宁夏回族自治区2012届高三数学文科仿真模拟卷8

宁夏回族自治区2012届高三数学文科仿真模拟卷8第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知复数12122,2,,z m i z i z z =+=+若为纯虚数，则实数m 的值为 （ ）A ．1B ．-1C ．4D ．-42．命题：“2,cos 2cos x R x x ∀∈≤”的否定为 （ ）A ．2,cos 2cos x R x x ∀∈>B ．2,cos 2cos x R x x ∃∈>C ．2,cos 2cos x R x x ∀∈<D ．2,cos 2cos x R x x ∃∈≤3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 其前n 项和，且24936,a a S =-则等于 （ ） A ．25B ．27C ．50D ．544．根据下面频率分布直方图估计样本数据的中位数，众数分别 为 （ ） A ．12.5，12.5 B ．13，12.5 C ．12.5，13D ．14，12.55．已知函数24()2,()log ,()log xf x xg x x xh x x x =+=+=+的零点依次为a ，b ，c ，则（ ） A ．a<b<cB ．c<b<aC ．a<c<bD ．b<a<c6．已知M 是曲线21ln 1(1)2y x x a x =++-上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于4π的锐角，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．[)4,+∞C ．(],2-∞D ．(],4-∞7．已知cos 21tan 2tan )4a a aa π=++则的值为（ ）A ．-8B ．8C ．18-D ．188．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆）， 根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ） A ．8π+ B ．283π+C ．12π+D ．2123π+9．如图所示程序框图，若输出的结果y 的值为1，则输入的 x 的值的集合为 （ ）A ．{3}B ．{2，3}C ．{1,32}D ．1{,2,3}210．已知数列21{}(2,)n n n n a a a a n n N --⋅=>∈满足，且122,3a a ==，则2011a =（ ）A ．13B ．23C ．2D ．311．函数32231(0)()(0)xx x x f x aex ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[-2，2]上的最大值为2，则a 的范围是（ ）A ．22,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．22[0,]eC ．(],0-∞D ．22,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．已知动点P 在直线220x y +-=上，动点Q 在直线240x y ++=上，线段PQ 中点00(,)M x y 满足不等式0000232x y y x ⎧≤+⎪⎨⎪≤-+⎩，则2200x y +的取值范围是 （ ） A．5⎣⎦B ．1,345⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,105⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[10，34]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上。

） 13．已知向量m 与n 满足||1,||2m n ==，且()m m n ⊥+，则向量m 与n 的夹角为 。

14．设函数()2si n (2)(22f x x ππϕϕ=+-<<，满足45()(),()312f x f x f ππ=-则= 。

15．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的外接球的体积为323π，则该三棱柱的体积为 。

16．有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径。

定理：如果圆222(0)x y r r +=>上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值-1。

写出该定理在双曲线22221(,0)x y a b ab-=>中的推广。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 某巡逻艇在A 处发现在北偏东45︒距A 处8处有一走私船，正沿东偏南15︒的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向。

18．（本小题满分12分）从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为甲：7.7，7.8，8.1，8.6，9.3，9.5 乙：7.6，8.0，8.2，8.5，9.2，9.5（1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论； （2）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率。

19．（本小题满分12分）已知几何体E —ABCD 如图所示，其中四边形ABCD 为矩形，ABE ∆为等边三角形，且A D =2,A E D E ==点F 为棱BE 上的动点。

（I ）若DE//平面AFC ，试确定点F 的位置； （II ）在（I ）条件下，求几何体D —FAC 的体积。

20．（本小题满分12分）已知函数()sin (0),()(0).f x x x g x ax x =≥=≥ （I ）若()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （II ）当a 取（I ）中最小值时，求证：31()().6g x f x x -≤21．（本小题满分12分） 已知1(,0)2F 为抛物线22(0)y p x p =>的焦点，点000(,)(0)N x y y >为其上一点，点M 与点N 关于x 轴对称，直线l 与抛物线交于异于M ，N 的A ，B 两点，且5||, 2.2N A N B N F k k =⋅=-（I ）求抛物线方程和N 点坐标；（II ）判断直线l 中，是否存在使得M A B ∆面积最小的直线'l ，若存在，求出直线'l 的方程和M A B ∆面积的最小值；若不存在，说明理由。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，则按所做的第一题记分。

22．（本题满分10分）选修4—1：平面几何选讲如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点（异于A ，B ），过C 作圆O 的切线,l 过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E ，求证：CB=CE 。

23．（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。

（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|1||22|.f x x x =-++ （I ）解不等式()5;f x >（II ）若不等式()()f x a a R <∈的解集为空集，求a 的取值范围。

参考答案一、选择题：（每小题5分，共计60分）13．︒120 14．0 15．2916．22221(,0)x y a b ab-=>上异于一条直径两个端点的任意一点，与这条直径两个端点的连线的斜率乘积等于22ab三、解答题： 17．（本小题满分12分） 设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：︒=∠==120,12,312ABC t BC t AC在ABC ∆中，BACt t∠=︒sin 12120sin 312, 所以21sin =∠BAC ，︒=∠30BAC …… 6分所以t BC AB 128===，解得32=t ，………… 10分所以最少经过32小时可追到走私船，沿北偏东︒15的方向航行．……………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）① 由样本数据得5.85.8==乙甲，x x ，可知甲、乙运动员平均水平相同； ②由样本数据得44.0,49.022==乙甲s s ，乙运动员比甲运动员发挥更稳定； ③甲运动员的中位数为1.8，乙运动员的中位数为2.8………………… （4分） （Ⅱ）设甲乙成绩至少有一个高于5.8分为事件A ,则3266431)(=⨯⨯-=A P ………………… （6分）（Ⅲ）设甲运动员成绩为x ，则[]5.9,5.7∈x 乙运动员成绩为y ，[]10,7∈y⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤≤≤5.01075.95.7y x y x ………………… （8分） 设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于5.0的事件为B , 则3132221)(=⨯+-=B P …………… （12分）19．（本小题满分12分）（1）连接BD 交AC 于点M ，若DE ∥平面AFC ，则DE ∥FM ，点M 为BD 中点，则F 为棱BE 的中点……6分 （2）212331=⋅==--ACD ACD F FAC D S V V ∆ ……12分20．（本小题满分12分）（Ⅰ） 令)0(sin )(≥-=x ax x x h ，a x x h -='cos )(． 若1≥a ，0cos )(≤-='a x x h ，)0(sin )(≥-=x ax x x h 单调递减，0)0()(=≤h x h∴)0(sin ≥≤x ax x 成立． （3分）若1<a ，存在)2,0(0π∈x ，使得a x =0cos ，),0(0x x ∈，0cos )(>-='a x x h ，ax x x h -=sin )(（),0(0x x ∈）单调递增，0)0()(=>h x h ，不合题意，舍综上，1≥a ． （5分） （Ⅱ） 设)0(61sin )(3≥--=x xx x x H ，221cos 1)(x x x H --='．令221cos 1)(x x x G --=，x x x G -='sin )(，)0(0sin )(≥≤-='x x x x G221cos 1)(x x x G --=在),0(+∞上单调递减， （8分）此时 0)0(21cos 1)(2=≤--=G xx x G ，即021cos 1)(2≤--='x x x H ，∴)0(61sin )(3≥--=x xx x x H 单调递减，（10分）0)0(61sin )(3=≤--=H x x x x H ，∴ 061sin 3≤--x x x )0(≥x即361sin x x x ≤-)0(≥x ． （12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）有题意122p =， 05||22p N F x =+=即01,2p x ==，2004,0y y =>得02y =所以抛物线方程为22y x =，(2,2),(2,2)N M - ………………………………4分（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，设直线l 的方程为x ty b =+（t R ∈）3y联立方程22y xx ty b⎧=⎨=+⎩得2220y ty b --=，设两个交点221212(,),(,)22y y A y B y 12(2,2)y y ≠±≠±2121248022t b y y ty y b ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩ …………………………6分 122212122242(2)(2)2222PA PB y y k k y y y y --⋅=-==-++--，整理得23b t =+…………8分此时24(46)0t t ∆=++>恒成立，由此直线l 的方程可化为3(2)x t y -=+ 从而直线l 过定点(3,2)E -……………9分因为(2,2)M -，所以M E 、所在直线平行x 轴三角形M A B面积121||||2S M E y y =-=11分所以当2t =-时Sl '的方程为210x y ++= ……12分 22．（本小题满分10分）连结BE ,AB 是直径，∴BE AE ⊥,又 l AD ⊥，∴BE //l ，∴CEB ECD ∠=∠ ……5分 又EBC ECD ∠=∠,∴EBC CEB ∠=∠,∴CE CB = ……10分 23．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为),(θρ，由余弦定理得)3cos(2221222πθρρ-⋅-+=所以圆的极坐标方程为03)3cos(42=+--πθρρ………………… （5分）（Ⅱ）设),(y x Q 则)2,2(y x P ，P 在圆上，则Q 的直角坐标方程为41)23()21(22=-+-y x ………………… （10分）24．（本小题满分10分）（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--≤≤-+>+=)1(13)11(3)1(13)(x x x x x x x f∴5)(>x f 的解集为}⎩⎨⎧-<> 2或34x x x ……5分（2） [)+∞∈,2)(x f ，a x f <)(()R a ∈的解集为空集，则(]2,∞-∈a ……10分。