计算方法第二章
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-⨯至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10.2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明 令f (x )＝1－x －sin x ，∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14.2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
计算方法习题第二章答案
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
流水步距的计算方法
第二章流水施工原理本章重要知识点与典型题型一、掌握流水施工参数的概念知识点：流水施工的参数为了说明组织流水施工时，各施工过程在时间和空间上的开展情况及相互依存关系，这里引入一些描述工艺流程、空间布置和时间安排等方面的状态参数——流水施工参数，包括工艺参数、空间参数和时间参数。
（一）工艺参数工艺参数是指组织流水施工时，用以表达流水施工在施工工艺方面进展状态的参数，通常包括施工过程和流水强度两上参数。
1.施工过程组织建设工程流水施工时，根据施工组织及计划安排需要而将计划任务划分成的子项称为施工过程。
施工过程的数目一般用小写n来表示，它是流水施工的确要参数之一。
根据性质和特点不同，施工过程一般分为三类，即建造类施工过程、运输类施工过程和制备类施工过程。
（1）建造类施工过程，是指在施工对象的空间上直接进行砌筑、安装与加工，最终形成建筑产品的施工过程。
（2）运输因施工过程，是指将建筑材料、各类构配件、成品、制品和设备等运到工地仓库或施工现场使用地点的施工过程。
（3）制备类施工过程，是指为了提高建筑产品生产的工厂化、机械化程度和生产能力而形成的施工过程。
如砂浆、混凝土、各类制品、门窗等的制备过程和混凝土构件的预制过程。
由于建造类施工过程占有施工对象的空间，直接影响工期的长短，因此必须列入施工进度计划，并在其中大多作为主导施工过程或关键的工作。
运输类与制备类施工过程一般不占有施工对象的工作面，不影响工期，故不需要列入流水施工进度计划之中，只有当其占有施工对象的工作面，影响工期时，才列入施工进度计划中。
2.流水强度流水强度是指流水施工的某施工过程（专业工作队）在单位时间内完成的工程量，也称为流水能力或生产能力。
流水强度通常用大写V来表示。
表示：V——某施过程（队）的流水强度Ri——投入该施工过程的第i 种资源量（施工机械台数或工人数）Si——投入该施工过程的第i 种资源的产量定额X——投入该过程的资源种类数（二）空间参数空间参数是指在组织流水施工时，用以表达流水施工在空间布置上开展状态的参数。
计算方法(2)-插值法
2
2
yk1 2
f (xk
h
2
),
y
k
1 2
f (xk
h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn
th)
yn
tyn
t(t 1) 2!
2
yn
t(t
1)
(t n!
n
1)
n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn
th)
t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0
th)
y0
ty0
t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t
1)
(t n!
n
1)
n
y0
Rn (x0
th)
t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.
根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn
计算方法 02第二章 方程的近似解法
∈ (0.5, 0.75)
-1
3
二、代数方程实根的上下界
若f
( )
x
为 n 次多项式，则
f ( x) = 0
称为 n 次代数方程。
对于代数方程有如下定理： [定理] 设有 且 则 证明
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an (a0 ≠ 0)
f ( x) = 0
A = max { a1 、 2 、 、 n } a L a
若同号，则取 于是得到区间
an −1 + bn −1 an = an −1，bn = 2 an −1 + bn −1 an = , bn = bn −1 2
1 。区间长为 n ( b − a ) , α ∈ ( an , bn )。 2
[ an，bn ]
若取α 的近似值
则绝对误差限为
例.求解方程
an + bn α = 2 1 b − a) n +1 ( 2
xn +1 − xn ≤ m xn − xn −1
xn + p − xn + p −1 ≤ m p xn − xn −1
xn + p − xn ≤ xn + p − xn + p −1 + xn + p −1 − xn + p − 2 + L + xn +1 − xn
其中p为任意正整数
……
≤ (m p + m p −1 + L + m) xn − xn −1
1 区间长为 ( b − a ) , α ∈ (a1 ,b1 ). 2
7
数值分析计算方法第二章作业
1.当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3,4，求f(x)的二次差值多项式 （1）用单项式基底 （2）用拉格朗日插值基底
（1）解：设 f(x)abxcx2 则a+b+c=0 a-b+c=-3 a+2b+4c=4
解得
a7,b3,c5 326
所以 f(x)73x5x2
解：由p(0)=0,p(1)=1,p(2)=1,我们可以得出
P 2 ( x ) ( x ( 1 1 ) ) ( ( x 2 ) 2 ) 0 ( 1 ( x ) 0 ( ) x ( 1 2 2 ) ) 1 ( ( 2 x ) ) ( ( 2 x 1 1 ) ) 1 1 2 x 2 3 2 x
将 p'(0)0,p'(1)1 代入到上式中，得出
a 3 ,b 1
4
4
从而有 P4(x)1 4x43 2x39 4x2
p ( x 0 ) f ( x 0 ) , P '( x 0 ) f '( x 0 ) , P ''( x 0 ) f ''( x 0 ) ,p ( x 1 ) f ( x 1 )
解：设 P ( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) ( x x 0 ) f''2 ( x ! 0 )( x x 0 ) 2 a ( x x 0 ) 3
解：设P（x）= ax3bx2cxd
则 P'(x)3ax22bxc
d 0 代入已知条件，得到： c 1
abcd 1 3a 2b c 2
解得a=1,b=-1,c=1,d=0
所以P（x）= x3 x2 x
计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)
为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
2018/11/7
5
2018/11/7
6
二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
2018/11/7
27
fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
2018/11/7
28
差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
2018/11/7
31
等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
2018/11/7
32
2018/11/7
33
二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
2018/11/7
25
2018/11/7
26
§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -2191-38-2473-223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.3 主元 若在Gauss消去过程中出现以下两种情况 消去过程中出现以下两种情况 若在
(k (1) a kk − 1 ) = 0
(2)
a kk < < a ik
i = k + 1, ..., n
则Gauss消去过程中会出现问题 消去过程中会出现问题 第1种情况下有两种可能 种情况下有两种可能 (1)若A非奇，则可以通过交换行序继续执行消去过程 若 非奇 非奇， (2)若A奇异，则不能继续执行消去过程 若 奇异 奇异，
(0) a11 l21 l31 l n1
(0) a12 (1) a22 l32
(0) a13 L (1) a23 L (2) a33 L O
a1(0) n (1) a2 n (2) a3n M
ln 2
ln 3
(n L ann −1)
M β n( n −1)
第2章 线性代数方程组 章
求解方法 方法1 方法
Ax = b
⇒ A-1 Ax = A-1b ⇒ x = A-1b
计算量为矩阵求逆 矩阵求逆的方法:初等行变换法,伴随矩阵法,高斯-约当法
第2章 线性代数方程组 章
求解方法 方法2 方法 Crammer法则 法则
Ai xi = A
i = 1, 2,..., n
β1(0)
β i( k ) = β i( k −1) − lik β k( k −1) , i = k + 1, k + 2,..., n
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.1 消去法 经过n-1步消去后，得到 步消去后， 经过 步消去后 (0) a11 ( n −1) ( n −1) (A b )=
降维——N维问题转化为 维问题转化为N-1维问题 维问题——逐次降维，依次进 逐次降维， 降维 维问题转化为 维问题 逐次降维
消去法的基本步骤：消去、 消去法的基本步骤：消去、回代
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.1 消去法 消去过程 对于以下的增广矩阵 (0) (0) (0) a11 a12 a13 L (0) (0) (0) a21 a22 a23 L (0) (0) (0) (0) (0) (A b ) = a31 a32 a33 L M M M M a (0) a (0) a (0) L n2 n3 n1
1 . 2 . 2 . 1 a ij − a ik a k j ⇒ a ij
β i − a ik β
k
⇒ β
i
/ a nn ⇒ x n ⇒ S
N-k次 N-1次
fo r k = n - 1, n - 2 , ...,1
k
2 .2 .1 β
2 .2 .2 F o r j = k + 1, k + 2 , ..., n 2 .2 .2 .1 S - a kj x j ⇒ S 2 .2 .3 S / a kk ⇒ x k
n
2.回代运算量 2.回代运算量
求xn需做1次除法, 求xn-1需做1次乘法和1次除法,..., 求x1需n -1次 乘法和1次除法,因此所需乘除次数: n(n + 1) N 2 = 1 + 2 + ... + n = 2 3 n n 因此,N = N1 + N 2 = + n 2 − 3 3
即,运算量为o(n3 )
可以写为矩阵形式
(2.1)
Ax = b
其中
α 11 α 12 α 21 α 22 A= L L α n1 α n 2 L α 1n x1 β1 x β L α 2n 2 , x= , b = 2 . M M L L L α nn xn β n
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.1 消去法 消去法的基本思想: 消去法的基本思想 将求解n元方程组的问题转化为等价的 元方程组 元方程组， 将求解 元方程组的问题转化为等价的n-1元方程组，然后对其进 元方程组的问题转化为等价的 行求解，直止为一个一元一次方程为止，然后求出解， 行求解，直止为一个一元一次方程为止，然后求出解，再逐步回代 得到其余的解。 得到其余的解。
第2章 线性代数方程组
第2章 线性代数方程组 章
线性代数方程组
α11 x1 + α12 x2 + L + α1n xn = β1 α x + α x + L + α x = β 21 1 22 2 2n n 2 L L L L L L α n1 x1 + α n 2 x2 + L + α nn xn = β n
消去法的思想 1.将n元方程组的 个方程通过“消元”，形成一个与原方 将 元方程组的 元方程组的n-1个方程通过 消元” 个方程通过“ 程 等价的新方程组 2.继续将 个方程通过“消元”，形成一个与之等价的新方 继续将n-1个方程通过 消元” 个方程通过“ 继续将 程组 3.直到最后一个方程为一元一次方程为止 直到最后一个方程为一元一次方程为止 4.从最后一个方程中解出最后一个未知量，然后回代得到其 从最后一个方程中解出最后一个未知量， 从最后一个方程中解出最后一个未知量 它的解
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.2 算法组织 高斯消去法运算量估计 1.消去算法运算量 1.消去算法运算量
分为n -1步, 第k步变换n - k 行 : 求倍数, 再从n + 1- k 个元素中减去 第k 行对应列的倍数,因此所需乘除次数: n 3 n 2 5n N1 = ∑ (n − k )(n − k + 2) = + − 3 2 6 k =1
(0) a12 (1) a22
(0) a13 L (1) a23 L (2) a33 L O
a1(0) n
(1) a2 n (2) a3n M (n ann −1)
M β n( n −1)
β1(0) β 2(1) β3(2)
然后，经过回代， 然后，经过回代，得到所有的解
β1(0) β 2(1) β3(2)
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.2 算法组织 算法 Gauss(A,b,n,x) 系数矩阵A存放于数组 存放于数组A中 右端向量放在数组b中 系数矩阵 存放于数组 中，右端向量放在数组 中
I .[消 去 ] 1 F o r k = 1, 2 , ..., n - 1 1 .1 I f a kk = 0 th e n 输 出 错 误 信 息 ; s to p
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.2 算法组织 高斯消去法运算量估计 空间复杂度分析
(1)系数矩阵A占用空间为n 2 , 则空间复杂度为o(n 2 ) (2)常量b占用空间为n, 则空间复杂度为o(n) (3)变量x占用空间为n, 则空间复杂度为o(n) (4)消去过程中没有使用其它额外存储空间
i = 1, 2,..., n
J (i1 , i2 ,L , i n )
第2章 线性代数方程组 章
求解方法 方法2 方法 Crammer法则 法则
计算量为求矩阵的行列式
A = ∑ ( −1) J (i1 ,i2 Lin ) α1i1α 2i2 Lα nin
其中 : J ( i1 , i 2 L i n ) 是{1, 2, ..., n}变换到{i1 , i 2 , ..., in }所需的置换次数
因此, 总的空间复杂度为o(n 2 )
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.3 主元 Gauss消去法可以顺利执行的条件 消去法可以顺利执行的条件
(k a kk − 1 ) ≠ 0
(k akk −1) 称为第k步的主元
性 质 :当 方 程 组 的 系 数 矩 阵 非 奇 时 ,在 消 去 过 程 中 有
因此, 计算一个行列式需要(n -1)n !次浮点运算
使用Cramer法则求解方程组需要N = (n 2 -1)n !次浮点运算
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.1 消去法
2 x + x = 3 2 x1 + x2 = 3 1 2 ⇒ 3 3 ⇒ 从第二个方程解出 x2 = 1 − x2 = − x1 − x2 = 0 2 2 ⇒ 代入第一个方程 ， 得到x1 = 1
其中 A 是方程组系数矩阵对应的行列式 Ai 是以右端常量向量b替代A的第i列所得矩阵的行列式
a11 L a1i −1 b1 a1i +1 L a1n a21 L a2i −1 b2 a2i +1 L a2 n M M M M M M M a L ani −1 bn ani +1 L ann xi = n1 a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n M M M M an1 an 2 L ann
N-1次 N-1 N-k次 N-k次
1 .2 F o r i = k + 1, k + 2 , ..., n 1 . 2 . 1 a ik / a k k ⇒ a ik 1 .2 .2 1 .2 .3 I I . [回 代 ] 2 .1 β 2 .2
n
fo r j = k + 1, k + 2 , ..., n
计算关系式
( aikk −1) lik = ( k −1) akk ( ( ( aijk ) = aijk −1) − lik akjk −1) , j = k + 1,..., n