自动控制原理 第八章
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自动控制原理第8章
3．时间响应
由于线性系统的运动特征与输入的幅值、系
统的初始状态无关，所以通常是在典型输入 函数和零初始条件下进行研究的。而非线性 的时间响应与输入信号的大小和初始条件有 关，幅值不同的同一输入信号，响应曲线的 幅值和形状都会产生显著变化，从而使输出 具有多种不同的形式。
4．可能存在自激振荡现象
饱和特性的数学描述为 x a B y kx x a B x a 3.继电特性 继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性，
继电特性有双位特性，如图8-4(a)和(b)所示， 三位特性如图8-4 (c)所示等，图8-4 (b)、(c) 的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电 器，其他装置如果具有类似的非线性特性， 我们也称之为继电特性，如电磁阀、施密特 触发器等。继电器的切换特性使用得当可改 善系统的性能。
8.1.3常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数学描
述为
y f (x)
将非线性特性视为一个环节，环节的输入
为 x ，输出为 y ，按照线性系统中比例环节 的描述，定义非线性环节输出和输入的比值 为等效增益：
y f ( x) k x x
线性系统中比例环节的增益是常值，也就是
3．本质非线性ห้องสมุดไป่ตู้节的存在
自动控制系统中包含的非线性特性可分为非
本质非线性和本质非线性两种。对非本质非 线性系统，应用线性理论是合适的。对本质 非线性系统，不能简单的用线性化方法来解 决问题，因此还需要研究非线性控制系统的 理论。
8.1.2 非线性系统的特征
线性系统的重要特征是可以应用线性叠加原理。而 描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程， 则不能应用叠加原理。非线性系统的运动具有以下 特点： 1. 稳定性分析复杂 按照平衡状态的定义, 在无外作用且系统输出的各 阶导数等于零时, 系统处于平衡状态。显然, 对于线 性系统只有一个平衡状态c＝0, 线性系统在该平衡 状态的稳定性就是线性系统的稳定性, 而且稳定只 取决于系统本身的结构和参数, 与外作用和初始条 件无关。而非线性系统可能存在多个平衡状态, 各 平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的。非线性 系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关, 也与 初始条件以及系统的输入信号的类型和幅值有关。
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
19
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
自动控制原理第8章
图8.10 相平面图
Байду номын сангаас
自动控制原理
20
如果以相变量和 x1 为x2 坐标构成平面，称为相平
面，则系统在某一时刻t1的状态就成为相平面上
的( x一,个x)点以(x时1(t间), x为2 (t参))。变在量相构平成面的上曲，线由，(称x1为, x相2 )轨或
迹。图8.9(b)对应图8.9(a)绘出了相应的相轨迹。 相轨迹上的箭头表示时间参量的增大方向。若以
8.3.1 相平面的基本概念 8.3.2 相平面图的绘制方法 8.3.3 奇点和极限环 8.3.4 相平面分析举例
自动控制原理
18
8.3.1相平面的基本概念
考虑二阶线性系统
x 2n x n2x 0
(8-2)
式中 与n 是阻尼比和无阻尼自然振荡频率。
个设变系量统，仅由初和xx始21 条来件x描,激述xn2励2x。1。若这x2令一，系n则x统方2 的程状(8态-2可)可以((8化8用--34为)两)
点6的另一个跳跃，也伴有振幅和相位的改变。在
这个跳跃之后，振幅A随着频率 的减小 一起减
小，并且沿着曲线从点6趋向点1。
自动控制原理
16
因此，响应曲线实际上是不连续的，并且对于频率增
加和减小的两种情况,响应曲线上的点沿着不同的路线移 动。点2与点5之间曲线对应的振荡是不稳定的振荡，在实 验中是观测不到的。
则由式(8-8)确定的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且 仅有一条，这样的点称为普通点。在相平面上，同时满足
x 0 和 f(x, x) 0 的点，由于
f(x, x
x)
f(x, x
x)
0 0
相轨迹的斜率不是一个确定的值，说明通过该点的相轨迹 曲线有一条以上，这样的点称为奇点，显然奇点只分布在 相平面的x轴上。
自动控制原理第八章非线性控制系统
稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理第八章
非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
16
系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
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系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
自动控制原理第8章
f(x, x) f(x, x) 或 f(x, x) f(x, x)
即 f(x, x)是关于 xx
x
自动控制原理
9
(2)相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x)，只要不同时满足 x 0和 f(x, x) 0 ， 则该点的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且仅有一条， 这样的点称为普通点。
中心点
jω
vortex or center
σ
x
x
中心点
鞍点
jω
x
saddle point
σ
鞍点
x
自动控制原理
21
j λ2 λ1 0
节点 node
j 0
j
0 λ1 λ2
不稳定节点 unstable node
j
0
稳定焦点 stable focus
j
不稳定焦点 unstable focus
j
0
λ1 0 λ2
此系统将具有振荡发散状态。
终将趋于环内平衡点，不会产生自振荡。
自动控制原理
25
例8-3 x 0.5x 2x x2 0
解： x dx 0.5x 2x x2 0 dx
试分析稳定性。
则：
dx dx
0.5x 2x x
x2
0 0
有:
0.5x 2x x2 0
x 0
-2
x
0x
奇点位置：
如果把相变量x视为位移，于是 x 和 x 可以理解为速度和
加速度。在奇点处，由于系统的速度和加速度均为零，因
此奇点就是系统的平衡点equilibrium point 。
自动控制原理
20
系统奇点的分类
自动控制原理第八章
1) σ < 0, z < 1, 瞬态分量衰减。 2) σ > 0, z > 1, 瞬态分量发散。 3) σ = 0, z = 1, 瞬态分量等幅振荡。
离散系统的Routh稳定判据（在w平面上的应用） 稳定判据（ 平面上的应用） 离散系统的 稳定判据 平面上的应用
选择w 平面，取z 选择w = σ + jω平面，取z = 由幅值条件 z = z < 1, σ < 0; w + 1 σ + jω + 1 = 作双线性变换 w 1 σ + jω 1 得： z = 1, σ = 0; 1+ w 或z = 1 w
∞
s )e
nT s s
Z变换的求取方法
级数求和法 查表计算法（ Z Z变换表）
Z x * (t) = X(z) =
{
}
∑ x(nT
n=0
∞
s )z
n
( z = e Ts )
Z变换的基本定理 Z反变换的求取方法
长除法 分布分式查表计算法
差分方程的求解
直接递推求解 利用z变换求解
Z变换的求取方法（对离散系统而言） 变换的求取方法 对离散系统而言）
R(s)
求所示开环系统的传递 函数 G(s) = 1 e Ts
T Gh0(s) R*(s) G(s) C(s)
T C*(s)
1 ; G (s) = . ho s(s + 1) s C(z) 1 = Z G (s)G (s) = (1 z 1 )Z[ G(z) = ] 1 2 2(s + 1) R(z) s
x * (t) = Z 1 [X(z)] = 10δ(t T) + 30δ(t 2T) + 70δ(t 3T) + 150δ(t 4T) + 310δ(t 5T) +
离散系统的Routh稳定判据（在w平面上的应用） 稳定判据（ 平面上的应用） 离散系统的 稳定判据 平面上的应用
选择w 平面，取z 选择w = σ + jω平面，取z = 由幅值条件 z = z < 1, σ < 0; w + 1 σ + jω + 1 = 作双线性变换 w 1 σ + jω 1 得： z = 1, σ = 0; 1+ w 或z = 1 w
∞
s )e
nT s s
Z变换的求取方法
级数求和法 查表计算法（ Z Z变换表）
Z x * (t) = X(z) =
{
}
∑ x(nT
n=0
∞
s )z
n
( z = e Ts )
Z变换的基本定理 Z反变换的求取方法
长除法 分布分式查表计算法
差分方程的求解
直接递推求解 利用z变换求解
Z变换的求取方法（对离散系统而言） 变换的求取方法 对离散系统而言）
R(s)
求所示开环系统的传递 函数 G(s) = 1 e Ts
T Gh0(s) R*(s) G(s) C(s)
T C*(s)
1 ; G (s) = . ho s(s + 1) s C(z) 1 = Z G (s)G (s) = (1 z 1 )Z[ G(z) = ] 1 2 2(s + 1) R(z) s
x * (t) = Z 1 [X(z)] = 10δ(t T) + 30δ(t 2T) + 70δ(t 3T) + 150δ(t 4T) + 310δ(t 5T) +
自动控制原理第8章
y f ( x)
输入为
x X sin t ，输出为 y ( t ) f ( X sin t ) ，它是一个非正弦的
周期函数。展成富氏级数：
第8章 非线性系统分析
y ( t ) A0 A0
(A
n 1
n
cos n t B n sin n t )
2．死区特性的描述函数 死区特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形 如图。
a
0
y
y
K
a
x
0
1
1 2
t
0
x
1
1
2
1
t
死区特性及输入、输出波形
第8章 非线性系统分析
其输出表达式为
y (t )
0
0≤ t≤ 1
K ( X sin t a )
Y
n 1
n
sin( n t n )
An 1
其中：
A0
1 2
2
y (t ) d t
0
2
y ( t ) cos n td t
0
Bn
1
2
y ( t ) sin n td t
0
Yn
An B n
2
2
n arctan
An Bn
设非线性特性均为对称奇函数， A 0
0
x a
x≥a x ≤ a
控制系统中的测量元件、执行部件以及放 大器都存在着不灵敏区。
y
K (xa) K (x a)
死区特性元件等效于一个变增益元件，在死区 范围内，等效增益为零，大于死区后，等效增益随 输入信号的增大在增大，但等效增益总是小于原来 的 K 值。