺设水管PQ ，且PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分. 设x DP =，y EQ =．(1)求,x y 的等量关系式；(2)求水管PQ 长的最小值．18.(本小题16分)已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，使得对任意的实数x ，有()()f x T Tf x +=成立. (1)证明：2()f x x =不属于集合M ；(2)设()f x M ∈，且2T =.已知当12x <<时，()f x x lnx =+，求当32x -<<-时，()f x 的 解析式.19.(本小题16分)已知函数2()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数. (1)求k 的值；I(2)设函数24()log (2),3x g x a a =⋅-其中0a >.若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.20.(本小题16分)已知函数()ln f x x =，2()()(,)g x f x ax bx a b R =++∈.其中函数()y g x =的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x 轴.(1)确定,a b 的等量关系式；(2)若0a ≥，试讨论函数()y g x =的单调性；(3)设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于点1122(,),(,)A x y B x y (12x x <)， 求证：2111k x x <<. 命题、校对:高一数学组高二（ ）班 考试号___________ 姓名___________ 学号………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………高二（文科）数学期中试卷答题纸 2015.4一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3．4． 5． 6．7． 8． 9．10． 11． 12．13． 14．三、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．解： ： 16．解：17．解：18．解：请将19、20题做在反面I扬州中学2014—2015学年度第二学期高二数学期中考试(文)答案 2015.41. {}01x x <<2.123. 2()(2)f x x =- 4.2 5. (0,1) 6. 1111 (23212)n n ++++>- 7. 13i - 8. 4 9. 33710. ,,c a b 11. (5,0)(5,)-+∞ 12.①③ 131415. 解：(1)由题意得：(1)(1)0x x +-≥,即(][),11,A =-∞-+∞………3分由(1)(2)0x a a x --⋅->, 得(1)(2)0x a x a --⋅-<.∵1a <,∴12a a +>, ∴(2,1)B a a =+. …………… 7分 (2)∵B A ⊆, ∴21a ≥或11a +≤-, …………… 10分 即a ≥21或2a ≤- .而1a <,∴211a ≤<或2a ≤-, 故当B A ⊆时, 实数a 的取值范围是1(,2],12⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭……………14分16. 解:(1)若命题p 为真命题，则20,16aax x x R -+>∈恒成立. 若0a =，则0x ->，0x ∴<，不符合题意…………..3分 若0a ≠，20021104a a a a >⎧>⎧⎪⇒⇒>⎨⎨<-<⎩⎪⎩则△0；………….7分(2)若命题q 为真命题，则1394x x a a -<⇒>……9分 “p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，∴ p ，q 一真一假…………10分 ①“p 真q 假”，a 无解；②“p 假q 真”，1(,2]4a ∈. 综上1(,2]4a ∈………….14分17．解：（1）如图，AD=3，AE=2.则S △ADE = S △BDE = S △BCE .I∴S △APQ =3，即1(2)4x y ++∴(2)4x y +=3…………………………………7分（2）APQ ∆中，2222cos30PQ AP AQ AP AQ =+-⋅⋅︒ =223342)334()3(22≥⨯⨯-+++x x ·12381234-=- ………………………………10分当且仅当22)334()3(+=+x x ，即时3324-=x ，33221238min -=-=PQ …………………………………………14分18.(1) 证明：假设()M f x ∈，则()()f x T Tf x +=，即22()x T Tx +=对任意的x 恒成立，即22(1)20T x Tx T -++=对任意的x 恒成立. 210200T T T ⎧-=⎪∴=⎨⎪=⎩ ，T ∴无解. ………8分假设错误，所以2()f x x =不属于集合M . (2) 由题意，(2)2()f x f x += .32,142x x -<<-∴<+<.(4)4ln(4)f x x x ∴+=+++.114(4)()(2)(4)2444x ln x f x f x f x ++∴=+=+=+.…….16分19．解：(1)由题意()()f x f x -=对任意x R ∈恒成立，即22log (41)log (41)x x kx kx -+-=++恒成立，即22log (41)2log (41)x x x kx kx +--=++恒成立，即2(1)0k x +=对任意x R ∈恒成立，1k ∴=-………..7分(2)4203x a a ⋅->由，得定义域为24(log,)3+∞.因为函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，∴方程224log (41)log (2)3x x x a a +-=⋅-在24(log,)3+∞上只有一解.即方程414223x x x a a +=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解.令42(,)3x t =∈+∞，则方程24(1)103a t at ---=(*)在4(,)3+∞上只有一解……………..9分 记24()(1)13h t a t at =---，对称轴23(1)at a =-①当1a =时，34(,)43t =-∉+∞，不合题意；②当01a <<时，对称轴203(1)at a =<-，()h t 在(0,)+∞上递减，且(0)10h =-<，∴(*)在4(,)3+∞上无解；③当1a >时，对称轴t =203(1)a a >-，只需4161625()(1)103999h a a =---=-<，此恒成立,1a ∴>.综上1a >………………16分 （其它解法酌情给分） 20.解： 2()ln g x x ax bx =++，1()2g x ax b x'=++. (1)由题意，(1)210g a b '=++=，即210a b ++= ……….4分 (2)1(21)(1)()221(0)ax x g x ax a x x x--'=+--=>. …………6分 (i)当0a =时，(1)()(0)x g x x x --'=>.增区间为(0,1) ，减区间为(1,)+∞； (ii)当0a >时，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>.112122aa a--=,∴ ①当102a <<时，112a>.增区间是1(0,1)(,)2a +∞和，减区间是1(1,)2a ；②当12a >时，112a<.增区间是1(0,)(1,)2a +∞和，减区间是1(,1)2a . ③当12a =时，112a=.2(1)()0x g x x -'=≥，增区间是(0,)+∞，无减区间. 综上，当0a =时，增区间为(0,1) ，减区间为(1,)+∞；当102a <<时，增区间是1(0,1)(,)2a +∞和，减区间是1(1,)2a ；当12a =时，增区间是(0,)+∞，无减区间；当12a >时，增区间是1(0,)(1,)2a +∞和，减区间是1(,1)2a………………10分 (3)120x x <<,2111k x x ∴<<21212121221121ln ln 11ln ln x x x x x x x x x x x x x x ---⇔<<⇔<-<-22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<-…………………….12分 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，11()1x h x x x-'=-=-，所以()h x 在(1,)+∞上是减函数.()(1)0h x h ∴<=.又211x x >，21()0x h x ∴<，即2211ln 1x xx x <-. 令1H()ln 1(1)x x x x =+->，22111H ()x x x x x-'=-=，所以H()x 在(1,)+∞上是增函数，H()H(1)0x ∴>=，又211x x >，21H()0x x ∴>，即22111ln 1x x x x >-.综上，22211111ln 1x x x x x x -<<-…………………………16分。
江苏省常州市武进区2014-2015学年高二数学下学期期末试卷文(含解析)
江苏省常州市武进区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={﹣1，1，4}，则A∩B=．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．3．（5分）已知复数Z=3+ai，若|Z|=5，则实数a=．4．（5分）已知关于变量x的函数f（x）=ln（x2﹣x+m）﹣，其定义域为A，若2∈A，则实数m的取值范围是．5．（5分）将函数y=2sin（x﹣）图象上所有的点沿x轴向左平移个单位，则平移后的图象对应的函数是．6．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x||x﹣a|≤1}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．7．（5分）已知a＞0，b＞0且a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值是．8．（5分）若函数f（x）=|x+a|+b（x∈R）有两个零点分别为x1=0，x2=4，则a+b的值为．9．（5分）已知函数f（x）=λsinx+cosx图象的一条对称轴方程为x=，则此函数的最大值为．10．（5分）在△ABC中，锐角B所对的边长b=3，△ABC的面积为6，外接圆半径R=，则△ABC 的周长为．11．（5分）若函数f（x）=﹣2x+sinx，则满足不等式f（2m2﹣m+π﹣1）≥﹣2π的m的取值范围为．12．（5分）在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是．13．（5分）已知函数y=f（x）为R上可导函数，且对∀x∈R都有f（x）=﹣x3f′（1）﹣8x 成立，则函数y=f（x），x∈[﹣1，1]的值域为．14．（5分）若方程x3﹣x2+ax﹣a=0恰有唯一解，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinA，sinB，sinC成等差数列，（1）若c=2a，证明△ABC为钝角三角形；（2）若acosB﹣bcosA=c，且△ABC的外接圆半径为5，求△ABC的面积．16．（14分）已知命题p：函数f（x）=x2+2mx+2+m2在区间[2，+∞）上是增函数，命题q：函数g（x）=4x﹣2x+1+m2﹣m+3的最小值大于4，命题r：函数h（x）=（m2﹣m﹣2）x2+2mx+1的函数值恒大于0，（1）若“非r”为假命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．（14分）已知=（sinωx，﹣1），=（1，﹣cosωx）（其中x∈R，ω＞0），f（x）=•，且函数f（x）图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（）=（其中θ∈（﹣，），则求f（+1）的取值．18．（16分）在△AOB中，OA=OB=2，（1）如图①：若AO⊥OB，点P为△AOB所在平面上的一个动点，且满足PO=3，求•的取值范围；（2）如图②：若|+|≤||，求与所成夹角的取值范围．19．（16分）如图：在边长为6米的等边△ABC钢板内，作一个△DEF，使得△DEF的三边到△ABC 所对应的三边之间的距离均x（0＜x＜）米，过点D分别向AB，AC边作垂线，垂足依次为G，H；过点E分别向AB，BC边作垂线，垂足依次为M，N；过点F分别向BC，AC边作垂线，垂足依次为R，S．接着在△ABC的三个内角处，分别沿DG，DH、EM，EN、FR，FS进行切割，割去的三个全等的小四边形分别为AGDH、BMEN、CRFS．然后把矩形GDEM、NEFR、SFDH分别沿DE、EF、FD向上垂直翻折，并对翻折后的钢板进行无缝焊接（注：切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计），从而构成一个无盖的正三棱柱蓄水池．（1）若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为a（a＞0）万元/米2，求此无盖的正三棱柱蓄水池总造价的最小值；（2）若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为V米3，求体积V的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x﹣1）e x，其中e是自然对数的底数．（1）若函数f（x）在点P（m，f（m））处的切线在y轴上的截距为2，求实数m的取值；（2）求函数h（x）=g（x）+g′（x）的极值；（3）求函数r（x）=g（x）+e|f（x）﹣a|（a为常数）的单调区间．江苏省常州市武进区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={﹣1，1，4}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={1，2}，B={﹣1，1，4}，∴A∩B={1}，故答案为：{1}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．3．（5分）已知复数Z=3+ai，若|Z|=5，则实数a=±4．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的模的运算得到关于a的等式解之．解答：解：因为Z=3+ai，若|Z|=5，所以32+a2=52，解得a=±4；故答案为：±4．点评：本题考查了复数的模的计算；复数a+bi，a，b是实数，它的模为．4．（5分）已知关于变量x的函数f（x）=ln（x2﹣x+m）﹣，其定义域为A，若2∈A，则实数m的取值范围是﹣2＜m≤2．考点：函数的定义域及其求法．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：讨论m的取值，求出f（x）的定义域A，由2∈A，求出m的取值范围．解答：解：关于变量x的函数f（x）=ln（x2﹣x+m）﹣，其定义域为A，∴对于①，令△=1﹣4m=0，解得m=；∴当m＞时，△＜0，①的解集为R，∴A={x|x≥m}；又2∈A，∴＜m≤2；当m≤时，△≥0，①的解集为{x|x＜，或x＞}；∴A={x|x＞}，∴＜2，解得m＞﹣2，∴﹣2＜m≤；综上，实数m的取值范围是﹣2＜m≤2．故答案为：﹣2＜m≤2．点评：本题考查了求函数的定义域的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．5．（5分）将函数y=2sin（x﹣）图象上所有的点沿x轴向左平移个单位，则平移后的图象对应的函数是y=2sinx．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：祝玲钰三角函数的图象的平移方法，求解即可．解答：解：将函数y=2sin（x﹣）图象上所有的点沿x轴向左平移个单位，可得函数y=2sin（x+﹣）=2sinx的图象，平移后的图象对应的函数是：y=2sinx，故答案为：y=2sinx．点评：本题考查三角函数的图象的平移，基本知识的考查．6．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x||x﹣a|≤1}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[0，1]．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式之间的关系即可得到结论．解答：解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1，2]，B={x||x﹣a|≤1}=[a﹣1，a+1]，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B⊊A，则，解得0≤a≤1，故答案为：[0，1]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．7．（5分）已知a＞0，b＞0且a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值是．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：利用几何意义，转化求解即可．解答：解：a＞0，b＞0且a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值就是（﹣2，﹣2）到直线a+b=1的距离的平方，依题意可得：=．点评：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，转化思想的应用．考查计算能力．8．（5分）若函数f（x）=|x+a|+b（x∈R）有两个零点分别为x1=0，x2=4，则a+b的值为﹣3．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据方程根与函数零点之间的关系进行求解．解答：解：若函数f（x）=|x+a|+b（x∈R）有两个零点分别为x1=0，x2=4，即0，4是方程|x+a|+b=0的两个根，即|a|+b=0，|4+a|+b=0，即2b=﹣|a|，且2b=﹣|4+a|，即|a|=|4+a|，解得a=﹣2，b=﹣1，则a+b=﹣3，故答案为：﹣3，点评：本题主要考查函数和方程之间的关系，将函数零点转化为方程关系是解决本题的关键．9．（5分）已知函数f（x）=λsinx+cosx图象的一条对称轴方程为x=，则此函数的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于函数f（x）=λsinx+cosx=sin（x+φ）图象的一条对称轴方程为x=，可得+=，解出即可．解答：解：∵函数f（x）=λsinx+cosx=sin（x+φ）图象的一条对称轴方程为x=，∴+=，解得λ=．∴此函数的最大值为=．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）在△ABC中，锐角B所对的边长b=3，△ABC的面积为6，外接圆半径R=，则△ABC 的周长为12．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，根据三角形的面积公式得到a与c的关系式，根据大边对大角判断B是锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理表示出cosB，也得到关于a与c的关系式，利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形ABC的周长．解答：解：由正弦定理得，，∴sinB==．又∵△ABC的面积为6，∴S=acsinB=6．∴ac=20＞b2．∴a，c有一个比b大，即∠B是锐角，∴cosB==，由余弦定理得，cosB==，∴a2+c2=41，∴（a+c）2=81，∴a+c=9，∴△ABC的周长为a+b+c=9+3=12．故答案为：12．点评：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式和大边对大角的应用，属于难题．11．（5分）若函数f（x）=﹣2x+sinx，则满足不等式f（2m2﹣m+π﹣1）≥﹣2π的m的取值范围为[]．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：f（﹣x）=2x﹣sinx=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，f′（x）=﹣2+cosx≤0，所以f（x）在定义域R为减函数，根据函数的单调性将函数转化为不等式求解．解答：解：f（﹣x）=2x﹣sinx=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，f′（x）=﹣2+cosx≤0，所以f（x）在定义域R为减函数．又f（π）=﹣2π+sinπ=﹣2π，所以f（2m2﹣m+π﹣1）≥﹣2π可转化为f（2m2﹣m+π﹣1）≥f（π）．根据函数的单调性可知，2m2﹣m+π﹣1≤π即2m2﹣m+﹣1≤0解得故答案为：[]点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的性质应用，属于中档题型．12．（5分）在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是0＜m＜．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．由=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E），借助于点D，E即可得出．解答：解：如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．∵=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E）当点M取点D时，，可得m=0，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m．∴．故答案为：．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、共面向量的基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．13．（5分）已知函数y=f（x）为R上可导函数，且对∀x∈R都有f（x）=﹣x3f′（1）﹣8x 成立，则函数y=f（x），x∈[﹣1，1]的值域为[﹣6，6]．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：设t=2x则x=t，代入f（2x）=x3f′（1）﹣10x化简，把t换成x求出f（x）的解析式，由求导公式求出f′（x），令x=1代入列出方程求出f′（1），代入f′（x）并判断符号，从而得到函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，求出函数的最值，即可求出函数的值域．解答：解：设t=2x，则x=t，代入f（2x）=x3f′（1）﹣10x得，y=t3f′（1）﹣5t，则f（x）=t3f′（1）﹣5x，所以f′（x）=x2f′（1）﹣5，令x=1代入上式可得，f′（1）=f′（1）﹣5，解得f′（1）=﹣8，所以f（x）=﹣x3﹣5x，则f′（x）=﹣3x2﹣5＜0，则函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数，当x=﹣1时，函数f（x）取到最大值f（﹣1）=6，当x=1时，函数f（x）取到最小值f（1）=﹣6，所以所求的函数值域是[﹣6，6]．点评：本题考查求导公式，导数与函数的单调性的关系，以及换元法求函数的解析式，属于中档题．14．（5分）若方程x3﹣x2+ax﹣a=0恰有唯一解，则实数a的取值范围为（0，+∞）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：由题意设f（x）=x3﹣x2+ax﹣a并求出f′（x），求出△的式子并根据△的符号进行分类讨论，由导数的符号判断出函数的单调性，求出函数的极值，列出f（x）存在唯一的零点的等价条件，求出a的范围即可．解答：解：由题意设f（x）=x3﹣x2+ax﹣a，∴f′（x）=x2﹣2x+a，△=4﹣4a=4（1﹣a），①当a≥1时，△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数，且f（0）=﹣a＜0，∴f（x）存在唯一的零点，则方程x3﹣x2+ax﹣a=0恰有唯一解；②当a＜1时，△＞0，由x2﹣2x+a=0得，、，当x＞或x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，）、（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减，∴当x=时，f（x）取极大值f（）=﹣a==，当x=时，f（x）取极小值f（）=﹣a==，∵f（x）存在唯一的零点，∴或，解得0＜a＜1，综上所述，实数a的取值范围是（0，+∞），点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用函数的导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，以及化简计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinA，sinB，sinC成等差数列，（1）若c=2a，证明△ABC为钝角三角形；（2）若acosB﹣bcosA=c，且△ABC的外接圆半径为5，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：（1）由等差数列的性质及正弦定理可得2b=a+c，又c=2a，可解得△ABC中的最大边为c，最大角为∠C，由余弦定理可得cos∠C＜0，即可求得△ABC为钝角三角形．（2）由正弦定理化简可得2cosAsinB=0，结合A，B的范围可求，由题意可得斜边a=10，由勾股定理及已知可求b，c，从而可求三角形面积．解答：（本小题满分14分）解：（1）∵sinA，sinB，sinC成等差数列，∴2si nB=sinA+sinC，即2b=a+c…（2分）又c=2a，则由解得：，…（4分）即△ABC中的最大边为c，最大角为∠C又∵cos∠C=，…（6分）且∠C∈（0，π），∴∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形…（7分）（2）∵acosB﹣bcosA=c，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinC，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A+B），…（9分）也即sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，则2cosAsinB=0，又在△ABC中，s inB≠0所以cosA=0，又A∈（0，π），则，…（11分）在RT△ABC中，∵△ABC的外接圆半径为5，∴斜边a=10又，解之得，即…（14分）点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．16．（14分）已知命题p：函数f（x）=x2+2mx+2+m2在区间[2，+∞）上是增函数，命题q：函数g（x）=4x﹣2x+1+m2﹣m+3的最小值大于4，命题r：函数h（x）=（m2﹣m﹣2）x2+2mx+1的函数值恒大于0，（1）若“非r”为假命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）由“非r”为假命题，得出命题r为真命题，即函数h（x）=（m2﹣m﹣2）x2+2mx+1的函数值恒大于0，讨论得到m的范围．（2）求出命题p和命题q的真假，命题“p或q”为真；命题“p且q”为假，求出m的取值范围．解答：解：（1）∵“非r”为假命题，∴命题r为真命题，即函数h（x）=（m2﹣m﹣2）x2+2mx+1的函数值恒大于0，…（1分）①当m2﹣m﹣2=0时，即m=﹣1或m=2m=﹣1时，h（x）=﹣2x+1不满足函数值恒大于0，m=2时，h（x）=4x+1也不满足函数值恒大于0，即m=﹣1或m=2不合题意，…（2分）②当m2﹣m﹣2≠0时，则，…（4分）解之得：m＜﹣2综上所述可知所求实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）…（6分）（2）f（x）=x2+2mx+2+m2=（x+m）2+2若命题p是真命题，则﹣m≤2，即m≥﹣2若命题p是假命题，则﹣m＞2，即m＜﹣2…（8分）又g（x）=4x﹣2x+1+m2﹣m+3=（2x﹣1）2+（m2﹣m+2），即当x=0时，，若命题q是真命题，则m2﹣m+2＞4，即m＞2或m＜﹣1，若命题q是假命题，则m2﹣m+2≤4，即﹣1≤m≤2，…（10分）∵命题“p或q”为真；命题“p且q”为假，∴命题p和命题q必为一真一假即或…（12分）即或，解之得：﹣1≤m≤2或m＜﹣2则所求实数m的取值范围是[﹣1，2]∪（﹣∞，﹣2）…（14分）点评：本题主要考查命题真假在大题中的应用，要注意真假命题的判断，属于中档题型．17．（14分）已知=（sinωx，﹣1），=（1，﹣cosωx）（其中x∈R，ω＞0），f（x）=•，且函数f（x）图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（）=（其中θ∈（﹣，），则求f（+1）的取值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用，结合两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期，得到函数的解析式，利用子线盒的单调性求解单调增区间．（2）利用条件求出，得到，通过二倍角公式求解即可．解答：（本小题满分14分）解：（1）∵，（其中x∈R，ω＞0），，∴，…（2分）又∵函数f（x）图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5，∴，解之得：T=6，…（4分）又，则，即，…（6分）则，即，即所求函数f（x）的单调递增区间为…（8分）（2）由（1）可知，则，即…（10分）∵，∴，则即，…（12分）也即=…（14分）点评：本题考查三角函数的化简求值，斜率的数量积的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．18．（16分）在△AOB中，OA=OB=2，（1）如图①：若AO⊥OB，点P为△AOB所在平面上的一个动点，且满足PO=3，求•的取值范围；（2）如图②：若|+|≤||，求与所成夹角的取值范围．考点：三角形中的几何计算；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1），再根据条件知，即，而，很容易算出•的取值范围；（2）过点O作直线AB的垂线，垂足为C，则垂足C必为线段AB的中点，再根据条件|+|≤||，得，而在RT△OCB中，cos∠，∠，又∠AOB=2∠BOC，则∠，即与所成夹角的取值范围为．解答：（本小题满分16分）解：（1）∵，∴…（2分）又∵在△AOB中，OA=OB=2，PO=3，AO⊥OB∴，且，，…（4分）即，当点P在△AOB所在平面上运动时，则，…（6分）即，也即所求•的取值范围为[﹣6，6]…（8分）（2）过点O作直线AB的垂线，垂足为C，则垂足C必为线段AB的中点，且，…（10分）又在RT△OC B中，，又∵，∴，即，…（12分）在RT△OCB中，∵cos∠，∴∠，…（14分）又∠AOB=2∠BOC，则∠，即与所成夹角的取值范围为…（16分）点评：本题考查了平面向量在三角形中的应用，对学生综合应用知识的能力有较高要求，属于中档题．19．（16分）如图：在边长为6米的等边△ABC钢板内，作一个△DEF，使得△DEF的三边到△ABC 所对应的三边之间的距离均x（0＜x＜）米，过点D分别向AB，AC边作垂线，垂足依次为G，H；过点E分别向AB，BC边作垂线，垂足依次为M，N；过点F分别向BC，AC边作垂线，垂足依次为R，S．接着在△ABC的三个内角处，分别沿DG，DH、EM，EN、FR，FS进行切割，割去的三个全等的小四边形分别为AGDH、BMEN、CRFS．然后把矩形GDEM、NEFR、SFDH分别沿DE、EF、FD向上垂直翻折，并对翻折后的钢板进行无缝焊接（注：切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计），从而构成一个无盖的正三棱柱蓄水池．（1）若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为a（a＞0）万元/米2，求此无盖的正三棱柱蓄水池总造价的最小值；（2）若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为V米3，求体积V的最大值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二文科数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1．计算22015i i i ++的值为 ▲ ；2．复数11iz i-=+在复平面内所对应的点的坐标为 ▲ ；3． 设复数z 满足：(1)32i z i +=+，则z 的虚部是___▲____；4．设全集{1,3,5,7,9},{1,|5|,9},{5,7}U U A a A ==-=ð,则a 的值为 ▲ ；5．命题“对x ∀∈R ，都有210x x -+>”的否定是 ▲ ；6．设x 是纯虚数．．．．，y 是实数，且21(3)x i y y i -+=--，则||x y += ▲ ；7．已知关于实数x 的两个命题：1:0,:02x p q x a x+<+<-，且命题p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是____▲____；8．若函数()(31)()xf x x x a =+-为奇函数，则a = ▲ ；9. 将正奇数按如图所示的规律排列：则第n （n ≥4）行从左向右的第3个数为 ▲ ．9．二维空间中，正方形的一维测度（周长）4l a =（其中a 为正方形的边长），二维测度（面积）2S a =；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）26S a =（其中a 为正方形的边长），三维测度（体积）3V a =；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度34V a =，则其四维测度W ＝ ▲ ；11. 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在区间)0,(-∞上是减函数，则使(ln )(1)f x f <的x 的取值范围为 ▲ ；13 5 791113 15 17 19…… 第9题图12. 直线y t =与函数()0),()x f x x g x e >=的图像分别交于,A B 两点，则线段AB 的长度的最小值为 ▲ ；13．如果函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[－1,1]上的最大值是14，则实数a 的值 为 ▲ ；14．已知函数()y f x =是定义域为R 偶函数，当0x ≥时，2022()21x x f x x x x⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪-⎩，若函数()f x 在(,2)t t +上的值域是3(,0]2-，则实数t 的值的集合为 ▲ ；二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知命题p :关于实数x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q :关于实数x的方程244(2)10x m x +-+=无实根．命题“p 或q ”真，“p 且q ”假，求实数m 的取值范围．16．（本题满分14分）已知z 是复数，(12)2z iz i i++-、均为实数， （1）求复数z（2）若复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。
17．（本题满分14分）已知集合{}23|lg(2),|24,13A x y x x B y y x x x ⎧⎫=∈=--+=∈=+-<<⎨⎬⎩⎭R R ， {}2|0C x x bx c =∈++≥R .（1）求A B ；（2）若()A B C 为空集，()A B C =R ,求,b c 的值；18．（本题满分16分）将一个长宽分别为2米和2k 米（01k <<）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，记切去的正方形边长为(0)x x k <<，（1）若58k =，求这个长方体盒子的容积的最大时的x 的值； （2）若该长方体的盒子的对角线长有最小值，求k 的范围。
19．（本题满分16分）已知函数()21,f x x x a x =+-+∈R ，（1）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性；（2）当12a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）当12a ≥-时，求函数()f x 的最小值。
20．（本题满分16分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax =． (1) 若直线()y g x =是函数1()y f x x=+的图象的一条切线，求实数a 的值；(2) 若函数()()()h x f x g x =-在(0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围； (3) 若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >．（取e 为2.8，取ln 2为0.7 1.4）高二文科数学参考答案1、1-；2、(0,1)-；3、3-；4、2或8；5、x ∃∈R ，使得210x x -+≤；6； 7、1a ≥；8、13；9、25n n -+；10、42a W =；11、1(,)e e ；12、12；13、3或13；14、{2}15、解： 若方程210x mx ++=有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m解得2m >即命题p :2m >，…………4分若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0解得：1＜m ＜3.即命题q :1＜m ＜3. …………8分由题意知，命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真. …………10分∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或解得：m ≥3或1＜m ≤2. …………14分 16、解：（1）设(,)z x yi x y R =+∈，(12)()(12)2(2)z i x yi i x y x y i R +=++=-++∈，则20x y += ①………………3分 [(1)](2)21(22)255z i x y i i x y x y iR i ++++--+++==∈-， 则220x y ++= ② ………………………………………………6分由①②解得：2424,,3333x y z i ==-∴=-………………8分 （2）222248444()[()]()333333z ai a i a a a i +=+-=-+-+-………………11分在复平面上对应的点在第一象限，当且仅当：284033403a a a ⎧-+->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得：423a <<………………14分 17、解：（1）2{|20}(2,1)A x x x =--+>=-，………2分4,3)B = (6)分，∵11<∴(2,3)A B =- …………7分（2）由题意知，方程20x bx c ++=必有两个不等实根，记为12,x x （12x x <），12(,][,)C x x =-∞+∞ ；…………8分()A B C 为空集，则122,3x x ≤-≥…………10分 ()A B C R = ，则122,3x x ≥-≤…………12分所以122,3x x =-=，得1,6b c =-=-…………14分18、解：（1）324(1)()4[(1)]V x k x x x k x kx =--=-++，(0,)x k ∈，……3分/2254[32(1)]121302V x k x k x x =-++=-+=，5(0,)8x ∈……5分 得56x =舍去，14x =；……7分，列表（略），……9分 （2）记长方体的盒子的对角线长度为l 米，(0,)l x k ==∈……12分 l 有最小值，当且仅当4(1)(0,)9k k +∈……14分，解得415k <<……16分19、解：（1）()()f x f x -=，偶函数………………3分（2）221122()3122x x x f x x x x ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩………………5分()f x 的单调减区间为1(,)2-∞，增区间为1(,)2+∞………………8分（3）221()1x x a x a f x x x a x a⎧+-+≥⎪=⎨-++<⎪⎩，（ⅰ）当12a ≥时()f x 在1(,)2-∞上递减，在1(,)2+∞上递增，min 3()4f x a =+； ………………12分 （ⅱ）当1122a -≤<时，()f x 在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增，2min ()1f x a =+； ………………16分注：去绝对值（化为分段函数）给且只给一次分。
解：(1) 设切点00(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=⋅-，即001ln 1y x x x =+-，………………3分，由题意知：001ln 10ax x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得1a e =………………5分，（2）()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---,则211()h x a x x'=+-， ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x '=+-≥， 即对0x ∀>，都有211a x x≤+，………………7分（仅仅求导而没有指出不等式恒成立，此处不得分），记1(1),()t t u t x=≥在[1,)+∞上递增min ()(1)2u t u ==； ∴2a ≤，…………………10分 （3）由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-， 即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()xx x x x x x x x x x x x x +-=++-， 即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， …………12分不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+， ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<-==，∴2>，即1>， 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512=+≈<，∴1G=>>>，即2122x x e>．………………16分。